《离散数学》试卷题

参考答案及评分细则
西南科技大学2009——2010学年第 2学期
《 离散数学(A) 》期末考试试卷（B 卷）
一．基础题（共60分）
1. (4分) 设集合A={∅,{∅},{{∅}}}，求幂集P(A)。

解：B = {1，2}，所以ρ（B ）= {∅，{1}，{2}，{1，2}} --------2分
ρ（ρ（B ））= {∅，{∅}，{{1}}，{{2}}， {{1，2}} ，{∅，{1}}，{∅，{2}}，{∅，{1，2}}，{{1}，{2}}，{{1}，{1，2}}，{{2}，{1，2}}，{∅，{1}，{2}}，{∅，{1}，{1，2}}，{{1}，{2}，{1，2}}，{∅，{2}，{1，2}}，{∅，{1}，{2}，{1，2}}}。

--------2分 评分说明：根据步骤可酌情给分。

2. (8分) .
判定命题公式
的类型（写出判定过程）。

解：
评分说明：根据步骤可酌情给分。

3. (8分) 设 A 、B 和C 是全域E 的任意子集，证明：A ∪(B-A)=A ∪B 。

证明: ：A ∪(B-A)
=A ∪B --------2分
--------2分
--------2分
--------2分
--------2分
=A ∪(B ∩A-1) --------2分
=(A ∪B)∩(A ∪A-1) --------2分
= (A ∪B)∩E --------2分
= A ∪B
得证
评分说明：根据步骤可酌情给分。

4. （10分）集合X={<1,2>, <3,4>, <5,6>,… }，R={<<x1,y1>,<x2,y2>>|x1+y2 =
x2+y1}。

证明R 是X 上的等价关系。

证明：
1) 自反性：y x y x X y x +=+>∈<∀由于,,
自反R R y x y x >>∈<><<∴,,,--------3分
2) 对称性：X y x X y x >∈<∀>∈<∀2211,,,
时当R y x y x >>∈<><<2211,,, 21121221y x y x y x y x +=++=+也即即
有对称性故R R y x y x >>∈<><<1122,,, --------3分
3) 传递性：X y x X y x X y x >∈<∀>∈<∀>∈<∀332211,,,,
时且当R y x y x R y x y x >>∈<><<>>∈<><<33222211,,,,,,
⎩⎨⎧+=++=+)2()1(2
3321221y x y x y x y x 即 23123221)2()1(y x y x y x y x +++=++++
即1331y x y x +=+
有传递性故R R y x y x >>∈<><<3311,,, --------3分
由1）2）3）知：R 是X 上的等价关系。

--------1分
评分说明：根据步骤可酌情给分。

5.(10分)设A={1,2,3}，A上的关系R的关系图如下图所示：
请写出关系R和关系矩阵M R，并求r(R),s(R),t(R)。

解：R={<1,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>} ……………………..2分
关系矩阵M R=
……………………..2分
r(R)={<1,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>,<2,2>,<1,1>}……………..2分
s(R)={<1,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>,<2,1>}……………..2分
t(R)=R {<1,3>,<2,2>} ……………..2分
评分说明：根据步骤可酌情给分。

6.(10分)设A={2,3,6,12,24,36}，画出偏序集＜A，R整除＞的哈斯图，并
求B1={2,3,6}，B2={6,12}，B3={24,36}的上界、下界、上确界、下确界。

解：哈斯图如下图所示
评分说明：基本了解哈斯图的画法可酌情给分，特殊元素判断，每个0.5。

7. (10分)设有向图 D ＝<V ,E>，如下图所示。

求D 中v2到 v4长度分别为 1，
2，3 的通路的条数。

8.
解：
∴从V2到V4没有长度为1或3的通路，长度为2的通路有1条V 2→V3→V4.
………..2分
………..2分
………..2分
评分说明：根据步骤可酌情给分。

一、综合题 （40分）
1. (15分)符号化语句：“有些病人相信所有的医生，但是病人都不相信骗子，
所以医生都不是骗子”。

并推证其结论。

解：
F(x)：x 是病人，G(x)：x 是医生，H(x)：x 是骗子，L(x,y)：x 相信y 符号化：
前提：))),()(()((y x L y G y x F x →∀∧∃))),()(()((y x L y H y x F x ⌝→∀→∀
……………………………2分
结论：))()((x H x G x ⌝→∀ ……………………………1分
⑴))),()(()((y x L y G y x F x →∀∧∃ P
⑵)),()(()(y a L y G y a F →∀∧
ES ⑴……………1分 ⑶)(a F
T ⑵I ……………1分 ⑷)),()((y a L y G y →∀ T ⑵I ……………1分
⑸))),()(()((y x L y H y x F x ⌝→∀→∀ P ……………1分
⑹)),()(()(y a L y H y a F ⌝→∀→ US ⑸……………1分
⑺)),()((y a L y H y ⌝→∀
T ⑶⑹I ……………1分 ⑻))(),((y H y a L y ⌝→∀
T ⑺E ……………1分 ⑼),()(z a L z G →
US ⑷……………1分 ⑽)(),(z H z a L ⌝→
US ⑻……………1分 ⑾)()(z H z G →
T ⑼⑽I ……………1分 ⑿))()((x H x G x ⌝→∀ UG ⑾……………1分
评分说明：根据步骤可酌情给分。

2. (10分) 某班有25个学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打
篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球，而6个会打网球的人都会打另外一种球(指篮球或排球)，求不会打这三种球的人数是多少？
解：设会打排球、网球、篮球的学生集合分别为A ，B 和C ，则有
|S|=25； |A|=12； |B|=6； |C|=14；……………1分
|A ∩C|=6； |B ∩C|=5； |A ∩B ∩C|=2；……………2分
现在求|A ∩B| 。

因为会打网球的人都会打另一种，即篮球或排球，而其中会打篮球的有5人，那么另一个人肯定会打排球但不会打篮球。

再加上会打三种球的2人，共有3人会打排球和网球。

即|A ∩ B|=3。

……………3分 于是，根据容斥原理有：
评分说明：根据步骤可酌情给分。

3. (15分)用Dijkstra 算法求给定有向带权图G 中b 到g 的最短通路及其长
度。

解：用Dijkstra 标号法，将计算结果列在下表中。

表中第x 列第r 行标定的y/Z 表示b 到x 的最短路径的权在第r 步为y ，且在b 到x 的最短路径上，Z 邻接到x ，即x 的前驱元为Z 。

由表可知， b 到g 的最短路径为bceg ，长度为7。

……………4分
评分说明：知道Dijkstra算法的基本方法给4分。

求最短路径步骤及结果正确给7分，求长度步骤及结果正确给4分。

根据步骤可酌情给分。

评分说明：根据步骤可酌情给分。