高三数学一轮复习课时作业53 直线与圆锥曲线的位置关系B 新人教A版 文
高考数学一轮复习课时训练 直线与圆锥曲线的位置关系 北师大版
A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·荆州二检)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )．A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)． 答案 C2．(2012·铜川模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为( )． A.52 B.72C ．2D ．3 解析 由题知抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线定义知：|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，因此M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72.答案 B3．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )． A.54 B ．5 C.52D. 5 解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b ax ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝x 2＋1消去y 得，x 2－bax＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－4＝0，b a ＝2，e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5.答案 D4．(2011·全国)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )． A.45 B.35 C ．－35 D ．－45解析 设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．由题意得点F (1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝2x －4消去y 得x 2－5x ＋4＝0，x ＝1或x ＝4，因此点A (1，－2)、B (4,4)，F A →＝(0，－2)，F B →＝(3,4)，cos ∠AFB＝F A → ·F B →|F A →||F B →|＝0×3＋－2×42×5＝－45，选D.答案 D5．(2011·宜春模拟)已知A ，B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的两个不同的点，F 为抛物线C 的焦点，若FA →＝－4FB →，则直线AB 的斜率为( )． A ．±23 B ．±32 C ．±34 D ．±43解析 由题意知焦点F (1,0)，直线AB 的斜率必存在，且不为0，故可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2＝4x 中化简得ky 2－4y －4k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k，①y 1y 2＝－4，②又由FA →＝－4FB →可得y 1＝－4y 2，③联立①②③式解得k ＝±43.答案 D二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·北京东城检测)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析 由题意知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8. 答案 87．(2012·东北三校联考)已知双曲线方程是x 2－y 22＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________．解析 设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2x 2＋x 1y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件． 答案 4x －y －7＝08．(2011·河南洛阳、安阳统考)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________． 解析 由题意知，抛物线的方程为x 2＝－4y ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝－4y 1，x 22＝－4y 2，两式相减得x 21－x 22＝－4(y 1－y 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－4＝－1， ∴直线l 的方程为y ＋2＝－(x －2)，即y ＝－x . 答案 x ＋y ＝0 三、解答题(共23分)9．(★)(11分)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左，右焦点，过F 1的直线l与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．思路分析 第(1)问由椭圆定义可求；第(2)问将直线l 与椭圆联立方程组，利用弦长公式求解．解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ， 其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝41－b 21＋b22－41－2b21＋b2＝8b 41＋b22，解得b ＝22. 【点评】 解决直线与圆锥曲线的问题时，用到最多的是方程思想，即列方程组、通过判别式、根与系数的关系来研究方程解的情况，进一步研究直线与圆锥曲线的关系，同时处理范围与最值问题时也要用到函数思想.10．(12分)(2011·陕西)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解 (1)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0.∴x 1＋x 2＝3，y 1＋y 2＝45(x 1＋x 2－6)＝45(3－6)＝－125.∴x 1＋x 22＝32，y 1＋y 22＝－65.即中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(★)直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的最大弦长是( )．A ．4 B.433C ．2D ．不能确定解析 (筛选法)直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，该点恰巧是椭圆x 24＋y 2＝1的上顶点，椭圆的长轴长为4，短轴长为2，而直线不经过椭圆的长轴和短轴，因此排除A 、C ；将直线y ＝kx ＋1绕点(0,1)旋转，与椭圆有无数条弦，其中必有最大弦长，因此排除D.故选B. 答案 B【点评】 本题通过运动的观点，得到直线在各种位置下的情形，从而排除错误选项，得到正确答案，避免了冗长的计算.2．(2011·四川)在抛物线y ＝x 2＋ax －5(a ≠0)上取横坐标为x 1＝－4，x 2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2＋5y 2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为( )． A ．(－2，－9) B ．(0，－5) C ．(2，－9)D ．(1，－6)解析 由已知得抛物线经过(－4,11－4a )和(2,2a －1)两点，过这两点的割线斜率k ＝2a －1－11－4a2－－4＝a －2.于是，平行于该割线的直线方程为y ＝(a －2)x ＋b .该直线与圆相切，所以b 21＋a －22＝365. 该直线又与抛物线相切，于是(a －2)x ＋b ＝x 2＋ax －5有两个相等的根，即由方程x 2＋2x －5－b ＝0的Δ＝0得b ＝－6，代入b 21＋a －22＝365， 注意到a ≠0，得a ＝4.所以抛物线方程为y ＝x 2＋4x －5＝(x ＋2)2－9，顶点坐标为(－2，－9)． 答案 A二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2012·揭阳模拟)过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________． 解析 由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，∴B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，∴c 2＝2b 2，∴e ＝63.答案634．(2012·金华模拟)已知曲线x 2a －y 2b＝1(a ·b ≠0，且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原点)，则1a －1b的值为________．解析 将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b ＝1，得(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a a －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b.OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.所以2a ＋2ab a －b －2a a －b ＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b＝2.答案 2三、解答题(共22分)5．(10分)(2012·株洲模拟)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4x ＋y －20＝0.(1)求抛物线C 的方程；(2)若O 是坐标原点，P ，Q 是抛物线C 上的两动点，且满足PO ⊥OQ ，证明：直线PQ 过定点． (1)解 设抛物线C 的方程为y 2＝2mx ，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y －20＝0，y 2＝2mx ，得2y 2＋my －20m ＝0，∵Δ＞0，∴m ＞0或m ＜－160.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－m2，∴x 1＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－y 14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5－y 24＝10＋m8.再设A (x 3，y 3)，由于△ABC 的重心为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 33＝m 2，y 1＋y 2＋y 33＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝11m8－10，y 3＝m2.∵点A 在抛物线上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫11m 8－10.∴m ＝8，抛物线C 的方程为y 2＝16x .(2)证明 当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0，b ≠0，∵PO ⊥OQ ，∴k PO k OQ ＝－1，设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，∴x P x Q ＋y P y Q ＝0，将直线y ＝kx ＋b 代入抛物线方程，得ky 2－16y ＋16b ＝0， ∴y P y Q ＝16b k .从而x P x Q ＝y 2P y 2Q 162＝b2k2，∴b 2k 2＋16bk＝0，∵k ≠0，b ≠0，∴直线PQ 的方程为y ＝kx －16k ，PQ 过点(16,0)； 当PQ 的斜率不存在时，显然PQ ⊥x 轴，又PO ⊥OQ ，∴△POQ 为等腰三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x |，y 2＝16x ，得P (16,16)，Q (16，－16)，此时直线PQ 过点(16,0)， ∴直线PQ 恒过定点(16,0)．6．(12分)(2011·福建)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R ，(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．解 法一 (1)依题意，点P 的坐标为(0，m )． 因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)． 从而圆的半径r ＝|MP |＝2－02＋0－22＝22，故所求圆的方程为 (x －2)2＋y 2＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ， 所以直线l ′的方程为y ＝－x －m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y 得 x 2＋4x ＋4m ＝0.Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．(1)当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切； (2)当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切． 法二 (1)设所求圆的半径为r ， 则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)同法一．。
高三数学一轮复习课时作业53 直线与圆锥曲线的位置关系A 新人教A版 文
课时作业(五十三)A [第53讲 直线与圆锥曲线的位置关系][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．过点P (－1,0)的直线l 与抛物线y 2＝5x 相切，则直线l 的斜率为( )A ．±22B ．±32C ．±52D ．±622．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．03．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则双曲线的离心率是( )A. 3 B ．2 C. 5 D. 64．方程x 2m 2＋y 2m －12＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是________．能力提升5．直线y ＝x ＋m 与抛物线x 2＝2y 相切，则m ＝( )A ．－12B ．－13C ．－14 D.126．“|C |A 2＋B2≤a ”是“曲线Ax ＋By ＋C ＝0与x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)有公共点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．抛物线x 2＝16y 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积是( )A ．16 3B ．8 3C ．4 3D ．2 38．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率为( )A.32 B.3－1 C.22D.2－1 9．[2011·天津卷] 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 510．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点(p,0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1与抛物线交于P 、Q 两点，l 2与抛物线交于M 、N 两点，l 1的斜率为k ，某同学已正确求得弦PQ 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫pk2＋p ，p k ，则弦MN 的中点坐标为________．11．若直线y ＝(a ＋1)x －1与y 2＝ax 恰有一个公共点，则a ＝________.12．[2011·山东卷] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________________．13．[2011·常州模拟] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .若AM →＝MB →，则p ＝________.14．(10分)[2011·连云港调研] 已知动圆P 过点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14且与直线y ＝－14相切． (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作一条直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 在A ，B 两点处的切线相交于点N ，M 为线段AB 的中点，求证：MN ⊥x 轴．15．(13分)[2011·祁东二中模拟] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切，求椭圆焦点坐标； (2)若点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，记直线PM ，PN 的斜率分别为k PM ，k PN ，当k PM ·k PN ＝－14时，求椭圆的方程．难点突破16．(12分)已知圆C 1的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝203，椭圆C 2的方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，C 2的离心率为22，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程．课时作业(五十三)A【基础热身】1．C [解析] 显然斜率存在不为0，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入抛物线方程消去x 得ky 2－5y ＋5k ＝0，由Δ＝(－5)2－4×5k 2＝0，得k ＝±52.故选C.2．A [解析] 因为直线y ＝ba x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点．故选A.3．C [解析] 设切点为P (x 0，y 0)，则切线斜率为k ＝y ′＝2x 0，依题意有y 0x 0＝2x 0.又y 0＝x 20＋1，解得x 0＝±1，所以ba＝2x 0＝2，b ＝2a ，所以e ＝1＋b 2a2＝ 5.故选C. 4．m <12且m ≠0 [解析] 首先m ≠0，m ≠1，根据已知，m 2<(m －1)2，即m 2－(m 2－2m ＋1)<0，解得m <12.所以实数m 的取值范围是m <12且m ≠0.【能力提升】5．A [解析] 将直线方程代入抛物线方程，得x 2－2x －2m ＝0，由Δ＝4＋8m ＝0，得m ＝－12.故选A.6．B [解析] 如果两曲线有公共点，可得椭圆中心到直线的距离d ＝|C |A 2＋B2≤a ；反之不一定成立．故选B.7．A [解析] 抛物线的准线为y ＝－4，双曲线的两条渐近线为y ＝±33x ，这两条直线与y ＝－4的交点是A (－43，－4)，B (43，－4)，故围成三角形的面积为S ＝12|AB |×4＝12×83×4＝16 3.故选A. 8．D [解析] 依题意直线y ＝2x 与椭圆的一个交点坐标为(c,2c )，所以c 2a 2＋4c 2b2＝1，消去b 整理得a 2－2ac －c 2＝0，所以e 2＋2e －1＝0，解得e ＝－1± 2.又e ∈(0,1)，所以e＝2－1.故选D.9．B [解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±bax ，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)得－p 2＝－2，即p ＝4.又∵p2＋a ＝4，∴a ＝2，将(－2，－1)代入y ＝b ax 得b ＝1，∴c ＝a 2＋b 2＝4＋1＝5，∴2c ＝2 5.10．(k 2p ＋p ，－kp ) [解析] 因为两直线互相垂直，所以直线l 2的斜率为－1k，只需将弦PQ 中点坐标中的k 替换为－1k，就可以得到弦MN 的中点坐标，于是得弦MN 的中点坐标为(k 2p ＋p ，－kp )．11．0或－1或－45 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ＋1x －1，y 2＝ax得(a ＋1)y 2－ay －a ＝0.当a ≠－1时，令Δ＝a 2＋4a (a ＋1)＝0，解得a ＝0或a ＝－45；当a ＝－1时，方程仅有一个根y ＝－1，符合要求．所以a ＝0或－1或－45.12.x 24－y 23＝1 [解析] 椭圆方程为x 216＋y 29＝1，则c 2＝a 2－b 2＝7，即c ＝7，又双曲线离心率为椭圆离心率的2倍，所以双曲线的离心率为e ＝72，又c ＝7，所以a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝7－4＝3，所以双曲线方程为x 24－y 23＝1.13．2 [解析] 抛物线的准线方程为x ＝－p2，过点M 的直线方程为y ＝3(x －1)，所以交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2.因为AM →＝MB →，所以点M 是线段AB 的中点，由中点公式得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋p 2，3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2.又点B 在抛物线上，于是3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 22＝2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋p 2，即p 2＋4p －12＝0，解得p ＝－6(舍去)或p ＝2.14．[解答] (1)由已知，点P 到点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14的距离等于到直线y ＝－14的距离，根据抛物线的定义，可得动圆圆心P 的轨迹C 为抛物线，其方程为x 2＝y .(2)证明：设A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)．∵y ＝x 2，∴y ′＝2x ，∴AN ，BN 的斜率分别为2x 1,2x 2，故AN 的方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)， BN 的方程为y －x 22＝2x 2(x －x 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 1x －x 21，y ＝2x 2x －x 22.两式相减，得x N ＝x 1＋x 22.又x M ＝x 1＋x 22，所以M ，N 的横坐标相等，于是MN ⊥x 轴．15．[解答] (1)由b ＝21＋1得b ＝2，∴又2a ＝4，a ＝2，a 2＝4，b 2＝2， c 2＝a 2－b 2＝2，∴两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．(2)由于过原点的直线l 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称， 不妨设：M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y )，M ，N ，P 在椭圆上，则它们满足椭圆方程，故有x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，两式相减得：y 2－y 20x 2－x 2＝－b 2a2.由题意它们的斜率存在，则k PM ＝y －y 0x －x 0，k PN ＝y ＋y 0x ＋x 0，k PM ·k PN ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，则－b 2a 2＝－14，由a ＝2得b ＝1，故所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.【难点突破】16．[解答] 由e ＝22，得c a ＝22，得a 2＝2c 2，b 2＝c 2.设椭圆C 2方程为x 22b 2＋y 2b2＝1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由圆心为(2,1)，得x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又x 212b 2＋y 21b 2＝1，x 222b 2＋y 22b2＝1， 两式相减，得x 21－x 222b 2＋y 21－y 22b 2＝0. 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2＝－1，所以直线AB 的方程为y －1＝－(x －2)， 即x ＋y －3＝0.将上述方程代入x 22b 2＋y 2b2＝1，得3x 2－12x ＋18－2b 2＝0，(*)又直线AB 与椭圆C 2相交，所以Δ＝24b 2－72>0. 且x 1，x 2是方程(*)的两根，所以x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝6－2b23.由|AB |＝2|x 1－x 2|＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2×203，得2×8b 2－243＝2×203. 解得b 2＝8，故所求椭圆方程为x 216＋y 28＝1.。
高三数学一轮同步训练直线与圆锥曲线的位置关系1 Word版含答案
. 直线与圆锥曲线的位置关系
.已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点若
，则．
.过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则．
.已知椭圆（＞＞）的右焦点为，右准线为，离心率过顶点(，)作,垂足为，则直线的斜率等于.
.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为.
.已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为，一条准线方程为：＝.
()求椭圆的标准方程；
()设为坐标原点，是椭圆的右焦点，点是直线上的动点，过点作的垂
线与以为直径的圆交于点，求证：线段的长为定值．
.过点(，)的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点、，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点．
（）当直线过椭圆右焦点时，求线段的长；
（Ⅱ）当点异于点时，求证：为定值．
.已知抛物线:上横坐标为的点到焦点的距离为.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设直线与抛物线交于两点，，且（，且为常数）.过弦的中点作平行于轴的直线交抛物线于点，连结、得到.
（）求证：；
（）求证：的面积为定值.
【回顾反思】
．直线与圆锥曲线的位置关系。
新课标2023版高考数学一轮总复习课时质量评价50直线与圆锥曲线的位置关系
课时质量评价(五十)A组 全考点巩固练1．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数m的取值范围是( )A．(1，＋∞)B．(1,3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞)D．(0,3)∪(3，＋∞)B 解析：由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0．由Δ＝16m2－4m(m＋3)>0且m≠3及m>0，得m>1且m≠3．2．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，连接原点与线段MN中点所得直线的斜率为，则的值是( )A． B．C． D．A 解析：由得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，所以y1＋y2＝，所以线段MN的中点为P．由题意知，k OP＝，所以＝．故选A．3．已知直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F，与抛物线C交于A，B两点，且，，成等差数列，则直线l的斜率k＝( )A．±1 B．±C．±2 D．±2D 解析：根据题意可得直线l的斜率存在．因为抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，所以直线l的方程可设为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立得：⇒k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝[－2(k2＋2)]2－4k4>0．因此x1＋x2＝，x1x2＝1．因为，，成等差数列，所以2＝＋，于是有2(x1＋1)＝x1＋1＋x2＋1＋x2＋1，化简得：x1＝2x2＋1，而x1x2＝1，所以解得或(舍去)．因为x1＋x2＝，所以＝，解得k2＝8⇒k＝±2．4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，且双曲线过点P(2,3)，双曲线的两条渐近线与过右焦点F且垂直于x轴的直线交于A，B两点，则△AOB 的面积为( )A．4 B．2C．8 D．12A 解析：由题意得，双曲线的渐近线方程为y＝±x，可得双曲线的方程为x2－＝λ(λ>0)，把点(2,3)代入可得4－3＝λ，得λ＝1，所以双曲线的方程为x2－＝1，c2＝1＋3＝4，c＝2，F(2,0)，可得A(2,2)，B(2，－2)，可得S△AOB＝×2×4＝4．故选A．5．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点．若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为( )A． B．C． D．B 解析：将x＝c代入－＝1，得y＝±，则|AB|＝．将x＝c代入y＝±x，得y＝±，则|CD|＝．因为|AB|≥|CD|，所以≥×，即b≥c，则b2≥c2，所以a2＝c2－b2≤c2，所以e2≥．因为e>1，所以e≥．故选B．6．设A，B是抛物线y2＝4x上两点，抛物线的准线与x轴交于点N．已知弦AB的中点M的横坐标为3，记直线AB和MN的斜率分别为k1和k2，则k＋k的最小值为( )A．2 B．2C． D．1D 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(3，t)，N(－1,0)，可得y＝4x1，y＝4x2．相减可得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，可得k1＝＝＝＝．又由k2＝，所以k1k2＝，则k＋k≥2|k1k2|＝1，当且仅当|k1|＝|k2|＝时取等号，即k＋k的最小值为1．7．已知F为椭圆C：＋y2＝1的右焦点，直线y＝kx＋1与椭圆C交于A，B两点．若AF⊥BF，则实数k的值为__________．－ 解析：依题意联立直线与椭圆方程得消去y并整理得(2k2＋1)x2＋4kx＝0，解得x＝0或x＝，不妨取x A＝0，则y A＝1，x B＝，y B＝k·＋1＝，所以A(0,1)，B．又F(1,0)，所以k AF＝－1．因为AF⊥BF，所以k BF＝1，即＝1，即＝－1，所以1－2k2＝－4k－(2k2＋1)，解得k＝－．8．已知双曲线C：x2－4y2＝1，过点P(2,0)的直线l与双曲线C有唯一公共点，则直线l的方程为____________．y＝±(x－2) 解析：由题意知，点P(2,0)在双曲线内，故满足条件的直线l只能是与双曲线的两条渐近线y＝±x平行的直线．又该直线过点P(2,0)，因此该直线l的方程为y ＝±(x－2)．9．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，椭圆C的左焦点F1到双曲线－y2＝1的渐近线的距离为．(1)求椭圆C的方程；(2)直线l：y＝kx＋m(k＜0)与椭圆C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆经过点F2，且原点O到直线l的距离为，求直线l的方程．解：(1)因为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，所以＝．又双曲线－y2＝1的其中一条渐近线方程为x－y＝0，椭圆C的左焦点F1(－c,0)，所以由题意知，＝，解得c＝1，所以a＝，b＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1．(2)由(1)知F2(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由原点O到直线l：y＝kx＋m(k＜0)的距离为，得＝，即m2＝(1＋k2)． ①将y＝kx＋m代入＋y2＝1中，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，所以Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝8(2k2－m2＋1)＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝．又以线段AB为直径的圆经过点F2，所以F2A·F2B＝0，即(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，所以(x1－1)(x2－1)＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，即(1＋k2)x1x2＋(km－1)(x1＋x2)＋m2＋1＝0，所以(1＋k2)·＋(km－1)·＋m2＋1＝0，化简得3m2＋4km－1＝0．②由①②，得11m4－10m2－1＝0，所以m2＝1．又k＜0，所以满足Δ＝8(2k2－m2＋1)＞0，所以直线l的方程为y＝－x＋1．B组 新高考培优练10．若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )A．m>1B．m>0C．0<m<4且m≠1D．m≥4且m≠7D 解析：直线y＝kx＋2恒过定点(0,2)，若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1总有公共点，则点(0,2)在椭圆＋＝1内部或在椭圆上，所以≤1，由方程＋＝1表示椭圆，则m>0且m≠7，综上知m的取值范围是m≥4且m≠7．11．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF＝( )A．60° B．90°C．120° D．150°B 解析：由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y＝kx＋a(k>0)，与椭圆方程联立消去y整理得(b2＋a2k2)x2＋2ka3x＋a4－a2b2＝0．由Δ＝(2ka3)2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0，得k＝，从而y＝x＋a，交x轴于点A，又F(c,0)，易知BA·BF＝0，故∠ABF＝90°．12．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点A，B分别为椭圆C 的右顶点和下顶点，且点F1关于直线AB的对称点为M．若MF2⊥F1F2，则椭圆C的离心率为( )A． B．C． D．C 解析：设M(c，y0)，则MF1的中点为N，即N在y轴上，N又在直线AB上，即点N与B重合，AB⊥BF1⇒k AB kBF1＝－1⇒·＝－1．故b2＝ac⇒a2－c2＝ac⇒e2＋e－1＝0，所以e＝．13．(多选题)已知曲线C的方程为x2＋＝1(0＜x≤1)，A(0，－3)，B(0,3)，D(－1,0)，点P是C上的动点，直线AP与直线x＝5交于点M，直线BP与直线x＝5交于点N，则△DMN的面积可能为( )A．73 B．76C．68 D．72ABD 解析：设P(x0，y0)，则k PA·k PB＝＝＝－9．设k PA＝k(k＞0)，则k PB＝－．直线AP的方程为y＝kx－3，则点M的坐标为(5,5k－3)，直线BP的方程为y＝－x＋3，则点N的坐标为．所以|MN|＝＝≥＝24，当且仅当5k＝，即k＝3时等号成立．从而△DMN面积的最小值为×24×6＝72．故选ABD．14．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则OA·OB＝__________．－ 解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x －1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，所以OA·OB＝－，同理，当直线l经过椭圆的左焦点时，也可得OA·OB＝－．15．过点P(1,1)作直线l与双曲线x2－＝λ交于A，B两点．若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是________．(－∞，0)∪ 解析：因为双曲线方程为x2－＝λ，所以λ≠0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为点P恰为线段AB的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2．将A，B两点坐标代入双曲线方程，得两式相减并化简可得＝2×＝2．即直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y＝2x－1．联立化简可得2x2－4x＋2λ＋1＝0．因为直线l与双曲线有两个不同的交点，所以Δ＝16－4×2×(2λ＋1)>0，解得λ<且λ≠0．所以λ的取值范围为(－∞，0)∪．16．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，上顶点为B，直线BF1被椭圆C截得的线段长为．(1)求椭圆C的方程；(2)设过F2的直线l与椭圆C交于P，Q两点，若BP⊥BQ，求三角形BPQ的面积．解：(1)设直线BF1与椭圆的交点为A(x0，y0)，因为上顶点B(0，b)，所以直线BF1的方程为y＝bx＋b，联立直线BF1与椭圆方程解得x0＝－．所以由椭圆的弦长公式，可得|AB|＝|x0－0|＝，所以＝，解得a2＝2．因为c＝1，所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1．(2)由(1)及题意，直线l不经过点B且与x轴不重合，设直线l的方程为x＝my＋1(m≠－1)，P(my1＋1，y1)，Q(my2＋1，y2)．因为BP⊥BQ，所以BP·BQ＝0，所以(my1＋1)(my2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，即(m2＋1)y1y2＋(m－1)(y1＋y2)＋2＝0 ①．联立直线与椭圆方程整理可得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，Δ＝4m2＋4(m2＋2)＝8(m2＋1)＞0 恒成立．由根与系数的关系，可得y1＋y2＝－，y1y2＝－，代入①式，可得－－＋2＝0，所以m2－2m－3＝0．因为m≠－1，所以m＝3，所以直线l的方程为x－3y－1＝0．由弦长公式，可得|PQ|＝|y1－y2|＝＝×＝．因为点B(0,1)到直线l的距离d＝＝，所以S△BPQ＝×d×|PQ|＝××＝．。
高考数学一轮复习课时作业(五十二) 直线与圆锥曲线的位置关系
课时作业(五十二) 直线与圆锥曲线的位置关系1．已知双曲线x2a2 －y2b2 ＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1， 5 )B ．(1， 5 ]C ．( 5 ，＋∞)D ．[ 5 ，＋∞)C [因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得b a >2，所以e ＝ca ＝1＋（ba）2 >1＋4 ＝ 5 .]2．(多选)已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x2a2 ＋y2b2 ＝1(a >b >0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( )A ．y ＝2x －3B ．y ＝2x ＋1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋3ACD [由于椭圆C 关于原点、x 轴、y 轴对称．对于A 选项，直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，则直线y ＝2x －3截椭圆C 所得弦长为7，A 选项合乎要求；对于B 选项，直线y ＝2x ＋1与直线l 平行，直线y ＝2x ＋1截椭圆C 所得弦长大于7，B 选项不合乎要求；对于C 选项，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，则直线y ＝－2x －3截椭圆C 所得弦长为7，C 选项合乎要求；对于D 选项，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，则直线y ＝－2x ＋3截椭圆C 所得弦长为7，D 选项合乎要求．]3．(2020·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x2a2 －y2b2 ＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．32B [双曲线C 的渐近线方程为y ＝±bax ，假设D (a ，b )，则E (a ，－b )，所以S △ODE ＝12 ·|DE |·a ＝ab ＝8.又c 2＝a 2＋b 2≥2ab ＝16，当且仅当a ＝b ＝2 2 时等号成立，所以c ≥4，焦距2c ≥8.则双曲线C 的焦距的最小值为8，故选B.]4．抛物线C 1：y 2＝4x 和圆C 2：(x －1)2＋y 2＝1，直线l 经过C 1的焦点F ，从上往下交C 1于A ，D 两点，交C 2于B ，C 两点，则AB → ·CD →的值为( )A ．34B ．1C ．2D ．4B [由特殊化原则，当直线过焦点F (1，0)且垂直于x 轴时，|AD |＝2p ＝4，|BC |＝2r ＝2，所以由抛物线与圆的对称性知|AB |＝|CD |＝1，所以AB → ·CD → ＝|AB → |·|CD →|＝1.故选B.]5．(多选)设F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，直线l 过点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是( )A ．|AB |≥4 B ．|OA |＋|OB |>8C ．若点P (2，2)，则|P A |＋|AF |的最小值是3D ．△OAB 的面积的最小值是2ACD [F (1，0)，不妨设A 在第一象限， (1)若直线l 无斜率，则A (1，2)，B (1，－2)， 则|AB |＝4，|OA |＋|OB |＝2|OA |＝2 5 ， S △OAB ＝12 ×4×1＝2，显然B 错误；(2)若直线l 存在斜率，设直线l 斜率为k ，则直线l 的方程为：y ＝k (x －1)，显然k ≠0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）y2＝4x，消元得：k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2k2＋4k2 ＝2＋4k2 ，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k2>4，原点O 到直线l 的距离d ＝|k|k2＋1， ∴S △OAB ＝12 ×|AB |×d ＝12 ×⎝⎛⎭⎫4＋4k2 ×|k|k2＋1 ＝2 1＋1k2>2，综上，|AB |≥4，S △OAB ≥2，故A 正确，D 正确，过点A 向准线作垂线，垂足为N ，则|P A |＋|AF |＝|P A |＋|AN |，又P (2，2)在抛物线右侧，故当P ，A ，N 三点共线时，|P A |＋|AF |取得最小值3，故C 正确．]6．已知直线l 过点(1，0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．解析： 由题意知抛物线开口向右，且a >0，当x ＝1时，y ＝±2 a ，所以4 a ＝4，即a ＝1，所以抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0).答案： (1，0)7．(2020·全国高二单元测试)椭圆x2a2 ＋y2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，上、下顶点分别为B 1，B 2，若AB 1·AB 2＝3，△AB 1B 2的面积为2，直线y ＝x 与椭圆相交于M ，N 两点，则椭圆的方程为____________，|MN |的值为________．解析： 由题意A (－a ，0)，B 1(0，b )，B 2(0，－b )，因此AB 1·AB 2＝a 2－b 2＝3，由于△AB 1B 2的面积为2，所以ab ＝2，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆的方程为x24 ＋y 2＝1.把y ＝x 代入椭圆的方程，化简整理得5x 2＝4，解得x 1＝255 ，x 2＝－255，所以|MN |＝1＋12 |x 1－x 2|＝ 2 ×455＝4105. 答案：x24 ＋y 2＝1；41058．过抛物线x 2＝2px (p >0)的焦点F 作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，又过A ，B 两点作x 轴的垂线，垂足分别为D ，C .若梯形ABCD 的面积为6 2 ，则p ＝________．解析： 如图所示，抛物线的焦点F (0，p 2 )，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋p2 ，根据⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋p 2，x2＝2py 得x 2＝2p (x ＋p2)⇒x 2－2px －p 2＝0，则x A ＋x B ＝2p ，x A x B ＝－p 2，|CD |＝|x A －x B |＝（xA ＋xB ）2－4xAxB ＝（2p ）2＋4p2 ＝2 2 p ，|AD |＋|BC |＝y A ＋y B ＝x A ＋x B ＋p ＝3p ，所以梯形ABCD 的面积为12×3p ×2 2 p ＝6 2 ⇒p ＝ 2 .答案：29．已知点Q 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)上异于坐标原点O 的点，过点Q 与抛物线C 2：y ＝2x 2相切的两条直线分别交抛物线C 1于点A ，B ，若点Q 的坐标为(1，－6)，求直线AB 的方程及弦AB 的长．解析： 由Q (1，－6)在抛物线y 2＝2px 上，可得p ＝18， 所以抛物线C 1的方程为y 2＝36x . 设抛物线C 2的切线方程为y ＋6＝k (x －1).联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝k （x －1），y ＝2x2， 消去y ，得2x 2－kx ＋k ＋6＝0，Δ＝k 2－8k －48.由于直线与抛物线C 2相切，故Δ＝0， 解得k ＝－4或k ＝12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝－4（x －1），y2＝36x ， 得A (14，－3)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝12（x －1），y2＝36x ，得B (94，9).所以直线AB 的方程为12x －2y －9＝0，弦AB 的长为237 .10．已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且经过点E ( 3 ，32). (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1＝2F 1B ，求直线l 的斜率k 的值．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF1|＋|EF2|＝4，a2＝b2＋c2，c ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x24 ＋y23＝1.(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k >0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x24＋y23＝1， 整理得(3k2 ＋4)y 2－6k y－9＝0，Δ＝144k2 ＋144>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6k3＋4k2 ，y 1y 2＝－9k23＋4k2，又AF 1＝2F 1B ，所以y 1＝－2y 2，所以y 1y 2＝－2(y 1＋y 2)2，则3＋4k 2＝8，解得k ＝±52 ，又k >0，所以k ＝52.11．直线l 过椭圆x22 ＋y 2＝1的左焦点F ，且与椭圆交于P ，Q 两点，M 为PQ 的中点，O 为原点，若△FMO 是以OF 为底边的等腰三角形，则直线l 的斜率为( )A ．22 B ．±22C ．－22D ． 2B [由x22 ＋y 2＝1，得a 2＝2，b 2＝1，所以c 2＝a 2－b 2＝2－1＝1，则c ＝1，则左焦点F (－1，0).由题意可知，直线l 的斜率存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋k .设l 与椭圆交于点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x22＋y2＝1，y ＝kx ＋k得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.则PQ 的中点M 的横坐标为x1＋x22 ＝－2k21＋2k2 .因为△FMO 是以OF 为底边的等腰三角形，所以－2k22k2＋1＝－12 ，解得k ＝±22.] 12．(2020·长沙市四校模拟考试)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，斜率为22的直线l 过点F 与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为C ，D 两点，M 为线段AB 的中点，则△CDM 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形C [四边形ABDC 为直角梯形，取CD 的中点为N ，连接MN ，则MN 为梯形ABDC 的中位线，所以|MN |＝12 (|AC |＋|BD |)，且MN ⊥CD .由抛物线的定义得|AC |＋|BD |＝|AF |＋|BF |＝|AB |，所以|MN |＝12 |AB |.设直线AB 的倾斜角为α，则tan α＝22 ，所以sin α＝33 ，所以|CD |＝|AB |sin α＝33|AB |，则|CN |＝|DN |＝36|AB |，所以|MC |＝|MD |＝|MN|2＋|CN|2 ＝33|AB |，所以|MC |＝|MD |＝|CD |，则△CDM 为等边三角形，故选C.]13．(2020·天津卷)已知椭圆x2a2 ＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0，－3)，右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点．(1)求椭圆的方程；(2)已知点C 满足3OC → ＝OF →，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．解析： (1)由已知可得b ＝3.记半焦距为c ，由|OF |＝|OA |可得c ＝b ＝3.又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝18.所以，椭圆的方程为x218 ＋y29＝1.(2)因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB ⊥CP .依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为y ＝kx －3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，x218＋y29＝1，消去y ，可得(2k 2 ＋1)x 2－12kx ＝0，解得x ＝0，或x ＝12k2k2＋1.依题意，可得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2k2＋1，6k2－32k2＋1 .因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0，－3)，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2k2＋1，－32k2＋1 .由3OC → ＝OF →，得点C 的坐标为(1，0)，故直线CP 的斜率为－32k2＋1－06k 2k2＋1－1，即32k2－6k ＋1 .又因为AB ⊥CP ，所以k ·32k2－6k ＋1 ＝－1，整理得2k 2－3k ＋1＝0，解得k ＝12 ，或k＝1.所以，直线AB 的方程为y ＝12x －3，或y ＝x －3.14．已知椭圆C ：x24 ＋y 2＝1，不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)若线段MN 的中点坐标为(1，12)，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点(4，0)，点P (x 0，0)满足k PM ＋k PN ＝0(k PM ，k PN 分别为直线PM ，PN 的斜率)，求x 0的值．解析：(1)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21 4＋y 21 ＝1，x 22 4＋y 2 ＝1，两式相减，可得（x1－x2）（x1＋x2）4＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0(*)因为线段MN 的中点坐标为(1，12 )，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝1，代入(*)式，得（x1－x2）·24＋(y 1－y 2)＝0，所以直线l 的斜率k ＝y1－y2x1－x2＝－12 .所以直线l 的方程为y －12 ＝－12(x －1)，即x ＋2y －2＝0.(2)设直线l ：x ＝my ＋4(m ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋4，x24＋y2＝1，整理得(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0，由Δ＝64m 2－4×12×(m 2＋4)>0，解得m 2>12. 则y 1＋y 2＝－8m m2＋4 ，y 1y 2＝12m2＋4 ，所以k PM ＋k PN ＝y1x1－x0 ＋y2x2－x0＝y1（x2－x0）＋y2（x1－x0）（x1－x0）（x2－x0）＝x2y1＋x1y2－（y1＋y2）x0（x1－x0）（x2－x0）＝（my2＋4）y1＋（my1＋4）y2－（y1＋y2）x0（x1－x0）（x2－x0）＝2my1y2＋（4－x0）（y1＋y2）（x1－x0）（x2－x0） ＝0，所以2my 1y 2＋(4－x 0)(y 1＋y 2)＝0，所以2my 1y 2＋(4－x 0)(y 1＋y 2)＝2m ·12m2＋4 ＋(x 0－4)·8mm2＋4 ＝8m （x0－1）m2＋4 ＝0.因为m ≠0，所以x 0＝1.15．设双曲线x2a2 －y2b2 ＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线l 交两条渐近线于A ，B 两点，l 与双曲线的一个交点为P .设O 为坐标原点，若OP → ＝mOA → ＋nOB →(m ，n ∈R )，且mn ＝29，则该双曲线的离心率为( ) A ．322 B ．355 C ．324 D ．89bca )，C [如图，设双曲线的右焦点F 的坐标为(c ，0)，易知A (c ，B (c ，－bc a )，P (c ，b2a ).由OP → ＝mOA → ＋nOB →，得(c ，b2a )＝(mc ，mbc a )＋(nc ，－nbca )，所以m ＋n ＝1，mc －cn ＝b .又mn ＝29 ，解得m ＝23，n ＝13 ，c ＝3b .因为a ＝c2－b2 ＝9b2－b2 ＝2 2 b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝3b 22b ＝324.故选C.]16．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y 2＝2px (p >0)，弦AB 过焦点，△ABQ 为阿基米德三角形，则△ABQ 的面积的最小值为( )A ．p22B ．p 2C ．2p 2D ．4p 2B [由题意易知过A ，B 的切线交于点Q .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，把直线AB 的方程代入y 2＝2px (p >0)，得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，所以x 1x 2＝y 21 y 2 4p 2 ＝p24，则|AB |＝1＋m2 ·（y1＋y2）2－4y1y2 ＝2p (1＋m 2).由导数的知识得k AQ ＝2p 2x1 ，k BQ ＝－2p 2x2，所以k AQ ·k BQ ＝－1，所以AQ ⊥BQ ，所以|AQ |2＋|BQ |2＝|AB |2.所以S △ABQ ＝12|AQ |·|BQ |≤14 (|AQ |2＋|BQ |2)＝14 |AB |2＝14 [2p (1＋m 2)]2，所以当m ＝0时，S △ABQ 取得最小值为p 2.故选B.]。
高三数学第一轮复习 第53课时—直线与圆锥曲线的位置关系(1)学案
高三数学第一轮复习讲义（53）直线与圆锥的位置关系（1）一．复习目标：1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；2．会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题．二．知识要点：1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法：直线l ：(,)0f x y =和曲线:(,)0C g x y =的公共点坐标是方程组(,)0(,)0f x y g x y =⎧⎨=⎩的解，l 和C 的公共点的个数等于方程组不同解的个数．这样就将l 和C 的交点问题转化为方程组的解问题研究，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式∆，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便．2．弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）．三．课前预习：1．直线y x b =+与抛物线22y x =，当b ∈ 时，有且只有一个公共点；当b ∈ 时，有两个不同的公共点；当b ∈ 时，无公共点．2．若直线1y kx =+和椭圆22125x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为 ．3．抛物线2y ax =与直线y kx b =+(0)k ≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别为1x ，2x ，直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有（） ()A 312x x x =+ ()B 121323x x x x x x =+ ()C 3120x x x ++=()D 1213230x x x x x x ++=4．椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则n m 的值为 （ ）()A 22()B 322 ()C 229 ()D 2732 5．已知双曲线22:14y C x -= ，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有 （ ）()A 1 条()B 2条 ()C 3条()D 4条 四．例题分析： 例1．过点(1,6)--的直线l 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若9(,0)2P ，||||AP BP =，求l 的斜率．例2．直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点,A B ，（I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．例3．已知直线l 和圆M ：2220x y x ++=相切于点T ，且与双曲线22:1C x y -=相交于,A B 两点，若T 是AB 的中点，求直线l 的方程．五．课后作业： 班级 学号 姓名1．以点(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在的直线方程为 （ ）()A 430x y --= ()B 430x y ++= ()C 430x y +-= ()D 430x y ++=2．斜率为3的直线交椭圆221259x y +=于,A B 两点，则线段AB 的中点M 的坐标满足方程（ ）()A 325y x = ()B 325y x =- ()C 253y x = ()D 253y x =- 3．过点(0,1)与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是（ ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 34．已知双曲线2290x y kx y -+--=与直线1y kx =+的两个交点关于y 轴对称，则这两个交点的坐标为 ．5．与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是 ．6．已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -（m 是大于0的常数）． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆上的一点，且过点,F Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若||2||MQ QF = ，求直线l 的斜率．7．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay -=的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶点，求实数a 的取值范围．8．已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于,A B 两点．是否存在实数k ，使,A B 两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 值，若不存在，说明理由．。
高三数学一轮复习课时作业53 直线与圆锥曲线的位置关系B 文 北师大版
[时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．双曲线x 29－y 216＝1上的点到双曲线的右焦点的距离的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．52．斜率为1的直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的弦长的最大值为( )A.255 B.4105 C.455 D.21053．过抛物线y 2＝4x 的焦点作倾斜角为135°的弦AB ，则AB 的长度是( ) A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．8 24．设抛物线C 的顶点为原点，焦点F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 的中点(2,2)，则直线l 的方程为________．能力提升5．动圆M 的圆心M 在抛物线y 2＝4x 上移动，且动圆恒与直线l ：x ＝－1相切，则动圆M 恒过点( )A ．(－1,0)B ．(－2,0)C ．(1,0)D ．(2,0)6．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多1个B ．2个C ．1个D ．0个7．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为150°的直线交双曲线左支于M 点，若MF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )A. 6B. 5C. 3D. 28．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为( )A.32 B.233 C.932 D.23279．过原点的直线l 被双曲线y 2－x 2＝1截得的弦长为22，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30°或150° B．45°或135° C ．60°或120° D．75°或105°10．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A 1、A 2，一个虚轴端点为B ，若它的焦距为4，则△A 1A 2B 面积的最大值为________．11．如图K53－1，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点，B ，C 在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆E 的离心率等于________．图K53－112．抛物线y 2＝4x 过焦点的弦的中点的轨迹方程是________．13．[2011·连云港调研] 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是________．14．(10分)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明：直线AC 经过原点O .15．(13分)已知圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16，定点F 2(1,0)，动圆M 过点F 2，且与圆F 1相内切．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若过原点的直线l 与(1)中的曲线C 交于A ，B 两点，且△ABF 1的面积为32，求直线l 的方程．难点突破16．(12分)[2011·天津卷] 设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．课时作业(五十三)B【基础热身】1．A [解析] 双曲线的右顶点到右焦点的距离最小，最小值为2.故选A.2．B [解析] 当直线经过椭圆中心时，被椭圆截得的弦最长，将此时直线方程y ＝x代入椭圆方程，得弦的一个端点的坐标为M 25，25，于是弦长为2|OM |＝4105.故选B.3．C [解析] 抛物线的焦点为(1,0)，设弦AB 所在的直线方程为y ＝－x ＋1代入抛物线方程，得x 2－6x ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，由弦长公式，得|AB |＝2×62－4×1＝8.故选C.4．y ＝x [解析] 由题意知，抛物线C 的方程y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1， l ：y －2＝x －2，即y ＝x .【能力提升】5．C [解析] 因为直线l 是抛物线的准线，根据抛物线的定义，圆心M 到F 的距离等于M 到抛物线准线l 的距离．所以动圆M 恒过抛物线的焦点F (1,0)．故选C.6．B [解析] 依题意，圆心到直线的距离大于半径，即|－4|m 2＋n 2>2，所以m 2＋n 2<4，该不等式表明点(m ，n )在以原点为圆心，2为半径的圆内，而这个圆又在椭圆x 29＋y 24＝1内，所以过点(m ，n )的直线与椭圆有2个交点．故选B.7．C [解析] 由题意知△F 1MF 2是直角三角形，且|F 1F 2|＝2c ，∠MF 2F 1＝30°，所以|MF 1|＝2c 3，于是点M 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，2c 3.所以c 2a 2－4c 23b 2＝1，即c 2a 2－4c 23c 2－a 2＝1，将e ＝c a 代入，化简整理，得3e 4－10e 2＋3＝0，解得e 2＝13(舍去)，或e 2＝3，所以e ＝ 3.故选C.8．A [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝1－x 代入椭圆方程，得(a ＋b )x 2－2bx＋b －1＝0，则x 1＋x 22＝b a ＋b ，即线段AB 中点的横坐标为ba ＋b，代入直线方程y ＝1－x 得纵坐标为aa ＋b，所以过原点与线段AB 中点的直线的斜率为ab ＝32.故选A. 9．C [解析] 设直线l 方程为y ＝kx ，代入双曲线方程得(k 2－1)x 2＝1，∴x ＝±1k 2－1，y ＝±kk 2－1， ∴两交点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2－1，k k 2－1， B ⎝⎛⎭⎪⎫－1k 2－1，－k k 2－1，由两点间距离公式得，|AB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k k 2－12＝(22)2，解得k ＝±3，∴倾斜角为60°或120°.10．2 [解析] 依题意，S △A 1A 2B ＝ab ≤a 2＋b 22＝c 22＝2，所以△A 1A 2B 面积的最大值为2.11.223[解析] 设椭圆的半焦距为c .因为四边形OABC 为平行四边形，∵BC ∥OA ，|BC |＝|OA |，所以点C 的横坐标为a 2，代入椭圆方程得纵坐标为3b2.因为∠OAB ＝30°，所以3b 2＝33×a 2，即a ＝3b ，a 2＝9a 2－9c 2， 所以8a 2＝9c 2，所以离心率e ＝223.12．y 2＝2(x －1) [解析] 抛物线焦点为F (1,0)，设弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点P (x ，y )，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，作差得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)①.将y 1＋y 2＝2y ，y 1－y 2x 1－x 2＝y x －1代入①式，得2y ·yx －1＝4， 即y 2＝2(x －1)．13．(1，5) [解析] 双曲线的渐近线为bx ±ay ＝0，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＋2a >0，b －2a <0，即b <2a ，所以c 2－a 2<4a 2，那么e ＝ca< 5.又e >1，所以e ∈(1，5)．14．[解答] 证明：设过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，消去x ，得y 2－2pmy －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2.∵BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p2上，∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，y 2.k CO ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1＝k OA ，故AC 过原点O .15．[解答] (1)设圆M 的半径为r ， 因为圆M 与圆F 1内切，所以MF 2＝r ， 所以MF 1＝4－MF 2，即MF 1＋MF 2＝4，所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2为焦点的椭圆，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其中2a ＝4，c ＝1，所以a ＝2，b ＝ 3.所以曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为直线l 过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，S △ABF 1＝2S △AOF 1.因为S △ABF 1＝32，所以S △AOF 1＝34.不妨设点A (x 1，y 1)在x 轴上方，则S △AOF 1＝12·OF 1·y 1＝34，所以y 1＝32，x 1＝±3， 即A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32， 所以直线l 的斜率为±12，故所求直线方程为x ±2y ＝0. 【难点突破】 16．[解答] (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以a －c2＋b2＝2c ，整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12，所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c ，消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16，整理得7c 2＋12c －52＝0.得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.。
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：直线与圆锥曲线的位置关系
跟踪训练1 (1)(2023·梅州模拟)抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于
点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，则△OAB的面积为
√A.1
B.2
C.4
D.8
∵抛物线C：y2＝4x的准线为l， ∴l的方程为x＝－1，A(－1,0)， 设过点A作抛物线的一条切线为x＝my－1，m>0， 由xy＝2＝m4yx－，1， 得 y2－4my＋4＝0， ∴Δ＝(－4m)2－4×4＝0，解得m＝1， ∴y2－4y＋4＝0，解得y＝2，即yB＝2， ∴△OAB 的面积为12×1×2＝1.
跟踪训练 3 (1)(2022·石家庄模拟)已知倾斜角为π4的直线与双曲线 C： ay22－bx22＝1(a>0，b>0)，相交于 A，B 两点，M(1,3)是弦 AB 的中点，则 双曲线的渐近线方程为__y_＝__±__3_x__.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋2 x2＝1，y1＋2 y2＝3，yx11－ －yx22＝1， 由aayy222122－－bbxx222122＝＝11，， 两式相减可得y1－y2a2y1＋y2－x1－x2b2x1＋x2＝0，
化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，
k＝1，
k＝－1，
所以m＝－ 2 或m＝ 2，
所以直线 MN：y＝x－ 2或 y＝－x＋ 2，
所以直线 MN 过点 F( 2，0)，M，N，F 三点共线，充分性成立，
所以 M，N，F 三点共线的充要条件是|MN|＝ 3.
思维升华
(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公 式求. (2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p. (3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率.
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课时作业(五十三)B [第53讲 直线与圆锥曲线的位置关系][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．双曲线x 29－y 216＝1上的点到双曲线的右焦点的距离的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．52．斜率为1的直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的弦长的最大值为( )A.255 B.4105 C.455 D.21053．过抛物线y 2＝4x 的焦点作倾斜角为135°的弦AB ，则AB 的长度是( ) A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．8 24．设抛物线C 的顶点为原点，焦点F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 的中点(2,2)，则直线l 的方程为________． 能力提升5．动圆M 的圆心M 在抛物线y 2＝4x 上移动，且动圆恒与直线l ：x ＝－1相切，则动圆M 恒过点( )A ．(－1,0)B ．(－2,0)C ．(1,0)D ．(2,0)6．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多1个B ．2个C ．1个D ．0个7．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为150°的直线交双曲线左支于M 点，若MF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )A. 6B. 5C. 3D. 28．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为( )A.32 B.233 C.932 D.23279．过原点的直线l 被双曲线y 2－x 2＝1截得的弦长为22，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30°或150° B．45°或135° C ．60°或120° D．75°或105°10．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A 1、A 2，一个虚轴端点为B ，若它的焦距为4，则△A 1A 2B 面积的最大值为________．11．如图K53－1，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点，B ，C 在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆E 的离心率等于________．图K53－112．抛物线y 2＝4x 过焦点的弦的中点的轨迹方程是________．13．[2011·连云港调研] 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是________．14．(10分)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明：直线AC 经过原点O .15．(13分)[2011·湖南四市九校联考] 在直角坐标系xOy 中，点M 到点F 1(－3，0)、F 2(3，0)的距离之和是4，点M 的轨迹是C ，直线l ：y ＝kx ＋2与轨迹C 交于不同的两点P 和Q .(1)求轨迹C 的方程；(2)是否存在常数k ，使以线段PQ 为直径的圆过原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．难点突破16．(12分)[2011·天津卷] 设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．课时作业(五十三)B【基础热身】1．A [解析] 双曲线的右顶点到右焦点的距离最小，最小值为2.故选A.2．B [解析] 当直线经过椭圆中心时，被椭圆截得的弦最长，将此时直线方程y ＝x代入椭圆方程，得弦的一个端点的坐标为M 25，25，于是弦长为2|OM |＝4105.故选B.3．C [解析] 抛物线的焦点为(1,0)，设弦AB 所在的直线方程为y ＝－x ＋1代入抛物线方程，得x 2－6x ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，由弦长公式，得|AB |＝2－＝8.故选C.4．y ＝x [解析] 由题意知，抛物线C 的方程y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1， l ：y －2＝x －2，即y ＝x .【能力提升】5．C [解析] 因为直线l 是抛物线的准线，根据抛物线的定义，圆心M 到F 的距离等于M 到抛物线准线l 的距离．所以动圆M 恒过抛物线的焦点F (1,0)．故选C.6．B [解析] 依题意，圆心到直线的距离大于半径，即|－4|m 2＋n 2>2，所以m 2＋n 2<4，该不等式表明点(m ，n )在以原点为圆心，2为半径的圆内，而这个圆又在椭圆x 29＋y 24＝1内，所以过点(m ，n )的直线与椭圆有2个交点．故选B.7．C [解析] 由题意知△F 1MF 2是直角三角形，且|F 1F 2|＝2c ，∠MF 2F 1＝30°，所以|MF 1|＝2c 3，于是点M 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，2c 3.所以c 2a 2－4c 23b 2＝1，即c 2a 2－4c 2c 2－a 2＝1，将e ＝c a 代入，化简整理，得3e 4－10e 2＋3＝0，解得e 2＝13(舍去)，或e 2＝3，所以e ＝ 3.故选C.8．A [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝1－x 代入椭圆方程，得(a ＋b )x 2－2bx＋b －1＝0，则x 1＋x 22＝b a ＋b ，即线段AB 中点的横坐标为ba ＋b，代入直线方程y ＝1－x 得纵坐标为aa ＋b，所以过原点与线段AB 中点的直线的斜率为ab ＝32.故选A. 9．C [解析] 设直线l 方程为y ＝kx ，代入双曲线方程得(k 2－1)x 2＝1，∴x ＝±1k 2－1，y ＝±kk 2－1， ∴两交点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2－1，k k 2－1，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1k 2－1，－k k 2－1，由两点间距离公式得，|AB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k k 2－12＝(22)2，解得k ＝±3， ∴倾斜角为60°或120°.10．2 [解析] 依题意，S △A 1A 2B ＝ab ≤a 2＋b 22＝c 22＝2，所以△A 1A 2B 面积的最大值为2. 11.223[解析] 设椭圆的半焦距为c .因为四边形OABC 为平行四边形，∵BC ∥OA ，|BC |＝|OA |，所以点C 的横坐标为a 2，代入椭圆方程得纵坐标为3b2.因为∠OAB ＝30°，所以3b 2＝33×a 2，即a ＝3b ，a 2＝9a 2－9c 2， 所以8a 2＝9c 2，所以离心率e ＝223.12．y 2＝2(x －1) [解析] 抛物线焦点为F (1,0)，设弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点P (x ，y )，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，作差得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)①.将y 1＋y 2＝2y ，y 1－y 2x 1－x 2＝y x －1代入①式，得2y ·yx －1＝4， 即y 2＝2(x －1)．13．(1，5) [解析] 双曲线的渐近线为bx ±ay ＝0，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＋2a >0，b －2a <0，即b <2a ，所以c 2－a 2<4a 2，那么e ＝ca< 5.又e >1，所以e ∈(1，5)．14．[解答] 证明：设过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，消去x ，得y 2－2pmy －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2.∵BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p2上，∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，y 2.k CO ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1＝k OA ，故AC 过原点O .15．[解答] (1)∵点M 到(－3，0)，(3，0)的距离之和是4， ∴M 的轨迹C 是长轴长为4，焦点在x 轴上，焦距为23的椭圆， 其方程为x 24＋y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入曲线C 的方程，消去y ，整理得(1＋4k 2)x 2＋82kx ＋4＝0.① 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由方程①，得x 1＋x 2＝－82k 1＋4k 2，x 1x 2＝41＋4k2.②又y 1·y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2.③若以PQ 为直径的圆过原点，则OP →·OQ →＝0， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，将②、③代入上式，解得k ＝±62.又因k 的取值应满足Δ>0，即4k 2－1>0(*)，将k ＝±62代入(*)式知符合题意．∴k ＝±62. 【难点突破】 16．[解答] (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以a －c2＋b2＝2c ，整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12，所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c ，消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42， 所以34(2＋c )2＋c 2＝16，整理得7c 2＋12c －52＝0.得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.。