曲线习题课

P 0 P 1 P 2 3 P
= t3
[
t2
]
(0 ≤ t ≤ 1)
(6-31)
P' (t) = t 2
[
−1 0 − 3 1 1 t 1 ⋅ ⋅ 2 − 4 2 0 ⋅ 2 −1 3 1 0
]
(0 ≤ t ≤ 1)
端点性质： 端点性质： 曲线段的起点P（ ）位于△ 底边P （1）曲线段的起点 （0）位于△P0P1P2底边 0P2的中线 P1Pm上，且距 1点的三分之一处。该点处的切矢 ’（0）平 且距P 点的三分之一处。该点处的切矢P ） 行于△P0P1P2的底边P0P2，且长度为其二分之一。 行于△ 的底边 且长度为其二分之一。 P2 P’(0) 该点的二阶导数P’’（ ） 该点的二阶导数 （0）等 P’(1) 于中线矢量P 的二倍， 于中线矢量 1Pm的二倍， （2）曲线段的终点P（1）位于 曲线段的终点 （ ） P3 P(0) 底边P 的中线P △P1P2P3底边 1P3的中线 2Pm’上， Pm 且距P 点的三分之一处。 且距 2点的三分之一处。该点处 P”(1) 的切矢P’(1)平行于△P0P1P2的底 平行于△ 的切矢 平行于 P”(0) P4 且长度为其二分之一。 边P1P3，且长度为其二分之一。 P0 该点的二阶导数P’’（ ） 该点的二阶导数 （1）等 三次B 图6.18 三次B样条曲线段 ’的二倍， 于中线矢量P 于中线矢量 2Pm 的二倍，
用一组型值点来指定曲线曲面的形状时,形状完全 例1 用一组型值点来指定曲线曲面的形状时 形状完全 通过给定的型值点列， 通过给定的型值点列，用该方法得到的曲线曲面称为 ,而用控制点列来指定曲线曲面的 曲线曲面的 而用控制点列来指定曲线曲面的 形状时,得到的曲线曲面不一定通过控制点列 得到的曲线曲面不一定通过控制点列,该方法称 形状时 得到的曲线曲面不一定通过控制点列 该方法称 。 为曲线曲面的 一条二次的Bezier曲线的控制顶点为 0, P1,P2, 曲线的控制顶点为P 例2 一条二次的 曲线的控制顶点为 另一条控制顶点为Q 其中P 另一条控制顶点为 0, Q1, Q2,其中 2=Q0。写出两条 其中 曲线可以精确合并为一条Bezier曲线的条件。 曲线的条件。 曲线可以精确合并为一条 曲线的条件
Pk,n(t)= )
∑P
i=0
n
i+k
F,n (t) i
(0≤t≤1) ≤≤
(6-26)
式中Pk,n(t)为第 段 n次 B样条曲线段 为第k段 次 样条曲线段 样条曲线段(k=0,1,…,m)， 式中 为第 ， Fi,n(t)为 n次 B样条基函数 ， 也称为 样条分段混合 样条基函数， 为 次 样条基函数 也称为B样条分段混合 函数。 函数。 其形式为： 其形式为： 1 n−i Fi,n (t) = ∑(−1) j Cnj+1(t + n −i − j)n (0 ≤ t ≤1, i = 0,1,⋯, n) (6-27) n! j=0
3、 二次Bezier曲线 、 二次Bezier Bezier曲线
可定义一条二次(n=2) 当m = 3时，顶点 0，P1，P2可定义一条二次 时 顶点P Bezier曲线。此时式（6-21）可以改写成： 曲线。 曲线 此时式（ ）可以改写成： ( ) ≤≤ ) P(t)= (1–t)2P0＋2t(1–t)P1＋t2P2 (0≤t≤1) () (6-24) 在 式 (6-24) 中 ， 相 对 应 于 式 (6-21) 中 的 基 函 数 Bi,n(t)分别为： 分别为： 分别为 － ＋ B0,2(t)= 1－2t＋t2 B1,2(t)= 2t－t2 － B2,2(t)= t2 )
给定四点P0（ ），P1（ 例6 给定四点 （40,30）， （50,60）， ）， ）， P2（200,80）， （240,30），构造一条 （ ），P3（ ），构造一条 ）， ），构造一条B 样条曲线，计算参数为0，1/2，1的值并画 样条曲线，计算参数为 ， ， 的值并画 出图形。 出图形。
曲线 习题课
1、 Bezier曲线的数学表达式 、 曲线的数学表达式
Bezier曲线是由多项式调和函数推导出来的，通常n＋1 曲线是由多项式调和函数推导出来的，通常 ＋ 曲线是由多项式调和函数推导出来的 个顶点定义一个n次多项式 其参数向量表达式为； 次多项式， 个顶点定义一个 次多项式，其参数向量表达式为；
P1 P(1)
（ 3 ） 如 果 在 B 特 征 多 边 形 上 增 加 了 一 个 顶 点 P4 ， 那 么 P1P2P3P4又可定义一段新的三次 样条曲线。因为新曲线段 又可定义一段新的三次B样条曲线 样条曲线。 起点的有关数据和上一段曲线的终点的有关数据都只和P 起点的有关数据和上一段曲线的终点的有关数据都只和 1 、 P2 、 P3 三点有关 ， 所以该二段曲线在连接处的位置矢量 ， 三点有关， 所以该二段曲线在连接处的位置矢量， 一阶切矢和二阶切矢都应相等， 一阶切矢和二阶切矢都应相等，即： P'1(1) = P'2(0) P''1(1) = P''2(0) 这就证明了，三次B样条曲线可以达到二阶连续。 这就证明了，三次 样条曲线可以达到二阶连续。 样条曲线可以达到二阶连续
根据式(6-23)，当n = 2时，二次 ， 曲线在起点P 根据式 时 二次Bezier曲线在起点 0处 曲线在起点 有切向量P' 有切向量 0=P'(t=0)=2(P1–P0)；在终点 2处有切向量 2 =P'(t=1) ；在终点P 处有切向量P' = 2(P2–P1)。同时，当t =1/2时： 。同时， 时
5、 De Casteljau算法 、 算法
Pi r =0 Pi = r− (1 − t ) Pi r −1 + tPi +11 r = 1,2⋯ , n; i = 0,1⋯ , n − r
r
计算过程
几何解释
6、B样条曲线的数学表达式 、 样条曲线的数学表达式
给定m+n+1个顶点 i (i =0, l, 2, …, m+n)，可 个顶点P 给定 个顶点 ， 以定义m+1段n次的参数曲线为： 次的参数曲线为： 以定义 段 次的参数曲线为
n! Bi,n (t) = ⋅ t i ⋅ (1−t)n−i = Ci n ⋅ ti ⋅ (1− t)n−i i!(n − i)! (6 − 22)
2、Bézier曲线的几何性质 、 曲线的几何性质
（1）端点性质 ）
P(0) = ∑PBi,n (0) = P i 0
i=0 n
n
P(1) = ∑PBi,n (1) = P i n
i=0
这表明Bézier曲线以给定的控制点 0为起点，以 曲线以给定的控制点P ①这表明 曲线以给定的控制点 为起点， 给定的控制点P 为终点。 给定的控制点 n为终点。
② 1）表明Bézier曲线的起点切向量仅与给定的控制点 0、 ）表明 曲线的起点切向量仅与给定的控制点P 曲线的起点切向量仅与给定的控制点 P1有关，相切于向量 1－P0，长度为 1－P0|。 有关，相切于向量P 长度为n|P 。 2）Bézier曲线在终点的切向量仅与给定的控制点 n–1和 ） 曲线在终点的切向量仅与给定的控制点P 曲线在终点的切向量仅与给定的控制点 Pn有关，相切于向量 n–Pn–1，长度为 n–Pn–1|。 有关，相切于向量P 长度为n|P 。
（2）对称性 ）
• 不是形状对称 • 保持贝塞尔曲线全部控制点 i的坐标位置不 保持贝塞尔曲线全部控制点P 只是将控制点P 变，只是将控制点 i的排序颠倒 ，曲线形状 保持不变。 保持不变。 （3）凸包性 ） Bézier曲线必定落在其特征多边形的凸包之内。 曲线必定落在其特征多边形的凸包之内。 曲线必定落在其特征多边形的凸包之内
P(t) = ∑PBi,n (t) i
i=0
n
(0 < t <1)
(6 − 21)
在式（ 为各顶点的位置向量， 在式（6-21）中，Pi为各顶点的位置向量，Bi,n(t)为伯恩 ） 为伯恩 斯坦（ 斯坦 （ Bernstein）基函数， 也就是 ） 基函数，也就是Bezier多边形的各顶点 多边形的各顶点 位置向量之间的调和函数。该函数的表达式为： 位置向量之间的调和函数。该函数的表达式为：
1
P
P0 Pm P2

图6-16
二次贝济埃曲线
4、 三次Bezier曲线 、 三次Bezier Bezier曲线
当m=4时，顶点 0, P1, P2, P3四点可定义一条三次 时 顶点P (n=3)贝济埃曲线。此时式(6-21)可以改写为： 贝济埃曲线。此时式 可以改写为： 贝济埃曲线 可以改写为 P(t)= (1–t)3P0+3t(1–t)2P1+3t2(1–t)P2+t3P3 = (1–3t+3t2-t)3P0+( +(3t–6t2+3t3)P1+( 2–3t3)P2 + t3P3 +(3t (0≤t≤1) ≤≤ (6-25)
(30,0),(60,20),(80,20)。曲线在t=1/2处的值为 。曲线在 处的值为 (70,15),试求最后一个控制点。 试求最后一个控制点。 试求最后一个控制点
改变P0,P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9 为控 例5 改变 制点的三次B样条曲线的一个定点 ， 制点的三次 样条曲线的一个定点P5，有几 样条曲线的一个定点 段曲线的形状会改变。 段曲线的形状会改变。
7、二次B样条曲线段 、二次 样条曲线段
样条曲线段的起点P(0)在B特征多边形第一条边 （1）二次B样条曲线段的起点 二次 样条曲线段的起点 在 特征多边形第一条边 的中点处，且其切向量 即为第一条边的走向； 的中点处，且其切向量P1–P0即为第一条边的走向； 持征多边形线第二条边的中点处， （2）终点P(1)在B持征多边形线第二条边的中点处，且其切 终点 在 持征多边形线第二条边的中点处 向量P 即为第二条边的走向。 向量 2–P1即为第二条边的走向。 3）P（1/2）正是△ P(1)的中线 M的中点 且在P 的中线P 的中点， （3）P（1/2）正是△P(0)P1P(1)的中线P1M的中点，且在P （1/2）处的切线平行于 1/2） 因此，分段二次B样条曲线是一条抛物线。 因此，分段二次 样条曲线是一条抛物线。 样条曲线是一条抛物线 可见， 可见，由n个顶点定义的二 个顶点定义的二 样条曲线， 次B样条曲线，实质上是 样条曲线 实质上是n–2段 段 抛物线（相邻三点定义） 抛物线（相邻三点定义）的连 并在连接处达到一阶连续。 接，并在连接处达到一阶连续。