最新三年高考(-)高考数学试题分项版解析-专题12-平面向量-理(含解析)

专题12 平面向量考纲解读明方向掌握平行四边形法则与三角形法则.3.向量共线的条件要结合向量数乘的意义去理解,并能灵活应用.4.向分值约为5分,属量的概念与运算是必考内容.5.本节在高考中主要考查平面向量的线性运算及其几何意义,分析解读 1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.2018年高考全景展示1．【2018年浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A.−1 B.+1 C. 2 D. 2−【答案】A【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.详解：设，则由得， 由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.2．【2018年理数天津卷】如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，点在上，则，设，则：，即，据此可得：，且：，，由数量积的坐标运算法则可得：，整理可得：，结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.本题选择A选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．3．【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D详解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.4．【2018年理新课标I卷】在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 5．【2018年理数全国卷II】已知向量，满足，，则A. 4B. 3C. 2D. 0【答案】B【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.点睛：向量加减乘：6．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.7．【2018年全国卷Ⅲ理】已知向量，，．若，则________．【答案】【解析】分析：由两向量共线的坐标关系计算即可。

详解：由题可得，，,即，故答案为点睛：本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题。

2017年高考全景展示1.【2017课标3，理12】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．2【答案】A 【解析】试题分析：如图所示，建立平面直角坐标系设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y , 根据等面积公式可得圆的半径r =，即圆C 的方程是()22425x y -+= ，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，即21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==- ，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+ ，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心到直线的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤， 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A . 【考点】 平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.2.【2017北京，理6】设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：若0λ∃<，使m n λ=，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<T ，若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选A. 【考点】1.向量；2.充分必要条件.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要 ，同时q 是p 的必要不充分条件，若p q ⇔，那互为充要条件，若p q <≠>，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若:,:p x A q x B ∈∈,若A B ≠⊂，那么p 是q 的充分必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件，若A B =，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断.3.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB＝，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则A ．321I I I <<B ．231I I I <<C ．213I I I <<D ．312I I I <<【答案】C 【解析】试题分析：因为90AOB COD ∠=∠>，所以0(,)OB OC OA OB OC OD OA OC OB OD ⋅>>⋅>⋅<< 选C ．【考点】 平面向量数量积运算【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用． 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得90AOB COD ∠=∠>，由AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，可求OC OA <，OD OB <，进而解得213I I I <<．4.【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .【答案】【解析】试题分析：222|2|||44||4421cos 60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=所以|2|12a b +==秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2a b +的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为【考点】平面向量的运算.【名师点睛】平面向量中涉及到有关模长的问题，用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.5．【2017浙江，15】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】试题分析：设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有：212a b -=+=，212a b +=+=，则：54cos a b a b ++-=+令θθcos 45cos 45-++=y ，则[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin2025,164a b a ba b a b++-==++-==，即a b a b ++-的最小值是4，最大值是 【考点】平面向量模长运算【名师点睛】本题通过设入向量,a b 的夹角θ，结合模长公式， 解得54cos a b a b ++-=+转化能力和最值处理能力有一定的要求．6.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为OA 与OC 的夹角为α,且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R , 则m n += .【答案】3【考点】向量表示【名师点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.7.【2017天津，理13】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________.【答案】311【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ ,则 122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=.【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的,AB AC 已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.8.【2017山东，理12】已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 .【答案】3【考点】1.平面向量的数量积.2.平行向量的夹角.3.单位向量. 【名师点睛】1.平面向量a 与b 的数量积为·cos a b a b θ＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒.2.由向量的数量积的性质有||=a a a ·，·cos a b a bθ=，·0a b a b ⇔⊥＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．3.本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立λ的方程.9.【2017江苏，16】 已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，取得最大值，为3； 5π6x =时，取得最小值，为-【解析】解：（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，所以3sin x x =.若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠.于是tan x =又，所以5π6x =.（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b . 因为，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值-【考点】向量共线，数量积【名师点睛】(1)向量平行：1221//a b x y x y ⇒=，//,0,a b b a b λλ≠⇒∃∈=R ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++(2)向量垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，(3)向量加减乘： 221212(,),||,||||cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅<>2016年高考全景展示1.【2016高考新课标1卷】设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m = . 【答案】2- 【解析】试题分析：由222||||||+=+a b a b ,得⊥a b ,所以1120m ⨯+⨯=,解得2m =-.考点：向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ,则1122x y x y ⋅=+a b . 量的坐标，利用向量相等，列方程组，解出未知数的值.2.【2016高考山东理数】已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（tm +n ），则实数t 的值为（ ）（A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94【答案】B 【解析】试题分析：由43m n =，可设3,4(0)m k n k k ==>，又()n tm n ⊥+，所以22221()cos ,34(4)41603n tm n n tm n n t m n m n n t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅<>+=⨯⨯⨯+=+= 所以4t =-，故选B.考点：平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从()n tm n ⊥+出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.3.【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D 【解析】试题分析：向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D. 考点： 平面向量的坐标运算、数量积.【名师点睛】已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：4.【2016高考新课标3理数】已知向量1(,22BA =uu v ，1()22BC =uu uv ，则ABC ∠=（） (A)30︒ (B)45︒ (C)60︒ (D)120︒ 【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得112222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⨯+⋅∠===⨯30ABC ∠=︒，故选A ． 考点：向量夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为·cos a b a b θ＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒；（2）由向量的数量积的性质有||=a a a ·，·cos a b a bθ=，·0a b a b ⇔⊥＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．5.【2016年高考北京理数】设a ，b 是向量，则“||||a b =”是“||||a b a b +=-”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】试题分析：由22||||()()0a b a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅=⇔⊥，故是既不充分也不必要条件，故选D.考点：1.充分必要条件；2.平面向量数量积.【名师点睛】由向量数量积的定义θcos ||||⋅⋅=⋅(θ为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法. 6.【2016高考天津理数】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ） （A ）85-（B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选B.考点：向量数量积【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解． 7.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA=DB =DC ,DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是( ) （A ）434 （B ）494（C）374+ （D）374+【答案】B 【解析】试题分析：甴已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，则()((2,0,1,,1,.A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又131,,,,,22x y x PM MC M BM ⎛⎫⎛-++=∴∴=⎪ ⎝⎭⎝⎭()(22214x y BM +++∴=，它表示圆()2221x y -+=上点(),x y 与点(1,--距离平方的14，()22max149144BM⎫∴==⎪⎭，故选B ．考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出120ADC ADB BDC ∠=∠=∠=︒，且2DA DB DC ===，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出,,,A B C D 坐标，同时动点P的轨迹是圆，()(22214x y BM +++=，因此可用圆的性质得出最值．8. 【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE⋅ 的值是 .【答案】78考点：向量数量积【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线向量问题，利用向量加法与减法的平行四边形法则，可以得到一个很实用的结论：2244AO BCBA CA -⋅=9. 【2016高考浙江理数】已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤ ,则a ·b 的最大值是 ．【答案】12【解析】试题分析：221|(a b)||a ||b |6|a b |6|a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为12考点：平面向量的数量积．【易错点睛】在6a b +≤两边同时平方，转化为2226a b a b ++⋅≤的过程中，进行平方而导致错误．。