【加练半小时】2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题5 平面向量第34练 Word版含解析

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(江苏专用)2018年高考数学一轮复习第五章平面向量 5.2 平面向量的数量积课件

.
答案 2 3
解析本题考查向量数量积的计算.
由题意知a·b=|a|·|b|cos 60°=2×11× =1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a·b=4+4+4=12.
2
所以|a+2b|=2 3.

2.(2016课标全国Ⅲ理,3,5分)已知向量 BA
=

1 2
高考数学 (江苏省专用)
§5.2 平面向量的数量积
五年高考
A组自主命题·江苏卷题组
1.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量 OA, O,B O的C模分别为1,1, , 2与O A的夹OC角

为α,且tan α=7, OB与 O的C 夹角为45°.若 O=Cm O+An (OmB,n∈R),则m+n=

k 0
.
答案 9 3
解析
由ak=

cos(kk=60,,s1i,n2k,6… ,1c2o)s得k6ak+1=
(k=
0,1,2,…,11),

cos
(k
1) 6
, sin
(k
1) 6

cos
(k
1) 6

故ak·ak+1= coks ,sink +cosk · c(oks 1),sin (k+c1o)s (k 1)
.
答案 9
解析 ∵ OA ⊥ AB ,∴ OA · AB =0,
即 OA

·(O B

-O A
)=0,

江苏专用2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积课件文

题型二平面向量数量积的应用命题点1 求向量的模
例2 (1)(2016· 南京、盐城调研)在△ABC 中，A＝120° ，AB＝4.若点 D 在
2 7 → → 3 边 BC 上，且BD＝2DC，AD＝ 3 ，则 AC 的长为____.
答案解析
(2)(2016· 江苏启东中学阶段测试 )已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a
③(Байду номын сангаас－b)2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2；
④若a· b＝0，则a＝0，b＝0.
1 个. 其中正确的有____
答案解析
→ → －16 2.(教材改编)已知△ABC 中， BC＝4， AC＝8， ∠C＝60° ，则BC· CA＝_______.
答案解析
→ → 画图可知向量BC与CA夹角为角 C 的补角(图略)，
跟踪训练 1
→ 3 1 3 1 → (1)(2016· 全国丙卷改编)已知向量BA＝， BC ＝，，， 2 2 2 2
30° 则∠ABC＝________.
答案解析
→ → ∵|BA|＝1，|BC|＝1，
→ → BA· BC 3 cos∠ABC＝＝2， → → |BA|· |BC|
1 → → 故BC· CA＝BC×ACcos(π－C)＝4×8×(－2)＝－16.
π 3.(教材改编)已知向量 a＝(1， 3)，b＝(3，m).若向量 a，b 的夹角为6，则
3 实数 m＝_____.
答案解析
∵a· b＝(1， 3)· (3，m)＝3＋ 3m，
π 又 a· b＝ 1 ＋ 3 × 3 ＋m ×cos 6，
→ → → → → ∴|BC|min＝ 6. ≥2|AB|· |AC|－2AB· AC＝6，

(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题5.3_平面向量的数量积(测)(有解析)

专题5.3 平面向量的数量积一、填空题1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝【解析】因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD ·AC ＝【解析】由四边形ABCD 是平行四边形，知AC ＝AB ＋AD ＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故AD ·AC ＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为【解析】由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则－λ2＋λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)，4．(2016·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝13，若n⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为5．(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ·BC 的值为【解析】如图所示，AF ＝AD ＋DF .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD ＝12AB ，DF＝12AC ＋14AC ＝34AC ，所以AF ＝12AB ＋34AC .又BC ＝AC －AB ，则AF ·BC ＝12AB ＋34AC ·(AC －AB )＝12AB ·AC －12AB 2＋34AC 2－34AC ·AB ＝34AC 2－12AB 2－14AC ·AB .又|AB |＝|AC |＝1，∠BAC ＝60°，故AF ·BC ＝34－12－14×1×1×12＝18.6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R ，若BQ ·CP ＝－32，则λ＝7．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，则|c |＝________.【解析】由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋－2＝8 2.8．已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．【解析】∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3. 9．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．【解析】a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.10.如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ·AN 的最大值为________．【解析】设AN ＝λAB ＋μAD ，因为N 在菱形ABCD 内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.AM ＝AD ＋12DC＝12AB ＋AD .所以AM ·AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AB ＋AD ·(λAB ＋μAD )＝λ2AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AB ·AD ＋μAD 2＝λ2×4＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋μ2×2×2×12＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤AM ·AN ≤9，所以当λ＝μ＝1时，AM ·AN 有最大值9，此时，N 位于C 点．二、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA ·(AB －AC )＝18，求边c 的长．解：(1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )，对于△ABC ，A ＋B ＝π－C,0＜C ＜π， ∴sin(A ＋B )＝sin C ， ∴m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，∴sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b . ∵CA ·(AB －AC )＝18， ∴CA ·CB ＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， ∴c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36，∴c ＝6.。

2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题5 平面向量第34练含解析

1．已知函数f 【x )＝3sin 【ωx ＋φ)【ω＞0，－2≤φ＜2)的图象关于直线x ＝3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.【1)求ω和φ的值；【2)若f 【α2)＝34【π6＜α＜2π3)，求cos 【α＋3π2)的值．2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足a 2＋c 2－b 2＝3ac .【1)求角B 的大小；【2)若2b cos A ＝3【c cos A ＋a cos C )，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．3．【2017·贵阳第二次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝【a ＋b ，sin A －sin C )，向量n ＝【c ，sin A －sin B )，且m ∥n .【1)求角B 的大小；【2)设BC 的中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积．4．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A 【1,0)和点B 【－1,0)，|OC→|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．【1)若x ＝34π，设点D 为线OA 上的动点，求|OC→＋OD →|的最小值；【2)若x ∈0，π2]，向量m ＝BC →，n ＝【1－cos x ，sin x －2cos x )，求m ·n 的最小值及对应的x 值．5．【2016·徐州模拟)已知函数f 【x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx 【ω＞0)的最小正周期为π.【1)当x ∈0，π2]时，求函数y ＝f 【x )的值域；【2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f 【A 2)＝3，且a ＝4，b ＋c ＝5，求△ABC 的面积．答案精析1．解【1)因为f 【x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f 【x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又因为f 【x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝－π6＋k π，k ∈Z.由－π2≤φ＜π2，得k ＝0，所以φ＝－π6.【2)由【1)，得f 【x )＝3sin 【2x －π6)，所以f 【α2)＝3sin 【2·α2－π6)＝34，即sin 【α－π6)＝14. 由π6＜α＜2π3，得0＜α－π6＜π2，所以cos 【α－π6)＝1－sin 2(α－π6)＝1－(14)2＝154.因此cos 【α＋3π2) ＝sin α＝sin 【α－π6)＋π6]＝sin 【α－π6)cos π6＋cos 【α－π6)sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 2．解【1)由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32.因为B 是三角形的内角，所以B ＝π6.【2)由正弦定理，得asin A＝bsin B＝csin C，代入2b cos A＝3【c cos A＋a cos C)，可得2sin B cos A＝3【sin C cos A＋sin A cos C)，即2sin B cos A＝3sin B.因为B∈【0，π)，所以sin B≠0，所以cos A＝3 2，所以A＝π6，则C＝π－A－B＝2π3.设AC＝m【m＞0)，则BC＝m，所以CM＝12m.在△AMC中，由余弦定理，得AM2＝CM2＋AC2－2CM·AC·cos 2π3，即【7)2＝14m2＋m2－2·12m·m·【－12)，整理得m2＝4，解得m＝2.所以S△ABC ＝12CA·CB sin2π3＝12×2×2×32＝ 3.3．解【1)因为m∥n，所以【a＋b)【sin A－sin B)－c【sin A－sin C)＝0. 由正弦定理，得【a＋b)【a－b)－c【a－c)＝0，即a2＋c2－b2＝ac.由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b22ac＝ac2ac＝12.因为B∈【0，π)，所以B＝π3.【2)设∠BAD＝θ，则在△BAD中，由B＝π3，可知θ∈【0，2π3)．由正弦定理及AD ＝3，得BD sin θ＝AB sin (2π3－θ)＝AD sin π3＝2，所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin 【2π3－θ) ＝3cos θ＋sin θ.所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ.从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin 【θ＋π6)．由θ∈【0，2π3)，可知θ＋π6∈【π6，5π6)，所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，a ＋2c 取得最大值4 3.此时a ＝23，c ＝3，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝332.4．解【1)设D 【t,0)【0≤t ≤1)，由题意知C 【－22，22)，所以OC →＋OD →＝【－22＋t ，22)，所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝【t －22)2＋12【0≤t ≤1)．所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|最小，为22. 【2)由题意得C 【cos x ，sin x )，m ＝BC→＝【cos x ＋1，sin x )，则m·n ＝1－cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x ＝1－cos2x －sin2x ＝1－2sin 【2x ＋π4)．因为x ∈0，π2]，所以π4≤2x ＋π4≤5π4，所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin 【2x ＋π4)取得最大值1.所以m·n的最小值为1－2，此时x＝π8.5．解【1)f【x)＝32【1＋cos2ωx)＋12sin2ωx＝sin【2ωx＋π3)＋32，因为f【x)的最小正周期为π，且ω＞0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1，所以f【x)＝sin【2x＋π3)＋32.又0≤x≤π2，则π3≤2x＋π3≤4π3，所以－32≤sin【2x＋π3)≤1，所以0≤sin【2x＋π3)＋32≤32＋1，即函数y＝f【x)在x∈0，π2]上的值域为0，32＋1]．【2)因为f【A2)＝3，所以sin【A＋π3)＝32.由A∈【0，π)，知π3＜A＋π3＜4π3，解得A＋π3＝2π3，所以A＝π3.由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bc cos A，即16＝b2＋c2－bc，所以16＝【b＋c)2－3bc.因为b＋c＝5，所以bc＝3，所以S△ABC ＝12bc sin A＝334.。

江苏专用高考数学一轮复习加练半小时专题5平面向量复数第40练平面向量小题综合练理含解析

江苏专用高考数学一轮复习加练半小时专题5平面向量复数第40练平面向量小题综合练理含解析[基础保分练]1.如图，点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，下列向量组：①AD →与AB →；②AD →与BC →；③OA →与OC →；④CA →与DC →，其中可作为平行四边形所在平面一组基底的向量组是________．2．(2019·苏州模拟)已知α是锐角，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，sin α，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，13，且a ∥b ，则α为________．3．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若(a －2b )⊥c ，则k ＝________. 4．给出下列命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若a 是单位向量，则|a |＝1；③a 与b 不平行，则a 与b 都是非零向量．其中真命题是________．(填序号)5．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且AE →＝2EO →，则ED →＝________. 6．已知非零向量a ，b ，满足|a |＝22|b |，且(a ＋b )·(3a －2b )＝0，则a 与b 的夹角为________． 7.如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点P ，若OC →＝mOA →＋2mOB →，AP →＝λAB →，则λ＝____________.8.如图，若点G 为△ABC 的重心，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，则AG →·CG →＝________.9．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的________． 10．已知△OAB 是边长为1的正三角形，若点P 满足OP →＝(2－t )OA →＋tOB →(t ∈R )，则|AP →|的最小值为________．[能力提升练]1．(2018·南通调研)已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c ·a ＝c ·b ＝1，则对任意的正实数t ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 的最小值是________．2．在△ABC 中，E 为AC 上一点，AC →＝3AE →，P 为BE 上任一点，若AP →＝mAB →＋nAC →(m >0，n >0)，则3m ＋1n的最小值是________．3.已知△ABD 是等边三角形，且AB →＋12AD →＝AC →，|CD →|＝3，那么四边形ABCD 的面积为________．4．在平面内，定点A ，B ，C ，O 满足|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →＝－2，动点P ，Q 满足|AP →|＝1，PQ →＝QC →，则4BQ →2－37的最大值是________．5．(2018·盐城模拟)在△ABC 中，D 是边BC 上一点，且BD →＝DC →，点列P n (n ∈N *)在直线AC 上，且满足P n A →＝a n ＋1P n B →＋a n P n D →，若a 1＝1，则数列{a n }的通项a n ＝________.6．(2018·南京模拟)△ABC 是边长为3的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝3a ，AC →＝3a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的序号) ①b 为单位向量；②a 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →； ⑤(6a ＋b )⊥BC →.答案精析基础保分练1．①④ 2.30°或60° 3.－3 4.②③ 5.23AD →－13AB → 6.π4解析设a ，b 的夹角为θ， ∵(a ＋b )·(3a －2b )＝0， ∴3a 2＋a ·b －2b 2＝0，∴3|a |2＋|a |×|b |×cos θ－2|b |2＝0， ∵|a |＝22|b |， ∴3×12|b |2＋22|b |×|b |×cos θ－2|b |2＝0，又a ，b 为非零向量， ∴cos θ＝22，θ＝π4， ∴a 与b 的夹角为π4.7.23解析 ∵AP →＝OP →－OA →，且OP →和OC →共线， ∴存在实数μ，使OP →＝μOC →＝μ(mOA →＋2mOB →)，又AP →＝λAB →， ∴μ(mOA →＋2mOB →)－OA → ＝λ(OB →－OA →)，即(μm －1)OA →＋2μm OB →＝λOB →－λOA →，∴⎩⎪⎨⎪⎧μm －1＝－λ，2μm ＝λ，解得λ＝23.8．－59解析在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos60°＝4＋1－2×2×1×12＝3，∴AC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2， ∴△ABC 为直角三角形，且C ＝90°.以点C 为原点，边CA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A (3，0)，B (0,1) 又G 为△ABC 的重心，∴点G 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫33，13. ∴AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，13，CG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，13，∴AG →·CG →＝－233×33＋13×13＝－59.9．内心解析 ∵AB →|AB →|，AC→|AC →|分别表示向量AB →，AC →方向上的单位向量，∴AB→|AB →|＋AC→|AC →|在∠BAC 的角平分线上，由OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，可得到OP →－OA →＝AP → ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴向量AP →在∠BAC 的角平分线上， ∴动点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心． 10.32解析以O 为原点，以OB 为x 轴，建立平面直角坐标系， ∵△AOB 为边长为1的正三角形，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，B (1,0)， OP →＝(2－t )OA →＋tOB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t ，3－32t ，AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋12，32－32t ，|AP →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32t 2 ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34≥32.能力提升练1．2 2 2.12 3.92 34．12解析由题意得OA →·OB →－OB →·OC →＝0，∴OB →·CA →＝0，∴OB →⊥CA →，同理OC →⊥AB →，OA →⊥BC →， ∴O 是△ABC 的垂心，又|OA →|＝|OB →|＝|OC →|， ∴O 为△ABC 的外心，因此，△ABC 的中心为O ，且△ABC 为正三角形， ∴∠AOC ＝∠BOC ＝∠AOB ＝120°，建立平面直角坐标系，易得|OA →||OB →|cos120°＝－2， ∴|OA →＝|OB →|＝2，∴B (－3，－1)，C (3，－1)，A (0,2)，设P (x ，y )，∵|AP →|＝1，∴x ＝cos θ，y ＝2＋sin θ， ∵PQ →＝QC →， ∴Q 为PC 的中点，∴Q ⎝⎛⎭⎪⎫3＋cos θ2，1＋sin θ2， ∴|BQ →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33＋cos θ22＋⎝⎛⎭⎪⎫3＋sin θ22， ∴4|BQ →|2＝(33＋cos θ)2＋(3＋sin θ)2 ＝37＋12sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3， ∴4|BQ →|2－37＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤12.5.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1解析由BD →＝DC →，可知D 为BC 的中点， ∴P n D →＝P n B →＋BD →＝12BC →－BP n →，∵P n A →＝P n B →＋BA →＝a n ＋1P n B →＋a n P n D →， ∴BA →－BP n →＝a n ＋1P n B →＋a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC →－BP n →，∴BA →＝(1－a n ＋1－a n )BP n →＋12a n BC →，又点列P n (n ∈N *)在直线AC 上，即A ，P n ，C 三点共线， ∴1－a n ＋1－a n ＋12a n ＝1，∴a n ＋1＝－12a n ，∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，－12为公比的等比数列，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.6．②④⑤。

2018版高考数学理江苏专用大一轮复习讲义教师版文档第

1.向量的有关概念2.向量的线性运算3.向量共线定理对于两个向量a (a ≠0)，b ，如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa . 【知识拓展】1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ―――→＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2.若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →).3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关.( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( √ )1.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是________. 答案 ①解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误.2.(教材改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝______________. 答案－BC →＋12BA →解析如图，CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.3.(教材改编)若2(y －13a )－12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量y ＝________. 答案421a －17b ＋17c 解析由2(y －13a )－12(c ＋b －3y )＋b ＝0，得2y －23a －12c －12b ＋32y ＋b ＝0，即72y －23a －12c ＋12b ＝0，所以y ＝421a －17b ＋17c .4.(教材改编)已知实数m ，n 和向量a ，b ，给出下列命题： ①m (a －b )＝m a －m b ； ②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ； ④若m a ＝n a (a ≠0)，则m ＝n . 其中正确的命题是________. 答案 ①②④解析若m ＝0，则m a ＝m b ＝0，但a 与b 不一定相等，故③不正确.5.(2016·江苏徐州四校联考)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝______. 答案 23解析由AD →＝2DB →，得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，结合CD →＝13CA →＋λCB →，知λ＝23.题型一平面向量的概念例1 给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________. 答案 ②③解析 ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. ②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，∴AB →＝DC →.③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③. 思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制. (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线.设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0. 上述命题中，假命题的个数是________. 答案 3解析向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3. 题型二平面向量的线性运算命题点1 向量的线性运算例2 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝__________. (2)(2015·课标全国Ⅰ改编)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则AD →＝____________. 答案 (1)23b ＋13c (2)－13AB →＋43AC →解析 (1)∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋A B →， ∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .(2)∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.命题点2 根据向量线性运算求参数例3 (1)(2017·江苏昆山中学月考)如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝________.(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是______________. 答案 (1)－2 (2)⎝⎛⎭⎫－13，0 解析 (1)直接利用向量共线定理，得BC →＝3DC →，则AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋3DC →＝AB →＋3(AC →－AD →) ＝AB →＋3AC →－3AD →， AC →＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n ＝32，那么m －n ＝－12－32＝－2.(2)设CO →＝yBC →， ∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝⎛⎭⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →， ∴x ＝－y ，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0. 思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则.(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为________.答案 29解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →， ∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →) ＝λ⎝⎛⎭⎫52AE →＋2AF → ＝52λAE →＋2λAF →，由E ，F ，K 三点共线，可得λ＝29.题型三共线定理的应用例4 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线.又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线. (2)解假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线.设两个向量a 与b 不共线.(1)试证：起点相同的三个向量a ，b,3a －2b 的终点在同一条直线上(a ≠b )； (2)求实数k ，使得k a ＋b 与2a ＋k b 共线. (1)证明设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝3a －2b . 因为AC →＝OC →－OA →＝(3a －2b )－a ＝2(a －b )，AB →＝OB →－OA →＝b －a ，所以AC →＝－2AB →，故AC →，AB →共线.又AC →，AB →有公共起点A ，所以A ，B ，C 在同一条直线上. (2)解因为k a ＋b 与2a ＋k b 共线，所以设k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )，λ∈R ，即k a ＋b ＝2λa ＋kλb ，又a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2λ，1＝kλ，所以k ＝±2.4.容易忽视的零向量典例下列叙述错误的是________. ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .②若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同. ③|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同.④向量b 与向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . ⑤AB →＋BA →＝0. ⑥若λa ＝λb ，则a ＝b . 错解展示解析 ⑤中两个向量的和仍是一个向量，∴AB →＋BA →＝0. 答案 ⑤ 现场纠错解析对于①，当b ＝0时，a 不一定与c 平行.对于②，当a ＋b ＝0时，其方向任意，它与a ，b 的方向都不相同. 对于③，当a ，b 之一为零向量时结论不成立.对于④，当a ＝0且b ＝0时，λ有无数个值；当a ＝0但b ≠0或a ≠0但b ＝0时，λ不存在. 对于⑤，由于两个向量之和仍是一个向量，所以AB →＋BA →＝0.对于⑥，当λ＝0时，不管a 与b 的大小与方向如何，都有λa ＝λb ，此时不一定有a ＝b . 故①②③④⑤⑥均错. 答案 ①②③④⑤⑥纠错心得在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量.1.(2016·徐州模拟)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是________. ①a ＋b ＝0 ②a ＝b③a 与b 共线反向 ④存在正实数λ，使a ＝λb 答案 ④解析因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线同向，故D 正确. 2.(教材改编)对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0成立”的____________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”) 答案必要不充分解析由a ＋b ＝0，可得a ＝－b ，即得a ∥b ，但a ∥b ，不一定有a ＝－b ，所以“a ∥b ”是“a ＋b ＝0成立”的必要不充分条件.3.已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝________. 答案 0解析依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0.4.(教材改编)已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题： ①AD →＝－12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的命题是________.(填序号) 答案 ①②③④解析 AD →＝AC →＋CD →＝－CA →－DC →＝－12a －b ，BE →＝BC →＋CE →＝a ＋12b ，CF →＝12(CB →＋CA →)＝－12a ＋12b ，所以AD →＋BE →＋CF →＝0.5.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________.答案 2解析 ∵O 为BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2.6.设P 为锐角△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)，AP →＝k (AB →＋AC →)(k ∈R )，若cos ∠BAC ＝25，则k ＝________. 答案514解析取BC 的中点D ，连结PD ，AD ，则PD ⊥BC ，AB →＋AC →＝2AD →， ∵AP →＝k (AB →＋AC →)(k ∈R )，∴AP →＝2kAD →，∴A ，P ，D 三点共线， ∴AB ＝AC ，∴cos ∠BAC ＝cos ∠DPC ＝DP PC ＝DP P A ＝25，∴AP ＝57AD ，∴2k ＝57，解得k ＝514.7.(2016·江苏无锡一中质检)在△ABC 中，D 在线段BC 上，BD →＝2DC →.若AD →＝mAB →＋nAC →，则mn ＝________. 答案 12解析因为AD →＝AB →＋BD →，AD →＝AC →＋CD →，BD →＝2DC →，所以AD →＝13AB →＋23AC →＝mAB →＋nAC →，所以m ＝13，n ＝23，所以m n ＝12.8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.答案 135解析如图，取单位向量i ，j ，则：a ＝i ＋2j ，b ＝2i －j ，c ＝3i ＋4j .∴c ＝x a ＋y b ＝x (i ＋2j )＋y (2i －j )＝(x ＋2y )i ＋(2x －y )j ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝3，2x －y ＝4， ∴⎩⎨⎧ x ＝115，y ＝25，∴x ＋y ＝135. 9.设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p的值是________.答案－1解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线.设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∵a ，b 不共线，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.*10.设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则角B 的大小为________.答案 60°解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0.又GB →，GC →不共线，∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，则sin B ＝sin A ＝sin C .根据正弦定理知b ＝a ＝c ，∴△ABC 是等边三角形，则角B ＝60°.11.如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________.答案 3解析设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎨⎧ －m ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ得1n ＋1m＝3. *12.已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ).(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明 (1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线.又∵BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线.(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →).又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。

江苏2018版高考数学复习平面向量5.1平面向量的概念及线性运算教师用书理苏教版

第五章平面向量 5.1 平面向量的概念及线性运算教师用书理苏教版1.向量的有关概念2.向量的线性运算3.向量共线定理对于两个向量a (a ≠0)，b ，如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa . 【知识拓展】1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ―――→＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2.若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →).3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关.( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( √ )1.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是________. 答案 ①解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误.2.(教材改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝______________. 答案－BC →＋12BA →解析如图，CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.3.(教材改编)若2(y －13a )－12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量y＝________. 答案421a －17b ＋17c 解析由2(y －13a )－12(c ＋b －3y )＋b ＝0，得2y －23a －12c －12b ＋32y ＋b ＝0，即72y －23a －12c ＋12b ＝0，所以y ＝421a －17b ＋17c .4.(教材改编)已知实数m ，n 和向量a ，b ，给出下列命题： ①m (a －b )＝m a －m b ； ②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ； ④若m a ＝n a (a ≠0)，则m ＝n . 其中正确的命题是________. 答案 ①②④解析若m ＝0，则m a ＝m b ＝0，但a 与b 不一定相等，故③不正确.5.(2016·江苏徐州四校联考)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝______. 答案 23解析由AD →＝2DB →，得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，结合CD →＝13CA →＋λCB →，知λ＝23.题型一平面向量的概念例1 给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________. 答案 ②③解析 ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. ②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，∴AB →＝DC →.③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③. 思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制. (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线.设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0. 上述命题中，假命题的个数是________. 答案 3解析向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3. 题型二平面向量的线性运算命题点1 向量的线性运算例2 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝__________.(2)(2015·课标全国Ⅰ改编)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则AD →＝____________. 答案 (1)23b ＋13c (2)－13AB →＋43AC →解析 (1)∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋A B →， ∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .(2)∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.命题点2 根据向量线性运算求参数例3 (1)(2017·江苏昆山中学月考)如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝________.(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是______________.答案 (1)－2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0解析 (1)直接利用向量共线定理，得BC →＝3DC →，则AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋3DC →＝AB →＋3(AC →－AD →) ＝AB →＋3AC →－3AD →， AC →＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n ＝32，那么m －n ＝－12－32＝－2.(2)设CO →＝yBC →， ∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则.(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为________.答案 29解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知， AC →＝AB →＋AD →，∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫52AE →＋2AF → ＝52λAE →＋2λAF →，由E ，F ，K 三点共线，可得λ＝29.题型三共线定理的应用例4 设两个非零向量a 与b 不共线. (1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线.又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线. (2)解假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线.设两个向量a 与b 不共线.(1)试证：起点相同的三个向量a ，b,3a －2b 的终点在同一条直线上(a ≠b )；(2)求实数k ，使得k a ＋b 与2a ＋k b 共线. (1)证明设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝3a －2b . 因为AC →＝OC →－OA →＝(3a －2b )－a ＝2(a －b )， AB →＝OB →－OA →＝b －a ，所以AC →＝－2AB →，故AC →，AB →共线.又AC →，AB →有公共起点A ，所以A ，B ，C 在同一条直线上. (2)解因为k a ＋b 与2a ＋k b 共线，所以设k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )，λ∈R ，即k a ＋b ＝2λa ＋k λb ，又a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2λ，1＝k λ，所以k ＝± 2.4.容易忽视的零向量典例下列叙述错误的是________. ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .②若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同. ③|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同.④向量b 与向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . ⑤AB →＋BA →＝0.⑥若λa ＝λb ，则a ＝b . 错解展示解析 ⑤中两个向量的和仍是一个向量，∴AB →＋BA →＝0. 答案 ⑤ 现场纠错解析对于①，当b ＝0时，a 不一定与c 平行.对于②，当a ＋b ＝0时，其方向任意，它与a ，b 的方向都不相同. 对于③，当a ，b 之一为零向量时结论不成立.对于④，当a ＝0且b ＝0时，λ有无数个值；当a ＝0但b ≠0或a ≠0但b ＝0时，λ不存在.对于⑤，由于两个向量之和仍是一个向量，所以AB →＋BA →＝0.对于⑥，当λ＝0时，不管a 与b 的大小与方向如何，都有λa ＝λb ，此时不一定有a ＝b . 故①②③④⑤⑥均错. 答案 ①②③④⑤⑥纠错心得在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量.1.(2016·徐州模拟)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是________. ①a ＋b ＝0 ②a ＝b③a 与b 共线反向④存在正实数λ，使a ＝λb 答案 ④解析因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线同向，故D 正确. 2.(教材改编)对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0成立”的____________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”) 答案必要不充分解析由a ＋b ＝0，可得a ＝－b ，即得a ∥b ，但a ∥b ，不一定有a ＝－b ，所以“a ∥b ”是“a ＋b ＝0成立”的必要不充分条件.3.已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝________. 答案 0解析依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0.4.(教材改编)已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题： ①AD →＝－12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的命题是________.(填序号) 答案 ①②③④解析 AD →＝AC →＋CD →＝－CA →－DC →＝－12a －b ，BE →＝BC →＋CE →＝a ＋12b ，CF →＝12(CB →＋CA →)＝－12a ＋12b ，所以AD →＋BE →＋CF →＝0.5.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________.答案 2解析 ∵O 为BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2.6.设P 为锐角△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)，AP →＝k (AB →＋AC →)(k ∈R )，若cos∠BAC ＝25，则k ＝________. 答案514解析取BC 的中点D ，连结PD ，AD ，则PD ⊥BC ，AB →＋AC →＝2AD →， ∵AP →＝k (AB →＋AC →)(k ∈R )，∴AP →＝2kAD →，∴A ，P ，D 三点共线， ∴AB ＝AC ，∴cos∠BAC ＝cos∠DPC ＝DP PC ＝DP PA ＝25， ∴AP ＝57AD ，∴2k ＝57，解得k ＝514.7.(2016·江苏无锡一中质检)在△ABC 中，D 在线段BC 上，BD →＝2DC →.若AD →＝mAB →＋nAC →，则m n＝________.答案 12解析因为AD →＝AB →＋BD →，AD →＝AC →＋CD →，BD →＝2DC →，所以AD →＝13AB →＋23AC →＝mAB →＋nAC →，所以m ＝13，n ＝23，所以m n ＝12. 8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.答案 135解析如图，取单位向量i ，j ，则：a ＝i ＋2j ，b ＝2i －j ，c ＝3i ＋4j .∴c ＝x a ＋y b ＝x (i ＋2j )＋y (2i －j )＝(x ＋2y )i ＋(2x －y )j ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝3，2x －y ＝4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝115，y ＝25，∴x ＋y ＝135. 9.设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是________.答案－1解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线.设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∵a ，b 不共线，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.*10.设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则角B 的大小为________.答案 60°解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA →＋sinB ·GB →＋sinC ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0.又GB →，GC →不共线， ∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，则sin B ＝sin A ＝sin C .根据正弦定理知b ＝a ＝c ，∴△ABC 是等边三角形，则角B ＝60°.11.如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m 的值为________.答案 3解析设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ得1n ＋1m＝3. *12.已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ).(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明 (1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线.又∵BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线.(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →).又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。

2018年高考数学(江苏省专用)复习专题测试课件：第五章平面向量 §5.2 平面向量的数量积

高考数学
(江苏省专用)
§5.2 平面向量的数量积
五年高考
A组

自主命题·江苏卷题组

OA OB OC OC 1.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量 , , 的模分别为1,1, , 2 与OA 的夹角
OB OC OC 为α,且tan α=7, 与的夹角为45°.若 = m +OA n (mOB ,n∈R),则m+n=
5sin θ),
因为 =3 ,所以P(5cos θ+2,5sin θ), PD CP

从而 =(5cos θ+2,5sin θ), =(5cos θ-6,5sin θ), AP BP 因为 · =2, AP BP 所以(5cos θ+2,5sin θ)· (5cos θ-6,5sin θ)=2,

7 2 10
2 10
∴| OM |=

又 OC =m OA +n OB = OM + ON ,| OA |=| OB |=1,
∴m= ,n= , ∴m+n=3.
5 4
7 4
2.(2014江苏,12,5分,0.49)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5, CP =3 PD, AP· BP =2,则
FD BE BF 由②③可得 · = · +3 =-1+ = . CE CF

2 1 = 2 ( 1 ( 1 1, 5 = + =DE 1 + + )= - DA AD )AB AC AB AB CE CD CB = CB AC AC 2 3 2 3 2 3 6 6 1 1 = BD + = BF DF + DA BC 2 3

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1．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－2≤φ＜2)的图象关于直线x ＝3对称，且
图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f (α2)＝34(π6＜α＜2π3)，求cos(α＋3π2)的值．
2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足a 2＋c 2－b 2＝3ac .
(1)求角B 的大小；
(2)若2b cos A ＝3(c cos A ＋a cos C )，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．
3．(2017·贵阳第二次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ＋b ，sin A －sin C )，向量n ＝(c ，sin A －sin B )，且m ∥n .
(1)求角B 的大小；
(2)设BC 的中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积．
4．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1,0)，|OC
→|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．
(1)若x ＝34π，设点D 为线OA 上的动点，求|OC
→＋OD →|的最小值； (2)若x ∈0，π2]，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m ·n 的最小值及对应
的x 值．
5．(2016·徐州模拟)已知函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx (ω＞0)的最小正周期为π.
(1)当x ∈0，π2]时，求函数y ＝f (x )的值域；
(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (A 2)＝3，且a ＝4，b
＋c ＝5，求△ABC 的面积．
答案精析
1．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，
所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.
又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，
所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，
即φ＝－π6＋k π，k ∈Z.
由－π2≤φ＜π2，得k ＝0，
所以φ＝－π6.
(2)由(1)，得f (x )＝3sin(2x －π6)，
所以f (α2)＝3sin(2·α2－π6)＝34，
即sin(α－π6)＝14. 由π6＜α＜2π3，得0＜α－π6＜π2，
所以cos(α－π6)＝
1－sin 2(α－π6)＝1－(14)2
＝154.
因此cos(α＋3π2)
＝sin α＝sin(α－π6)＋π6] ＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6
＝14×32＋154×12＝3＋158
. 2．解 (1)由余弦定理，得
cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32.
因为B 是三角形的内角，所以B ＝π6. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，
代入2b cos A ＝3(c cos A ＋a cos C )，
可得2sin B cos A＝3(sin C cos A＋sin A cos C)，
即2sin B cos A＝3sin B.
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
所以cos A＝
3 2，
所以A＝π
6，则C＝π－A－B＝2π3.
设AC＝m(m＞0)，则BC＝m，
所以CM＝1
2m.
在△AMC中，由余弦定理，得
AM2＝CM2＋AC2－2CM·AC·cos 2π3，
即(7)2＝1
4m
2＋m2－2·
1
2m·m·(－
1
2)，
整理得m2＝4，解得m＝2.
所以S
△ABC ＝
1
2CA·CB sin
2π
3
＝1
2×2×2×
3
2＝ 3.
3．解(1)因为m∥n，所以(a＋b)(sin A－sin B)－c(sin A－sin C)＝0. 由正弦定理，
得(a＋b)(a－b)－c(a－c)＝0，
即a2＋c2－b2＝ac.
由余弦定理，
得cos B＝a2＋c2－b2
2ac＝
ac
2ac＝
1
2.
因为B∈(0，π)，所以B＝π
3. (2)设∠BAD＝θ，则在△BAD中，
由B＝π
3，可知θ∈(0，2π3)．
由正弦定理及AD＝3，
得BD
sinθ＝
AB
sin(
2π
3－θ)
＝
AD
sin
π
3
＝2，
所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin(2π3－θ) ＝3cos θ＋sin θ.
所以a ＝2BD ＝4sin θ，
c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ.
从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ
＝43sin(θ＋π6)．
由θ∈(0，2π3)，可知θ＋π6∈(π6，5π6)，
所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，a ＋2c 取得最大值4 3.
此时a ＝23，c ＝3，
所以S △ABC ＝12ac sin B ＝332.
4．解 (1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，由题意知C (－22，22)，
所以OC →＋OD →＝(－22＋t ，22)，所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝(t
－22)2＋12(0≤t ≤1)．
所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|最小，为22
. (2)由题意得C (cos x ，sin x )，m ＝BC
→＝(cos x ＋1，sin x )，则m·n ＝1－cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x ＝1－cos2x －sin2x ＝1－2sin(2x ＋π4)．
因为x ∈0，π2]，
所以π4≤2x ＋π4≤5π4，所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，
sin(2x ＋π4)取得最大值1.
所以m·n 的最小值为1－2，此时x ＝π8.
5．解(1)f(x)＝
3
2(1＋cos2ωx)＋
1
2sin2ωx＝sin(2ωx＋
π
3)＋
3
2，因为f(x)的最小正周
期为π，且ω＞0，
所以2π
2ω＝π，解得ω＝1，
所以f(x)＝sin(2x＋π
3)＋
3 2.
又0≤x≤π
2，则π
3≤2x＋
π
3≤
4π
3，
所以－
3
2≤sin(2x＋
π
3)≤1，
所以0≤sin(2x＋π
3)＋
3
2≤
3
2＋1，
即函数y＝f(x)在x∈0，π
2]上的值域为0，
3
2＋1]．
(2)因为f(A
2)＝3，所以sin(A＋
π
3)＝
3
2.
由A∈(0，π)，知π
3＜A＋
π
3＜
4π
3，
解得A＋π
3＝2π
3，所以A＝
π
3.
由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bc cos A，即16＝b2＋c2－bc，
所以16＝(b＋c)2－3bc.
因为b＋c＝5，所以bc＝3，
所以S
△ABC ＝
1
2bc sin A＝
33
4.。