2021年高中数学 第一章 集合与函数概念 第1节 集合(3)教案 新人教A版必修1

2021年高中数学第一章集合与函数概念第1节集合（3）教案新人教
A版必修1
教学分析
课本从学生熟悉的集合出发，结合实例，通过类比实数加法运算引入集合间的运算，同时，结合相关内容介绍子集和全集等概念．在安排这部分内容时，课本继续注重体现逻辑思考的方法，如类比等．
值得注意的问题：在全集和补集的教学中，应注意利用图形的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用直观图进行求补集的运算．
三维目标
1．理解两个集合的并集与交集、全集的含义，掌握求两个简单集合的交集与并集的方法，会求给定子集的补集，感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确，进一步提高类比的能力．
2．通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算．体会直观图示对理解抽象概念的作用，培养数形结合的思想．
重点难点
教学重点：交集与并集，全集与补集的概念．
教学难点：理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系．
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
作者：尚大志
导入新课
思路1.我们知道，实数有加法运算，两个实数可以相加，例如5＋3＝8.类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？教师直接点出课题．
思路2.请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？
(1)A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}；
(2)A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，C＝{x|x是实数}．
引导学生通过观察、类比、思考和交流，得出结论．教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容．
思路3.(1)①如图1甲和乙所示，观察两个图的阴影部分，它们分别同集合A、集合B 有什么关系？
图1
②观察集合A与B与集合C＝{1,2,3,4}之间的关系．
学生思考交流并回答，教师直接指出这就是本节课学习的课题：集合的基本运算．
(2)①已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，写出由集合A，B中的所有元素组成的集合
C.
②已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x<0}，在数轴上表示出集合A与B，并写出由集合A 与B中的所有元素组成的集合C.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)通过上述问题中集合A与B与集合C之间的关系，类比实数的加法运算，你发现了什么？
(2)用文字语言来叙述上述问题中，集合A与B与集合C之间的关系．
(3)用数学符号来叙述上述问题中，集合A与B与集合C之间的关系．
(4)试用Venn图表示A∪B＝C.
(5)请给出集合的并集定义．
(6)求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？
请同学们考察下面的问题，集合A与B与集合C之间有什么关系？
①A＝{2,4,6,8,10}，B＝{3,5,8,12}，C＝{8}；
②A＝{x|x是国兴中学xx年9月入学的高一年级女同学}，B＝{x|x是国兴中学xx年9月入学的高一年级男同学}，C＝{x|x是国兴中学xx年9月入学的高一年级同学}．
(7)类比集合的并集，请给出集合的交集定义？并分别用三种不同的语言形式来表达．
活动：先让学生思考或讨论问题，然后再回答，经教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路，主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画，用Venn图来表示．
讨论结果：(1)集合之间也可以相加，也可以进行运算，但是为了不和实数的运算相混淆，规定这种运算不叫集合的加法，而是叫做求集合的并集．集合C叫集合A与B的并集．记为A∪B＝C，读作A并B.
(2)所有属于集合A或属于集合B的元素组成了集合C.
(3)C＝{x|x∈A，或x∈B}．
(4)如图1所示．
(5)一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．其含义用符号表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，用Venn图表示，如图1所示．
(6)集合之间还可以求它们的公共元素组成集合的运算，这种运算叫求集合的交集，记作A∩B，读作A交B.①A∩B＝C，②A∪B＝C.
(7)一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．
其含义用符号表示为：
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
用Venn图表示，如图2所示．
图2
应用示例
例1 A＝{x|x<5}，B＝{x|x>0}，C＝{x|x≥10}，则A∩B，B∪C，A∩B∩C分别是什么？
活动：学生先思考集合中元素的特征，明确集合中的元素．将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果寻求就易进行．这三个集合都是用描述法表示的数集，求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素．
解：因A＝{x|x<5}，B＝{x|x>0}，C＝{x|x≥10}，在数轴上表示，如图3所示，所以A∩B ＝{x|0<x<5}，B∪C＝{x|x>0}，A∩B∩C＝∅.
图3
点评：本题主要考查集合的交集和并集．求集合的并集和交集时，①明确集合中的元素；变式训练
1．设A ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N }，求A ∩B ，A ∪B .
解：对任意m ∈A ，则有m ＝2n ＝2·2n －1，n ∈N *，因n ∈N *，故n －1∈N ，有2n －1∈N ，
那么m ∈B ，即对任意m ∈A 有m ∈B ，所以A ⊆B .
而10∈B 但10∉A ，即A B ，那么A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B .
2．求满足{1,2}∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数．
解：满足{1,2}∪B ＝{1,2,3}的集合B 一定含有元素3，B ＝{3}；还可含1或2其中一个，有{1,3}，{2,3}；还可含1和2，即{1,2,3}，那么共有4个满足条件的集合B .
3．设A ＝{－4,2，a －1，a 2}，B ＝{9，a －5,1－a }，已知A ∩B ＝{9}，求a .
解：因A ∩B ＝{9}，则9∈A ，a －1＝9或a 2＝9.
∴a ＝10或a ＝±3.
当a ＝10时，a －5＝5,1－a ＝－9；
当a ＝3时，a －1＝2不合题意；
当a ＝－3时，a －1＝－4不合题意．
故a ＝10.此时A ＝{－4,2,9,100}，B ＝{9,5，－9}，满足A ∩B ＝{9}．
4．设集合A ＝{x |2x ＋1<3}，B ＝{x |－3<x <2}，则A ∩B 等于 … ( )
A ．{x |－3<x <1}
B ．{x |1<x <2}
C ．{x |x >－3}
D ．{x |x <1} 解析：集合A ＝{x |2x ＋1<3}＝{x |x <1}，观察或由数轴得A ∩B ＝{x |－3<x <1}． 答案：A
222求a 的值．
活动：明确集合A ，B 中的元素，教师和学生共同探讨满足A ∩B ＝B 的集合A ，B 的关系．集
合A 是方程x 2＋4x ＝0的解组成的集合，可以发现，B ⊆A ，通过分类讨论集合B 是否为空集
来求a 的值．利用集合的表示法来认识集合A ，B 均是方程的解集，通过画Venn 图发现集合A ，B 的关系，从数轴上分析求得a 的值．
解：由题意得A ＝{－4,0}．∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .∴B ＝∅或B ≠∅.
当B ＝∅时，即关于x 的方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实数解，
则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.
当B ≠∅时，若集合B 仅含有一个元素，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，
此时，B ＝{x |x 2＝0}＝{0}⊆A ，即a ＝－1符合题意．
若集合B 含有两个元素，则这两个元素是－4,0，
即关于x 的方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的解是－4,0.
则有⎩
⎪⎨⎪⎧
－4＋0＝－2a ＋1，－4×0＝a 2－1. 解得a ＝1，则a ＝1符合题意．
综上所得，a ＝1或a ≤－1.
图4
课本本节练习，1,2,3.
【补充练习】
课堂小结
本节主要学习了：
1．集合的交集和并集．
2．通常借助于数轴或Venn图来求交集和并集．
作业
1．课外思考：对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律？
2．请你举出现实生活中的一个实例，并说明其并集、交集和补集的现实含义．
3．书面作业：课本习题1.1，A组，6,7,8.
设计感想
由于本节课内容比较容易接受，也是历年高考的必考内容之一，所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容．设计中通过借助于数轴或Venn图写出集合运算的结果，这是突破本节教学难点的有效方法．。