数值分析ppt第9章_常微分方程初值问题数值解法
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数值分析第九章常微分方程数值解法
高斯-赛德尔迭代法
松弛法
通过迭代更新函数值并逐步放松约束 条件来逼近解，适用于刚性和非刚性 问题。
利用线性组合迭代函数值来逼近解， 具有更高的收敛速度和稳定性。
03
数值解法的稳定性分析
数值解法的稳定性定义
数值解法的稳定性是指当微分方程的初值有微小的扰动时， 其数值解的近似值的变化情况。如果数值解在微小扰动下变 化较小，则称该数值方法是稳定的。
更高的精度和稳定性。
数值逼近法
泰勒级数法
将微分方程的解展开为泰勒级数，通过截断级数来逼 近解。
多项式逼近法
利用多项式来逼近微分方程的解，通过选取合适的基 函数和系数来提高逼近精度。
样条插值法
利用样条函数来逼近微分方程的解，具有更好的光滑 性和连续性。
迭代法
雅可比迭代法
通过迭代更新函数值来逼近微分方程 的解，具有简单易行的优点。
初值和边界条件的处理
根据实际问题，合理设定初值和边界 条件，以获得更准确的数值解。
收敛性和误差分析
对数值解进行收敛性和误差分析，评 估解的精度和稳定性。
数值解法的应用案例分析
人口增长模型
通过数值解法求解人口增长模型，预测未来人口数量，为政策制 定提供依据。
化学反应动力学
利用数值解法研究化学反应的动力学过程，模拟反应过程和结果。
数值分析第九章常微分方 程数值解法
• 引言 • 常微分方程数值解法的基本思想 • 数值解法的稳定性分析 • 数值解法的收敛性和误差分析 • 数值解法的实现和应用案例
01
引言
常微分方程的应用背景
自然科学
描述物理、化学、生物等自然 现象的变化规律。
工程领域
控制系统设计、航天器轨道计 算等。
松弛法
通过迭代更新函数值并逐步放松约束 条件来逼近解，适用于刚性和非刚性 问题。
利用线性组合迭代函数值来逼近解， 具有更高的收敛速度和稳定性。
03
数值解法的稳定性分析
数值解法的稳定性定义
数值解法的稳定性是指当微分方程的初值有微小的扰动时， 其数值解的近似值的变化情况。如果数值解在微小扰动下变 化较小，则称该数值方法是稳定的。
更高的精度和稳定性。
数值逼近法
泰勒级数法
将微分方程的解展开为泰勒级数，通过截断级数来逼 近解。
多项式逼近法
利用多项式来逼近微分方程的解，通过选取合适的基 函数和系数来提高逼近精度。
样条插值法
利用样条函数来逼近微分方程的解，具有更好的光滑 性和连续性。
迭代法
雅可比迭代法
通过迭代更新函数值来逼近微分方程 的解，具有简单易行的优点。
初值和边界条件的处理
根据实际问题，合理设定初值和边界 条件，以获得更准确的数值解。
收敛性和误差分析
对数值解进行收敛性和误差分析，评 估解的精度和稳定性。
数值解法的应用案例分析
人口增长模型
通过数值解法求解人口增长模型，预测未来人口数量，为政策制 定提供依据。
化学反应动力学
利用数值解法研究化学反应的动力学过程，模拟反应过程和结果。
数值分析第九章常微分方 程数值解法
• 引言 • 常微分方程数值解法的基本思想 • 数值解法的稳定性分析 • 数值解法的收敛性和误差分析 • 数值解法的实现和应用案例
01
引言
常微分方程的应用背景
自然科学
描述物理、化学、生物等自然 现象的变化规律。
工程领域
控制系统设计、航天器轨道计 算等。
第九章常微分方程初值问题的数值解法
4
当r=0时,称为单步法,这恰好就是欧拉方法.
3 当r =1时,称为二步法,其局部截断误差为 O h .
Adams线性多步法的特点:
r r , 1. 对任意的 j 1
r j 0
2. Adams线性多步法的截断误差的来源是数值积分的截断误差, 而数值积分的截断误差来源于插值误差,因此阿达姆斯方法的 的局部截断误差是 O hr 2 3. Adams线性多步法与Runge-Kutta法比较,R-K每提高一阶精 度至少需要多计算一个函数值;而线性多步法每提高一阶精 度只需多用一个已知的数据,所以从这个角度看计算量较小, 但线性多步法必须在单步法的基础上做. 所以在实际计算时 常常把两者相结合. 13
i
再对右端的积分应用数值积分(用函数值的线性组合来近似积分)
r yi 1 yi h j f xi j , yi j r j 0
12
由于 j 仅与r , j 有关, 而与f , i 无关，所以可以事先制成表。
r
当r =2时,称为三步法,其局部截断误差为 O h
i i
这个方法称二阶泰勒方法
6
2. 梯形方法和改进欧拉方法
xi 1 x i
h y x dx y xi 1 y xi [ f xi , yi f xi 1, yi 1 ] 2 h yi 1 yi [ f xi , yi f xi 1 , yi 1 ] 2
常微分方程初值问题解的存在唯一性定理:
以后我们总假定给出的方程都满足该定理的条件. 微分方程初值问题数值解法的特点： 先把方程离散化,即在区间[a,b ]中插入一些节点(通常采用等 距节点) ba
当r=0时,称为单步法,这恰好就是欧拉方法.
3 当r =1时,称为二步法,其局部截断误差为 O h .
Adams线性多步法的特点:
r r , 1. 对任意的 j 1
r j 0
2. Adams线性多步法的截断误差的来源是数值积分的截断误差, 而数值积分的截断误差来源于插值误差,因此阿达姆斯方法的 的局部截断误差是 O hr 2 3. Adams线性多步法与Runge-Kutta法比较,R-K每提高一阶精 度至少需要多计算一个函数值;而线性多步法每提高一阶精 度只需多用一个已知的数据,所以从这个角度看计算量较小, 但线性多步法必须在单步法的基础上做. 所以在实际计算时 常常把两者相结合. 13
i
再对右端的积分应用数值积分(用函数值的线性组合来近似积分)
r yi 1 yi h j f xi j , yi j r j 0
12
由于 j 仅与r , j 有关, 而与f , i 无关，所以可以事先制成表。
r
当r =2时,称为三步法,其局部截断误差为 O h
i i
这个方法称二阶泰勒方法
6
2. 梯形方法和改进欧拉方法
xi 1 x i
h y x dx y xi 1 y xi [ f xi , yi f xi 1, yi 1 ] 2 h yi 1 yi [ f xi , yi f xi 1 , yi 1 ] 2
常微分方程初值问题解的存在唯一性定理:
以后我们总假定给出的方程都满足该定理的条件. 微分方程初值问题数值解法的特点： 先把方程离散化,即在区间[a,b ]中插入一些节点(通常采用等 距节点) ba
数值分析第9章常微分方程数值解法
这个初值问题的准确解为 yx11x2，
可用来检验近似解的准确程度。
从上表最后一列，我们看到取步长 h 0.1
进行计算，数值解已达到了一定的精度。
欧拉公式的改进： 隐式欧拉法 /* implicit Euler method */
向后差商近似导数
y(x1)y(x1) hy(x0)
洛伦兹方程是大气流体动力学模型的一个简化的常微分方程组：
dx dt
x
y
dy
d
t
rx
y
xz
dz dt
bz
xy
该方程组来源于模拟大气对流，该模型除了在天气预报中有显 著的应用之外，还可以用于研究空气污染和全球侯变化。洛伦 兹借助于这个模型，将大气流体运动的强度x与水平和垂直方
（Numerical Methods for Ordinary Differential Equations ）
问题驱动：蝴蝶效应 洛伦兹吸引子(Lorenz attractor)是由MIT大学的气象学家E dward Lorenz在1963年给出的，他给出第一个混沌现象——蝴 蝶效应。
图10.1.1蝴蝶效应示意图
则上述IVP存在唯一解。
求函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值
yi y(xi)(i1 ,...,n)
的方法称为微分方程的数值解法。
y1, , yn 称为微分方程的数值解。
称节点间距 h i x i 1 x i (i 0 ,.,.n . 1 )为步长， 通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。
常微分方程数值解-PPT精品文档
称为局部截断误 差。显然，这个 y ( x ) y ( x ) h 误差在逐步计算 n 1 n y ' ( x ) y ' ' ( ) n n 过程中会传播， h 2 积累。因此还要 y ( x ) y ( x ) h n 1 n f ( x , y ( x )) y ' ' ( ) 估计这种积累 n n n h 2
对于一个常微分方程：
9.1 Euler方法
dy y ' f( x ,y ), x [ a , b ] dx 通常会有无穷个解。如：
dy cos( x ) y sin( x ) a , a R dx 因此，我们要加入一个限定条件。通常会在端点出给出， 如下面的初值问题： dy f (x , y) , x [a ,b ] dx )y 0 y(a 为了使解存在唯一，一般，要加限制条件在f上，要求f对y 满足Lipschitz条件：
求 y ( x ) 在 x i 上的近似值
y i 。 { y i } 称为分割 I
上的格点函数
我们的目的，就是求这个格点函数
② 由微分方程出发，建立求格点函数的差分方程。这个方程应该满足： A、解存在唯一；B、稳定，收敛；C、相容 ③ 解差分方程，求出格点函数
数值方法，主要研究步骤②，即如何建立差分方程，并研究 差分方程的性质。
x0
x1
y i 1 y i h f ( x i 1 , yi 1 ) ( i 0, ... , n 1)
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故 称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。 一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。
常微分方程初值问题数值解法 ppt课件
5
数值方法的基本思想 对常微分方程初值问题(9.1)式的数值解法，就 是要算出精确解y(x)在区间a,b上的一系列离散节
点
处的函数值 a x0 x1 xn1 xn b y( x0 ), y( x1 ),, y( xn ) 的近似值 y0 , y1 , , yn .
( k 0,1,2)
当 k=0, x1=0.2时，已知x0=0，y0=1，有 y(0.2)y1=0.2×1(4－0×1)＝0.8 当 k=1, x2=0.4时，已知x1 =0.2， y1 =0.8，有 y(0.4) y2 =0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.6144 当 k=2, x3 =0.6时，已知x2 =0.4， y2 =0.6144，有 y(0.6) y3=0.2×0.6144×(4-0.4×0.6144)=0.4613
2017/7/23
4
从实际问题当中归纳出来的微分方程，通常主 要依靠数值解法来解决。本章主要讨论一阶常微分 方程初值问题
y f ( x , y ) ( 9.1 ) y ( x ) y 0 0 在区间a ≤ x ≤ b上的数值解法。 可以证明,如果函数在带形区域 R:{ a≤x≤b,
yn1 yn hf ( xn , yn )
2017/7/23 16
Euler 格式用数值微分方法得到。 将方程 y f ( x , y )的两端在区间 xi , xi 1 上积分得，
xi 1
xi
ydx
xi 1 xi
xi 1
xi
f ( x, y )dx
xi 1 xi
中的导数 y 进行不同的离散化处理。
2017/7/23 7
对于初值问题
y f ( x , y ) y ( x 0 ) y0
数值方法的基本思想 对常微分方程初值问题(9.1)式的数值解法，就 是要算出精确解y(x)在区间a,b上的一系列离散节
点
处的函数值 a x0 x1 xn1 xn b y( x0 ), y( x1 ),, y( xn ) 的近似值 y0 , y1 , , yn .
( k 0,1,2)
当 k=0, x1=0.2时，已知x0=0，y0=1，有 y(0.2)y1=0.2×1(4－0×1)＝0.8 当 k=1, x2=0.4时，已知x1 =0.2， y1 =0.8，有 y(0.4) y2 =0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.6144 当 k=2, x3 =0.6时，已知x2 =0.4， y2 =0.6144，有 y(0.6) y3=0.2×0.6144×(4-0.4×0.6144)=0.4613
2017/7/23
4
从实际问题当中归纳出来的微分方程，通常主 要依靠数值解法来解决。本章主要讨论一阶常微分 方程初值问题
y f ( x , y ) ( 9.1 ) y ( x ) y 0 0 在区间a ≤ x ≤ b上的数值解法。 可以证明,如果函数在带形区域 R:{ a≤x≤b,
yn1 yn hf ( xn , yn )
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Euler 格式用数值微分方法得到。 将方程 y f ( x , y )的两端在区间 xi , xi 1 上积分得，
xi 1
xi
ydx
xi 1 xi
xi 1
xi
f ( x, y )dx
xi 1 xi
中的导数 y 进行不同的离散化处理。
2017/7/23 7
对于初值问题
y f ( x , y ) y ( x 0 ) y0
数值分析ppt第9章_常微分方程初值问题数值解法
( 2.2)
解 取步长h=0.1，欧拉公式的具体形式为 2 xn yn1 yn h( yn ) yn 其中xn=nh=0.1n (n=0,1,,10), 已知y0 =1, 由此式可得 2 x0 y1 y0 h( y0 ) 1 0.1 1.1 y0
2 x1 0.2 y2 y1 h( y1 ) 1.1 0.1(1.1 ) 1.191818 y1 1.1
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由于f(x, y)对y满足Lipschitz条件(1.3). 由(2.6)减(2.5)得
( k 1) (k ) yn y h f ( x , y 1 n1 n1 n1 ) f ( xn1 , yn 1 )
hL y
(k ) n1
yn1 .
由此可知，只要hL<1，迭代法(2.6)就收敛到解.关于
定性等其他因素，人们有时需要选用隐式方法，但
使用显式算法远比隐式方便. 隐式方程通常用迭代法求解，而迭代过程的实 质是逐步显式化.
上页 下页
设用欧拉公式
y
(0) n1
yn hf ( xn , yn )
给出迭代初值 y
(0) n 1 ，用它代入(2.5)式的右端，使之转
化为显式，直接计算得
项. 显然Tn+1=O(h2). 一般情形的定义如下
定义2 设y (x)是初值问题的准确解，若存在最 大整数p使显式单步法(2.10)的局部截断误差满足
2
Tn1 y( x h) y( x ) h ( x, y, h) O(h ). (2.12)
p 1
则称方法(2.10)具有p阶精度.
上页 下页
若将(2.10)展开式写成
Tn1 ( xn , y( xn ))h O(h ). p 1 ( x , y ( x )) h 则 称为局部截断误差主项. n n
第9章 常微分方程初值问题数值解法
oa
b
a f ( x)dx (b a) f (b)
中矩形公式
b
ab
a f ( x)dx (b a) f ( 2 )
计算方法
梯形公式
bx
右矩形公式 中矩形公式 左矩形公式
§ 欧拉方法几何意义
y y y(x)
y0 y1 y2 0 x0 x1 x2
计算方法
x
§ 隐式欧拉方法
➢隐式欧拉法 /* implicit Euler method */
初 值 问 题 的 解 必 存 在 且唯 一 。
计算方法
§9.1 引言
三. 数值解法含义
所谓数值解法, 就是设法将常微分方程离散化, 建 立差分方程, 给出解在一些离散点上的近似值。
微分方程的数值解: 设方程问题的解y(x)的存在区 间是[a,b], 令a= x0< x1<…< xn =b, 其中hk=xk+1-xk, 如是等距节点h=(b-a)/n, h称为步长。
yi1 yi1 2h f ( xi , yi ) i 1, ... , n 1
计算方法
预估-校正法
三. 预估 — 校正法
/* predictor-corrector method */
方法 显式欧拉 隐式欧拉 梯形公式
中点公式
简单
稳定性最好
精度提高
精度低
精度低, 计算量大
计算量大
精度提高, 显式
在x0 x X上的数值解法。
四. 误差估计、收敛性
和稳定性
计算方法
§9.2 简单的数值方法与基本概念
一. 欧拉（Euler）格式
设 节 点 为xi a ih (i 0,1,2 , n) 方 法 一 ：Taylor展 开 法
专业计算方法第九章-常微分方程初值问题的数值解法-2012.2
第九章常微分方程初值问题的数值解法§1 相关知识§2 几种简单的数值方法§3 Runge–Kutta方法§4 单步法的进一步讨论§5 线性多步法西北工业大学理学院欧阳洁1上述定理称为一阶常微分方程初值问题解的适定性（存在性、惟一性与稳定性）定理。
对所讨论的一阶常微分方程初值问题，本章假设该问题是适定的，即解析解y(x)在区间[a,b]上是存在、惟一，且具有充分的光滑度。
因此f(x,y(x))也充分光滑。
西北工业大学理学院欧阳洁3西北工业大学理学院欧阳洁5常微分方程初值问题的数值解法分为：①单(一)步法：计算时，只用到和，即前一步的值。
1+n y n y n n x x ,1+显式单步法的一般形式为②多步法：计算时，除用到和以外，还用到和，即用到前k 步的值。
p n x −)1;1,2,1(>−=−k k p y p n L 1+n y n y n n x x ,1+对单步法与多步法，有显式与隐式方法之分。
显式、隐式多步法的一般形式类似。
隐式单步法的一般形式为),,(1h y x h y y n n n n ϕ+=+),,,,(111h y x y x h y y n n n n n n ++++=ϕ数值解法建立的过程：通过一定的离散化方法,将连续性问题的求解转化为有限个离散节点上解析解近似值的求解。
常用的离散化方法：Taylor 展开法；差商直接代替微商；数值积分法。
西北工业大学理学院欧阳洁16设一般的单步法为：显式公式隐式公式定义为某一数值方法在处的整体截断误差。
111()n n n e y x y +++=−1n x +五单步法的局部截断误差和阶整体截断误差不仅与这一步的计算有关，还依赖于前面各步的计算。
1+n x 011,,,,x x x x n n L −下面着重分析计算中某一步的误差（局部截断误差），后面将对显式单步法，给出整体截断误差与局部截断误差之间的关系。
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9.2 简单的数值方法与基本概念
9.2.1 欧拉法与后退欧拉法 我们知道，在xy平面上，微分方程(1.1)式的解 y=f(x)称作它的积分曲线，积分曲线上一点(x, y)的切 线斜率等于函数f(x, y)的值. 如果按f(x, y)在xy平面上 建立一个方向场，那么，积分曲线上每一点的切线 方向均与方向场在该点的方向相一致. 基于上述几何解释，我们从初始点P0(x0, y0)出发, 先依方向场在该点的方向推进到x=x1上一点P1，然后 再从P1点依方向场在该点的方向推进到 x=x2 上一点 P2 , 循环前进做出一条折线P0 P1 P2.
hi=h(i=1,2,)为定数, 这时节点为xn=x0+nh(i=0,1,2,)
(等距节点).
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初值问题的数值解法有个基本特点，他们都采 取“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步 一步地向前推进. 描述这类算法，只要给出用已知信
息yn,yn-1,yn-2,计算yn+1的递推公式.
项. 显然Tn+1=O(h2). 一般情形的定义如下
定义2 设y (x)是初值问题的准确解，若存在最 大整数p使显式单步法(2.10)的局部截断误差满足
2
Tn1 y( x h) y( x ) h ( x, y, h) O(h ). (2.12)
p 1
则称方法(2.10)具有p阶精度.
y
pn
pn 1
y y ( x)
p xn 1
xn
xn 1
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x
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h y( xn1 ) y( xn h) y( xn ) hy( xn ) y( n ) 2 h2 y( xn ) hf ( xn , yn ) y( n ) n ( xn , xn1 ). 2 在yn=y(xn)的前提下，f(xn,yn )=f(xn,y(xn))=y(xn).于是
(2 .1)
这就是著名的(显式)欧拉(Euler)公式. 若初值y0已 知，则依公式(2.1)可逐次逐步算出各点数值解.
y1 y0 hf ( x0 , y0 ), y2 y1 hf ( x1 , y1 ),
上页
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例1 用欧拉公式求解初值问题 2x (0 x 1), y y y y(0) 1.
y( xn1 ) y( xn ) h ( xn , y( xn ), h) Tn1 .
所以，局部截断误差可理解为用方法(2.10)计算 一步的误差，也即公式(2.10)中用准确解y(x)代替数 值解产生的公式误差. 根据定义, 显然欧拉法的局部 截断误差为
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Tn1 y( xn1 ) y( xn ) hf ( xn , y( xn )) y ( x n h ) y ( x n ) hy ( x n ) h y( xn ) O( h3 ). 2 h2 即为(2.3)的结果. 这里 y( xn )称为局部截断误差主 2
上页 下页
由于f(x, y)对y满足Lipschitz条件(1.3). 由(2.6)减(2.5)得
( k 1) (k ) yn y h f ( x , y 1 n1 n1 n1 ) f ( xn1 , yn 1 )
hL y
(k ) n1
yn1 .
由此可知，只要hL<1，迭代法(2.6)就收敛到解.关于
第9章 常微分方程初值问题数值解法
• 9.1 引言
• 9.2 简单的数值方法与基本概念
• 9.3 龙格-库塔方法
• 9.4 单步法的收敛性与稳定性
• 9.5 线性多步法
• 9.6 方程组和高阶方程
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9.1 引
言
科学技术中常常需要求解常微分方程的定解问 题. 这类问题最简单的形式，是本章将着重考察的一 阶方程的初值问题
Tn1 yn1 yn h ( xn , y( xn ), h).
(2.11)
为显式单步法(2.10)的局部截断误差. Tn+1之所以称为局部的，是假设在xn前各步没有 误差.当yn=y(xn)时，计算一步，则有
y( xn1 ) yn1 y( xn1 ) [ yn h ( xn , yn , h)]
y
然后再用 y
(1) n 1代入(2.5)式，又有 ( 2) (1) n1 n n1 n1
(1) n1
yn hf ( xn1 , y ),
(0) n1
y
y hf ( x , y ).
(k ) n1
如此反复进行，得
y
( k 1) n1
yn hf ( xn1 , y ) (k 0,1,). (2.6)
可得欧拉法(2.1)的公式误差为
为了分析计算公式的精度，通常可用泰勒展开 将y(xn+1)在xn处展开，则有
2
h h y( xn1 ) yn1 y( n ) y( xn ), 2 2
称为此方法的局部截断误差.
2
2
( 2.3)
上页
下页
如果对方程(1.1)从xn到xn+1积分，得
y( x n 1 ) y( x n )
x n 1
xn
f ( t , y( t ))dt .
( 2.4)
右端积分用左矩形公式hf(xn,y(xn))近似，再以yn代替 y(xn)，yn+1代替y(xn+1)也得到欧拉公式(2.1)，局部截 断误差也是(2.3). 如果右端积分用右矩形公式hf(xn+1,y(xn+1))近似， 则得到另一个公式
后退欧拉方法的公式误差，从积分公式看到它与欧
拉法是相似的.
上页
下页
9.2.2 梯形方法 为得到比欧拉法精度高的计算公式，在等式(2.4) 右端积分用梯形求积公式近似, 并用yn代替y(xn), yn+1 代替y(xn+1)，则得
h yn1 yn f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 ) , 2
上页 下页
依次计算下去，部分计算结果见下表.
xn 欧拉公式数值解yn 准确解y(xn) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.191818 1.358213 1.508966 1.649783 1.784770 1.183216 1.341641 1.483240 1.612452 1.732051 误差 0.008602 0.016572 0.025726 0.037331 0.052719
定性等其他因素，人们有时需要选用隐式方法，但
使用显式算法远比隐式方便. 隐式方程通常用迭代法求解，而迭代过程的实 质是逐步显式化.
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设用欧拉公式
y
(0) n1
yn hf ( xn , yn )
给出迭代初值 y
(0) n 1 ，用它代入(2.5)式的右端，使之转
化为显式，直接计算得
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若将(2.10)展开式写成
Tn1 ( xn , y( xn ))h O(h ). p 1 ( x , y ( x )) h 则 称为局部截断误差主项. n n
p 1 p 2
以上定义对隐式单步法(2.9)也是适用的.例如， 对后退欧拉法(2.5)其局部截断误差为 Tn1 y( xn1 ) y( xn ) hf ( xn1 , y( xn1 ))
( 2.2)
解 取步长h=0.1，欧拉公式的具体形式为 2 xn yn1 yn h( yn ) yn 其中xn=nh=0.1n (n=0,1,,10), 已知y0 =1, 由此式可得 2 x0 y1 y0 h( y0 ) 1 0.1 1.1 y0
2 x1 0.2 y2 y1 h( y1 ) 1.1 0.1(1.1 ) 1.191818 y1 1.1
与准确解 y 1 2 x 相比，可看出欧拉公式的计算结 果精度很差.
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欧拉公式具有明显的几何意义, 就是用折线近似 代替方程的解曲线，因而常称公式(2.1)为欧拉折线法. 还可以通过几何直观来考察欧拉方法的精度.假 设yn=y(xn),即顶点Pn落在积分曲线y=y(x)上，那么， 按欧拉方法做出的折线 PnPn+1便是y=y(x)过点Pn 的切线.从图形上看,这 样定出的顶点Pn+1显著 地偏离了原来的积分曲 线，可见欧拉方法是相 当粗糙的.
yn1 yn hf ( xn1 , yn1 ),
称为(隐式)后退的欧拉公式.
(2.5)
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后退的欧拉公式与欧拉公式有着本质的区别, 后 者是关于yn+1的一个直接计算公式，这类公式称作是 显式的；前者公式的右端含有未知的yn+1，它实际上 是关于yn+1的一个函数方程,这类方程称作是隐式的. 显式与隐式两类方法各有特点，考了到数值稳
h (k ) yn 1 y [ f ( xn1 , yn1 ) f ( xn1 , yn1 )], 2 hL ( k 1) (k ) yn 1 yn 1 yn 1 yn 1 , 于是有 2 hL 1, 使得 2
( k 1) n1
为了分析迭代过程的收敛性, 将(2.7)与(2.8)相减, 得
称为梯形方法.
(2.7)
梯形方法是隐式单步法，用迭代法求解，同后 退的欧拉方法一样，仍用欧拉法提供迭代初值，则 梯形迭代公式为
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(0) yn 1 yn hf ( x n , yn ); ( 2.8) ( k 1) h (k ) y n1 yn f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 ) ( k 0,1,). 2
y f ( x , y ), y ( x 0 ) y0 .
9.2 简单的数值方法与基本概念
9.2.1 欧拉法与后退欧拉法 我们知道，在xy平面上，微分方程(1.1)式的解 y=f(x)称作它的积分曲线，积分曲线上一点(x, y)的切 线斜率等于函数f(x, y)的值. 如果按f(x, y)在xy平面上 建立一个方向场，那么，积分曲线上每一点的切线 方向均与方向场在该点的方向相一致. 基于上述几何解释，我们从初始点P0(x0, y0)出发, 先依方向场在该点的方向推进到x=x1上一点P1，然后 再从P1点依方向场在该点的方向推进到 x=x2 上一点 P2 , 循环前进做出一条折线P0 P1 P2.
hi=h(i=1,2,)为定数, 这时节点为xn=x0+nh(i=0,1,2,)
(等距节点).
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初值问题的数值解法有个基本特点，他们都采 取“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步 一步地向前推进. 描述这类算法，只要给出用已知信
息yn,yn-1,yn-2,计算yn+1的递推公式.
项. 显然Tn+1=O(h2). 一般情形的定义如下
定义2 设y (x)是初值问题的准确解，若存在最 大整数p使显式单步法(2.10)的局部截断误差满足
2
Tn1 y( x h) y( x ) h ( x, y, h) O(h ). (2.12)
p 1
则称方法(2.10)具有p阶精度.
y
pn
pn 1
y y ( x)
p xn 1
xn
xn 1
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x
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h y( xn1 ) y( xn h) y( xn ) hy( xn ) y( n ) 2 h2 y( xn ) hf ( xn , yn ) y( n ) n ( xn , xn1 ). 2 在yn=y(xn)的前提下，f(xn,yn )=f(xn,y(xn))=y(xn).于是
(2 .1)
这就是著名的(显式)欧拉(Euler)公式. 若初值y0已 知，则依公式(2.1)可逐次逐步算出各点数值解.
y1 y0 hf ( x0 , y0 ), y2 y1 hf ( x1 , y1 ),
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例1 用欧拉公式求解初值问题 2x (0 x 1), y y y y(0) 1.
y( xn1 ) y( xn ) h ( xn , y( xn ), h) Tn1 .
所以，局部截断误差可理解为用方法(2.10)计算 一步的误差，也即公式(2.10)中用准确解y(x)代替数 值解产生的公式误差. 根据定义, 显然欧拉法的局部 截断误差为
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Tn1 y( xn1 ) y( xn ) hf ( xn , y( xn )) y ( x n h ) y ( x n ) hy ( x n ) h y( xn ) O( h3 ). 2 h2 即为(2.3)的结果. 这里 y( xn )称为局部截断误差主 2
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由于f(x, y)对y满足Lipschitz条件(1.3). 由(2.6)减(2.5)得
( k 1) (k ) yn y h f ( x , y 1 n1 n1 n1 ) f ( xn1 , yn 1 )
hL y
(k ) n1
yn1 .
由此可知，只要hL<1，迭代法(2.6)就收敛到解.关于
第9章 常微分方程初值问题数值解法
• 9.1 引言
• 9.2 简单的数值方法与基本概念
• 9.3 龙格-库塔方法
• 9.4 单步法的收敛性与稳定性
• 9.5 线性多步法
• 9.6 方程组和高阶方程
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9.1 引
言
科学技术中常常需要求解常微分方程的定解问 题. 这类问题最简单的形式，是本章将着重考察的一 阶方程的初值问题
Tn1 yn1 yn h ( xn , y( xn ), h).
(2.11)
为显式单步法(2.10)的局部截断误差. Tn+1之所以称为局部的，是假设在xn前各步没有 误差.当yn=y(xn)时，计算一步，则有
y( xn1 ) yn1 y( xn1 ) [ yn h ( xn , yn , h)]
y
然后再用 y
(1) n 1代入(2.5)式，又有 ( 2) (1) n1 n n1 n1
(1) n1
yn hf ( xn1 , y ),
(0) n1
y
y hf ( x , y ).
(k ) n1
如此反复进行，得
y
( k 1) n1
yn hf ( xn1 , y ) (k 0,1,). (2.6)
可得欧拉法(2.1)的公式误差为
为了分析计算公式的精度，通常可用泰勒展开 将y(xn+1)在xn处展开，则有
2
h h y( xn1 ) yn1 y( n ) y( xn ), 2 2
称为此方法的局部截断误差.
2
2
( 2.3)
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如果对方程(1.1)从xn到xn+1积分，得
y( x n 1 ) y( x n )
x n 1
xn
f ( t , y( t ))dt .
( 2.4)
右端积分用左矩形公式hf(xn,y(xn))近似，再以yn代替 y(xn)，yn+1代替y(xn+1)也得到欧拉公式(2.1)，局部截 断误差也是(2.3). 如果右端积分用右矩形公式hf(xn+1,y(xn+1))近似， 则得到另一个公式
后退欧拉方法的公式误差，从积分公式看到它与欧
拉法是相似的.
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9.2.2 梯形方法 为得到比欧拉法精度高的计算公式，在等式(2.4) 右端积分用梯形求积公式近似, 并用yn代替y(xn), yn+1 代替y(xn+1)，则得
h yn1 yn f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 ) , 2
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依次计算下去，部分计算结果见下表.
xn 欧拉公式数值解yn 准确解y(xn) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.191818 1.358213 1.508966 1.649783 1.784770 1.183216 1.341641 1.483240 1.612452 1.732051 误差 0.008602 0.016572 0.025726 0.037331 0.052719
定性等其他因素，人们有时需要选用隐式方法，但
使用显式算法远比隐式方便. 隐式方程通常用迭代法求解，而迭代过程的实 质是逐步显式化.
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设用欧拉公式
y
(0) n1
yn hf ( xn , yn )
给出迭代初值 y
(0) n 1 ，用它代入(2.5)式的右端，使之转
化为显式，直接计算得
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若将(2.10)展开式写成
Tn1 ( xn , y( xn ))h O(h ). p 1 ( x , y ( x )) h 则 称为局部截断误差主项. n n
p 1 p 2
以上定义对隐式单步法(2.9)也是适用的.例如， 对后退欧拉法(2.5)其局部截断误差为 Tn1 y( xn1 ) y( xn ) hf ( xn1 , y( xn1 ))
( 2.2)
解 取步长h=0.1，欧拉公式的具体形式为 2 xn yn1 yn h( yn ) yn 其中xn=nh=0.1n (n=0,1,,10), 已知y0 =1, 由此式可得 2 x0 y1 y0 h( y0 ) 1 0.1 1.1 y0
2 x1 0.2 y2 y1 h( y1 ) 1.1 0.1(1.1 ) 1.191818 y1 1.1
与准确解 y 1 2 x 相比，可看出欧拉公式的计算结 果精度很差.
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欧拉公式具有明显的几何意义, 就是用折线近似 代替方程的解曲线，因而常称公式(2.1)为欧拉折线法. 还可以通过几何直观来考察欧拉方法的精度.假 设yn=y(xn),即顶点Pn落在积分曲线y=y(x)上，那么， 按欧拉方法做出的折线 PnPn+1便是y=y(x)过点Pn 的切线.从图形上看,这 样定出的顶点Pn+1显著 地偏离了原来的积分曲 线，可见欧拉方法是相 当粗糙的.
yn1 yn hf ( xn1 , yn1 ),
称为(隐式)后退的欧拉公式.
(2.5)
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后退的欧拉公式与欧拉公式有着本质的区别, 后 者是关于yn+1的一个直接计算公式，这类公式称作是 显式的；前者公式的右端含有未知的yn+1，它实际上 是关于yn+1的一个函数方程,这类方程称作是隐式的. 显式与隐式两类方法各有特点，考了到数值稳
h (k ) yn 1 y [ f ( xn1 , yn1 ) f ( xn1 , yn1 )], 2 hL ( k 1) (k ) yn 1 yn 1 yn 1 yn 1 , 于是有 2 hL 1, 使得 2
( k 1) n1
为了分析迭代过程的收敛性, 将(2.7)与(2.8)相减, 得
称为梯形方法.
(2.7)
梯形方法是隐式单步法，用迭代法求解，同后 退的欧拉方法一样，仍用欧拉法提供迭代初值，则 梯形迭代公式为
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(0) yn 1 yn hf ( x n , yn ); ( 2.8) ( k 1) h (k ) y n1 yn f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 ) ( k 0,1,). 2
y f ( x , y ), y ( x 0 ) y0 .