离散图论部分习题课
复旦大学 计算机院 赵一鸣 离散数学 图论习题
(1)证明连通：任两点连通。 反证，不连通：1）若干连通分支 2）存在2个顶点，它们之间没有路 (2)证明G为树：树的等价定义证明方法， 利用树的等价定义；证明G有生成树， 可证明G连通，再用定理7.3 (3)利用Euler公式，推论6.1和6.2，及定 理6.2的证明方法，结合定理5.1;做过的 习题 (4)连通度证明，定理8.1及做过习题证明 方法
[7.21] (1)试画一棵带权1, 3, 8, 9, 12, 15, 16的最 优二分树。
W(T)=(1+3)*5+8*4+9*3+(12+15+16)*2
=20+32+27+86=165
(2)试将最优二分树的霍夫曼算法推广到最优 m 分树上, 其中m3。 当t-1不是m -1的倍数时, 则添加k个权为0的,使t1+k是m -1的倍数. 画一棵最优m分树方法是: 这里 t是权的个数 设t个权w1,w2,,wt,w1w2wt 首先构造t棵树,每棵树是一个顶点(即根),分别带 权 w1,w2, ,wt。 然后找出m个带最小权w1,w2 ,,wm的顶点作为 树叶, 构造一棵m分树。
(半)Euler图,充要条件 (半)Hamilton图,必要条件，充分条件 (半)Euler有向图,充要条件 (半)Hamilton有向图，有关结论 平面图，面，内部面，外部面 Euler公式,推论6.1，6.2 库拉托斯基定理 对偶图，定义，特点 点着色，面着色，地图
点连通度，边连通度，最小度数的关系 定理8.1 网络，容量，流量，可行流，最大流， 割容量，最小割 匹配，v关于M饱和，完美匹配，最大匹 配，完全匹配 交错路，增广路，定理8.8(最大匹配的充 要条件。 邻集，霍尔定理
离散数学图论练习题(优选试题)
图论练习题一.选择题1、设G是一个哈密尔顿图，则G一定是( )。
(1) 欧拉图(2) 树(3) 平面图(4)连通图2、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？()(1) {0，10，110，101111}(2) {01，001，000，1}(3) {b，c，aa，ab，aba}(4) {1，11，101，001，0011}3、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中()的路。
4、设G是一棵树，则G 的生成树有( )棵。
(1) 0(2) 1(3) 2(4) 不能确定5、n阶无向完全图Kn 的边数是( )，每个结点的度数是( )。
6、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是()。
7、一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。
8、有n个结点的树，其结点度数之和是()。
9、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( )。
(1) {a，ab，110，a1b11} (2) {01，001，000，1}(3) {1，2，00，01，0210} (4) {12，11，101，002，0011}10、n个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。
11、一个无向图有生成树的充分必要条件是( )。
12、设G是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则(1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能确定。
13、设T=〈V,E〉是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在( )片树叶。
14、任何连通无向图G至少有( )棵生成树，当且仅当G 是( )，G的生成树只有一棵。
15、设G是有n个结点m条边的连通平面图，且有k个面，则k等于:(1) m-n+2 (2) n-m-2 (3) n+m-2 (4) m+n+2。
16、设T是一棵树，则T是一个连通且( )图。
17、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2，则图G有( )个顶点。
(1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 1618、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G有( )个顶点。
离散数学习题课图论
2021/6/28
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练习2(续)
D的邻接矩阵的前4次幂.
1 2 0 0
A 0
0
1
0
1 0 0 1
0
0
1
0
1 2 2 0
A 2 1
0
0
1
1 2 1 0
1
0
0
1
3 2 2 2
A3
1
2
1
0
2 2 2 1
1
2
1
0
Hale Waihona Puke 5 6 4 2A4
2
2
2
1
4 4 3 2
2
2
2
1
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练习2(续)
(5) v1到v1长度为1,2,3,4的回路数分别为 1,1,3,5. 其中长度为1的是初级的(环)；长度 为2的是复杂的；长度为3的中有1条是复杂 的，2条是初级的；长度为4的有1条是复杂 的，有4条是非初级的简单回路. (6) 长度为4的通路(不含回路)为33条. (7) 长度为4的回路为11条. (8) 长度4的通路88条，其中22条为回路. (9) 44的全1矩阵.
9阶无向图G中，每个顶点的度数不是5就 是6. 证明G中至少有5个6度顶点或至少有 6个5度顶点.
方法一：穷举法
设G中有x个5度顶点，则必有(9x)个6度顶点， 由握手定理推论可知，(x,9x)只有5种可能： (0,9), (2,7), (4,5), (6,3), (8,1）它们都满足要求.
方法二：反证法
〔1 n 6〕 熟练掌握求最优树的方法
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习题1
离散数学图论习题
1 第4章 图论综合练习一、 单项选择题1．设L 是n 阶无向图G 上的一条通路，则下面命题为假的是( )． (A) L 可以不是简单路径，而是基本路径可以不是简单路径，而是基本路径 (B) L 可以既是简单路径,又是基本路径又是基本路径 (C) L 可以既不是简单路径，又不是基本路径可以既不是简单路径，又不是基本路径 (D) L 可以是简单路径，而不是基本路径可以是简单路径，而不是基本路径 答案：A 2．下列定义正确的是( )． (A) 含平行边或环的图称为多重图含平行边或环的图称为多重图 (B) 不含平行边或环的图称为简单图不含平行边或环的图称为简单图 (C) 含平行边和环的图称为多重图含平行边和环的图称为多重图 (D) 不含平行边和环的图称为简单图不含平行边和环的图称为简单图 答案：D 3．以下结论正确是．以下结论正确是 ( )．(A) 仅有一个孤立结点构成的图是零图仅有一个孤立结点构成的图是零图 (B) 无向完全图K n 每个结点的度数是n (C) 有n (n >1)个孤立结点构成的图是平凡图个孤立结点构成的图是平凡图 (D) 图中的基本回路都是简单回路图中的基本回路都是简单回路 答案：D 4．下列数组中，不能构成无向图的度数列的数组是( )． (A) (1,1,1,2,3) (B) (1,2,3,4,5) (C) (2,2,2,2,2) (D) (1,3,3,3) 答案：B 5．下列数组能构成简单图的是( )． (A) (0,1,2,3) (B) (2,3,3,3) (C) (3,3,3,3) (D) (4,2,3,3) 答案：C 6．无向完全图K 3的不同构的生成子图的个数为（的不同构的生成子图的个数为（ ）．）． (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 答案：C 7．n 阶无向完全图K n 中的边数为（中的边数为（）．）． (A) 2)1(+n n (B) 2)1(-n n (C) n (D)n (n +1) 答案：B 8．以下命题正确的是( )．(A) n (n ³1)阶完全图K n 都是欧拉图都是欧拉图 (B) n (n ³1)阶完全图K n 都是哈密顿图都是哈密顿图(C) 连通且满足m =n －1的图<V ,E >(½V ½=n ,½E ½=m )是树是树(D) n (n ³5)阶完全图K n 都是平面图都是平面图 答案：C 10．下列结论不正确是( )．(A) 无向连通图G 是欧拉图的充分必要条件是G 不含奇数度结点不含奇数度结点(B) 无向连通图G 有欧拉路的充分必要条件是G 最多有两个奇数度结点最多有两个奇数度结点 (C) 有向连通图D 是欧拉图的充分必要条件是D 的每个结点的入度等于出度的每个结点的入度等于出度(D) 有向连通图D 有有向欧拉路的充分必要条件是除两个结点外，每个结点的入度等2 于出度于出度 答案：D 11．无向完全图K 4是（是（）．）． （A ）欧拉图）欧拉图 （B ）哈密顿图）哈密顿图 （C ）树）树 答案：B 12．有4个结点的非同构的无向树有个结点的非同构的无向树有 ( )个．个． (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 答案：A 13．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树．一棵生成树．(A) 1+-n m (B) m n - (C) 1++n m (D) 1+-m n 答案：A 14．设G 是有6个结点的完全图，从G 中删去( )条边，则得到树．条边，则得到树． (A) 6 (B) 9 (C) 10 (D) 15 答案：C 二、 填空题1．数组{1，2，3，4，4}是一个能构成无向简单图的度数序列，是一个能构成无向简单图的度数序列， 此命题的真值是此命题的真值是 . 答案：0 2．无向完全图K 3的所有非同构生成子图有的所有非同构生成子图有个．个． 答案：4 3．设图G =<V ,E >，其中|V |=n ,|E |=m ．则图G 是树当且仅当G 是连通的，且m = ． 答案：n －1 4．连通图G 是欧拉图的充分必要条件是是欧拉图的充分必要条件是 ． 答案：图G 无奇数度结点无奇数度结点5．连通无向图G 有6个顶点9条边，从G 中删去中删去 条边才有可能得到G 的一棵生成树T ． 答案：4 6．无向图G 为欧拉图，当且仅当G 是连通的，且G 中无中无 结点．结点． 答案：奇数度答案：奇数度7．设图>=<E V G ,是简单图，若图中每对结点的度数之和是简单图，若图中每对结点的度数之和 ，则G 一定是哈密顿图．一定是哈密顿图． 答案：V ³8．如图1所示带权图中最小生成树的权是所示带权图中最小生成树的权是 ．答案：12三、化简解答题1．设无向图G ＝<V ,E >，V ={v 1，v 2，v 3，v 4，v 5，v 6}， E ={( v 1，v 2), ( v 2，v 2), ( v 4，v 5), ( v 3，v 4), ( v 1，v 3), ( v 3，v 1), ( v 2，v 4)}． (1) 画出图G 的图形；的图形；v 1 v 2v 6 v 5v 3v 4图2 ·2 2 3 · 1 · 7 9 2 · 8 · 6 图1 3 (2) 写出结点v 2, v 4，v 6的度数；的度数； (3) 判断图G 是简单图还是多重图．是简单图还是多重图． 解：(1) 图G 的图形如图5所示．所示． (2) 0)deg(,3)deg(,4)deg(642===v v v ．(3) 图G 是多重图．作图如图2. 2．设图G ＝<V ，E >，其中，其中V ＝{a ,b ,c ,d ,e }, E ={(a ,b ),(b ,c ),(c ,d ), (a ,e )} 试作出图G 的图形，并指出图G 是简单图还是多是简单图还是多重图？是连通图吗？说明理由. 解：图G 如图8所示．. 图G 中既无环，也无平行边，是简单图．中既无环，也无平行边，是简单图． 图G 是连通图．G 中任意两点都连通.所以，图G 有9个结点．作图如图3．四、计算题1．设简单连通无向图G 有12条边，G 中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求G 中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．解：设图G 有x 个结点，由握手定理个结点，由握手定理2´1+2´2+3´4+3´（x -2-2-3）＝12´2 271821243=-+=xx ＝9 故图G 有9个结点．个结点． 满足该条件的简单无向图如图4所示所示2．设图G (如图5表示)是6个结点a ,b ,c , d ,e ,f的图，试求，图G 的最小生成树，并计算它的权．的最小生成树，并计算它的权．解：构造连通无圈的图，即最小生成树，用解：构造连通无圈的图，即最小生成树，用克鲁斯克尔算法：克鲁斯克尔算法： 第一步：第一步： 取ab ＝1；第二步：；第二步： 取af =4 第三步：第三步： 取fe ＝3；第四步：；第四步： 取ad =9 第五步：第五步： 取bc =23 如图6．权为1+4+3+9+23=40 3．一棵树T 有两个2度顶点，1个3度顶点；3个4度顶点，度顶点， 问它有几片树叶？问它有几片树叶？解：设T 有n 顶点，则有n －1条边．T 中有2个 2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，度顶点， 其余n －2－1-3个1度顶度顶点．点．由握手定理：由握手定理： 2·2+12+1··3+3·4+ (n －2－1-3)=2(n －1) 解得解得 n =15．于是T 有15-6=9片树叶片树叶五、证明题1．若无向图G 中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．证：用反证法．设G 中的两个奇数度结点分别为u 和v ．假若u 和v 不连通．不连通．即它们之间无任何通路，则G 至少有两个连通分支G 1，G 2，且u 和v 分别属于G 1和G 2，于是G 1和G 2各含有一个奇数度结点．各含有一个奇数度结点．这与握手定理的推论矛盾．这与握手定理的推论矛盾．这与握手定理的推论矛盾．因而因而u 和v 一定是连通的．通的．a hb h h ec h hd 图3 图4 b · 23 1 c · · a 4 · f 9 3 d · ·e 图6 b · 23 1 15 c · 25 ·a 4 · f 28 9 16 3 d · 15 ·e 图5 。
离散图论部分习题
图的着色问题习题解答
01
图的着色问题：给定一个图，使 用最少的颜色对图中顶点进行着 色，使得相邻的顶点颜色不同。
02
图的着色问题是一个经典的NP难 问题，其求解方法包括贪心算法 、回溯算法等。
最小生成树问题习题解答
习题解答与解析
欧拉路径与回路习题解答
欧拉路径
一个路径是欧拉路径，如果它通过图 中的每条边恰好一次。
欧拉回路
一个路径是欧拉回路，如果它通过图 中的每条边恰好一次，并从某一条边 开始，最后回到这条边结束。
哈密顿路径与回路习题解答
哈密顿路径
一个路径是哈密顿路径，如果它通过图中的每个顶点恰好一 次。
哈密顿回路
02
基础问题解析
欧拉路径与回路
定义
一个遍历图中的所有边且每条边只遍历一 次的路径称为欧拉路径。如果这个路径的 起点和终点是同一点，则称为欧拉回路。
求解方法
应用
在计算机科学中，欧拉回路可用于解 决一些优化问题，如旅行商问题。
通过穷举法或动态规划法寻找是否存 在欧拉回路，并确定回路的长度。
哈密顿路径与回路
应用场景
最短路径问题在路由选择、 物流配送、旅行规划等领 域有广泛应用。
图的连通性问题
连通性定义
一个无向图是连通的，如果任意两个顶点之间都存在一条路径。
连通性判定
常用的连通性判定算法有深度优先搜索和广度优先搜索。
应用场景
图的连通性问题在社交网络分析、交通网络分析、通信网络分析 等领域有广泛应用。
04
离散图论部分习
目录
• 基础知识回顾 • 基础问题解析 • 高级问题解析 • 习题解答与解析
离散数学习题解答第6部分(图论)
离散数学习题解答 习题六 （第六章 图论）1．从日常生活中列举出三个例子，并由这些例子自然地导出两个无向图及一个向图。
[解] ①用V 代表全国城市的集合，E 代表各城市间的铁路线的集合，则所成之图G=（V ，E ）是全国铁路交通图。
是一个无向图。
②V 用代表中国象棋盘中的格子点集，E 代表任两个相邻小方格的对角线的集合，则所成之图G=（V ，E ）是中国象棋中“马”所能走的路线图。
是一个无向图。
③用V 代表FORTRAN 程序的块集合，E 代表任两个程序块之间的调用关系，则所成之图G+（V ，E ）是FORTRAN 程序的调用关系图。
是一个有向图。
2．画出下左图的补图。
[解] 左图的补图如右图所示。
3．证明下面两图同构。
a v 2 v 3 v 4图G图G ′[证] 存在双射函数ϕ:V →V ′及双射函数ψ : E →E ′ϕ (v 1)=v 1′ ϕ (v 1，v 2)=(v 1′，v 2′) ϕ (v 2)=v 2′ ϕ (v 2，v 3)=(v 2′，v 3′) ϕ (v 3)=v 3′ ϕ (v 3，v 4)=(v 3′，v 4′) ϕ (v 4)=v 4′ ϕ (v 4，v 5)=(v 4′，v 5) ϕ (v 5)=v 5′ ϕ (v 5，v 6)=(v 5′，v 6′) ϕ (v 6)=v 6′ϕ (v 6，v 1)=(v 6′，v 1′) ϕ (v 1，v 4)=(v 1′，v 4′) ϕ (v 2，v 5)=(v 2′，v 5′) ϕ (v 3，v 6)=(v 3′，v 6′)显然使下式成立：ψ (v i ，v j )=(v i ,v j ′)⇒ ϕ (v i )=v i ′∧ϕ (v j )=v j ′ (1≤i ·j ≤6) 于是图G 与图G ′同构。
4．证明（a ），（b ）中的两个图都是不同构的。
图G 中有一个长度为4的圈v 1v 2v 6v 5v 1，其各顶点的度均为3点，而在图G ′中却没有这样的圈，因为它中的四个度为3的顶点v 1'，v 5'，v 7'，v 3'不成长度的4的圈。
离散数学-图论-习题公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 A100001010 B011000100 C000110010 D1 1 0 0 0 0 0 0 1 E000011100 F001100001
311页（2）构造一种欧拉图，其结点数v和边数e满足下述条件
a)v，e旳奇偶性一样。 b) v，e旳奇偶性相反。 假如不可能，阐明原因。
练习 321页（1）
(a) v*=5,e*=8,r*=5
(b) v*=7,e*=13,r*=12
(c) v*=5,e*=6,r*=3
(d) v*=7,e*=12,r*=7
321页(4)证明：若图G是自对偶旳，则e=2v-2。
证明： 若图G是自对偶旳，则v=v*，e=e*，即 r*=v=v*=r，e=e* 则由欧拉定理v-e+r=2 得v-e+v=2，即e=2v-2。 若图G是自对偶旳，则e=2v-2。
1 0 1 10
A=
1 0 0 00
1 0 1 00
0 0 0 00 i=4时，因为A[4,2]=1，将第四行
用Warshall算法求可
加到第2行，A不变。
达性矩阵。
i=5时，因为A旳第5列全为0，所
i=1时，因为A旳第一行 以A不变。
0 0 0 00
全为0，所以A不变。
i=2时，因为A旳第2列 全为0，所以A不变。
无向图G具有一条欧拉回 路，当且仅当G是连通旳，而且 全部结点度数全为偶数。下面旳 图中全部结点度数全为偶数，所
以都是欧拉图。
ห้องสมุดไป่ตู้v=3,e=3
v=5,e=5
v=4,e=4 v=4,e=6
v=7,e=8
v=6,e=7
311页（6）
(图论)离散数学习题参考答案2
解此不等式可得 n ≥ 7 ， 即 G 中至少有 7 个顶点， 当为 7 个顶点时， 其度数列为 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4 ， Δ = 4, δ = 2 8. 设有 n 个顶点，由握手定理可得： ∑ d (vi ) = 2m ，即
i =1 n
1 × (3 + 5) + (n − 2) × 2 = 2 × 6
d − (v1 ) = 3, d + (v1 ) = 0; d − (v2 ) = 1, d + (v2 ) = 2; d − (v3 ) = 1, d + (v3 ) = 3; d − (v4 ) = 2, d + (v4 ) = 2
第十一次： （欧拉图与哈密顿图）P305 1.2.11.21 （无向树及其性质）P318 2.24(a), 25(b) 1. (a),(c) 是欧拉图，因为它们均连通且都无奇度顶点； (b),(d)都不是欧拉图；因为(b) 不连通，(d) 既不连通又有奇度顶点；要使(b),(d)变为欧拉图 均至少加两条边，使其连通并且无奇度顶点。如下图所示。
(1) v2 到 v5 长度为 1,2,3,4 的通路数分别为 0, 2, 0,0 条； (2) v5 到 v5 长度为 1,2,3,4 的通路数分别为 0,0,4,0 条； (3) D 中长度为 4 的通路（含回路）为 32 条； (4) D 中长度为小于或等于 4 的回路数为 12 条； (5) 因为 D 是强连通图，所以可达矩阵为 4 阶全 1 方阵，如上图所示。 46. 各点的出度和入度分别如下：
(v2,12)** (v5, 7)*
根据上表的最后一行，从 v1 到其余各点的最短路径和距离如下： v1v2, d(v1,v2)=6 v1v2v6, d(v1,v6)=12 v1v3, d(v1,v3)=3 v1v3v4v5v7, d(v1,v7)=7 v1v3v4, d(v1,v4)=5 v1v3v4v5v7v8, d(v1,v8)=10 v1v3v4v5, d(v1,v5)=6
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7. 设无向简单连通图G有16条边,有3个4度顶点,4个3度顶 点,其余顶点的度数都小于3,问G至少有多少个顶点,至多 有多少个顶点?
解: 由题设可知,图G中有16条边,所以图G中各点的度数 之和为32. 又由于图G中有3个4度顶点和4个3度顶点,这7个点的度数 之和为24,而图G中其余点的度数小于3,即图G中其余点的 度数只可能是2或1(由于图G是连通图,所以无零度点).
9. 是否存在3个顶点和6个顶点的自补图？
10. 无向图G中有9个顶点,每个顶点的度数不是5就是6,
证明:图G中至少有5个6度的顶点或至少有6个5度的顶点. 11. 设有向简单D的度数列为2，2，3，3，入度列为0，0， 2，3，试求D的出度列。
12.下列各组数中不能构成无向图的的度数列的是（ ）
（1）1，1，2，3，5 （3）1，3，1，3，2
由此可知,图G中至少有11个顶点: 3个4度点,4个3度点和 4个2度点; 至多有15个顶点: 3个4度点,4个3度点和8个1 度点.
8. 设G1,G2,G3,G4均是4阶3条边的无向简单图， 则它们之间至少有几个是同构的？
解： 4阶3条边非同构的无向简单图共有3个，因此 G1,G2,G3,G4中至少有2个是同构的。
12.下列各组数中不能构成无向图的的度数列的是（ ） （1）1，1，2，3，5 （2）1，2，3，4，5 （3）1，3，1，3，2 （4）1，2，3，4，6
11. 设有向简单D的度数列为2，2，3，3，入度列为 0，0，2，3，试求D的出度列。
解：设有向简单图D的度数列为2，2，3，3， 对应的顶点分别为v1,v2,v3,v4, 由于d(v)=d+(v)+d-(v), 所以d+(v1)= d(v1)-d-(v1)=2-0=2, d+(v2)= d(v2)-d-(v2)=2-0=2, d+(v3)= d(v3)-d-(v3)=3-2=1, d+(v4)= d(v4)-d-(v4)=3-3=0, 于是D的出度列为2，2，1，0。
本章重点
一、掌握有关图的基本概念： 邻接 关联 有向图 无向图 n阶图 底图 平行边 多重图 连通图 自回路（环） 简单图 二、掌握图中顶点的度数，握手定理及其推论
定理：设图G是具有n个顶点、m条边的无向图，
其中点集V={v1， v2，… vn }, 则
n
deg(vi ) 2m
i 1
由该定理可得：
9. 是否存在3个顶点和6个顶点的自补图？ 解: 由于顶点为n的无向完全图的边数为 n(n 1.)
2
设G的自补图为G’,则G与G’的边数相等. 设它们的边数各为m,于是有m+m=n(n 1)
2
即m=n(n-1)/4, 而m为正整数,所以要么n=4k或n=4k+1, 所以不存在3个顶点和6个顶点的自补图.
（2）1，2，3，4，5 （4）1，2，3，4，6
13. 如图是二部图，求其最大匹配。
a1
a2
V1
a3
a4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
V2
b1
b2
b3
b4
b5
14.完全二部图Km, n=(V1,V2,E)共有多少条边?
15. 当n取何值时，完全图Kn是欧拉图？ 16. 证明：对于任意一个无向连通图，必能从任意 一点出发经过图中每边恰好两次再回到出发点。
(1)
(2)
(3) 6. 一个图是自补图,设顶点数为n,其边数为m,其对应的 完全图的边数是多少?
7. 设无向简单连通图G有16条边,有3个4度顶点,4个3度顶 点,其余顶点的度数都小于3,问G至少有多少个顶点,至多 有多少个顶点? 8. 设G1,G2,G3,G4均是4阶3条边的无向简单图， 则它们之间至少有几个是同构的？
(握手定理)
推论: 度数为奇数的顶点的个数必为偶数。
三、掌握有向完全图和无向完全图及推论
推论1：
n阶无向完全图Kn
共有
n(n 1) 2
条边。
推论2： n阶有向完全图， 共有n(n-1) 条边。
四、掌握图的同构
五、掌握补图及自补图
六、掌握二部图及完全二部图
七、掌握求二部图的最大匹配的方法 八、掌握欧拉图及半欧拉图及其应用
10. 无向图G中有9个顶点,每个顶点的度数不是5就是6, 证明:图G中至少有5个6度的顶点或至少有6个5度的顶点.
证明:由于度数为奇数的顶点必为偶数个,所以度数为5的顶 点个数必为偶数,即可能为0、2、4、6、8.因为总数是9个顶 点,所以6度的顶点个数分别为9、7、5、3、1,于是图G中至 少有5个6度的顶点或至少有6个5度的顶点.
思考题： 1. 有9个人一起打乒乓球，已知他们每人至少与其中另外
3个人各打过一场球，试证明至少有一人不止和3个人 打过球. 2. 若无向图G有12条边，G中有6个3度结点，其余结点度数 均为2，问G中有多少个结点？ 3. 设n阶图G中有m条边,每个顶点的度数不是k就是k+1, 若G中有Nk个k度顶点,Nk+1个k+1度的顶点,试求出顶点 个数Nk的表达式. 4. 试画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图. 5. 判断下述每一对图是否同构?
解:由于Nk×k+(n-Nk)×(k+1)=2m 于是:Nk=n(k+1)-2m.
4. 试画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图
5. 判断下述每一对图是否同构: (1)
度数列不同 不同构
(2) 不同构
入(出)度列不同
(3)
度数列相同
但不同构
6. 一个图是自补图,设顶点数为n,其边数为m,其对应的 完全图的边数是多少?
思考题答案：
1. 有9个人一起打乒乓球，已知他们每人至少与其中另外 3个人各打过一场球，试证明至少有一人不止和3个人 打过球.
证明: 用9 个顶点vi表示9个人,顶点间的一条边表示这两人打 过一场球,可构成一个无向图,若每个人仅和其余3个人各打过 一场球，则d(vi) =3,而此时图G的奇数度点是9个,即奇数个, 因此产生矛盾,于是至少有一人不止和3个人打过球.
2.若无向图G有12条边，G中有6个3度结点，其余结点度数 均为2，问G中有多少个结点？
解:设图中有x个结点,由握手定理可得: 6×3+(x-6) ×2=2×12 于是 x=9, 所以G中有9个结点.
3. 设n阶图G中有m条边,每个顶点的度数不是k就是k+1, 若G中有Nk个k度顶点,Nk+1个k+1度的顶点,试求出顶点 个数Nk的表达式.