厦门大学《应用多元统计分析》第11章 多变量的可视化分析
厦门大学应用多元统计分析第章多元正态分布的参数估计
F(x) f (t)dt ，则称 f (x) 为 X 的分布密度函数，简称为
密度函数。一个函数 f (x) 能作为某个随机变量 X 的分布密度
函数的重要条件是：
（1） f (x) 0 ，对一切实数 x ；
（2） f (x)dx 1。
定义 2.2 设 X ( X1, X 2 ,
的多元分布函数定义为
别记为 μ 和 i ，即 μ (1, 2 , , p ) ，容易推得均值（向
量）具有以下性质：
（1） E(AX ) AE(X ) （2） E(AXB) AE(X )B （3） E(AX BY ) AE(X ) BE(Y ) 其中， X 、 Y 为随机向量， A 、 B 为大小适合运算的常数
表 2.1 数据
变量
X1
X2
Xp
序号
1
X 11
X 12
X1p
2
X 21
X 22
X 2p
n
X n1
X n2
X np
在这里横看表 2.1，记为
X ( ) ( X 1, X 2, ,X p )， 1 , 2 , n, 表示第 个样品的观测值。竖看表 2.1，第 j 列的元素
X j ( X1 j , X 2 j , , X nj ) ， j 1 , 2 , p,
其中
ij
Cov( Xi , X j ) ij D( Xi ) D( X j ) ii jj
阵为
Cov( X ,Y )E( X E( X ))(Y E(Y ))
Cov( X1,Y1)
Cov(
X
2
,
Y1
)
Cov( X1,Y2 ) Cov( X 2,Y2 )
Cov( X p ,Y1) Cov( X p ,Y2 )
多元统计分析
多元统计分析
多元统计分析（multivariate statistical analysis）是指使用多种统计方法来分析多个变量之间关系的方法。
它是应用数学、
计算机和统计学原理对多个变量之间的相互关系展开的一种基于数
据挖掘的分析方法。
它通过对多个变量进行综合分析来发现数据隐
藏的规律和模式，以及变量之间的相关性和因果关系。
多元统计分析可以应用于许多领域，如社会科学、商业、医学、金融等。
其主要方法包括因子分析、主成分分析、聚类分析、回归
分析、判别分析等。
多元统计分析有助于提高数据分析的深度和广度，并在数据分
析上寻找新的解决方法。
同时，它也使得决策者更加理性地分析和
理解结果，以便做出更准确的决策。
厦门大学应用多元统计分析第章多元分析概述课件教材课程
尽可能简单地表示所研究的现 多元回归分析、聚类分析、
象，但不损失很多有用的信息， 主成分分析、因子分析、
并希望这种表示能够很容易的 相应分析、多维标度法、
解释。
可视化分析
基于所测量到的一些特征，给 判别分析、聚类分析、主 出好的分组方法，对相似的对 成分分析、可视化分析 象或变量分组。
1、城镇居民消费水平通常用八项指标来描述，如人均粮食支 出、人均副食支出、人均烟酒茶支出、人均衣着商品支出、 人均日用品支出、人均燃料支出、人均非商品支出。这八项 指标存在一定的线性关系。为了研究城镇居民的消费结构， 需要将相关强的指标归并到一起，这实际就是对指标进行聚 类分析。
2、在企业经济效益的评价中，涉及到的指标往往很多，如百 元固定资产原值实现产值、百元固定资产原值实现利税、百 元资金实现利税、百元工业总产值实现利税、百元销售收入 实现利税、每吨标准煤实现工业产值、每千瓦时电力实现工 业产值、全员劳动生产率、百元流动资金实现产值。如何将 这些具有错综复杂关系的指标综合成几个较少的因子，既有 利于对问题进行分析和解释，又能便于抓住主要矛盾做出科 学的评价。可用主成分分析和因子分析法。
变量之间是否存在相关关系， 相关关系又是怎样体现。
多元回归、典型相关、主 成分分析、因子分析、相 应分析、多维标度法、可 视化分析
通过统计模型或最优准则，对 多元回归、判别分析、聚
未来进行预见或判断。
类分析、可视化分析
假设的提出及检验
检验由多元总体参数表示的某 多元总体参数估计、假设 种统计假设，能够证实某种假 检验 设条件的合理性。
一、统计学的生命力在于应用
（一） 统计学产生于应用 统计学的发展过程中可以看出统计学产生于应用，在应用过
应用多元统计分析因子分析详解演示文稿
应用多元统计分析因子分析详解演示文稿多元统计分析是一种将多个变量进行整体分析的方法，通过该方法可以对变量之间的关系进行深入研究。
其中，因子分析是多元统计分析的一种重要方法，用于研究多个变量之间存在的潜在因子。
本文将详细介绍因子分析的原理和应用，并通过演示文稿的形式进行展示。
一、因子分析的原理因子分析是一种可以将多个变量进行综合分析的方法，它通过寻找一些潜在因子来解释变量之间的关系。
具体来说，因子分析假设变量之间存在一些潜在因子，这些因子可以通过将原始变量进行线性组合来表示。
通过因子分析，我们可以发现这些潜在因子，并了解它们与原始变量之间的关系。
因子分析的步骤如下：1.收集数据：首先需要收集相关数据，包括多个变量的观测值。
2.因素提取：将原始变量进行线性组合，得到一组新的变量，称为因子。
通常有两种方法进行因素提取，一种是主成分分析法，另一种是最大似然估计法。
3.因子旋转：由于原始因子可能存在重叠或者不够清晰的问题，需要对因子进行旋转，以便更好地解释变量之间的关系。
常用的旋转方法有方差最大旋转法和均方差旋转法。
4.因子解释：通过因子载荷矩阵来解释因子分析的结果，载荷值表示了每个变量与因子之间的相关程度，通过对载荷矩阵进行解读，可以了解到每个因子代表的意义。
5.结果验证：最后需要对因子分析的结果进行验证，包括判断因子的可解释性、因子的可靠性和效度等方面。
二、因子分析的应用因子分析可以广泛应用于各个领域中，例如心理学、经济学、市场研究等。
以下是一些具体的应用示例：1.心理学：在心理学中，因子分析可以用于研究人的心理特征。
比如，可以通过因子分析来发现人的个性特征，如外向性、内向性等因子。
2.经济学：在经济学中，因子分析可以用于研究宏观经济指标。
比如，可以通过因子分析来发现影响经济增长的因素，如投资、消费等因子。
3.市场研究：在市场研究中，因子分析可以用于分析产品特征和顾客需求。
比如，可以通过因子分析来发现不同产品特征对顾客购买行为的影响因素。
应用多元统计分析讲稿
应用多元统计分析讲稿第一节引言多元统计分析是运用数理统计方法来研究解决多指标问题的理论和方法。
近30年来，随着运算机应用技术的进展和科研生产的迫切需要，多元统计分析技术被广泛地应用于地质、气象、水文、医学、工业、农业和经济等许多领域，差不多成为解决实际问题的有效方法。
然而，随着Internet的日益普及，各行各业都开始采纳运算机及相应的信息技术进行治理和决策，这使得各企事业单位生成、收集、储备和处理数据的能力大大提高，数据量与日俱增，大量复杂信息层出不穷。
在信息爆炸的今天，人们差不多意识到数据最值钱的时代差不多到来。
明显，大量信息在给人们带来方便的同时也带来一系列问题。
比如：信息量过大，超过了人们把握、消化的能力；一些信息真伪难辩，从而给信息的正确应用带来困难；信息组织形式的不一致性导致难以对信息进行有效统一处理等等，这种变化使传统的数据库技术和数据处理手段差不多不能满足要求.Internet的迅猛进展也使得网络上的各种资源信息专门丰富，在其中进行信息的查找真如大海捞针。
如此又给多元统计分析理论的进展和方法的应用提出了新的挑战。
多元统计分析起源于上世纪初，1928年Wishart发表论文《多元正态总体样本协差阵的精确分布》，能够说是多元分析的开端。
20世纪30年代R.A. Fisher 、H.Hotelling、S.N.Roy、许宝騄等人作了一系列得奠基性工作，使多元分析在理论上得到了迅速得进展。
20世纪40年代在心理、教育、生物等方面有许多得应用，但由于运算量大，使其进展受到阻碍，甚至停滞了相当长得时刻。
20世纪50年代中期，随着电子运算机得显现和进展，使多元分析方法在地质、气象、医学、社会学等方面得到广泛得应用。
20世纪60年代通过应用和实践又完善和进展了理论，由于新的理论、新的方法不断涌现又促使它的应用范畴更加扩大。
20世纪70年代初期在我国才受到各个领域的极大关注，并在多元统计分析的理论研究和应用上也取得了专门多显著成绩，有些研究工作已达到国际水平，并已形成一支科技队伍，活跃在各条战线上。
应用多元统计知识点总结
应用多元统计知识点总结在多元统计分析中，我们经常会涉及到一些常用的方法和技术，比如多元方差分析（MANOVA）、主成分分析（PCA）、聚类分析（Cluster Analysis）、因子分析（Factor Analysis）等。
下面我们来总结一下这些知识点的应用和要点。
一、多元方差分析（MANOVA）多元方差分析（MANOVA）是一种比较多组样本均值差异的统计方法，其基本思想是同时分析多个因变量的均值差异，以便全面地考察自变量对因变量的影响。
在实际应用中，我们经常会遇到多组变量之间的比较问题，比如不同品牌的产品在多个指标上的表现如何？不同地区的消费者在多个方面的行为有何差异？这些问题都可以通过MANOVA来进行分析。
MANOVA的要点在于，首先需要对数据进行正态性和方差齐性的检验，以确保分析结果的可靠性。
其次，需要注意变量的选择和方差分析的模型建立，要仔细考虑自变量和因变量之间的关系，以避免产生误导性的结果。
二、主成分分析（PCA）主成分分析（PCA）是一种多元统计方法，其主要目的是通过线性变换，将原始变量转化为一组新的互相无关的综合变量（主成分），以减少数据的维度和提取数据中的主要信息。
在实际应用中，PCA常用于数据降维和变量筛选，尤其适用于处理大量相关性较强的变量。
比如，在市场营销中，我们需要从众多消费者行为指标中提取出最重要的因素进行分析，这时就可以运用PCA来进行变量选择和数据降维。
在进行PCA分析时，需要注意的是，要对数据进行标准化处理，以避免因量纲不同而产生误导性的结果。
同时，要仔细考虑主成分的解释性和累计方差贡献率，以确保提取的主成分能够较好地反映原始变量的信息。
三、聚类分析（Cluster Analysis）聚类分析（Cluster Analysis）是一种将样本划分为若干个类别的统计方法，其主要目的是将相似的样本归为一类，以便对样本进行分类和归纳。
在实际应用中，聚类分析常用于市场细分和用户分群，以识别出具有相似特征和行为的消费者群体。
多变量的可视化分析
详细描述
收集不同地区、不同时间段的气候数据，利 用地图、散点图、曲线图等可视化工具展示 温度、降水量、风速等指标的变化趋势和相 互关系。例如，通过观察不同地区温度和降 水量的变化趋势，分析气候变化对生态系统
和人类活动的影响。
06
总结与展望
多变量可视化分析的优点和局限性
直观展示多变量之间的关系
多变量可视化分析能够直观地展示多个变量之间的关系，帮助我们快速理解数 据中的模式和关联。
在实际应用中，多变量可视化分析被广泛应用于各个领域， 如金融、医疗、教育、市场营销等，通过多变量可视化分析 ，人们可以更好地挖掘数据中的潜在信息和规律，为决策提 供有力支持。
目的和意义
多变量可视化分析的目的是将多个变量之间的 关系和变化趋势以直观的方式呈现出来，帮助 人们更好地理解和分析数据。
通过多变量可视化分析，人们可以更加清晰地 看到数据之间的关系和趋势，发现数据中的规 律和异常，为决策提供有力支持。
统计分析
描述性统计
01
多变量可视化可以用于展示多个变量的中心趋势、离散程度以
及变量之间的关系。
相关性分析
02
通过散点图矩阵等方法，可以直观地展示多个变量之间的相关
性。
多元回归分析03源自可视化可以帮助理解自变量对因变量的影响，以及是否存在多
重共线性等问题。
商业智能和决策支持系统
业务洞察
通过多变量可视化，企业能够快速了解多个业务指标之间的关联 和趋势，从而做出更好的决策。
总结词
通过散点图矩阵，可以同时展示多个变量之间的关系，有助于发现变量之间的关 联和模式。
详细描述
散点图矩阵是一种常用的多变量可视化方法，它通过在二维平面上绘制多个散点 图来展示多个变量之间的关系。每个散点代表一个样本，每个轴代表一个变量。 通过观察散点的分布和趋势，可以推断变量之间的关联和模式。
应用多元统计分析多元分析概述
研究和应用上也取得了很多显著成绩，有些研究工作已达到 国际水平，并已形成一支科技队伍，活跃在各条战线上。
在20世纪末与本世纪初，人们获得的数据正以前所未有的速 度急剧增加，产生了很多超大型数据库，遍及超级市场销售、 银行存款、天文学、粒子物理、化学、医学以及政府统计等 领域，多元统计与人工智能和数据库技术相结合，已在经济、 商业、金融、天文等行业得到了成功的应用。
第二节 应用背景
一 统计学的生命力在于应用 二 多元统计分析方法的应用
统计方法是科学研究的一种重要工具，其应用颇为广泛。特 别地，多元统计分析方法常常被应用于自然科学、社会科学 等领域的问题中。为了进一步体现多元统计分析方法的应用， 我们首先从宏观的角度认识统计学应用的背景，然后从微观 的角度显示多元统计分析应用的广泛性。
显然，大量信息在给人们带来方便的同时也带来一系列问题。
比如：信息量过大，超过了人们掌握、消化的能力；一些信 息真伪难辩，从而给信息的正确应用带来困难；信息组织形 式的不一致性导致难以对信息进行有效统一处理等等，这种 变化使传统的数据库技术和数据处理手段已经不能满足要 求.Internet的迅猛发展也使得网络上的各种资源信息异常丰 富，在其中进行信息的查找真如大海捞针。这样又给多元统 计分析理论的发展和方法的应用提出了新的挑战。
变量之间的相关关系 预测与决策
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着
0
教育文化娱乐服务
医疗保健
交通和通信
图11.11
食 4000 居 住 3000 2000 1000 0
品
北
衣 着
京
教育文化娱乐服务
医疗保健
交通和通信
图11.12
食 3000 居 住 2000 1000 0 教育文化娱乐服务
品
天
衣 着
津
医疗保健
交通和通信
图11.13
2000 1500
食
品
河
衣 着
当观测次数n较大和指标较多时，画出的雷达图线段太多，
图形的效果会很差。为了获得较好的可视化效果，在一张雷 达图上可以画几个样品观测数据，甚至一张雷达图只画一个 样品观测数据。如图11.11～11.17所示，对这些图进行比较 分析，也可了解其特点。
食
4000
品
北 京 天 津 河 北
居
住
2000
衣
北 京 天 津
北 京
食 品
河 北
天 津 山 西 内蒙古 内蒙古 山 西 北 京 内蒙古 北 京 内蒙古
衣 着
山 西 河 北
天 津
山 西 河 北天 津
天 津
天 津 北 京 内蒙古 河 北 山 西
居 住
北 京 内蒙古 山 西
食品
衣着
居住
图11.9 矩阵散点图
另外，还可以作三维立体散点图。只需在Scatter plot对话框
从研究的成果来看，主要可以分为两类: 一类是使高维空间的点与平面上的某种图形对应，这种
图形能反映高维数据的某些特点或数据间的某些关系； 另一类是对多变量数据进行降维处理，在尽可能多地保 留原始信息的原则下，将数据的维数降为2维或1维，然 后再在平面上表示。例如前面介绍的主成分分析方法、 因子分析方法、多维尺度法等就属于此类方法。这里仅 介绍5种实用而有效的多变量可视化方法。
北
居
住
1000 500 0
教育文化娱乐服务
医疗保健
交通和通信
图11.14
食 2000 居 住 1000 0 教育文化娱乐服务
品
山
衣 着
西
医疗保健
交通和通信
图11.15
食 2000 居 住 1000 0 教育文化娱乐服务
品
内蒙古
衣 着
医疗保健
交通和通信
图11.16
居
住
食 4000 3000 2000 1000 0
图11.2 Line Charts对话框
（3）在Define Multiple Line对话框中，将代表不同地区的5 个变量移入Lines Represent列表框中，将代表支出指标的变 量（variable）移入Variable框中。单击OK按钮，即可作出 如图11.4所示的折线图。从图中可以清楚地看出北京市几乎 各项支出都排在第一，而山西省则几乎每项支出都是最低的。
4000
北 京
3000
天 津
食 品
2000 内蒙古 山 西 1000
河 北 1200 1100 1000 900
900
800
700
衣 着
600
600
800 700
居 住
图11.10 三维立体散点图
第五节 雷达图分析法
雷达图是一种较为常用的多变量可视化图形。在雷达图中，
每个变量都有它自己的数值轴，每个数值轴都是从中心向外 辐射。由于图形就好像雷达荧光屏上的图像，故称其为雷达 图。又像蜘蛛网，所以也称蛛网图。 雷达图的作图方法： （1）作一圆，并按变量的个数p将圆周分成p等分。 （2）连接圆心和各分点，将这p条半径连线依次定义为各变 量的坐标轴，并标以适当的刻度。 （3）对给定的一次观测值，将每个变量值分别标在相应的 坐标轴上，把p个点相连就形成了一个p边形，n次观测值就 可画出n个p边形。
xmax, j xmin, j 其中： xmax, j max{xij } ，即第 j 变量的最大值；
1i n
ij
xij xmin, j
180 , 0 ij 180
xmin, j min{xij } ，即第 j 变量的最小值。
1 i n
（2）取一组权数 w1, w2 ,, wp ，满足 w ij 0 ，且
第四节 散点图分析法
散点图又称散布图，它是以点的分布反映变量之间相关关系
的可视化方法。矩阵散点图则是一种反映多个变量之间相关 关系的二维散点图。 利用SPSS制作矩阵散点图的步骤如下： （1）在SPSS中按图11.6的形式组织数据，即把支出指标当成 变量，而把不同地区当成观测。
图11.6 作散点图时的数据组织形式
品
北 京 内蒙古
衣
着
教育文化娱乐服务
医疗保健
交通和通信
图11.17
第六节 星座图分析法
星座图是将高维空间的样本点投影到平面上的一个半圆内，
用投影点表示样本点的多元图示方法。由于样本点在半圆内 的投影犹如浩瀚苍穹中的星座，因此而称其为星座图。 星座图的作图方法： （1）通过对观测数据Xij作极差标准化变换，将其变换为角 度 { ij}:
第二节 折线图分析法
折线图是将多个样品观测数据以折线的方式表示在平面图中
的一种多变量可视化图形。折线图用线段的升降来表示变量 的大小，常用于表示现象在时间上的变化趋势、现象的分配 情况和两个现象之间的依存关系等。 折线图的作图原理如下： （1）作平面坐标系，横坐标取p个点，表示p个变量，纵坐 标表示变量取值。 （2）对给定的样品观测值，在p个点的纵坐标上标出相应的 变量取值。 （3）将表示p个变量取值的点连接成一条折线，即得到了表 示一个样品观测数据的折线，n次观测可绘出n条折 线，构成多变量折线图。
例如，根据表11.1中的数据，调用EXCEL图表向导，选择
雷达图，然后按图表向导提示，即可制作出如图11.11～17 所示的雷达图。图11.5画出了北京、天津和河北的雷达图， 从图可以看出，三省市消费支出结构有较大差异。北京人均 消费支出的各项指标都高，对应面积最大的六边形，其次是 天津，在三个省市中面积最小的是河北，天津在居住支出方 面与北京较为接近，而在衣着和交通、通讯支出方面则与河 北接近。其他支出方面三地存在较大差异。利用雷达图的形 状、面积大小，可以对样品进行初始分类分析。 为了加强雷达图的效果，在雷达图中适当的分配坐标轴是很 重要的，具体的分配办法要结合分析的问题而定。例如可将 要对比的指标分布在左、右或上、下方，以便于对比分析。
第十一章 多变量的可视化分析
第一节 引言
第二节 第三节 第四节
第五节
折线图分析法 条形图分析法 散点图分析法
雷达图分析法
第六节
星座图分析法
第一节 引言
众所周知，图形是我们直观了解、认识数据的一种可视化手
段。如果能将所研究的数据直接显示在一个平面图上，便可 以一目了然地看出分析变量间的数量关系。直方图、散点图 等就是我们常用的二维平面图示方法。虽然三维数据也可以 用三维图形来表示，但观测三维数据却存在一定的难度，而 且在许多实际问题中，多变量数据的维数通常又都大于3， 那么如何用图形直观表现三维以上的数据呢？自上世纪70年 代以来，多变量数据的可视化分析研究就一直是人们关注的 一个问题。
4000
3000
2000
北 京 天 津 1000 河 北
Value
山 西 0 食 品 衣 着 医疗 交通 教育文化 居 住 内蒙古
VARIABLE
图11.5 条形图
可以发现，折线图和条行图的作图过程几乎相同，作图原理
也大同小异，折线图是以折线的高低来表示变量的大小，条 形图是以矩形的高低来表示变量的大小。 从图11.5也可以得出与折线图同样的结论：北京市各项支出 都比较高，而山西省各项支出都比较低。
w
j i
p
ij
1 。
确定权数的一般原则是重要指标的权数应相对大一些，但究竟 如何确定权数，目前尚无一个公认的好的解决办法。如果各变 量的重要程度相差不大或难以区分，一个简单而实用的方法是 等权处理，即取 w1 w2 wp 。 （3）确定第 i 次观测数据 xi ( xi1 , xi 2 ,, xip ) 对应于平面的点
表11.1是我国华北地区5个省市2003年城镇居民家庭平均每
人全年消费性支出的六项指标数据，下面分别用5种可视化 方法对数据进行分析。 考虑微机的普及应用，本章主要介绍5种图形的制作方法， 图形的制作则通过电脑实现。折线图、条形图、矩阵散点图 在SPSS中制作，雷达图和星座图则在EXCEL中实现。
在SPSS中作折线图的方法如下：
（1）将原始数据输入SPSS中。注意数据的组织形式要像图 11.1那样。即把不同地区当成变量，而把支出指标当成观测。
图11.1 作折线图时的数据组织形式
（2）选择菜单项Graphs→Line，打开Line Charts对话框， 如图11.2。在对话框上方的三个选项用于选择折线图的形式， 由于是这里是多变量作图，所以选择Multiple。在对话框下 面的三个选项中选择Value of individual cases。单击Define 按钮，打开Define Multiple Line对话框。
（3）在打开的Scatter plot Matrix对话框中，将食品、衣着、 居住三个变量移入Matrix Variables列表框中，将标志变量 region移入Label Cases by列表框中。 （4）点击OK按钮，得到如图11.9所示的矩阵散点图。 从图11.9可以看出，河北、山西、内蒙古在居住和食品消费 支出方面与北京、天津相比较低，食品与居住支出变量之间 存在一定的线性关系。天津在衣着支出方面较低，与最低的 河北接近，与最高居住支出形成鲜明对比。北京则除在居住 支出方面低于天津外，其他方面支出均高于华北其他省市。 内蒙古则在衣着支出方面仅次于北京，显示出某种特殊消费 特征。