恒定电场中典型问题分析

1 r1 I1 R1 I1 R3 I 3 0
2 r2 I 2 R2 I 2 R3 I 3 0
如果对整个外面的大回路列基尔霍夫第二方 程，会发现其结果是上面两个方程的叠加， 也不是一个独立的方程。 将已知数据代入上面的两个回路方程并与前 面的电流节点方程联立求解，得到
)J
2 d1 1 d 2 I 1 2 S
通过电容器的电流和电流密度分别为
1 2 1 2 I SV0 , J V0 2 d1 1 d 2 2 d1 1 d 2
两种媒质中的电通量密度分别为
1 2 D1 1 E1 J , D2 2 E 2 J 1 2
2
图4-2
例2图
建模：设通过各电阻的电流 I 1 , I 2 , I 3 如图42所示。对节点a列出基尔霍夫第一方程 I 1 I 2 I 3 0 如果再对节点b应用基尔霍 夫第一方程，将得到与上式相同的结果，并 不能得到另一个独立方程。 针对回路I和回路II分别列出基尔霍夫第二方程， 得
V0


导体内的电场和电流密度分别为
1 dU 1 V0 E U r d r
V0 J E r
任意截面所通过的总电流为
I J dS
S r2 r1
V0 r2 hV hdr ln r r1
0
两侧面之间的电阻为
演示
模型4 一球形理想导体电极深埋在电导率为 ，电 容率为 ‘ 的导体球的地下土壤中，已知流入 此电极的总电流为I，如图4-4所示。求土壤中 的J,E,U和D。
I
0 0
' ,
r
P
图4-4 球形电极的恒定电流场
J,E
建模：此恒定电流场问题可以与无限均匀电 介质 中带电荷Q的导体球的静电场问题相类 比。设坐标系原点位于球心处，该静电场问 E U 题的 D0 ， 0 ， 0 解表达式已在前面的习题中 得到，为
l a1 2 a(2 1 ) D1r a1 D2 r a(2 1 )
2 1 U 1 2 1 0Ua U0 b b b b a ln a ln ln ln a a a a
Ua1
因此同轴线单位长度上的电容为
C0
l
U

1 0 (2 1 )
b ln a
所得的仿真图如下所示
演示
结论：上图中，各坐标轴分别表示同轴线的外径b、 1 部分填充介质所占角度 ,再加上内径a,形成了同轴 线单位长度电容量的一个动画仿真。由上图可以直 观的看出，外径b对电容量的影响很小，基本可以 1 忽略不计；电容量与部分填充介质所占角度 呈线 性关系，但斜率会在大到一定程度时发生突变，变 化率会变小；同时,通过动画发现，内径a也是影响 电容量的一个重要因素，它的变化会使动画很快地 播放。通过模型2，能帮助我们在设计同轴线时更 好的控制电容，提高信号传输效率。
故上下平面之间的电阻为
R V 2h I (r22 r12 )
实际上，上下两面之间的柱体是一个均匀截面柱体，若直接利 用公式计算电阻，其步骤将会更简单。
U 0 0
（b）此时电流方向的横截面随r变化。其中，截面积
S hr
因此有
dl dr
r2 r2 dl dr 1 R ln l S r1 hr h r1
S
I
d1
1 2
1 2
J1
J2
d2
S
I
图4-13 两层媒质的平板电容
建模：设通过电容器的电流为I，略去边缘效 应，则两媒质中的电流密度为
J1 J 2 I J S
两媒质中的电场分别为
E1 J
所以
1
,E
J
2
V0 E1 d1 E 2 d 2 (
d1
1

d2
2
恒定电场中典型问题分析
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恒定电场中典型问题分析
模型1 在一块厚度为h的导电板上，由两个半径分别 为和的圆弧面与两个夹角为的平面割出一块 扇形体，如图4-1所示，导体材料的电导率为 常数。求：（a）上下平面之间的电阻；（b） 两圆柱弧面之间的电阻；（c）两侧平面之间 的电阻。
(c)
U 0 0
U 0 U 0
由于导体内的电位U满足拉普拉斯方程且只是坐标
的函数，在圆柱坐标系中，有
1 d 2U 2U 2 0 2 r d
对 两次积分，得
U C1 C 2
将边界条件代入上式，得到两个积分常数为
C1 V0

, C2 0
因此有
U
'I D 'E r 2 4 r
演示
恒定磁场典型问题的分析
两无限长直导线，放置于X=1.y=0和x=-1， y=0处，与轴平行，通过电流I=100，方向相 反。求此两线电流在xy平面上任意点的B。 分析：应用安培环路定律分别求无限长直导 线的场，然后再叠加。 设沿+z方向电流的场为B1，沿-z方向的电流 为B2，其分量为：（动画变化角度观察）

J
1
pS 2 n P2 n [ 0 ( r 2 1) E 2 ] 0 ( r 2 1)


J
2
分界面上的总极化电荷密度是上面两式的代 数和，即
pS pS1 pS 2 0 J ( r1 1 r 2 1 2 ( r1 1) 1 ( r 2 1) ) 0V0 1 2 2 d1 1 d 2
I 1 1.25 A, I 2 0.50 A, I 3 1.75 A
和 I 3 为正值，表明实际电流方向与图中所 I2 设相同。为负值，说明它的实际方向与图中 所设方向相反。
I1
模型3 一个由两层媒质构成的平行板电容器如图4-3 所示。两层媒质的电容率和电导率分别为 ， 2 和 1 ， ， 2厚度分别为d1和d2，极板面 1 积为S。当外加电压v0时，求通过电容器的 漏电流和两媒质分界面上的自由电荷密度和 极化电荷密度
r dr z 2 r 2

2
0
d
r dr
2 0 z 2 r 2 0
Hale Waihona Puke 半径为a的面电荷在场点的电位应为
( z) 2 0

a
1 z 2 r 2
0
r dr
2 z a2 z 2 0
对上式求负梯度得z轴上的电场强度E(z)为
Bx B1x B2 x
By B1 y B2 y
所得仿真结果如下图：
演示
时变电磁场中几个典型问题的分析
模型1：面电荷中心垂直轴线上任意点处的电
场强度的仿真 若半径为a的圆平面上均匀分布面密度为 的 面电荷。求圆平面中心垂直轴线上任意点处 的电位和电场强度。（如图4.1.1所示）
如已知边界条件
r a, 1 (a) 2 (a) U ; r b, 1 (b) 2 (b) 0
则一定有 A C, B D 故 1 (r ) 2 (r ) A ln r B 同时有 (a) A ln a B U , (b) A ln b B 0 联立求解以上两个方程，可得
模型2同轴线单位长度电容量的动态仿真 半径分别为a和b的同轴线，外加电压U，如图4.5.1 所示。圆柱面电极间在图示 1角部分充满介电常数 为的 介质，其余部分为空气，求其单位长度上的 电容量。 显然，介质与空气中的电位1 和 2 必须既满足 ， 2 0 又满足导体表面的边界条件和介质交界面的衔接条 件。根据唯一性定理，采用试探法求解，即假定电 位的解是圆柱坐标下一维坐标r的对数函数，然后检 验它们是否满足所有的边界条件。设两个区域的电 位函数为 1 (r ) A ln r B, 2 (r ) C ln r D
E ( z ) ( z ) ez ( z ) z
所得仿真图如图4.1.3所示
演示
结论：由上图可以直观的看出，面电荷电场 强度E(z)在中心附近随z 的变化而产生的变化 最为明显，随着离中心越远，面电荷电场强 度E(z)的变化趋于平缓，最后基本不变；半 径对电场强度E(z)的影响很小，可以忽略不 计；从动画模拟中看出，面密度对电场强度 E(z)的影响呈先缓后紧，最后更缓的规律。 通过仿真，发现面电荷电场强度E(z)对z的变 化最为敏感，在设计面电荷时，距它的垂直 距离是我们考虑的首要因素。
返回
z
P(0,0,z)
R a
y
dr
x
图4.1.1带均匀面电荷的圆片
半径为a的圆平面内，取一宽度为dr、半径为 r<a的圆环，圆环上每一个点源变量 为 r d dr ，至场点处的距离为 R ( z r ) ， 故整个圆环上电荷在场点的电位为
2 2
d 4 0
动态平面电磁波问题分析
1.有损媒质中，沿正方向传播的均匀平面波的 电场和磁场强度的复值和瞬时值是
Am e jkz Am e z e jz Am e j A e z e jz
ˆ 正方向传播的电磁波的 E 和 H A 表示沿 z 其中
m
A (t , z ) Am e z cos( t A z )
V0 R I

r2 h ln r1
演示
演示
演示
模型2 如图4-2所示的电路,
1 12V
R2 1.5, R3 4
r1 1, 2 8V , r2 0.5, R1 3,
试求通过每个电阻的电流。