2018年高考理科数学北京卷(含答案解析)

数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理）本试卷满分150分,考试时长120分钟.第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|||2}A x x =<，{2,0,1,2}B =-，则A B =I( )A .{}0,1B .{}1,0,1-C .{}2,0,1,2-D .{}1,0,1,2-2.在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 3.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A .12B .56C .76D .7124.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载癱最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ( )ABC.D.5.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 ( )A .1B .2C .3D .4 6.设a ，b 均为单位向量，则“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离.当θ，m变化时，d 的最大值为( )A .1B .2C .3D .4 8.设集合(){},|1,4,2A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤，则( )A .对任意实数a ，()2,1A ∈B .对任意实数a ，()2,1A ∉ C .当且仅当0a <时，()2,1A ∉D .当且仅当32a ≤时，()2,1A ∉第二部分 (非选择题 共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上) 9.设{}n a 是等差数列，且13a=，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为 .10.在极坐标系中，直线()cos sin 0a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）11.设函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭.若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 .12.若x ，y 满足12x y x +≤≤，则2y x -的最小值是 . 13.能说明“若()()0f x f >对任意的(]0,2x ∈都成立，则()f x 在[]0,2上是增函数”为假命题的一个函数是 .14.已知椭圆M ：()222210x y a b a b +=>>，双曲线N ：22221x y m n-=.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ；双曲线N 的离心率为 . 三、解答题：共80分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)在ABC V 中，7a =，8b =，1cos 7B =-. （1）求A ∠；（2）求AC 边上的高.16.(本小题满分14分)如图，在三棱柱111-ABC A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11A C ，1BB的中点，AB BC ==12AC AA == （1）求证：AC ⊥平面BEF ；（2）求二面角1--B CD C 的余弦值； （3）证明：直线FG 与平面BCD 相交.17.(本小题满分12分)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立.（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率.（2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率 （3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“=1k ξ”表示第k 类电影得到人们喜欢，“=0k ξ”表示第k 类电影没有得到人们喜欢()1,2,3,4,5,6k =.写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系.18.(本小题满分13分)设函数()()24143xf x ax a x a e ⎡⎤=-+++⎣⎦（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，求a ；（2）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围.数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）19.(本小题满分14分)已知抛物线C ：22y px =经过点()1,2P，过点()0,1Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .（1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r，求证：11+λμ为定值.20.(本小题满分14分) 设n 为正整数，集合(){}{}12|=,,,,0,1,1,2,,nkA t t t t k n αα=∈=L L .对于集合A 中的任意元素()12=,,,n x x x αL 和()12=,,,n y y y βL ，记()()()()111122221,2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ⎡⎤=+--++--+++--⎣⎦L . （1）当3n =时，若()=1,1,0α，()=0,1,1β，求(),M αα和(),M αβ的值.（2）当4n =时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素α，β，当α，β相同时，(),M αβ是奇数；当α，β时，(),M αβ是偶数.求集合β中元素个数的最大值.（3）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素α，β，(),=0M αβ.写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共16页） 数学试卷 第8页（共16页）2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学答案解析一、选择题 1．【答案】A【解析】{}|22A x x =-<<，{}2,0,1,2-，则{}0,1A B ⋂=． 【考点】集合的交集运算． 2．【答案】D【解析】()()()211111111122i i i i i i i π++===+--+-，所以其共轭复数为1122i -，在复平面内对应点为1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，，位于第四象限．【考点】复数的四则运算与共轭复数的概念． 3．【答案】B【解析】1k =，1s =，()11111112s =+-⨯=+，2k =，不满足3k ≥，继续循环()211512126s =+-⨯=+，3k =，满足3k ≥，循环结束，输出56s =．【考点】算法的循环结构． 4．【答案】D【解析】根据题意可以知单音的频率形成一个等比的数列，其首项为f ，所以第八个单音的频率为7f=．【考点】数学文化与等比数列． 5．【答案】C【解析】根据三视图可以还原该几何体为正方体中的一个四棱锥1D APCD -，其中P 为AB 的中点，所以四棱锥1D APCD -中的侧面为直角三角形的有1D CD V ，1D AD V ，1D AP V ，共三个．【考点】三视图． 6．【答案】C【解析】2222223369962320a b a b a a b b a a b b a a b b -=+⇔-⋅+=+⋅+⇔+⋅-=，因为a，b均为单位向量，所以221a b ==，所以2223200a a b b a b a b +⋅-=⇔⋅=⇔⊥，所以“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的充分必要条件．【考点】充分必要条件的判断与平面向量的数量积运算． 7．【答案】C【解析】根据点()cos ,sin P θθ可知，P 为坐标原点为圆心，半径为1的单位圆上的点，所以d 的最大值为圆心()0,0到直线的距离再加上一个半径1，所以13d +≤．【考点】直线与圆的位置关系及圆的参数方程． 8．【答案】D【解析】当2a =时，(){},|1,24,22A x y x y x y x y =-≥+>-≤，将()2,1代入满足不等式组，所以排除B ；当12a =时，()11,|1,4,222A x y x y x y x y ⎧⎫=-≥+>-≤⎨⎬⎩⎭，将()2,1代入满足不等式142x y +>，所以排除A，C ． 【考点】不等式组表示的平面区域． 二、填空题数学试卷 第9页（共16页） 数学试卷 第10页（共16页）9．【答案】63n a n =-【解析】251636a a a a +=+=，因为13a =，所以633a =，所以615306d a a d =-=⇒=，所以()()1136163n a a n d n n =+-=+-=-． 【考点】等差数列． 10．【答案】【解析】直线方程为0x y a +-=，圆的方程为()22222011x y x x y +-=⇔-+=，根据111a a =⇔-==+0a >）． 【考点】直线与圆的位置关系以及极坐标方程与普通方程的互化． 11．【答案】23【解析】根据题意有当4x π=时，函数取得最大值1，所以cos 124646k ππππωωπ⎛⎫-=⇒-= ⎪⎝⎭，283k Z k ω∈⇒=+，k Z ∈，因为0ω>，所以ω的最小值为23．【考点】三角函数图象与性质． 12．【答案】3【解析】不等式组1,2y x y x ≥+⎧⎨≤⎩表示的区域为如图所示的阴影部分，设2z y x =-，则122zy x =+，所以2z 的几何意义为直线的众截距，1,1,22,y x x y x y ≥+=⎧⎧⇒⎨⎨≤=⎩⎩所以当直线过点()1,2A 时，取得最小值，所以min 2213z =⨯-=．【考点】线性规划问题．13．【答案】()sin f x x =（答案不唯一）【解析】本题为一个开放性题目，可以构造出许多函数，只需要()()0f x f >都成立即可，最常见的可以用分段函数，即一部分先为增函数，后一部分为减函数，确保()()0f x f >即可，如()sin f x x =．【考点】函数单调性的判断与应用． 14．12【解析】如图所示，双曲线的渐近线与椭圆的交点分别为A ，B ，C ，D ，则根据题意有22AB CD BF OF c ====，1BF =，所在椭圆中，有)1212BF BF c a +==，所以椭圆的离心率11c e a ==．根据双曲线渐近线ny x m =±，即有tan60n m=︒，所以223n m =，所以双曲线的离心率222222214m n n e m m +==+=，故22e =．数学试卷 第11页（共16页） 数学试卷 第12页（共16页）【考点】直线与椭圆、双曲线的位置关系．15．【答案】（1）在ABC V 中，因为1cos 7B =-，所以sin B ．由正弦定理得sin sin a B A b ==由题设知2B ππ<∠<，所以0A π<∠<．所以=3A π∠． （2）在ABC V 中，因为()sin sin sincos cos sin C A B A B A B =+=+=，所以AC 边上的高sin 7h a C ===【考点】解三角形问题．16．【答案】在三棱柱111-ABC A B C 中，因为1CC ⊥平面ABC ，所以四边形11A ACC 为矩形．又E ，F 分别为AC ，11A C 的中点，所以AC EF ⊥．因为AB BC =，所以AC BE ⊥．所以AC ⊥平面BEF ．（2）由（1）知AC EF ⊥，AC BE ⊥，1EF CC P ． 又1CC ⊥平面ABC ， 所以EF ⊥平面ABC ． 因为BE ⊂平面ABC ， 所以EF BE ⊥．如图建立空间直角坐标系-E xyz ．由题意得点()0,2,0B ，()1,0,0C -，()1,0,1D ，()0,0,2F ，()0,2,1G ．所以()()1,2,0,1,2,1BC BD =--=-u u u r u u u r．设平面BCD 的法向量为()000,,n x y z =，则0,0,n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r即0000020,20.x y x y z +=⎧⎨-+=⎩ 令01y =-，则002, 4.x z ==- 于是()2,1,4n =--．又因为平面1CC D 的法向量()0,2,0EB =u u u r，所以cos ,n EB n EB n EB⋅==u u u ru u u r u u u r由题知二面角1B CD C --为钝角，所以其余弦值为． （3）由（2）知平面BCD 的法向量为()2,1,4n =--，()0,2,1FG =-u u u r．因为()()()20124120n FG ⋅=⨯+-⨯+-⨯-=≠u u u r，所以直线FG 与平面BCD 相交．【考点】空间线面位置关系的判断与证明．17．【答案】（1）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000， 第四类电影中获得好评的电影部数是2000.25=50⨯． 故所求概率为50=0.0252000．数学试卷 第13页（共16页） 数学试卷 第14页（共16页）（2）设事件A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评” ．故所求概率为()()()()()()()()()11P AB AB P AB P AB P A P B P A P B +=+=-+-． 由题意知()P A 估计为0.25，()P B 估计为0.2． 故所求概率估计为0.250.8+0.750.2=0.35⨯⨯．（3）由题意知k ξ服从0—1分布，()()11,2,,6k k k D P P k ξ=-=L ，其中k P 为第k 类电影得到人们喜欢的概率也就是好评率，由计算得，142536D D D D D D ξξξξξξ>>=>>． 【考点】相互独立事件概率的求解以及方差的求解．18．【答案】（1）因为()()24143x f x ax a x a e ⎡⎤=-+++⎣⎦， 所以()()2212x f x ax a x e '⎡⎤=-++⎣⎦．()()11f a e '=-．由题设知()1=0f '，即()1=0a e -，解得1a =． 此时()130f e =≠． 所以a 的值为1．（2）由（1）得()()()()2212=12x xf x ax a x e ax x e '⎡⎤=-++--⎣⎦． 若12a >，则当1,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<； 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>． 所以()f x 在2x =处取得极小值． 若12a ≤，则当()0,2x ∈时，120,1102x ax x -<-≤-<，所以()0f x '>．所以2不是()f x 的极小值点．综上可知，a 的取值范围是1+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，． 【考点】导数在研究函数问题中的应用． 19．【答案】（1）因为抛物线22y px =过点()1,2， 所以24p =，即2p =． 故抛物线C 的方程为24y x =．由题意知，直线l 的斜率存在且不为0． 设直线l 的方程为()10y kx k =+≠．由24,1y x y kx ⎧=⎨=+⎩得()222410k x k x +-+=． 依题意()22=24410k k ∆--⨯⨯>，解得0k <或01k <<． 又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点()1,2-． 从而3k ≠-．所以直线l 斜率的取值范围是()()(),33,00,1-∞-⋃-⋃． （2）设点()()1122,,,A x y B x y ．由（1）知121222241,k x x x x k k -+=-=． 直线PA 的方程为()112211y y x x --=--．令0x =，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--．同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-．由QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r得1,1M N y y λμ=-=-．所以()()()2212121212122224211111111+=21111111M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+-+--+=+=⋅=⋅=------．所以11+λμ为定值．【考点】直线与抛物线的位置关系．20．【答案】（1）因为()=1,1,0α，()=0,1,1β， 所以()()()()1,11111111000022M αα⎡⎤=+--++--++--=⎣⎦，()()()()1,10101111010112M αβ⎡⎤=+--++--++--=⎣⎦． （2）设()1234=,,,x x x x B α∈，则()1234,M x x x x αα=+++．数学试卷 第15页（共16页） 数学试卷 第16页（共16页）由题意知{}1234,,,0,1x x x x ∈，且(),M αα为奇数， 所以1234,,,x x x x 中1的个数为1或3．所以()()()()()()()(){}1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0B ⊆．将上述集合中的元素分成如下四组：()()1,0,0,0,1,1,1,0；()()0,1,0,0,1,1,0,1；()()0,0,1,0,1,0,1,1；()()0,0,0,1,0,1,1,1．经验证，对于每组中两个元素,αβ，均有(),=1M αβ． 所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素． 所以集合B 中元素的个数不超过为4．又集合()()()(){}1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1满足条件， 所以集合B 中元素个数的最大值为4． （3）设()(){}()1212121,,,|,,,,1,01,2,,k nnkk S x x x x x x A xx x x k n -=∈======L L L L ，(){}11212,,,|0n nnS x x x x x x +=====L L ，则121n A S S S +=⋃⋃⋃L ．对于()1,2,,1k S k n =-L 中的不同元素α，β，经验证，(),1M αβ≥． 所以()1,2,,1k S k n =-L 中的两个元素不可能同时是集合B 的元素． 所以B 中元素的个数不超过1n +．取()12,,,k n k e x x x S =∈L 且()101,2,,1k n x x k n +====-L L ．令{}1211,,,n n n B e e e S S -+=⋃⋃L ，则集合B 的元素个数为1n +，且满足条件． 故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．【考点】新定义问题与集合中元素与集合、集合与集合的关系问题．。