3.3.2 第1课时 简单的线性规划问题

M (4, 2)
x O 4
x4
8
x 2y 8
z 最大值为 8. 的交点 M (4, 2) 时，截距 2 的值最大， 即 z 的最大值为 z 3 4 2 2 16.
所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂获得最 大利润16万元.
在确定约束条件和线性目标函数的前提下， 用图解法求最优解的步骤为： （1）在平面直角坐标系内画出可行域； （2）将目标函数
分析：对应无数个点，即直线与边界线重合.
作出可行域，结合图形，看直线 l : y ax z
与哪条边界线重合时，可取得最大值.
解：当直线 l : y ax z 与边界 线重合时，有无数个点 y
3 x 5 y 25
使函数值取得最大值，
此时有 kl k AC .
3 3 k AC , kl a . 5 5 3 即a . 5
C
Ａ B x
x 1
x 4 y 3
O
1.线性约束条件、线性目标函数、可行域、可行解等 基本概念；
2.线性目标函数的最值的图解法及其步骤.
最优解在可行域的顶点或边界取得. 把目标函数转化为某一直线,其斜率与可行域边界所 在直线斜率的大小关系一定要弄清楚.
例2 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张
当点P在可允许的取值范围内变化时， z 求截距 的最值,即可得z的最值. 3
y
2 l0 : y x 3
由图可知 2 z 当直线y x 3 3 经过直线x 4与直线x 2 y 8
4 3
y =3
M (4, 2)
x
O
4
x4
8
x 2y 8
z 14 的交点 M (4, 2) 时，截距 3 的值最大， 最大值为 3 .
解线性规划问题的步骤： （1）画：画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用 平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小
的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案. 最优解一般在可行域的顶点处取得．
例2
x 4 y 3, 已知x , y满足 3 x 5 y 25, 设z ax y(a 0), x 1. 若z取得最大值时，对应点有无数个，求a的值.
3.3.2 简单的线性规划问题
第1课时 简单的线性规划问题
1.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、 可行域、可行解等基本概念； 2.了解线性规划问题的图解法，并能解决一些简单的问 题.(重点、难点）
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一
件甲产品使用4个A配件耗时1 h，每生产一件乙产品使用
真理喜欢批评，因为经过批评，真理就会取胜；
谬误害怕批评，因为经过批评，谬误就会失败。
求线性规划问题的最优整数解时，常用打网格线
和调整优值的方法，这要求作图必须精确，线性目标 函数对应的直线斜率与其他直线的斜率关系要把握准 确.
利用简单线性规划求变量的范围
例4
若二次函数 y f ( x ) 的图象过原点，且 1 f (1) 2,
3 f (1) 4, 求 f (2) 的范围.
中， x , y 必须都是整数，所以点 在可行域内打出网格线，
不是最优解.
y
B(3,9)
x y 0
M( 18 39 , ) 5 5
C(4,8)
x
O
2x+y=15
x+2y=18
x+3y=27
直线 x y =12 经过整点B(3,9)和C(4,8)， 它们是最优解.
z min =12.
答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板 张数最小的方法有两种，第一种截法是第一种钢板3 张，第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张， 第二种钢板8张；两种截法都最少要两种钢板12张.
钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:
钢板类型 规格类型
A规格 2 1
B规格 1 2
C规格 1 3
第一种钢板 第二种钢板
今需要A、B、C三种规格的成品分别15,18,27块，用数
学关系式和图形表示上述要求．各截这两种钢板多少张可 得所需A、B、C三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
分析：列表 A规格 第一种钢板 第二种钢板 2 B规格 C规格 1
简单线性规划问题的图解方法 例1 设 z＝2x＋y，式中变量x、 y满足下列条件：
x 4 y 3, 3 x 5 y 25, 求z的最大值和最小值. x 1,
分析：作可行域，画平行线，解方程组，求最值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
x 1
3 x 5 y 25 0
解：作出如图所示的可行域， 作 l0 : 2 x y 0
即 z 的最大值为 z 2 4 3 2 14. 所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最
大利润14万元.
1.线性约束条件
x 2 y 8， 4 x 16， 上述问题中，不等式组 4 y 12， 是一组对变量 x 0， y 0.
4.可行解、可行域、最优解 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.
由所有可行解组成的集合叫做可行域. 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个 问题的最优解.
（1）在上述问题中，如果每生产一件甲产品 获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元， 又当如何安排生产才能获得最大利润？
（2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系 吗？
将求变量范围的问题巧妙地转化为简单的线性 规划问题进行求解，减少了失误.
1.已知f (x) (3a 1)x b a, x [0,1], 若f (x) 1恒成立， 则a b的最大值是
5 3
.
分析：f (x)为一次函数或常数，欲使x 0,1时，f (x) 1恒成立， f (0) 1, b a 1, 只要 即 然后利用线性规划求解. f (1) 1, 2a b 2，
则z=2x+3y.
上述问题就转化为：当x、y满足不等式组并且为非负 整数时，z的最大值是多少？
把z 2 x 3 y变形为y
2 z 2 x ,这是斜率为 , 3 3 3
z 在y轴上的截距为 的直线, 3
当z变化时，可以得到一组互相平行的直线.
2 故可先作出过原点的直线l 0 : y x，再作l 0的平行线. 3
B
4
ab 3
a ab4
a b 1, 由方程组 得A(2,1). a b 3， z min 4a 2b 4 2 2 1 6. a b 2, 由方程组 得B(3,1). a b 4， z max 4a 2b 4 3 2 1 10. 6 f (2) 10.
将上述不等式组表示成平面上的区域,区域内所有坐标 为整数的点 P ( x , y ) 时 ,安排生产任务 x , y 都是有意义的. y 4 3 O
y =3
x
4
x4
8
x 2y 8
简单线性规划问题及有关概念
进一步，若生产一件甲种产品获利2万元,生产一 件乙种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大? 设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,
分析：设f(x)=ax 2 +bx,由已知条件可以得到关于二次函数 y=f(x)的系数a,b的不等式，f(-2)=4a-2b的范围可用 线性规划知识求解.
解： y f (x)的图象过原点， 设f (x) ax 2 bx(a 0). f (1) a b, f (1) a b. 1 a b 2, 3 a b 4. f (2) 4a 2b. 令z 4a 2b.
x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一 次不等式，所以又称为线性约束条件.
2.线性目标函数 我们把要求最大值的函数z=2x+3y称为目标函数.又
因为z=2x+3y是关于变量x、y的一次解析式，所以又称
为线性目标函数. 3.线性规划 一般的，在线性约束条件下求线性目标函数的最大 值或最小值问题，统称为线性规划问题.
x+2y=18
x+3y=27
作出一组平行直线 z=x+y，当直线经过可行域上的点M时，z 最小.
解方程组 由于
18 39 , 5 5
x 3 y 27, 2 x y 15,
得
M(
18 39 , ). 5 5
都不是整数，而此问题中的最优解 ( x , y )
( 18 39 , ) 5 5
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需截这 两种钢板共z张，则
2 x y 15, x 2 y 18, x 3 y 27 , x 0, y 0.
线性目标函数 z x y.
y
作出可行域如图所示：
x y 0
M
x
O
2x+y=15
作出如图所示的可行域，
z z 4a 2b可变形为b 2a . 2 作l0 : b 2a及其平行线.
由图可知，
b
4
ab 1 ab 2
z 当直线b =2a 经过 2 可行域上的点A时，
2
A
2
z O 截距 最大，即z最小. 2 1 z 经过点B时，截距 最小，2 2 b 2a 即z最大.
z ax by(b 0) 变形为 y
a z 最值问题转化为求直线 y x b b
z 在 y轴上的截距 b