4第三章 静态场及其边值问题的解23

• 恒定电场的基本方程为
J 0 t
J dS 0 积分形式： S C E dl 0 • 线性各向同性导电媒质的本构关系 J E 若媒质是均匀的，则 J ( E ) E 0 E 0
B1n B2n 0 H 1t H 2 t J S
2. 边界条件 en ( B1 B2 ) 0 en ( H 1 H 2 ) J S
或
若分界面上不存在面电流，即JS＝0，则 en ( B1 B2 ) 0 B1n B2 n 0 或 en ( H 1 H 2 ) 0 H 1t H 2t 0
磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度
造成的。为了得到确定的A，可以对A的散度加以限制，在恒定磁 场中通常规定 A 0 ，并称为库仑规范。
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磁矢位的微分方程 B A A J B J 2 A J A0 2 在无源区： J 0 A0
1
2
3.2 导电媒质中的恒定电场分析
本节内容
3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件 3.2.2 恒定电场与静电场的比拟 3.2.3 漏电导
3
3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件
由J＝E 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电 流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体 中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分
J 0 微分形式： E 0
• 恒定电场的电位函数 E E 0 由 ( ) 0 J 0
均匀导电媒质中 没有体分布电荷
2 0
5
2. 恒定电场的边界条件
• 场矢量的边界条件 en (J 1 J 2 ) 0 即 J dS 0
基本方程 本构关系 位函数 边界条件
E ,
0
2
E ,
2 0
D 1n D 2 n 1 2 1 2 , 1 2n n静电场来自E 1t E 2 t
E 1t E 2 t
J 1n J 2 n
1 2 1 2 , 1 2 n n
1U 0 (b c ) [ 2 ln( b a ) 1 ln( c b )]
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（2）由 S e n D 可得，介质1内表面的电荷面密度为 1 2U 0 S 1 1e E1 a a [ 2 ln( b a ) 1 ln( c b )]
1 2
2 1
2、 2 1、1
c
b
介质2 介质1
U0
a
J I
内导体
外导体
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解 电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量， 所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为I，由求出电流密度
J 的表达式，然后求出 E 和 E2 ，再由 U 0 1
确定出电流 I。 可得电流密度
布电荷产生的电场称为恒定电场。 恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。
恒定电场与静电场的重要区别： （1）恒定电场可以存在于导体内部。 （2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒
定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。
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1. 基本方程
• 恒定电场的基本场矢量是电流密度 J (r )和电场强度 E (r )
1 , 1
2 ,2
z
d2
d1 d 2 d1 d 2 J U ( ) U U 1 U 2 E1d 1 E 2 d 2 ( ) J 1 2 1 2 1 2 由 D 1n D 2 n S S 上 D1 J , S 下 D 2 J 1 2 2 1 1 2 2 1 S 介 D 2 D1 ( ) J U 2 1 2 d1 1d 2
媒质1 1 0
媒质2
en E1
E2
2
行。
( 1 0)
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• 导电媒质分界面上的电荷面密度
1 2 1 2 S en ( D1 D 2 ) en ( J 1 J2) ( )Jn 1 2 1 2
• 电位的边界条件
对应物理量
E
恒定电场
E
D
J
q C I G
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例3.2.1 一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为1、 1 和 2、2 ，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。 解：极板是理想导体， 为等位面，电流沿z 方向。
o
d1
U
由 J 1n J 2n
J1 J 2 J
U
D

0
U
J

0
静电场
恒定电场
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恒定电场与静电场的比拟
静电场（ 0 区域） S D d S 0 , C E d l 0 D 0, E 0 D E 恒定电场（电源外） S J d S 0 , C E d l 0 J 0, E 0 J E
S
J 1n J 2n

C
E dl 0
en ( E 1 E 2 ) 0 即 E1t E 2t
场矢量的折射关系
tan 1 E 1 t / E 1 n 1 / J 1 n 1 tan 2 E 2 t / E 2 n 2 / J 2 n 2

b a
E1 d

S
c b
E2 d
（1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I ,则由

J dS I ,
J e
I 2 π
(a c)
介质中的电场
J I E1 e 1 2 π 1 J I E2 e 2 2 π 2
2 ( A ) A J
矢量泊松方程 矢量拉普拉斯方程
R 1 ( ) 磁矢位的表达式 R3 R J ( r ) R 1 B (r ) V R 3 d V 4π V J ( r ) ( R )d V 4π 1 [ J ( r )( )d V ] 4π V R
J e
E1 e
故两种介质中的电流密度和电场强度分别为
1 2U 0 (a c ) [ 2 ln( b a ) 1 ln( c b )]
2U 0 [ 2 ln( b a ) 1 ln( c b )]
(a b )
E 2 e
1 1
( 1 2 2 1 )U 0 b[ 2 ln(b a ) 1 ln( c b )]
J I
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3.3 恒定磁场分析
本节内容
3.3.1
3.3.2
恒定磁场的基本方程和边界条件
恒定磁场的矢量磁位和标量磁位
3.3.3
3.3.4 3.3.5
电感*
恒定磁场的能量 磁场力*
J ( r ) 1 1 1 ( ) J ( r ) ( ) J ( r ) J ( r ) ( ) R R R R
由此可得出 A ( r ) 4 π V
J ( r ) d V （可以证明满足 A 0） R
介质2外表面的电荷面密度为
S2
2e E 2
c
2 1U 0 c [ 2 ln( b a ) 1 ln( c b )]
2 2
b
两种介质分界面上的电荷面密度为
S 12
( 1e E1 2 e E 2 )

S
S
C
磁矢位的边界条件

A0 S en ( H 1 H 2 ) J S
C
A dl

S
A1 t A 2 t B dS A d S 0 A1 n A2 n
A1 A2
H A/
1 1 en ( A1 A2 ) J S 1 2
1 2 1 2 , 1 2 n n
J 1n J 2n
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3.2.2 恒定电场与静电场的比拟
如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，
边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，
求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种 场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的 解。这种求解场的方法称为比拟法。
en
媒质1 媒质2
1
E1
1
2
E2
2
6
如2 >> 1、且2≠90°，则1＝0，
媒质1 即电场线近似垂直于与良导体表面。
E1
此时，良导体表面可近似地看作为 等位面；
媒质2
E2 2
( 2 1 )
1 2
若媒质1为理想介质，即1＝0， 则J1=0，故J2n= 0 且 E2n= 0，即 导体中的电流和电场与分界面平
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3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位
1. 恒定磁场的矢量磁位 矢量磁位的定义 由 矢量磁位或称磁矢位
B A 即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。
磁矢位的任意性
B 0
与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标 量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即 A A A A ( ) A