第三章 空间向量与立体几何章末检测卷(三)
章末检测卷9：第三章 空间向量与立体几何
8．正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是()
A．30°B．45°C．60°D．75°
[答案]A
[解析]如下图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系O－xyz.
9．如下图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()
A． B． C． D．
[答案]A
[解析]本题考查了空间向量与空间角．
设CB＝1，则CA＝CC1＝2，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)， ＝(0,2，－1)， ＝(－2,2,1)，∵| |＝ ，| |＝3， · ＝4－1＝3，
[解析]∵ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ .∴x＝1，y＝z＝ ，则x＋y＋z＝2，故选C.
2．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，a，b夹角的余弦值为 ，则λ等于()
A．2B．－2C．－2或 D．2或－
[答案]C
[解析]cos〈a，b〉＝ ＝ ＝ ，所以λ＝－2或 .
3．已知a、b、c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|＝()
A．14B． C．4D．2
[答案]B
[解析]|a－2b＋3c|2＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2－4a·b＋6a·c－12b·c＝14，∴选B.
4．同时垂直于a＝(2,2,1)，b＝(4,5,3)的单位向量是()
A． B． C． D． 或
[答案]D
[解析]设所求向量为c＝(x，y，z)，则 检验知选D.
(2)作AG⊥BD，垂足为G，连接CG.由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A－BD－C的平面角．由题设知，∠AGC＝60°.设AC＝2，则AG＝ .
空间向量与立体几何章节综合检测专题练习(三)带答案新教材高中数学
18．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AEC1F为平行四边形且AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1．
(1)求BF的长；
(2)求点C到平面AEC1F的距离．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
(A) 和 (B)
(C) 和 (D)
7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1中点，平面A1EC与平面ABCD所成二面角的余弦值为( )
(A) (B) (C) (D)
8．已知二面角－l－的大小为 ，异面直线a，b分别垂直于平面，，则异面直线a，b所成角的大小为( )
(A) (B) (C) (D)
设，F(0，0，z)．
∵AEC1F为平行四边形，
∴ ，(－2，0，z)＝(－2，0，2)
∴z＝2．∴F(0，0，2)．∴ ＝(－2，4，2)， ．
(2)设n1为平面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF，
所以设n1＝(x，y，z)．
由 ，得 设y＝1，则x＝－4，z＝－4，
∴n1＝(－4，1，－4)．
∴ ，……………………14分
∵平面 与平面 所成的二面角为 ，∴ ，解得 ，
即 ．……………………16分
16．
【点评】本题考查线面垂直，二面角、向量法在解决立体几何问题中的应用以及空间想象的能力.高考中，立体几何解答题一般有以下三大方向的考查.一、考查与垂直，平行有关的线面关系的证明；二、考查空间几何体的体积与表面积；三、考查异面角，线面角，二面角等角度问题.前两种考查多出现在第1问，第3种考查多出现在第2问；对于角度问题，一般有直接法与空间向量法两种求解方法.
数学选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 章末检测试卷(三)
章末检测试卷(三)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是________． 答案 5解析 ∵a ·b ＝－3＋2x －5＝2， ∴x ＝5.2.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 －23a ＋12b ＋12c解析 如图，连结ON ，由向量的加法法则，可知MN →＝MO →＋ON →＝－23OA →＋12(OB →＋OC →)＝－23a ＋12(b ＋c )＝－23a ＋12b ＋12c .3．设i ，j ，k 为单位正交基底，已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a ·3b ＝________. 答案 －15解析 ∵a ＝(3,2，－1)，b ＝(1，－1,2)，∴5a ·3b ＝15a ·b ＝－15.4．设平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6，6)，则α，β的位置关系为________．考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面平行 答案 平行或重合解析 ∵平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6,6)，满足v ＝－3u ，∴α∥β或重合．5．若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且a 与b 的夹角为60°，则a ·a ＋a ·b ＝________. 答案 32解析 由空间向量数量积的性质，知a ·a ＝|a |2＝1. 由空间向量数量积的定义，得a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝1×1×cos60°＝12，从而a ·a ＋a ·b ＝1＋12＝32.6．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 为________三角形． 答案 直角解析 ∵M 为BC 中点， ∴AM →＝12(AB →＋AC →)．∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD →＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0. ∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．7.在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面P AB 的法向量的是________．(填序号)①⎝⎛⎭⎫1，1，12；②(1，2，1)；③(1,1,1)；④(2，－2,1)． 答案 ①解析 由题意知，C (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0,1,0)，P (0,0,2)，则P A →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)， 设平面P AB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，－x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，∴n ＝(2,2,1)．又⎝⎛⎭⎫1，1，12＝12n ，∴①正确． 8．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，D 为AB 的中点，沿中线将△ACD 折起使得AB ＝13，则二面角A －CD －B 的大小为________． 答案 120°解析 如图，取CD 中点E ，在平面BCD 内过点B 作BF ⊥CD ，交CD 延长线于点F .据题意知AE ⊥CD ，AE ＝BF ＝3，EF ＝2，AB ＝13. 且〈EA →，FB →〉为二面角的平面角， 由AB →2＝(AE →＋EF →＋FB →)2得13＝3＋3＋4＋2×3×cos 〈AE →，FB →〉， ∴cos 〈EA →，FB →〉＝－12，又∵〈EA →，FB →〉∈[0°，180°]， ∴〈EA →，FB →〉＝120°. 即所求的二面角为120°.9.如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，若以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝________.答案 －112AB →－13AC →＋34AD →解析 GE →＝AE →－AG →＝AD →＋DE →－23AM →＝AD →＋14DB →－13(AB →＋AC →)＝AD →＋14AB →－14AD →－13AB →－13AC →＝－112AB →－13AC →＋34AD →.10.如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝8，AD ＝6，AA ′＝8，∠BAD ＝∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为________．答案 18解析 ∵AC ′—→＝AC →＋CC ′—→＝AB →＋AD →＋AA ′—→，|AC ′—→|2＝(AB →＋AD →＋AA ′—→)2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA ′—→|2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA ′—→＋AD →·AA ′—→) ＝82＋62＋82＋2×(24＋32＋24)＝324， ∴|AC ′—→|＝324＝18.11.如图，S 是正三角形ABC 所在平面外一点，M ，N 分别是AB 和SC 的中点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝90°，则异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为________．答案105解析 不妨设SA ＝SB ＝SC ＝1，以点S 为坐标原点，SA ，SB ，SC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系S －xyz ，则相关各点坐标为A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，S (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，0，N ⎝⎛⎭⎫0，0，12. 因为SM →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0， BN →＝⎝⎛⎭⎫0，－1，12， 所以|SM →|＝12，|BN →|＝54， SM →·BN →＝－12，cos 〈SM →，BN →〉＝SM →·BN →|SM →| |BN →|＝－105，因为异面直线所成的角为锐角或直角， 所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为105. 12.如图所示，已知二面角αlβ的平面角为θ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为________．答案3－2cos θ解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →，所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.所以|AD →|＝3－2cos θ， 即AD 的长为3－2cos θ.13．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫43，43，83解析 设Q (x ，y ，z )，因为Q 在OP →上，故有OQ →∥OP →， 设OQ →＝λOP →(λ∈R )，可得x ＝λ，y ＝λ，z ＝2λ， 则Q (λ，λ，2λ)，QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎫λ－432－23， 故当λ＝43时，QA →·QB →取最小值，此时Q ⎝⎛⎭⎫43，43，83. 14．给出下列命题：①若AB →＝CD →，则必有A 与C 重合，B 与D 重合，AB 与CD 为同一线段； ②若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角；③若a 为直线l 的方向向量，则λa (λ∈R )也是l 的方向向量；④非零向量a ，b ，c 满足a 与b ，b 与c ，c 与a 都是共面向量，则a ，b ，c 必共面． 其中不正确的命题为________．(填序号) 答案 ①②③④解析 ①错误，如在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＝A 1B 1—→，但线段AB 与A 1B 1不重合；②错误，a ·b <0，即cos 〈a ，b 〉<0⇒π2<〈a ，b 〉≤π，而钝角的取值范围是⎝⎛⎭⎫π2，π；③错误，当λ＝0时，λa ＝0不能作为直线l 的方向向量；④错误，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，令AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，则它们两两共面，但显然AB →，AD →，AA 1—→是不共面的． 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值． 解 a ＝AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， b ＝AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)． (1)cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)， ∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0. 即2k 2＋k －10＝0， ∴k ＝－52或k ＝2.16．(14分)已知空间内三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 与向量AB →，AC →都垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标． 解 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12，又∵∠BAC ∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°，∴S ＝|AB →||AC →|sin60°＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由a ⊥AB →，得－2x －y ＋3z ＝0， 由a ⊥AC →，得x －3y ＋2z ＝0， 由|a |＝3，得x 2＋y 2＋z 2＝3， ∴x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1. ∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．17．(14分)如图所示，已知几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体．(1)化简12AA 1—→＋BC →＋23AB →，并在图上标出结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的点，且C 1N ＝14C 1B ，设MN→＝αAB →＋βAD →＋γAA 1—→，试求α，β，γ的值．解 (1)取AA 1的中点E ，在D 1C 1上取一点F ，使得D 1F ＝2FC 1，连结EF ，则12AA 1—→＋BC →＋23AB → ＝EA 1—→＋A 1D 1—→＋D 1F —→＝EF →. (2)MN →＝MB →＋BN → ＝12DB →＋34BC 1—→ ＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC 1—→)＝12AB →＋14AD →＋34AA 1—→， 所以α＝12，β＝14，γ＝34.18．(16分)如图所示，已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，AC ＝BC ＝BB 1.(1)求证：BC 1⊥AB 1； (2)求证：BC 1∥平面CA 1D .证明 如图所示，以C 1为坐标原点，C 1A 1，C 1B 1，C 1C 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2,0,2)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D (1,1,2)．(1)由于BC 1—→＝(0，－2，－2)，AB 1—→＝(－2,2，－2)， ∴BC 1—→·AB 1—→＝0－4＋4＝0， 即BC 1—→⊥AB 1—→，故BC 1⊥AB 1. (2)取A 1C 的中点E ，连结DE . 由于E (1,0,1)，∴ED →＝(0,1,1)，又BC 1—→＝(0，－2，－2)， ∴ED →＝－12BC 1—→，且ED 与BC 1不共线，∴ED ∥BC 1，又ED ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ， ∴BC 1∥平面CA 1D .19．(16分)如图，已知四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且ABCD 为正方形，P A ＝AB ＝a ，点M 是PC 的中点．(1)求BP 与DM 所成的角的大小； (2)求二面角M －DA －C 的大小．解 (1)以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系． 由已知得A (0，0,0)，B (a,0,0)，C (a ，a,0)，D (0，a,0)，P (0,0，a )，M ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2.设直线BP 与DM 所成的角为θ. ∵BP →＝(－a,0，a )，DM →＝⎝⎛⎭⎫a 2，－a 2，a 2， ∴BP →·DM →＝0.∴BP 与DM 所成的角θ＝90°.(2)∵AP →＝(0,0，a )，AB →＝(a,0,0)，AD →＝(0，a,0)， BP →＝(－a,0，a )，∴BP →·AD →＝0，AP →·AB →＝0，AP →·AD →＝0. 又由(1)知BP →·DM →＝0，∴BP →是平面MDA 的法向量，AP →是平面ABCD 的法向量，则cos 〈BP →，AP →〉＝BP →·AP →|BP →||AP →|＝22.∴所求的二面角M －DA －C 的大小为45°.20．(16分)如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，△ABE 为等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，AB ＝2CD ＝2BC ＝2，P 为CE 的中点．(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值；(3)在△ABE 内是否存在一点Q ，使PQ ⊥平面CDE ？如果存在，求PQ 的长；如果不存在，请说明理由．(1)证明 取AB 的中点O ，连结OD ，OE ， 因为△ABE 是正三角形，所以AB ⊥OE .因为四边形ABCD 是直角梯形，DC ＝12AB ，AB ∥CD ，所以四边形OBCD 是平行四边形， 所以OD ∥BC .又AB ⊥BC ，所以AB ⊥OD ，又OE ∩OD ＝O ，所以AB ⊥平面ODE ， 所以AB ⊥DE .(2)解 因为平面ABCD ⊥平面ABE ，AB ⊥OE ，OE ⊂平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB . 所以OE ⊥平面ABCD ， 所以OE ⊥OD .如图所示，以O 为坐标原点，OA ，OE ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (－1,0,0)， D (0,0,1)，C (－1,0,1)， E (0，3，0)，所以AD →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，3，－1)．最新中小学教案、试题、试卷设平面ADE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DE →＝0，n 1·AD →＝0，即⎩⎨⎧3y 1－z 1＝0，－x 1＋z 1＝0， 令z 1＝1，则x 1＝1，y 1＝33， 所以n 1＝⎝⎛⎭⎫1，33，1， 同理可求得平面BCE 的一个法向量为 n 2＝(－3，1,0)，设平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角为θ， 则cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝⎪⎪⎪⎪33－373×2＝77， 所以平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为77. (3)解 假设存在Q (x 2，y 2,0)满足题意，因为P ⎝⎛⎭⎫－12，32，12，所以PQ →＝⎝⎛⎭⎫x 2＋12，y 2－32，－12， 又CD →＝(1,0,0)，DE →＝(0，3，－1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧PQ →·CD →＝0，PQ →·DE →＝0，即⎩⎨⎧ x 2＋12＝0，3⎝⎛⎭⎫y 2－32＋12＝0， 解得⎩⎨⎧x 2＝－12，y 2＝33， 易知点Q ⎝⎛⎭⎫－12，33，0在△ABE 内， 所以△ABE 内存在点Q ⎝⎛⎭⎫－12，33，0，使PQ ⊥平面CDE ，此时PQ ＝33.。
空间向量与立体几何单元过关检测卷(三)带答案人教版新高考分类汇编艺考生专用
高中数学专题复习
《空间向量与立体几何》单元过关检测
经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ） A. 55 B.53 C. 255
D. 35
2．已知直线a ∥平面α ，且a 与平面α 的距离为d ，那么到直线a 的距离与到平面α 的距离都等于d 的点的集合是( )
(A )一条直线
(B )三条平行直线 (C )两条平行直线 (D )两个平面
3．矩形A BC D 中，A B ＝3，BC ＝4，PA ⊥平面A BC D ，PA ＝1，则P 到矩形对角线B D 的距离( )。
空间向量与立体几何单元过关检测卷(三)带答案人教版高中数学考点大全辅导班专用
又由 的一个法向量．
设 与 所成的角为 ，
则 = ，解得 ．
故当 时，直线AP与平面 所成角为60º．………………5分
（２）若在 上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，
(A)2(B)－2(C) (D)
7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中， ＝( )
(A) (B)
(C) (D)
8．已知二面角－l－的大小为 ，异面直线a，b分别垂直于平面，，则异面直线a，b所成角的大小为( )
(A) (B) (C) (D)
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
, 与 所成角的大小为
（2） ， 设平面OCD的法向量为 ,则 ，
即 ，取 ,解得
易知平面OAB的一个法向量为
由图形知，平面 与平面 所成的二面角的余弦值为
1 ,
所以
即两条异面直线 与 所成角的余弦值为
(2)
设平面 的一个法向量为
由 得 ，
所以 ，则 不妨取
A． B．1C． D． (汇编北京文)．
2．过点（1，0）且与直线 的法向量垂直的直线方程是[答]（）
（A） ．(B) ．
(C) ．（D） ．
3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为 （ ）
A． B．
C． D． (汇编湖南理)．
12．已知∥，平面与平面的法向量分别为m，n，且m＝(1，－2，5)，n＝(－3，6，z)，则z＝______．
13．若直线l1∥l2，且它们的方向向量分别为a＝(2，y，－6)，b＝(－3，6，z)，则实数y＋z＝______
14．如图，已知点P是单位正方体
空间向量与立体几何单元过关检测卷(三)含答案人教版高中数学新高考指导
，所以 ， ，
故 解得 (舍去)或 …4分
即 ，所以 ，所以 ．………………6分
⑵由⑴知， 平面 ，设DE与平面PEC所成角为 ， 与 所成角为 ，则
所以直线DE与平面PEC所成角的正弦值为 ．………………………………………10分
16．解：作AP⊥CD于点P，分别以AB、AP、AO所在直线为x、y、z轴建立坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0， ，0)，D(－ ， ，0)，O(0，0，2)，M(0，0，1)．
sin
因此当sin ＝1时，(a－c)·(b－c)取到最小值1－ .
解法二：(a－c)·(b－c)＝a·b－(a＋b)·c＋c2＝1－(a＋b)·c≥1－|a＋b||c|＝1－
＝1－ .
3．过点（1，0）且与直线 的法向量垂直的直线方程是[答]（）
（A） ．(B) ．
(C) ．（D） ．
4．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则P到矩形对角线BD的距离( )
10．空间直角坐标系中，已知 ， ，点 在 轴上，且 ,则点 的坐标为▲.
11．点 关于坐标原点的对称点的坐标为____________．
12．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是 =（1，0，1）， =（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是.
13．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，P是棱CC1上一点，CP＝m，且直线AP与平面BB1D1D所成的角的正弦值为 ，则m＝______．
且 …………………………………………4分
解析： ．建立空间直角坐标系D－xyz，设P(0，1，m)，得 ＝(－1，1，m)，平面BB1D1D的法向量为 =(－1，1，0)，设AP与平面BB1D1D所成角为，则sin＝ ．
章末检测卷8：第三章 空间向量与立体几何
第三章 检测题A时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法中不正确的是( )A ．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B ．一个平面的所有法向量互相平行C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D ．如果a 、b 与平面α共面且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量 [答案] D[解析] 只有当a 、b 不共线且a ∥α，b ∥α时，D 才正确．2．已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b 对应的点为( )A ．(5，－9,2)B ．(－5,9，－2)C ．(5,9，－2)D ．(5，－9，－2) [答案] B[解析] CA →＝(－1,0，－2)，CB →＝(－4,9,0)，故a ＋b ＝CA →＋CB →＝(－5,9，－2)．3．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α) ，且a ∥ b 则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0° [答案] A[解析] ∵|a |2＝2，|b |2＝2，(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )． 4．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12 B ．－13，12 C ．－3,2 D ．2,2[答案] A[解析] 因为a ∥b ，所以存在实数k ，使b ＝k a ，即(6,2μ－1,2λ)＝(kλ＋k,0,2k )．所以⎩⎪⎨⎪⎧kλ＋k ＝6，2μ－1＝0，2λ＝2k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12，λ＝2，k ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12，λ＝－3，k ＝－3.故选A.5．(2014·清华附中月考)已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．45°[答案] B[解析] 由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD →2＝1. cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝12⇒〈AB →，CD →〉＝60°，故选B.6．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列各结论中不正确的是( )A ．OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量 B ．OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量C ．OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量 D ．OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量 [答案] B[解析] ∵OB →－OC →＝CB →，OA 1→－OD 1→＝D 1A 1→， 由图知OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相等向量．7．如下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120° [答案] B[解析] 连接A 1B ，BC 1，A 1C 1，如下图，则A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，且EF ∥A 1B ，GH ∥BC 1，所以异面直线EF 与GH 所成的角等于60°，选B.8．如下图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )A ．2BA →·AC →B ．2AD →·BD →C ．2FG →·CA →D ．2EF →·CB → [答案] B[解析] 2BA →·AC →＝－2AB →·AC →＝－2a 2cos60°＝－a 2， 2AD →·BD →＝2DA →·DB →＝2a 2cos60°＝a 2，2FG →·CA →＝AC →·CA →＝－a 2,2EF →·CB →＝BD →·CB →＝－BD →·BC →＝－12a 2.9．正方形ABCD 所在平面外一点P ，P A ⊥平面ABCD ，若P A ＝AB ，则平面P AB 与平面PCD 所成的角的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° [答案] B[解析] 以AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设P A ＝1，则D (0,1,0)，C (1,1,0)，P (0,0,1)，PD →＝(0,1，－1)，CD →＝(－1,0,0)，设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0n ·CD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ y －z ＝0－x ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝z ，令z ＝1，则n ＝(0,1,1)，显然平面P AB 的一个法向量e ＝(0,1,0)， cos 〈n ，e 〉＝n ·e |n |·|e |＝22，∴〈n ，e 〉＝45°，∴二面角大小为45°.10．如下图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1.M 在EF 上，且AM ∥平面BDE .则M 点的坐标为( )A ．(1,1,1)B ．⎝⎛⎭⎫23，23，1C ．⎝⎛⎭⎫22，22，1D ．⎝⎛⎭⎫24，24，1[答案] C[解析] ∵M 在EF 上，设ME ＝x ，∴M ⎝⎛⎭⎫22x ，22x ，1，∵A (2，2，0)，D (2，0,0)，E (0,0,1)，B (0，2，0)， ∴ED →＝(2，0，－1)，EB →＝(0，2，－1)，AM →＝⎝⎛⎭⎫22x －2，22x －2，1.设平面BDE 的法向量n ＝(a ，b ，c )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·ED →＝0n ·EB →＝0，得⎩⎨⎧c ＝2ac ＝2b .故可取一个法向量n ＝(1,1，2)，有n ·AM →＝0，∴x ＝1，∴M ⎝⎛⎭⎫22，22，1，故选C.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．已知向量a ＝(－1,2,3)，b ＝(1,1,1)，则向量a 在b 上的投影为________． [答案]433[解析] 向量a 在b 上的投影为a ·b |b |＝－1＋2＋33＝433.12．已知A (1,2,0)，B (0,1，－1)，P 是x 轴上的动点，当AP →·BP →取最小值时，点P 的坐标为________． [答案] (12，0,0)[解析] 设P (x,0,0)，则AP →＝(x －1，－2,0)，BP →＝(x ，－1,1)， AP →·BP →＝x (x －1)＋2＝(x －12)2＋74，∴当x ＝12时，AP →·BP →取最小值74，此时点P 的坐标为(12，0,0)．13．已知空间三点A (1,1,1)、B (－1,0,4)、C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________． [答案] 120°[解析] ∵AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，∴cos 〈AB →，CA →〉＝AB →·CA →|AB →||CA →|＝2－3－614×14＝－12，∴θ＝〈AB →，CA →〉＝120°.14．如下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是上底面A 1B 1C 1D 1的中心，则OC 与BC 1所成角的余弦值为________．[答案]36[解析] 以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则O (12，12，1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，所以OC →＝(－12，12，－1)，BC 1→＝(－1,0,1)，所以cos 〈OC →，BC 1→〉＝12＋0－132·2＝－36.∴OC 与BC 1所成角的余弦值为36. 15．已知A (1,1,0)，B (1,2,1)，C (0,0,2)，则原点O 到平面ABC 的距离为________． [答案]21111[解析] 设过O 与平面ABC 垂直的向量为OH →，则⎩⎪⎨⎪⎧OH →·AB →＝0OH →·AC →＝0，∵AB →＝(0,1,1)，AC →＝(－1，－1,2)，又设OH →＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋z ＝0－x －y ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－z x ＝3z ，令z ＝1，则OH →＝(3，－1,1)，又OA →＝(1,1,0)，∴d ＝|OA →·OH →||OH →|＝21111.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16.如下图所示，平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→.(2)设G 、H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →. [解析] (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH →＝－12(OB →＋OC ′→)＋12(OB ′→＋OO ′→)＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c )＝12(c －b )17.如下图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .[分析] 方法一：证明线面垂直，可以转化为证明线线垂直．方法二：还可以利用直线方向向量与平面法向量平行证明．[解析] 方法一：建立如图所示的空间直角坐标系：设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)．∴EF →＝(－1，－1,1)，AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)． 而EF →·AB 1→＝－1×0－1×2＋1×2＝0，EF →·AC →＝－1×(－2)－1×2＋1×0＝0， ∴EF →⊥AB 1→且EF →⊥AC →.∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC .又AB 1∩AC ＝A .∴EF ⊥平面B 1AC . 方法二：(上同方法一)设平面B 1AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AB 1→＝0且n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0－2x ＋2y ＝0，令y ＝1，则x ＝1，z ＝－1.∴n ＝(1,1，－1)，∴EF →＝－n . ∴EF ⊥面B 1AC .18．(2014·福建理)在平行四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如下图．(1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值． [解析] (1)∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面BCD ∩平面BCD ＝BD ， AB ⊂平面ABD ，AB ⊥BD ，∴AB ⊥平面BCD 又CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD (2)过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD ，如下图由(1)知AB ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥BE ，AB ⊥BD .以B 为坐标原点分别以BE →，BD →，BA →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系依题意得B (0,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，A (0,0,1)，M (0，12，12)则BC →＝(1,1,0)，BM →＝(0，12，12)，AD →＝(0,1，－1)，设平面MBC 的法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BC →＝0n ·BM →＝0即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＝012y 0＋12z 0＝0取z 0＝1 得平面MBC 的一个法向量n ＝(1，－1,1)设直线AD 与平面MBC 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，AD →〉|＝|n ·AD →||n |·|AD →|＝63即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63. 19．如下图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点．(1)证明：CD ⊥平面P AE ；(2)若直线PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P －ABCD 的体积．[解析] 解法1：如图(1)，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设P A ＝h ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (4,3,0)，D (0,5,0)，E (2,4,0)，P (0,0，h )．(1)易知CD →＝(－4,2,0)，AE →＝(2,4,0)，AP →＝(0,0，h )．因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP .而AP ，AE 是平面P AE内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .(2)由题设和(1)知，CD →，P A →分别是平面P AE ，平面ABCD 的法向量． 而PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等， 所以|cos 〈CD →，PB →〉|＝|cos 〈P A →，PB →〉|，即|CD →·PB →|CD →|·|PB →||＝|P A →·PB →|P A →|·|PB →||.由(1)知，CD →＝(－4,2,0)，P A →＝(0,0，－h )，又PB →＝(4,0，－h )， 故|－16＋0＋025·16＋h 2|＝|0＋0＋h 2h ·16＋h 2|.解得h ＝855.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×P A ＝13×16×855＝128515.20. (2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)如下图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，设AC 与BD 相交于点O ，若∠DAB ＝∠DBF ＝60°，且F A ＝FC .(1)求证：FC ∥平面EAD ； (2)求二面角A －FC －B 的余弦值．[解析] (1)证明：∵四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∴AD ∥BC ，DE ∥BF . ∵AD ⊄平面FBC ，DE ⊄平面FBC ，∴AD ∥平面FBC ，DE ∥平面FBC ， 又AD ∩DE ＝D ，AD ⊂平面EAD ，DE ⊂平面EAD ， ∴平面FBC ∥平面EAD ，又FC ⊂平面FBC ，∴FC ∥平面EAD .(2)连接FO 、FD ，∵四边形BDEF 为菱形，且∠DBF ＝60°，∴△DBF 为等边三角形， ∵O 为BD 中点．所以FO ⊥BD ，O 为AC 中点，且F A ＝FC ， ∴AC ⊥FO ，又AC ∩BD ＝O ，∴FO ⊥平面ABCD ，∴OA 、OB 、OF 两两垂直，建立如下图所示的空间直角坐标系O －xyz ，设AB ＝2，因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°， 则BD ＝2，OB ＝1，OA ＝OF ＝3，∴O (0,0,0)，A (3，0,0)，B (0,1,0)，C (－3，0,0)，F (0,0，3)， ∴CF →＝(3，0，3)，CB →＝(3，1,0)， 设平面BFC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·CF →＝0，n ·CB →＝0，∴⎩⎨⎧3x ＋3z ＝0，3x ＋y ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，－3，－1)，∵BD ⊥平面AFC ，∴平面AFC 的一个法向量为OB →＝(0,1,0)． ∵二面角A －FC －B 为锐二面角，设二面角的平面角为θ， ∴cos θ＝|cos 〈n ，OB →〉|＝|n ·OB →||n |·|OB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－35＝155， ∴二面角A －FC －B 的余弦值为155. 21．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ＝1，AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，AA 1的中点． (1)求BN →的长；(2)求cos<BA 1→，CB 1→>的值； (3)求证A 1B ⊥C 1M .[解析] 以C 为原点建立空间直角坐标系O －xyz 如下图所示．(1)依题意得：B (0,1,0)，N (1,0,1)，∴|BN →|＝1－02＋0－12＋1－02＝ 3.(2)依题意得：A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)，∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)， BA 1→·CB 1→＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3，|BA 1→|＝12＋－12＋22＝6，|CB 1→|＝02＋12＋22＝5，∴cos<BA 1→，CB 1→>＝BA 1→·CB 1→|BA 1→|·|CB 1→|＝36×5＝3010.(3)依题意得C 1(0,0,2)，M (12，12，2)，C 1M →＝(12，12，0)，A 1B →＝(－1,1，－2)，∴A 1B →·C 1M →＝(－1)×12＋1×12＋(－2)×0＝0，∴A 1B →⊥C 1M →，∴A 1B ⊥C 1M .。
空间向量与立体几何单元过关检测卷(三)带答案人教版高中数学
10．_空间向量的加减法．3259693__专题：_平面向量及应用．__分析：_由向量加法的三角形法则，得到=，再由向量加法的三角形法则，，最后利用相反向量即得到结论．__解答：_解：向量加法的三角形法
解析：
空间向量的加减法．3259693
专题：
平面向量及应用．
分析：
由向量加法的三角形法则，得到 = ，再由向量加法的三角形法则， ，最后利用相反向量即得到结论．
＝1－ .
2．已知直线a∥平面，且a与平面的距离为d，那么到直线a的距离与到平面的距离都等于d的点的集合是( )
(A)一条直线(B)三条平行直线(C)两条平行直线(D)两个平面
3．已知A(0，0，0)，B(1，1，1)，C(1．2，－1)，下列四个点中在平面ABC内的点是( )
(A)(2，3，1)(B)(1，－1，2)(C)(1，2，1)(D)(1，0，3)
解答：
解：向量加法的三角形法则，得到
= = =﹣ ﹣ + =﹣ ﹣ + ．
故答案为：﹣ ﹣ + ．
点评：
本题考查的知识点是向量的三角形法则，要将未知向量用已知向量表示，关键是要根据向量加减法及其几何意义，将未知的向量分解为已知向量．
11．2
12．空间两点之间的距离公式.
13．p＝3，q＝2
14．－15
(Ⅰ）求直线EG与直线BD所成的角；
(Ⅱ）求直线 与平面ADB所成的角的正弦值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．D
2．C
3．ABC
解析：D 所以向量 共面，点(1，0，3)在平面ABC内．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
章末检测卷(三)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( )
A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0
B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0
C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b
D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c
2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 等于( )
A ．2
B ．－4
C ．4
D ．－2
3．设i ，j ，k 为单位正交基底，已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a 与3b 的数量积等于( )
A ．－15
B ．－5
C ．－3
D ．－1
4．O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18
OC →，则A ，B ，C ，P 四点( ) A ．一定不共面
B ．一定共面
C ．不一定共面
D ．无法判断
5．已知向量a ＝(0,2,1)，b ＝(－1,1，－2)，则a 与b 的夹角为( )
A ．0°
B ．45°
C ．90°
D ．180°
6．已知直线l 的方向向量a ，平面α的法向量μ，若a ＝(1,1,1)，μ＝(－1,0,1)，则直线l 与平面α的位置关系是( )
A ．垂直
B ．平行
C ．相交但不垂直
D ．直线l 在平面α内或直线l 与平面α平行
7．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC
中点，则△AMD 是( )
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．不确定
8.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，
P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 的位置关系为( )
A ．平行
B ．异面
C ．垂直
D ．以上都不对
9．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得
最小值时，点Q 的坐标为( )
A.⎝⎛⎭⎫12，34，13
B.⎝⎛⎭⎫12，32，34
C.⎝⎛⎭⎫43，43，83
D.⎝⎛⎭⎫43，43，73
10．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为AC 1→的共有( )
①(AB →＋BC →)＋CC 1→；
②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；
③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；
④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
11.如图，S 是正三角形ABC 所在平面外一点，M ，N 分别是AB 和SC 的中
点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝90°，则异面直线SM 与BN
所成角的余弦值为( )
A ．－
105 B.105 C ．－1010 D.1010
12．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：
①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 所成的角为60°；④AB 与CD 所成的角为60°.其中错误的结论是( )
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设a ，b 是直线，α，β是平面，a ⊥α，b ⊥β，向量a 在a 上，向量b 在b 上，a ＝(1,1,1)，b ＝(－3,4,0)，则α，β所成二面角中较小的一个角的余弦值为________．
14．如图所示，已知正四面体A －BCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14
CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．
15．如图所示，已知二面角α－l －β的平面角为θ⎝⎛⎭
⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝
CD ＝1，则AD 的长为________．
16．给出下列命题：①若AB →＝CD →，则必有A 与C 重合，B 与D 重合，AB 与CD 为同一线段；
②若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角；
③若a 为直线l 的方向向量，则λa (λ∈R )也是l 的方向向量；
④非零向量a ，b ，c 满足a 与b ，b 与c ，c 与a 都是共面向量，则a ，b ，c 必共面． 其中不正确的命题为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，
C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.
(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；
(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．
18．(12分)已知空间内三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．
(1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；
(2)若向量a 与向量AB →，AC →都垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．
19．(12分)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，把△ADC 沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求BD 的长．
20．(12分)如图所示，已知几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体．
(1)化简12AA 1→＋BC →＋23
AB →，并在图上标出结果； (2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的点，
且C 1N ＝14
C 1B ，设MN →＝αAB →＋βA
D →＋γAA 1→，试求α，β，γ的值．。