高考数学二轮复习第二部分专题七鸭4系列专题强化练十九不等式选讲理20181205214
2018年高考数学(理)二轮专题复习课件：第二部分 专题一 常考小题点2
解析: 作出直线y=2,x+y=1,再作直线l0:3x-y=0,而向下平移直线 l0:3x-y=0时,z增大,而直线x-y=a的斜率为1,因此直线l过直线x-y=a
3������-������ = 7, 与y=2的交点A时,z取得最大值,由 ������ = 2 得A(3,2),所以a=3-2=1, 故选A.
A.
1 2
B.-
1 2
C.
2 2
D. -1
2
2
解析: x,y满足|x|≤y≤1,表示的可行域如图. x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1它的几何意义是可行域内的点到(-1,0)的距 离的平方减去1. 显然D(-1,0)到直线x+y=0的距离最小,
最小值为
1 2
=
2 2
,
2 2
所求表达式的最小值为 -1.
8 4 2
核心知识 一、选择题 二、填空题
考点精题
-6-
������-������ + 1 ≥ 0, 解析: 由约束条件 2������ + ������-2 ≥ 0,作可行域如图, ������-1 ≤ 0 5 由 z=的最大值可知,4x+3y 取得最大值时,z 取得最大值, 4������ +3������ ������ = 1, 与 4x+3y=0 平行的直线经过 A 时,即 ������-������ + 1 = 0, 可得 A(1,2),4x+3y 取得最大值,故 z 最大, 5 1 即 zmax==- .故选 C.
解析: 画出不等式组所表示的平面区域如图所示,结合目标函数 z=2x+y的几何意义,可得z在点B(-6,-3)处取得最小值,即zmin=-123=-15,故选A.
2018高考数学复习 第十四章 不等式选讲 理(全国通用)
【大高考】（三年模拟一年创新）2016届高考数学复习 第十四章 不等式选讲 理（全国通用）A 组 专项基础测试三年模拟精选填空题1．(2015·湖南长沙模拟)不等式|x －4|＋|x －3|≤a 有实数解的充要条件是________． 解析 a ≥|x －4|＋|x －3|有解⇔a ≥(|x －4|＋|x －3|)min ＝1.答案 a ≥12．(2015·湖南十三校模拟)设x ，y ，z ∈R ，2x ＋2y ＋z ＋8＝0则(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2的最小值为________．解析(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](22＋22＋12)≥[2(x －1)＋2(y ＋2)＋(z －3)]2＝(2x ＋2y ＋z －1)2＝81.答案 93．(2014·山东实验中学模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，则实数a 的值为________．解析 ∵不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，即－2，3是方程f (x )＝6的两个根，即|6－a |＋a ＝6，|a ＋4|＋a ＝6，∴|6－a |＝6－a ，|a ＋4|＝6－a ，即|6－a |＝|a ＋4|，解得a ＝1.答案 14．(2014·咸阳二模)若不等式|x ＋1x|>|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵|x ＋1x|≥2， ∴|a －2|＋1<2，即|a －2|<1，解得1<a <3.答案 (1，3)5．(2014·天津模拟)若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥|m －1|恒成立，则m 的取值范围为________．解析 ∵|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4，∴不等式|x ＋1|＋|x －3|≥|m －1|恒成立，只需|m －1|≤4.即－3≤m ≤5.答案 [－3，5]一年创新演练6．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )>2的解集；(2)∀x ∈R ，使f (x )≥t 2－112t ，求实数t 的取值范围． 解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x <－12，3x －1，－12≤x <2，x ＋3，x ≥2，当x <－12时，－x －3>2⇒x <－5，∴x <－5. 当－12≤x <2时，3x －1>2⇒x >1，∴1<x <2. 当x ≥2时，x ＋3>2⇒x >－1，∴x ≥2.综上所述，不等式f (x )>2的解集为{x |x >1或x <－5}．(2)易得f (x )min ＝－52，若∀x ∈R 都有f (x )≥t 2－112t 恒成立， 则只需f (x )min ＝－52≥t 2－11t 2， 解得12≤t ≤5. B 组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题7．(2015·江西师大模拟)若关于x 的不等式|x －1|＋|x －3|≤a 2－2a －1在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜－1或a ＞3B ．a ＜0或a ＞3C ．－1＜a ＜3D ．－1≤a ≤3 解析 |x －1|＋|x －3|的几何意义是数轴上与x 对应的点到1、3对应的两点距离之和，故。
高考数学二轮复习 第二部分 专题七 选考4系列 专题强化练十九 不等式选讲 理
专题强化练十九 不等式选讲1．设函数f (x )＝|2x ＋3|－|1－2x |，若存在x ∈R ，使得f (x )＞|3a －1|成立，求实数a 的取值范围．解：因为f (x )＝|2x ＋3|－|1－2x |≤|(2x ＋3)＋(1－2x )|＝4. 所以f (x )max ＝4.若存在x ∈R ，使得f (x )＞|3a －1|成立， 所以|3a －1|＜4，解得－1＜a ＜53，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1，53. 2．已知函数f (x )＝|2x －1|－|x －a |，a ≤0. (1)当a ＝0时，求不等式f (x )＜1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于32，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，f (x )＜1化为|2x －1|－|x |－1＜0， 当x ≤0时，不等式化为x ＞0，无解；当0＜x ≤12时，不等式化为x ＞0，解得0＜x ≤12；当x ＞12时，不等式化为x ＜2，解得12＜x ＜2；综上，f (x )＜1的解集为{x |0＜x ＜2}．(2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1－a ，x ＜a ，－3x ＋1＋a ，a ≤x ≤12，x －1＋a ，x ＞12. 所以f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为(1－a ，0)，⎝⎛⎭⎪⎫1＋a 3，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，a －12，该三角形的面积为（1－2a ）26.由题设（1－2a ）26＞32，且a ≤0，解得a ＜－1.所以a 的取值范围是(－∞，－1)．3．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件． 证明：(1)因为a ，b ，c ，d 为正数，且a ＋b ＝c ＋d ， 欲证a ＋b ＞c ＋d ，只需证明(a ＋b )2＞(c ＋d )2， 也就是证明a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd ， 只需证明ab ＞cd ，即证ab ＞cd . 由于ab ＞cd ，因此a ＋b ＞c ＋d .(2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2， 即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .由(1)得若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d .②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2， 所以a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．4．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.(1)解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1，所以－1＜x ≤－12；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2恒成立．当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1，所以12＜x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1. 从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)·(1－b )2＜0， 所以(a ＋b )2＜(1＋ab )2，因此|a ＋b |＜|1＋ab |.5．(2018·郑州质检)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1x ，a 为实数．(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞4的解集； (2)求f (a )的最小值．解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )＞4，即f (x )＝|x ＋1|＋|x －1||x |＞4，①当x ＜－1时，得f (x )＝2＞4，无解；②当x ∈[－1，0)∪(0，1]时，得f (x )＝2|x |＞4，解得|x |＜12，得－12＜x ＜0或0＜x＜12； ③当x ＞1时，得f (x )＝2＞4，无解；综上，不等式f (x )＞4的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)f (a )＝|a 2＋1|＋|a 2－1||a |＝a 2＋1＋|a 2－1||a |，①当a ＜－1或a ＞1时，f (a )＝2a2|a |＝2|a |＞2，②当－1≤a ≤1且a ≠0时，f (a )＝2|a |≥2，综上知，f (a )的最小值为2.6．(2018·衡水中学检测)已知函数f (x )＝|2x －2|＋|x ＋3|. (1)求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )＞1x＋a 的解集包含[2，3]，求实数a 的取值范围．解：(1)依题意得|2x －2|＋|x ＋3|≥3x ＋2，当x ＜－3时，原不等式可化为2－2x －x －3≥3x ＋2， 解得x ≤－12，故x ＜－3；当－3≤x ≤1时，有2－2x ＋x ＋3≥3x ＋2，解得x ≤34，故－3≤x ≤34；当x ＞1时，原不等式可化为2x －2＋x ＋3≥3x ＋2，无解． 综上所述，不等式f (x )≥3x ＋2的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34. (2)依题意，|2x －2|＋|x ＋3|＞1x＋a 在[2，3]上恒成立，则3x ＋1－1x＞a 在[2，3]上恒成立．又因为g (x )＝3x ＋1－1x在[2，3]上为增函数，所以有3×2＋1－12＞a ，解得a ＜132.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，132.7．(2018·江南名校联考)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (x )＋f (2x ＋5)≥x ＋9；(2)若a ＞0，b ＞0，且1a ＋4b ＝2，证明：f (x ＋a )＋f (x －b )≥92，并求f (x ＋a )＋f (x －b )＝92时，a ，b 的值． (1)解：f (x )＋f (2x ＋5)＝|x －1|＋|2x ＋4|≥x ＋9， 当x ≤－2时，不等式为4x ≤－12⇒x ≤－3， 所以x ∈(－∞，－3]；当－2＜x ＜1时，不等式为5≥9，不成立；当x ≥1时，不等式为2x ≥6⇒x ≥3，所以x ∈[3，＋∞)， 综上所述，不等式的解集为(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)证明：法一 f (x ＋a )＋f (x －b )＝|x ＋a －1|＋|x －b －1|≥|x ＋a －1－(x －b －1)|＝|a ＋b |＝a ＋b (a ＞0，b ＞0)．又1a ＋4b＝2，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b ＝52＋b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ·2a b ＝92， 即f (x ＋a )＋f (x －b )≥92.当且仅当b 2a ＝2ab，即b ＝2a 时“＝”成立；由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，12a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.法二 f (x ＋a )＋f (x －b )＝|x ＋a －1|＋|x －b －1|，当x ≤1－a 时，f (x ＋a )＋f (x －b )＝－x －a ＋1－x ＋b ＋1＝－2x ＋2－a ＋b ≥a ＋b ； 当1－a ＜x ＜1＋b 时，f (x ＋a )＋f (x －b )＝x ＋a －1－x ＋b ＋1＝a ＋b ； 当x ≥1＋b 时，f (x ＋a )＋f (x －b )＝x ＋a －1＋x －b －1＝2x －2＋a －b ≥a ＋b ， 所以f (x ＋a )＋f (x －b )的最小值为a ＋b ， (a ＋b )＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎪⎫12a ＋2b ＝52＋b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ·2a b ＝92. 即f (x ＋a )＋f (x －b )≥92.当且仅当b 2a ＝2ab ，即b ＝2a 时“＝”成立．由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，12a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.8．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2. 由f (x )≥1可得，①当x ＜－1时，显然不满足题意； ②当－1≤x ≤2时，2x －1≥1， 解得x ≥1，则1≤x ≤2；③当x ＞2时，f (x )＝3≥1恒成立，所以x ＞2. 综上知f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54.。
精选-高考数学二轮复习专题七鸭系列第2讲不等式选讲练习
第2讲 不等式选讲高考定位 本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的最值及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.真题感悟1.(2018·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值.解(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x<－12，x ＋2，－12≤x<1，3x ，x≥1.y ＝f (x )的图象如图所示.(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5. 2.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围. 解(1)当a ＝1时，f (x )＝－x 2＋x ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x>1，2，－1≤x≤1，－2x ，x<－1.①当x >1时，f (x )≥g (x －x 2＋x ＋4≥2x ，解之得1<x ≤17－12. ②当－1≤x ≤1时，f (x )≥g (x x －2)(x ＋1)≤0，则－1≤x ≤1.③当x <－1时，f (x )≥g (x x 2－3x －4≤0，解得－1≤x ≤4，又x <－1，∴不等式此时的解集为空集. 综上所述，f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x≤17－12. (2)依题意得：－x 2＋ax ＋4≥2在[－1，1]上恒成立. 则x 2－ax －2≤0在[－1，1]上恒成立. 则只需⎩⎪⎨⎪⎧12－a·1－2≤0，（－1）2－a （－1）－2≤0，解之得－1≤a ≤1.故a 的取值范围是[－1，1].考点整合1.绝对值不等式的性质定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立. 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立.2.|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法 (1)|ax ＋b |≤c －c ≤ax ＋b ≤c . (2)|ax ＋b |≥c ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .3.|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解.(2)利用零点分段法求解.(3)构造函数，利用函数的图象求解. 4.基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立. 定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立. 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立.热点一 绝对值不等式的解法【例1】 (2018·衡水中学质检)已知函数f (x )＝|2x －2|＋|x ＋3|. (1)求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )>1x＋a 的解集包含[2，3]，求实数a 的取值范围. 解(1)依题意得|2x －2|＋|x ＋3|≥3x ＋2，当x <－3时，原不等式可化为2－2x －x －3≥3x ＋2， 解得x ≤－12，故x <－3；当－3≤x ≤1时，原不等式可化为2－2x ＋x ＋3≥3x ＋2， 解得x ≤34，故－3≤x ≤34；当x >1时，原不等式可化为2x －2＋x ＋3≥3x ＋2，无解. 综上所述，不等式f (x )≥3x ＋2的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34.(2)依题意，|2x －2|＋|x ＋3|>1x＋a 在[2，3]上恒成立， 则3x ＋1－1x>a 在[2，3]上恒成立.又因为g (x )＝3x ＋1－1x在[2，3]上为增函数， 所以有3×2＋1－12>a ，解得a <132.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，132.探究提高1.含绝对值的函数本质上是分段函数，绝对值不等式可利用分段函数的图象的几何直观性求解，体现了数形结合的思想.2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集.此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解.【训练1】 (2018·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围.解(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x≤－1，2，－1<x≤2，－2x ＋6，x>2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}. (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.又|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立. 故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞). 热点二 不等式的证明【例2】 (2017·全国Ⅱ卷)已知实数a >0，b >0，且a 3＋b 3＝2. 证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4. (2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋3（a ＋b ）24·(a ＋b )＝2＋3（a ＋b ）34， 所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.探究提高1.证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法和反证法，其中比较法和综合法是基础，综合法证明的关键是找到证明的切入点.2.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法. 【训练2】 (2018·济南调研)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (x )＋f (2x ＋5)≥x ＋9；(2)若a >0，b >0，且1a ＋4b ＝2，证明：f (x ＋a )＋f (x －b )≥92，并求f (x ＋a )＋f (x －b )＝92时，a ，b 的值.解(1)f (x )＋f (2x ＋5)＝|x －1|＋|2x ＋4|≥x ＋9， 当x ≤－2时，不等式为4x ≤－12， 解得x ≤－3，故x ≤－3，当－2<x <1时，不等式为5≥9，不成立；当x ≥1时，不等式为2x ≥6，解得x ≥3，故x ≥3， 综上所述，不等式的解集为(－∞，－3]∪[3，＋∞). (2)f (x ＋a )＋f (x －b )＝|x ＋a －1|＋|x －b －1| ≥|x ＋a －1－(x －b －1)|＝|a ＋b |＝a ＋b (a >0，b >0). 又1a ＋4b＝2，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b ＝52＋b 2a＋2ab≥52＋2b 2a ·2a b ＝92， 当且仅当b 2a ＝2ab ，即b ＝2a 时“＝”成立；由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，1a ＋4b ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.综上所述，f (x ＋a )＋f (x －b )≥92，当f (x ＋a )＋f (x －b )＝92时，a ＝32，b ＝3. 热点三 绝对值不等式恒成立(存在)问题【例3】 (2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围.。
2019高考数学(理)二轮练习讲解--不等式选讲
2019高考数学(理)二轮练习讲解--不等式选讲【2018年高考会这样考】 1、考查含绝对值不等式的解法、 2、考查有关不等式的证明、 3、利用不等式的性质求最值、 【复习指导】 本讲复习时，紧紧抓住含绝对值不等式的解法，以及利用重要不等式对一些简单的不等式进行证明、该部分的复习以基础知识、基本方法为主，不要刻意提高难度，以课本难度为宜，关键是理解有关内容本质.基础梳理1、含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|＞a (a ＞0)⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a ； (2)|f (x )|＜a (a ＞0)⇔－a ＜f (x )＜a ； (3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解、2、含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.3、基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立、定理2：如果a 、b 为正数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立、定理3：如果a 、b 、c 为正数，那么a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立、定理4：(一般形式的算术－几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，那么a 1＋a 2＋…＋a nn≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立、 5、不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等、双基自测1、不等式1＜|x ＋1|＜3的解集为________、 答案(－4，－2)∪(0,2)2、不等式|x －8|－|x －4|＞2的解集为________、解析令：f (x )＝|x －8|－|x －4|＝⎩⎨⎧4，x ≤4，－2x ＋12，4＜x ≤8，－4，x ＞8，当x ≤4时，f (x )＝4＞2；当4＜x ≤8时，f (x )＝－2x ＋12＞2，得x ＜5， ∴4＜x ＜5；当x ＞8时，f (x )＝－4＞2不成立、 故原不等式的解集为：{x |x ＜5}、4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑i ＝1n a 2i )(∑i ＝1n b 2i )≥(∑i ＝1na ib i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝k b i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．答案{x |x ＜5}3、关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，那么实数k 的取值范围是________、 解析∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k ＜1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k ＜1. 答案k ＜14、假设不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，那么b 的取值范围为________、解析由|3x －b |＜4，得b －43＜x ＜b ＋43，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －43＜1，3＜b ＋43≤4，解得5＜b ＜7.答案(5,7)5、(2017·南京模拟)如果关于x 的不等式|x －a |＋|x ＋4|≥1的解集是全体实数，那么实数a 的取值范围是________、解析在数轴上，结合实数绝对值的几何意义可知a ≤－5或a ≥－3. 答案(－∞，－5]∪[－3，＋∞)考向一含绝对值不等式的解法【例1】►设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )＞2；(2)求函数y ＝f (x )的最小值、[审题视点]第(1)问：采用分段函数解不等式；第(2)问：画出函数f (x )的图象可求f (x )的最小值、解(1)f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜－12，3x －3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ＜4，x ＋ 5 x ≥4.当x ＜－12时，由f (x )＝－x －5＞2得，x ＜－7.∴x ＜－7；当－12≤x ＜4时，由f (x )＝3x －3＞2，得x ＞53， ∴53＜x ＜4；当x ≥4时，由f (x )＝x ＋5＞2，得x ＞－3，∴x ≥4.故原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7或x ＞53.(2)画出f (x )的图象如图： ∴f (x )min ＝－92.(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值、(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，即通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法、 【训练1】设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)假设a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围、 解(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ， x ＜－1，2， －1≤x ≤1，2x ， x ＞1.作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图象、由图象可知，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≤－32或x ≥32.(2)假设a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件；假设a ＜1，f (x )＝⎩⎨⎧ －2x ＋a ＋1， x ≤a ，1－a ， a ＜x ＜1，2x －a ＋1， x ≥1，f (x )的最小值为1－a .假设a ＞1，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1＜x ＜a ，2x －a ＋1，x ≥a ，f (x )的最小值为a －1.∴对于∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2， ∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)、考向二不等式的证明【例2】►证明以下不等式：(1)设a ≥b ＞0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2； (2)a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc ；(3)a 6＋8b 6＋127c 6≥2a 2b 2c 2.[审题视点](1)作差比较；(2)综合法；(3)利用柯西不等式、 证明(1)3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )－2b 2(a －b ) ＝(a －b )(3a 2－2b 2)、∵a ≥b ＞0，∴a －b ≥0,3a 2－2b 2＞0. ∴(a －b )(3a 2－2b 2)≥0. ∴3a 2＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.(2)∵a 2＋4b 2≥2a 2·4b 2＝4ab ， a 2＋9c 2≥2a 2·9c 2＝6ac ， 4b 2＋9c 2≥24b 2·9c 2＝12bc ，∴2a 2＋8b 2＋18c 2≥4ab ＋6ac ＋12bc ， ∴a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc .(3)a 6＋8b 6＋127c 6≥33827a 6b 6c 6＝3×23a 2b 2c 2＝2a 2b 2c 2，∴a 6＋8b 6＋127c 6≥2a 2b 2c 2.(1)作差法应该是证明不等式的常用方法、作差法证明不等式的一般步骤是：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论、关键是代数式的变形能力、 (2)注意观察不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式证明、【训练2】(2017·辽宁)a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立、证明法一因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得，a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，① 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③ 所以原不等式成立、当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立、当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立、故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原不等式等号成立、法二因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac .所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .①同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac ，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac ≥6 3.③所以原不等式成立、当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立、故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原不等式等号成立、考向三利用基本不等式或柯西不等式求最值【例3】►a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值、 [审题视点]先将(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)平方后利用基本不等式；还可以利用柯西不等式求解、 解法一利用基本不等式∵(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2＝(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)＋23a ＋1·3b ＋1＋23b ＋1·3c ＋1＋23a ＋1·3c ＋1≤(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)＋[(3a ＋1)＋(3b ＋1)]＋[(3b ＋1)＋(3c ＋1)]＋[(3a ＋1)＋(3c ＋1)]＝3[(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)]＝18， ∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32， ∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)max ＝3 2. 法二利用柯西不等式∵(12＋12＋12)[(3a ＋1)2＋(3b ＋1)2＋(3c ＋1)2]≥(1·3a ＋1＋1·3b ＋1＋1·3c ＋1)2∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤3[3(a ＋b ＋c )＋3]、 又∵a ＋b ＋c ＝1，∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤18， ∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤3 2.当且仅当3a ＋1＝3b ＋1＝3c ＋1时，等号成立、 ∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)max ＝3 2.利用基本不等式或柯西不等式求最值时，首先要观察式子特点，构造出基本不等式或柯西不等式的结构形式，其次要注意取得最值的条件是否成立、 【训练3】a ＋b ＋c ＝1，m ＝a 2＋b 2＋c 2，求m 的最小值、 解法一∵a ＋b ＋c ＝1，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝1，又∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2ac ＋2bc ，∴1＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≤3(a 2＋b 2＋c 2)、∴a 2＋b 2＋c 2≥13.当且仅当a ＝b ＝c 时，取等号，∴m min ＝13. 法二利用柯西不等式∵(12＋12＋12)(a 2＋b 2＋c 2)≥(1·a ＋1·b ＋1·c )＝a ＋b ＋c ＝1.∴a 2＋b 2＋c 2≥13，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立、∴m min ＝13如何求解含绝对值不等式的综合问题从近两年的新课标高考试题可以看出，高考对《不等式选讲》的考查难度要求有所降低，重点考查含绝对值不等式的解法(可能含参)或以函数为背景证明不等式，题型为填空题或解答题、【例如】►(此题总分值10分)(2017·新课标全国)设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ＞0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)假设不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值、第(2)问解不等式|x －a |＋3x ≤0的解集，结果用a 表示，再由{x |x ≤－1}求a .[解答示范](1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1. (3分)故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}、(5分) (2)由f (x )≤0得，|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎨⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎨⎧x ≤a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎨⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎨⎧x ≤a ，x ≤－a 2.(8分)因为a ＞0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a 2. 由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.(10分)此题综合考查了含绝对值不等式的解法，属于中档题、解含绝对值的不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解、含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x －a |＋|x －b |＞m 或|x －a |＋|x －b |＜m (m 为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便、【试一试】(2017·辽宁)函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集、[尝试解答](1)f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎨⎧－3，x ≤2，2x －7，2＜x ＜5，3，x ≥5.当2＜x ＜5时，－3＜2x －7＜3.所以－3≤f (x )≤3.(2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2＜x ＜5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ＜5}；当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}、 综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}.。
高考数学二轮复习 第二部分 专题七 选考4系列 专题强化练十九 不等式选讲 理
专题强化练十九 不等式选讲1．设函数f (x )＝|2x ＋3|－|1－2x |，若存在x ∈R ，使得f (x )＞|3a －1|成立，求实数a 的取值范围．解：因为f (x )＝|2x ＋3|－|1－2x |≤|(2x ＋3)＋(1－2x )|＝4. 所以f (x )max ＝4.若存在x ∈R ，使得f (x )＞|3a －1|成立， 所以|3a －1|＜4，解得－1＜a ＜53，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1，53. 2．已知函数f (x )＝|2x －1|－|x －a |，a ≤0. (1)当a ＝0时，求不等式f (x )＜1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于32，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，f (x )＜1化为|2x －1|－|x |－1＜0， 当x ≤0时，不等式化为x ＞0，无解；当0＜x ≤12时，不等式化为x ＞0，解得0＜x ≤12；当x ＞12时，不等式化为x ＜2，解得12＜x ＜2；综上，f (x )＜1的解集为{x |0＜x ＜2}．(2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1－a ，x ＜a ，－3x ＋1＋a ，a ≤x ≤12，x －1＋a ，x ＞12. 所以f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为(1－a ，0)，⎝⎛⎭⎪⎫1＋a 3，0，⎝⎛⎭⎪⎫12，a －12，该三角形的面积为（1－2a ）26.由题设（1－2a ）26＞32，且a ≤0，解得a ＜－1.所以a 的取值范围是(－∞，－1)．3．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件． 证明：(1)因为a ，b ，c ，d 为正数，且a ＋b ＝c ＋d ， 欲证a ＋b ＞c ＋d ，只需证明(a ＋b )2＞(c ＋d )2， 也就是证明a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd ， 只需证明ab ＞cd ，即证ab ＞cd . 由于ab ＞cd ，因此a ＋b ＞c ＋d .(2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2， 即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .由(1)得若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d .②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2， 所以a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．4．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.(1)解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1，所以－1＜x ≤－12；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2恒成立．当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1，所以12＜x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1. 从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)·(1－b )2＜0， 所以(a ＋b )2＜(1＋ab )2，因此|a ＋b |＜|1＋ab |.5．(2018·郑州质检)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1x ，a 为实数．(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞4的解集； (2)求f (a )的最小值．解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )＞4，即f (x )＝|x ＋1|＋|x －1||x |＞4，①当x ＜－1时，得f (x )＝2＞4，无解；②当x ∈[－1，0)∪(0，1]时，得f (x )＝2|x |＞4，解得|x |＜12，得－12＜x ＜0或0＜x＜12； ③当x ＞1时，得f (x )＝2＞4，无解；综上，不等式f (x )＞4的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)f (a )＝|a 2＋1|＋|a 2－1||a |＝a 2＋1＋|a 2－1||a |，①当a ＜－1或a ＞1时，f (a )＝2a2|a |＝2|a |＞2，②当－1≤a ≤1且a ≠0时，f (a )＝2|a |≥2，综上知，f (a )的最小值为2.6．(2018·衡水中学检测)已知函数f (x )＝|2x －2|＋|x ＋3|. (1)求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )＞1x＋a 的解集包含[2，3]，求实数a 的取值范围．解：(1)依题意得|2x －2|＋|x ＋3|≥3x ＋2，当x ＜－3时，原不等式可化为2－2x －x －3≥3x ＋2， 解得x ≤－12，故x ＜－3；当－3≤x ≤1时，有2－2x ＋x ＋3≥3x ＋2，解得x ≤34，故－3≤x ≤34；当x ＞1时，原不等式可化为2x －2＋x ＋3≥3x ＋2，无解．综上所述，不等式f (x )≥3x ＋2的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34. (2)依题意，|2x －2|＋|x ＋3|＞1x＋a 在[2，3]上恒成立，则3x ＋1－1x＞a 在[2，3]上恒成立．又因为g (x )＝3x ＋1－1x在[2，3]上为增函数，所以有3×2＋1－12＞a ，解得a ＜132.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，132.7．(2018·江南名校联考)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (x )＋f (2x ＋5)≥x ＋9；(2)若a ＞0，b ＞0，且1a ＋4b ＝2，证明：f (x ＋a )＋f (x －b )≥92，并求f (x ＋a )＋f (x －b )＝92时，a ，b 的值． (1)解：f (x )＋f (2x ＋5)＝|x －1|＋|2x ＋4|≥x ＋9， 当x ≤－2时，不等式为4x ≤－12⇒x ≤－3， 所以x ∈(－∞，－3]；当－2＜x ＜1时，不等式为5≥9，不成立；当x ≥1时，不等式为2x ≥6⇒x ≥3，所以x ∈[3，＋∞)， 综上所述，不等式的解集为(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)证明：法一 f (x ＋a )＋f (x －b )＝|x ＋a －1|＋|x －b －1|≥|x ＋a －1－(x －b －1)|＝|a ＋b |＝a ＋b (a ＞0，b ＞0)．又1a ＋4b＝2，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b ＝52＋b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ·2a b ＝92， 即f (x ＋a )＋f (x －b )≥92.当且仅当b 2a ＝2ab ，即b ＝2a 时“＝”成立；由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，12a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.法二 f (x ＋a )＋f (x －b )＝|x ＋a －1|＋|x －b －1|，当x ≤1－a 时，f (x ＋a )＋f (x －b )＝－x －a ＋1－x ＋b ＋1＝－2x ＋2－a ＋b ≥a ＋b ； 当1－a ＜x ＜1＋b 时，f (x ＋a )＋f (x －b )＝x ＋a －1－x ＋b ＋1＝a ＋b ； 当x ≥1＋b 时，f (x ＋a )＋f (x －b )＝x ＋a －1＋x －b －1＝2x －2＋a －b ≥a ＋b ， 所以f (x ＋a )＋f (x －b )的最小值为a ＋b ， (a ＋b )＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎪⎫12a ＋2b ＝52＋b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ·2a b ＝92. 即f (x ＋a )＋f (x －b )≥92.当且仅当b 2a ＝2ab ，即b ＝2a 时“＝”成立．由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，12a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.8．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2. 由f (x )≥1可得，①当x ＜－1时，显然不满足题意； ②当－1≤x ≤2时，2x －1≥1， 解得x ≥1，则1≤x ≤2；③当x ＞2时，f (x )＝3≥1恒成立，所以x ＞2. 综上知f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54.。
2018版高考数学二轮复习 第2部分 必考补充专题教学案 理
第2部分必考补充专题
必考补充专题中的7讲在高考考查中较为简单，题型为选择、填空题及选修“二选一”，属送分题型，通过一轮复习，大多数考生已能熟练掌握，为节省宝贵的二轮复习时间，迎合教师与考生的需求，本部分做构建知识体系和针对训练.
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精选江苏专用2018版高考数学专题复习专题7不等式第43练不等式的解法练习理
（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题7 不等式 第43练 不等式的解法练习 理1．(2017·杭州联考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ＞0，x －2，x ≤0，则不等式f (x )＜x 2的解集是__________________．2．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的值的集合是______________．3．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)＜5的解集是________．4．(2016·南京模拟)不等式2x 2－3|x |－2＜0的解集为____________． 5．(2016·许昌模拟)若不等式ax2＋bx －2＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜14，则ab ＝________. 6．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )＞0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )＜0的解集是________________________．7．(2017·南宁月考)已知当a ∈[－1,1]时，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为________________．8．(2016·宿迁模拟)若存在实数a ∈[1,3]，使得关于x 的不等式ax 2＋(a －2)x －2＞0成立，则实数x 的取值范围是________________________．9．(2017·合肥质检)已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1或x ＞12，则f (10x)＞0的解集为________________．10．(2016·徐州一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f [f (x )]≤3的解集为________．11．(2016·南京一模)若关于x 的不等式(ax －20)lg 2ax≤0对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值集合是________．12．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈[32，＋∞)，f (x m )－4m 2·f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________________．13．设关于x 的不等式|x 2－2x ＋3m －1|≤2x ＋3的解集为A ，且－1∉A,1∈A ，则实数m 的取值范围是__________． 14．已知不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2,6]恒成立，则a 的取值范围是________． 答案精析1．(－∞，0]∪(2，＋∞) 2.{a |0≤a ≤4} 3.(－7,3) 4.(－2,2) 5．28解析 由题意知－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，且a ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－2＋14，－2a ＝－14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28.6．(－∞，－32)∪(12，＋∞)解析 由题意知f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a ＜0， 由f (－2x )＜0，得－2x ＞3或－2x ＜－1， ∴x ＜－32或x ＞12.7．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立， 易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0， 且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可， 联立方程解得x ＜1或x ＞3.8．(－∞，－1)∪(23，＋∞)解析 当a ∈[1,3]时，a (x 2＋x )－2x －2＞0成立． ①若x 2＋x ＝0，即x ＝－1或x ＝0，不合题意；②若⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＞0，3x 2＋3x －2x －2＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0或x ＜－1，x ＞23或x ＜－1，解得x ＞23或x ＜－1；③若⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＜0，x 2＋x －2x －2＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜0，x ＞2或x ＜－1，无解，综上所述，x ＞23或x ＜－1.9．{x |x ＜－lg 2}解析 由已知条件得0＜10x＜12，解得x ＜lg 12＝－lg 2.10．(－∞，3]解析 f (x )的图象如图．结合图象，由f [f (x )]≤3，得f (x )≥－3，由图可知f (x )≥－3的解集为(－∞，3]，所以不等式f [f (x )]≤3的解集为(－∞，3]．11．{10}解析 由2ax＞0，x ＞0，得a ＞0，由不等式(ax －20)lg 2ax≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20a ，x ≥2a或⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤20a ，0＜x ≤2a ，所以20a＝2a ，a ＝10.12．{m |m ≤－32或m ≥32} 解析 依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈[32，＋∞)上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈[32，＋∞)上恒成立． 当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32. 13．{m |－13＜m ≤73}解析 由－1∉A ，得|(－1)2－2×(－1)＋3m －1|＞2×(－1)＋3， 即|3m ＋2|＞1，解得m ＜－1或m ＞－13.①由1∈A ，得|12－2×1＋3m －1|≤2×1＋3， 即|3m －2|≤5，解得－1≤m ≤73.②故由①②得实数m 的取值范围是 {m |－13＜m ≤73}．14．[－1,2] 解析 设y ＝2x －1，则y ′＝－2x －2＜0，故y ＝2x －1在[2,6]上单调递减， 即y min ＝26－1＝25，故不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2,6]恒成立等价于15|a 2－a |≤25恒成立，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2≤0，a 2－a ＋2≥0，解得－1≤a ≤2，故a 的取值范围是[－1,2]．。
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专题强化练十九 不等式选讲1．设函数f (x )＝|2x ＋3|－|1－2x |，若存在x ∈R ，使得f (x )＞|3a －1|成立，求实数a 的取值范围．解：因为f (x )＝|2x ＋3|－|1－2x |≤|(2x ＋3)＋(1－2x )|＝4. 所以f (x )max ＝4.若存在x ∈R ，使得f (x )＞|3a －1|成立， 所以|3a －1|＜4，解得－1＜a ＜53，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1，53. 2．已知函数f (x )＝|2x －1|－|x －a |，a ≤0. (1)当a ＝0时，求不等式f (x )＜1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于32，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，f (x )＜1化为|2x －1|－|x |－1＜0， 当x ≤0时，不等式化为x ＞0，无解；当0＜x ≤12时，不等式化为x ＞0，解得0＜x ≤12；当x ＞12时，不等式化为x ＜2，解得12＜x ＜2；综上，f (x )＜1的解集为{x |0＜x ＜2}．(2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1－a ，x ＜a ，－3x ＋1＋a ，a ≤x ≤12，x －1＋a ，x ＞12. 所以f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为(1－a ，0)，⎝⎛⎭⎪⎫1＋a 3，0，⎝⎛⎭⎪⎫12，a －12，该三角形的面积为（1－2a ）26.由题设（1－2a ）26＞32，且a ≤0，解得a ＜－1.所以a 的取值范围是(－∞，－1)．3．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件． 证明：(1)因为a ，b ，c ，d 为正数，且a ＋b ＝c ＋d ， 欲证a ＋b ＞c ＋d ，只需证明(a ＋b )2＞(c ＋d )2， 也就是证明a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd ， 只需证明ab ＞cd ，即证ab ＞cd . 由于ab ＞cd ，因此a ＋b ＞c ＋d .(2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2， 即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .由(1)得若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d .②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2， 所以a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．4．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.(1)解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1，所以－1＜x ≤－12；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2恒成立．当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1，所以12＜x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1. 从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)·(1－b )2＜0， 所以(a ＋b )2＜(1＋ab )2，因此|a ＋b |＜|1＋ab |.5．(2018·郑州质检)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1x ，a 为实数．(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞4的解集； (2)求f (a )的最小值．解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )＞4，即f (x )＝|x ＋1|＋|x －1||x |＞4，①当x ＜－1时，得f (x )＝2＞4，无解；②当x ∈[－1，0)∪(0，1]时，得f (x )＝2|x |＞4，解得|x |＜12，得－12＜x ＜0或0＜x＜12； ③当x ＞1时，得f (x )＝2＞4，无解；综上，不等式f (x )＞4的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)f (a )＝|a 2＋1|＋|a 2－1||a |＝a 2＋1＋|a 2－1||a |，①当a ＜－1或a ＞1时，f (a )＝2a2|a |＝2|a |＞2，②当－1≤a ≤1且a ≠0时，f (a )＝2|a |≥2，综上知，f (a )的最小值为2.6．(2018·衡水中学检测)已知函数f (x )＝|2x －2|＋|x ＋3|. (1)求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )＞1x＋a 的解集包含[2，3]，求实数a 的取值范围．解：(1)依题意得|2x －2|＋|x ＋3|≥3x ＋2，当x ＜－3时，原不等式可化为2－2x －x －3≥3x ＋2， 解得x ≤－12，故x ＜－3；当－3≤x ≤1时，有2－2x ＋x ＋3≥3x ＋2，解得x ≤34，故－3≤x ≤34；当x ＞1时，原不等式可化为2x －2＋x ＋3≥3x ＋2，无解．综上所述，不等式f (x )≥3x ＋2的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34. (2)依题意，|2x －2|＋|x ＋3|＞1x＋a 在[2，3]上恒成立，则3x ＋1－1x＞a 在[2，3]上恒成立．又因为g (x )＝3x ＋1－1x在[2，3]上为增函数，所以有3×2＋1－12＞a ，解得a ＜132.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，132.7．(2018·江南名校联考)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (x )＋f (2x ＋5)≥x ＋9；(2)若a ＞0，b ＞0，且1a ＋4b ＝2，证明：f (x ＋a )＋f (x －b )≥92，并求f (x ＋a )＋f (x －b )＝92时，a ，b 的值． (1)解：f (x )＋f (2x ＋5)＝|x －1|＋|2x ＋4|≥x ＋9， 当x ≤－2时，不等式为4x ≤－12⇒x ≤－3， 所以x ∈(－∞，－3]；当－2＜x ＜1时，不等式为5≥9，不成立；当x ≥1时，不等式为2x ≥6⇒x ≥3，所以x ∈[3，＋∞)， 综上所述，不等式的解集为(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)证明：法一 f (x ＋a )＋f (x －b )＝|x ＋a －1|＋|x －b －1|≥|x ＋a －1－(x －b －1)|＝|a ＋b |＝a ＋b (a ＞0，b ＞0)．又1a ＋4b＝2，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b ＝52＋b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ·2a b ＝92， 即f (x ＋a )＋f (x －b )≥92.当且仅当b 2a ＝2ab ，即b ＝2a 时“＝”成立；由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，12a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.法二 f (x ＋a )＋f (x －b )＝|x ＋a －1|＋|x －b －1|，当x ≤1－a 时，f (x ＋a )＋f (x －b )＝－x －a ＋1－x ＋b ＋1＝－2x ＋2－a ＋b ≥a ＋b ； 当1－a ＜x ＜1＋b 时，f (x ＋a )＋f (x －b )＝x ＋a －1－x ＋b ＋1＝a ＋b ； 当x ≥1＋b 时，f (x ＋a )＋f (x －b )＝x ＋a －1＋x －b －1＝2x －2＋a －b ≥a ＋b ， 所以f (x ＋a )＋f (x －b )的最小值为a ＋b ， (a ＋b )＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎪⎫12a ＋2b ＝52＋b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ·2a b ＝92. 即f (x ＋a )＋f (x －b )≥92.当且仅当b 2a ＝2ab ，即b ＝2a 时“＝”成立．由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，12a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.8．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2. 由f (x )≥1可得，①当x ＜－1时，显然不满足题意； ②当－1≤x ≤2时，2x －1≥1， 解得x ≥1，则1≤x ≤2；③当x ＞2时，f (x )＝3≥1恒成立，所以x ＞2. 综上知f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。