3.3.2 第1课时 简单的线性规划问题
M (4, 2)
x O 4
x4
8
x 2y 8
z 最大值为 8. 的交点 M (4, 2) 时，截距 2 的值最大， 即 z 的最大值为 z 3 4 2 2 16.
所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂获得最 大利润16万元.
在确定约束条件和线性目标函数的前提下， 用图解法求最优解的步骤为： （1）在平面直角坐标系内画出可行域； （2）将目标函数
分析：对应无数个点，即直线与边界线重合.
作出可行域，结合图形，看直线 l : y ax z
与哪条边界线重合时，可取得最大值.
解：当直线 l : y ax z 与边界 线重合时，有无数个点 y
3 x 5 y 25
使函数值取得最大值，
此时有 kl k AC .
3 3 k AC , kl a . 5 5 3 即a . 5
C
Ａ B x
x 1
x 4 y 3
O
1.线性约束条件、线性目标函数、可行域、可行解等 基本概念；
2.线性目标函数的最值的图解法及其步骤.
最优解在可行域的顶点或边界取得. 把目标函数转化为某一直线,其斜率与可行域边界所 在直线斜率的大小关系一定要弄清楚.
例2 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张
当点P在可允许的取值范围内变化时， z 求截距 的最值,即可得z的最值. 3
y
2 l0 : y x 3
由图可知 2 z 当直线y x 3 3 经过直线x 4与直线x 2 y 8
4 3
y =3
M (4, 2)
x
O
4
x4
8
x 2y 8
z 14 的交点 M (4, 2) 时，截距 3 的值最大， 最大值为 3 .
解线性规划问题的步骤： （1）画：画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用 平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小
的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案. 最优解一般在可行域的顶点处取得．
例2
x 4 y 3, 已知x , y满足 3 x 5 y 25, 设z ax y(a 0), x 1. 若z取得最大值时，对应点有无数个，求a的值.
3.3.2 简单的线性规划问题
第1课时 简单的线性规划问题
1.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、 可行域、可行解等基本概念； 2.了解线性规划问题的图解法，并能解决一些简单的问 题.(重点、难点）
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一
件甲产品使用4个A配件耗时1 h，每生产一件乙产品使用
真理喜欢批评，因为经过批评，真理就会取胜；
谬误害怕批评，因为经过批评，谬误就会失败。
求线性规划问题的最优整数解时，常用打网格线
和调整优值的方法，这要求作图必须精确，线性目标 函数对应的直线斜率与其他直线的斜率关系要把握准 确.
利用简单线性规划求变量的范围
例4
若二次函数 y f ( x ) 的图象过原点，且 1 f (1) 2,
3 f (1) 4, 求 f (2) 的范围.
中， x , y 必须都是整数，所以点 在可行域内打出网格线，
不是最优解.
y
B(3,9)
x y 0
M( 18 39 , ) 5 5
C(4,8)
x
O
2x+y=15
x+2y=18
x+3y=27
直线 x y =12 经过整点B(3,9)和C(4,8)， 它们是最优解.
z min =12.
答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板 张数最小的方法有两种，第一种截法是第一种钢板3 张，第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张， 第二种钢板8张；两种截法都最少要两种钢板12张.
钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:
钢板类型 规格类型
A规格 2 1
B规格 1 2
C规格 1 3
第一种钢板 第二种钢板
今需要A、B、C三种规格的成品分别15,18,27块，用数
学关系式和图形表示上述要求．各截这两种钢板多少张可 得所需A、B、C三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
分析：列表 A规格 第一种钢板 第二种钢板 2 B规格 C规格 1
简单线性规划问题的图解方法 例1 设 z＝2x＋y，式中变量x、 y满足下列条件：
x 4 y 3, 3 x 5 y 25, 求z的最大值和最小值. x 1,
分析：作可行域，画平行线，解方程组，求最值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
x 1
3 x 5 y 25 0
解：作出如图所示的可行域， 作 l0 : 2 x y 0
即 z 的最大值为 z 2 4 3 2 14. 所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最
大利润14万元.
1.线性约束条件
x 2 y 8， 4 x 16， 上述问题中，不等式组 4 y 12， 是一组对变量 x 0， y 0.
4.可行解、可行域、最优解 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.
由所有可行解组成的集合叫做可行域. 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个 问题的最优解.
（1）在上述问题中，如果每生产一件甲产品 获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元， 又当如何安排生产才能获得最大利润？
（2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系 吗？
将求变量范围的问题巧妙地转化为简单的线性 规划问题进行求解，减少了失误.
1.已知f (x) (3a 1)x b a, x [0,1], 若f (x) 1恒成立， 则a b的最大值是
5 3
.
分析：f (x)为一次函数或常数，欲使x 0,1时，f (x) 1恒成立， f (0) 1, b a 1, 只要 即 然后利用线性规划求解. f (1) 1, 2a b 2，
则z=2x+3y.
上述问题就转化为：当x、y满足不等式组并且为非负 整数时，z的最大值是多少？
把z 2 x 3 y变形为y
2 z 2 x ,这是斜率为 , 3 3 3
z 在y轴上的截距为 的直线, 3
当z变化时，可以得到一组互相平行的直线.
2 故可先作出过原点的直线l 0 : y x，再作l 0的平行线. 3
B
4
ab 3
a ab4
a b 1, 由方程组 得A(2,1). a b 3， z min 4a 2b 4 2 2 1 6. a b 2, 由方程组 得B(3,1). a b 4， z max 4a 2b 4 3 2 1 10. 6 f (2) 10.
将上述不等式组表示成平面上的区域,区域内所有坐标 为整数的点 P ( x , y ) 时 ,安排生产任务 x , y 都是有意义的. y 4 3 O
y =3
x
4
x4
8
x 2y 8
简单线性规划问题及有关概念
进一步，若生产一件甲种产品获利2万元,生产一 件乙种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大? 设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,
分析：设f(x)=ax 2 +bx,由已知条件可以得到关于二次函数 y=f(x)的系数a,b的不等式，f(-2)=4a-2b的范围可用 线性规划知识求解.
解： y f (x)的图象过原点， 设f (x) ax 2 bx(a 0). f (1) a b, f (1) a b. 1 a b 2, 3 a b 4. f (2) 4a 2b. 令z 4a 2b.
x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一 次不等式，所以又称为线性约束条件.
2.线性目标函数 我们把要求最大值的函数z=2x+3y称为目标函数.又
因为z=2x+3y是关于变量x、y的一次解析式，所以又称
为线性目标函数. 3.线性规划 一般的，在线性约束条件下求线性目标函数的最大 值或最小值问题，统称为线性规划问题.
x+2y=18
x+3y=27
作出一组平行直线 z=x+y，当直线经过可行域上的点M时，z 最小.
解方程组 由于
18 39 , 5 5
x 3 y 27, 2 x y 15,
得
M(
18 39 , ). 5 5
都不是整数，而此问题中的最优解 ( x , y )
( 18 39 , ) 5 5
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需截这 两种钢板共z张，则
2 x y 15, x 2 y 18, x 3 y 27 , x 0, y 0.
线性目标函数 z x y.
y
作出可行域如图所示：
x y 0
M
x
O
2x+y=15
作出如图所示的可行域，
z z 4a 2b可变形为b 2a . 2 作l0 : b 2a及其平行线.
由图可知，
b
4
ab 1 ab 2
z 当直线b =2a 经过 2 可行域上的点A时，
2
A
2
z O 截距 最大，即z最小. 2 1 z 经过点B时，截距 最小，2 2 b 2a 即z最大.
z ax by(b 0) 变形为 y
a z 最值问题转化为求直线 y x b b
z 在 y轴上的截距 b
人教版高中数学必修5第三章不等式 3.3.2 简单的线性规划问题
钢板张数最少？
分
A规格 B规格 C规格 张数
析： 第一种钢板
2
1
1
x
列 第二种钢板
1
2
3
y
表 成品块数 2x y x 2y x 3y
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需截
这两种钢板共z张，则
2x y 15,
x x
2y 3y
18, 27,
x 0,
分析：对应无数个点，即直线与边界线重合时. 作出可行域，结合图形，看直线 l : y ax z
与哪条边界线重合时，可取得最大值.
解：当直线 l : y ax z 与边界
线重合时，有无数个点，
使函数值取得最大值，
此时有 kl kAC .
3
3
k AC
5
, kl
a
ห้องสมุดไป่ตู้. 5
问题的最优解.
（1）在上述问题中，如果每生产一件甲产品
获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，
又当如何安排生产才能获得最大利润？
（2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关 系吗？
设生产甲产品x件乙产品y件时，工厂获得的利润为
z,则z=3x+2y.
把z 3x 2 y变形为y 3 x z ,这是斜率为 3 ,
利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案. 最优解一般在可行域的顶点处取得．
x 4 y 3, 例2 已知x, y满足 3x 5 y 25,设z ax y(a 0),
3.3.2简单的线性规划1
今需要A、 、 三种规格的成品分别为 三种规格的成品分别为15、 、 今需要 、B、C三种规格的成品分别为 、18、27 块，用数学关系式和图形表示上述要求，如何使所 用数学关系式和图形表示上述要求， 用钢板张数最少？ 用钢板张数最少？
例6：一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 车皮甲种 ：一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种 肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥 肥料的主要原料是磷酸盐 、硝酸盐 ；生产 车皮乙种肥 料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。 料需要的主要原料是磷酸盐 、硝酸盐 。现库存磷酸盐 10t、硝酸盐 ，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满 、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。 足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。 足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。若生产 一车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产一车皮乙肥 一车皮甲种肥料，产生的利润为 元 产生的利润为5000元，那么非别生产甲乙肥料各多好车 料，产生的利润为 元 能够产生最大利润？ 皮，能够产生最大利润？
分析： 分析：将已知数据列成表格
食物／kg 碳水化合物／kg 蛋白质/kg 脂肪／kg
A B
0.105 0.105
0.07 0.14
0.14 0.07
三种规格， 例5： 要将两种大小不同的钢板截成 、B、C三种规格， ： 要将两种大小不同的钢板截成A、 、 三种规格 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示： 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示： 规格 钢型 第一种钢板 第二种钢板 A规格 规格 2 1 B规格 规格 1 2 C规格 规格 1 3
• 通过不等式（组）的平面区域，我们可以 知道不等式的可能取值范围。那么在不等 式平面区域中，那个值是最有意义的取值 呢，比如对于资源的利用，人力调配，生 产安排等等，都需要我们有一个最优的处 理办法
3.3.2简单的线性规划问题
解决问题 （1）用不等式组表示问题中的限制条件： 用不等式组表示问题中的限制条件： 设甲、乙两种产 品分别生产x 品分别生产x、y 件，由已知条件 可得二元一次不 等式组：
x &≥0 y≥0
（2）画出不等式组所表示的平面区域： 画出不等式组所表示的平面区域：
解：设需要截第一种钢板x张，第二种 设需要截第一种钢板x 钢板y 钢板y张，则目标函数为z=x+y 则目标函数为z=x+y
2x+y≧ 15 ≧ x+2y ≧ 18 x+3y ≧ 27 x ≥0,x∈N ∈ y ≥0,y∈N ∈
18 16 14 12 10 8 6 4 2
将目标函数化为： 将目标函数化为： y=-x+z,显然 越少， 显然z y=-x+z,显然z越少， 钢板数和越少。 钢板数和越少。
【教学重点】 教学重点】
利用图解法求得线性规划问题的最优解； 利用图解法求得线性规划问题的最优解；
【教学难点】 教学难点】
把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答， 把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的 关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数， 关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数， 利用图解法求得最优解。 利用图解法求得最优解。
y
M
o
3/7
5/7
6/7 x
M点是两条直线的交点，解方程组 点是两条直线的交点， 点是两条直线的交点
7 x + 7 y = 5 14 x + 7 y = 6
所以z 所以 min＝28x＋21y＝16 ＋ ＝
x 点的坐标为： 得M点的坐标为： 点的坐标为 y
3.3.2 简单的线性规划问题 课件
简单的线性规划问题
线性规划问题的有关概念： 1．线性约束条件：不等式组是一组对变量x、y的约束条件， 这组约束条件都是关于x、y的 一次不等式 ．
2．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解
析式，
线性目标函数是x、y的
一次
解析式．
条 件
3．线性规划问题：求线性目标函数在
线性约束
由约束条件画出可行域(如图6所示 )，为矩形 ABCD(包
括边界)．点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax时使直线在
y轴上的截距最大， ∴－a<kCD，即－a<－1，∴a>1.
[答案]
a>1
[评析 ]
这是一道线性规划的逆向思维问题．解答此类问题
必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得， 运用数形结合的思想方法求解．
[解] 设隔出大房间 x 间，小房间 y 间，获得收 益为 z 元，则
18x＋15y≤180， 1000x＋600y≤8000， x≥0，y≥0，且x，y∈N， 6x＋5y≤60，① 即5x＋3y≤40，② x≥0，y≥0，且x，y∈N.
目标函数为 z＝200x＋150y， 画出可行域如右图 8 所示．
解析：如图3所示．
作出可行域，作直
线 l0： x＋ y＝ 0，平移 l0， 当 l0 过点 A(2,0) 时， z 有最 小值2，无最大值． 答案：B
x－y＋5≥0， [例 2] 设 x，y 满足条件x＋y≥0， x≤3.
(1)求 u＝x2＋y2 的最大值与最小值； y (2)求 v＝ 的最大值与最小值． x－5
(1)求目标函数 z＝2x＋3y 的最小值与最大值； (2)求目标函数 z＝3x－y 的最小值与最大值；
3.3.2简单的线性规划问题课件
x≥0，y≥0， ≥ ， ≥ ， 12x＋8y≥64， ＋ ≥ ， ＋ ≥ ， 6x＋6y≥42， ＋ ≥ ， 6x＋10y≥54，
x≥0，y≥0， ≥ ， ≥ ， 3x＋2y≥16， ＋ ≥ ， 即 ＋ ≥ ， x＋y≥7， ＋ ≥ 3x＋5y≥27.
作出
可行域如图， 可行域如图，
x－y＋2≥0， － ＋ ≥ ， － ＋ ≤ ， 束条件x－5y＋10≤0， ＋ － ≤ ， x＋y－8≤0，
的最大值和最小值分别为( 的最大值和最小值分别为( A．3，－ ，－11 ． ，－ C．11，－ ，－3 ． ，－
【思路点拨】 思路点拨】
解答本题可先画出可行域， 解答本题可先画出可行域，再平
1.(2010 ⋅ 吉林联考)若点(1,3) 和(−4， 2) 在直线 − 2x + y + m = 0的两侧，则m的取值范围是( C B. m = −5或m = 10 D. − 5 ≤ m ≤ 10 10 A. m < −5或m > 10 C. − 5 < m < 10
)
解析：由已知两点在直线的两侧， 即( m + 5)( m − 10) < 0，所以 − 5 < m < 10，选C. 则( 2 + 3 + m )( −8 − 2 + m ) < 0，
让目标函数表示直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移， ＋ ＝ 在可行域上平移 在可行域上平移， 让目标函数表示直线 由此可知z＝ 处取得最小值． 由此可知 ＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值． ＋ 在 处取得最小值 因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和 个单 个单位的午餐和3个单 因此，应当为该儿童预订 个单位的午餐和 位的晚餐，就可满足要求． 位的晚餐，就可满足要求．
2017-2018年高中数学 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.3.2 第1课时 简单的
解简单线性规划问题的基本步骤： 1．画图．画出线性约束条件所表示的平面区域，即 可行域． 2．定线．令 z＝0，得一过原点的直线． 3．平移．在线性目标函数所表示的一组平行线中， 利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或 最小的直线．
4．求最优解．通过解方程组求出最优解． 5．求最值．求出线性目标函数的最小值或最大值．
归纳升华 解线性规划问题的基本步骤： (1)画：画出线性约束条件所表示的可行域． (2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，用 平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小 的直线．
(3)求：通过解方程组求出最优解． (4)答：根据所求得的最优解得出答案．
[变式训练] 已知实数 x，y 满足约束条件
[知识提炼·梳理]
1．约性约束条件： __由__关__于__x_，__y_的__一__次__不__等__式__形__成__的__约__束__条__件____． 2．线性目标函数： _由__关__于__两__个__变__量__x_，__y_一__次__式__形__成__的__函__数_____． 3．线性规划问题： _在__线__性__约__束__条__件__下__求__线__性__目__标__函__数__的__最__大__值__或__最__小 _值__问__题___．
y＝mx， 点 A 处取得最大值，由
x＋y＝1，
得 A1＋1 m，1＋mm，代入目标函数，即1＋1 m＋15＋mm＝ 4，解得 m＝3.
答案：3
归纳升华 根据目标函数的最值求参数的解题思路：采用数形结 合，先画出可行域，根据目标函数表示的意义，画出目标 函数等于最值的直线，它与相应直线的交点就是最优解， 再将所求出的最优解代入含有参数的约束条件，即可求出 参数的值或范围．
3.3.2简单线性规划(1_2)--上课用
y-x=0
5
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性， 1 O
1 A(2,-1)
5
x
y+1=0
B(-1,-1)
-1
x+y-1=0
x - y 0 1 、 画出x y - 1 0区域 y y 1 0
使 式中，的x、y满足约束条件：
3 z z y x , 为直线3x 5 y z 0 5 5 5 的纵截距
5 x 3 y 15 y x 1 x 5 y 3
5x+3y=15 y y=x+1
5
B(3/2,5/2)
1
X-5y=3 x
O
-1
1
5
A(-2,-1)
B.z=5x+3y D.z=3x+5y
答案:A
第31页
高考题练习：
x y≥2, 1.(2009 浙江)若实数x, y满足不等式组 2 x y≤4, x y≥0, 则2x 3y的最小值是 ________ .
答案:4
第32页
解析:作出可行域如下图. 作直线l:2x+3y=0,平移l,当l过点A(2,0)时,2x+3y有最小值4.
D.5
z=5×1+0=5.
答案:D
第34页
则z x 2y的最大值为
A.4 答案:B B.3 C.2
y≤1, 3.(2010 全国Ⅰ若变量 ) x、y满足约束条件 x y≥0, x y 2≤0,
高中数学 同步教学 简单的线性规划问题
x (1)
2
率的 2 倍,
因为 kQA= 7 ,kQB= 3 ,所以 z 的取值范围是[ 3 , 7 ].
48
42
方法技巧 与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数 的最值问题的求解,一般要结合给定代数式的几何意义来完成.
常 见 代 数 式 的 几 何 意 义 :(1) x2 y2 表 示 点 (x,y) 与 原 点 (0,0) 的 距
4.给定下列命题:在线性规划中,
①最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x或y的值;
②最优解指的是目标函数的最大值或最小值;
③最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域;
④最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
其中正确命题的序号是
.
解析:因为最优解是使目标函数取得最大值或最小值的可行解,即满足 线性约束条件的解(x,y),它是一个有序实数对,所以①②③均错,④正确. 故填④. 答案:④
变式探究:在本例的约束条件下,求z=x2+y2+2x的最大值与最小值.
解:z=x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1 表示可行域内任意一点(x,y)与点 D(-1,0)距离的平方减去 1,
如图所示,过 D 作 AB 的垂线 DP,垂足为 P,所以|DP|= | 1 0 4 | = 5 = 5 2 ,
(2)简单线性规划问题的解法 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最优解的步骤 可概括为“画、移、求、答”,即: ① 画 : 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 画 出 可 行 域 和 直 线 ax+by=0( 目 标 函 数 为 z=ax+by); ②移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点; ③求:求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或 最小值; ④答:给出正确答案.
3.3.2简单的线性规划问题(1).ppt1
y
o
x
1.课题导入
在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、 生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙 产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂 获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该 厂所有可能的日生产安排是什么？ 按甲、乙两种产品分别生产x、y件，由 已知条件可得二元一次不等式组
5 x＋3 y 1 5 1 y x＋ x－5 y 3
1.解：作出平面区域
y
A
o x C
y x x＋y 1 y － 1
z＝2x＋y
B
作出直线y=－2x＋z的 图像，可知z要求最大值， 即直线经过C点时。 求得C点坐标为（2，－1）， 则Zmax=2x＋y＝3
把z＝2x＋3y变形为
由上图可以看出，当实现直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M z 14 （4，2）时，截距的值最大 ，最大值为 ， 3 3
这时 2x+3y=14. 所以，每天生产甲产品 4 件，乙产品 2 件时， 工厂可获得最大利润14万元。
二、基本概念
Hale Waihona Puke 一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束 条件。 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因 为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 y 问题，统称为线性规划问题。 4 可行域 最优解 满足线性约束的解
3
（x，y）叫做可行解。 由所有可行解组成 可行解 的集合叫做可行域。
高中数学 第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题(第
3.3.2《简单的线性规划问题》（第1课时）一、选择题：1．目标函数z ＝4x ＋y ，将其看成直线方程时，z 的几何意义是( )A ．该直线的截距B ．该直线的纵截距C ．该直线的横截距D ．该直线的纵截距的相反数 【答案】B【解析】把z ＝4x ＋y 变形为y ＝－4x ＋z ，则此方程为直线方程的斜截式，所以z 为该直线的纵截距． 2．在如下图所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x －y ，则使z 取得最小值的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(3,2)C ．(5,2)D ．(4,1) 【答案】A【解析】对直线y ＝x ＋b 进行平移，注意b 越大，z 越小．3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C.[]－1，6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32【答案】A【解析】利用线性规划的知识求解．作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x －y ＝0，并向上、下平移，又直线y ＝3x －z 的斜率为3. 由图象知当直线y ＝3x －z 经过点A (2,0)时z 取最大值6，当直线y ＝3x －z 经过点B (12，3)时，z 取最小值－32. ∴z ＝3x －y 的取值范围为[－32，6]．故选A.4．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55 【答案】D【解析】根据题意画出不等式组表示的平面区域，然后求值．不等式组表示的区域如图所示，所以过点A (5,15)时2x ＋3y 的值最大，此时2x ＋3y ＝55.5．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，则yx的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞) 【答案】C【解析】⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0所表示的可行域如下图．而y x表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，过点O 与直线AB 平行的直线l 的斜率为1，l 绕点O 逆时针转动必与AB 相交，直线OB 的倾斜角为90°，因此y x的范围为(1，＋∞)．6.已知以x ，y 为自变量的目标函数ω＝kx ＋y (k >0)的可行域如下图阴影部分(含边界)，若使ω取最大值时的最优解有无穷多个，则k 的值为( )A ．1 B.32 C ．2 D ．4【答案】A【解析】目标函数可变形为y ＝－kx ＋ω，又∵k >0，结合图象可知，当ω最大时，－k ＝k DC ＝4－22－4＝－1.即k ＝1.二、填空题：7．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤6，则目标函数z ＝x ＋3y 的取值范围是________．【答案】[8,14]【解析】画出可行域，如图所示．作直线x ＋3y ＝0，并平移，由图象可知当直线经过A (2,2)时，z 取最小值，则z min ＝2＋3×2＝8.当直线经过C (2,4)时，z 取最大值z max ＝2＋3×4＝14. 所以z ＝x ＋3y 的取值范围是[8,14]．8．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 取最大值时点的坐标为________．【答案】(2，－1)【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1所表示的可行域如图所示．当平行直线系z ＝2x ＋y 经过点A (2，－1)时，目标函数z ＝2x ＋y 取得最大值．9．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ＋k ≥0，且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k ＝________.【答案】0【解析】由条件作出可行域如下图．根据图象知，目标函数过x ＋y ＋k ＝0与x ＝3的交点(3，－3－k )时取最小值，代入目标函数得－6＝2×3＋4×(－3－k )，∴k ＝0. 三、解答题10．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，试求a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】 区域D 如下图所示，其中A (2,9)．当y ＝a x恰过点A 时，a ＝3.因此当1<a ≤3时，y ＝a x的图象上存在区域D 上的点．故a 的取值范围为(1,3]． 11．设z ＝2x ＋y ，式中变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y≤－3，3x ＋5y≤25，x≥1，求z 的最大值和最小值．【答案】见解析【解析】 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，随z 变化的一族平行直线． 由图可以看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0得B 点坐标为(1,1)，所以z max ＝2×5＋2＝12，z min ＝2×1＋1＝3.12．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，求目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围．【答案】见解析【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4，如图得交点为A (2,0)，B (4－s,2s －4)，C (0，s )，C ′(0,4)，令z ＝0，得l 0：3x ＋2y ＝0，当l 0向上平移时z 值逐渐增大．(1)当3≤s <4时可行域为四边形OABC ，此时l 0平移到B 点时z 取最大值，z max ＝3×(4－s )＋2(2s －4)＝s ＋4. ∵3≤s <4，∴7≤z max <8.(2)当4≤s <5时，可行域是△OAC ′，此时l 0过C ′点时z 取最大值，z max ＝3×0＋2×4＝8.综上所述，z max ∈[7,8]．。