[备考资料】2020届一轮复习人教A版 空间向量及其运算和空间位置关系 学案.doc

第五节空间向量及其运算和空间位置关系突破点一空间向量及其运算[基本知识]1．空间向量及其有关概念(1)空间向量的有关概念(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．空间向量的运算及其坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0.( ) (2)|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件．( ) (3)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( ) (4)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( ) (5)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( )(6)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)× 二、填空题1．如图，已知空间四边形ABCD ，则13AB ―→＋13BC ―→＋13CD―→等于________．答案：13AD ―→2．已知i ，j ，k 为标准正交基底，a ＝i ＋2j ＋3k ，则a 在i 方向上的投影为________． 答案：13．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线，则p ＝________，q ＝________.答案：3 24．已知向量a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，k ∈R ，若k a －b 与b 垂直，则k ＝________. 答案：7[全析考法]考法一 空间向量的线性运算[例1]已知四边形ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值：(1)OQ ―→＝PQ ―→＋x PC ―→＋y PA ―→； (2)PA ―→＝x PO ―→＋y PQ ―→＋PD ―→.[解] (1)如图，∵OQ ―→＝PQ ―→－PO ―→＝PQ ―→－12(PA ―→＋PC ―→)＝PQ ―→－12PA ―→－12PC ―→，∴x ＝y ＝－12.(2)∵PA ―→＋PC ―→＝2PO ―→， ∴PA ―→＝2PO ―→－PC ―→.又∵PC ―→＋PD ―→＝2PQ ―→，∴PC ―→＝2PQ ―→－PD ―→.从而有PA ―→＝2PO ―→－(2PQ ―→－PD ―→)＝2PO ―→－2PQ ―→＋PD ―→. ∴x ＝2，y ＝－2. [方法技巧]用已知向量表示某一向量的3个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．考法二 共线、共面向量定理的应用[例2]已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH .[证明] (1)如图，连接BG ，则EG ―→＝EB ―→＋BG ―→＝EB ―→＋12(BC ―→＋BD ―→)＝EB ―→＋BF ―→＋EH ―→＝EF ―→＋EH ―→，由共面向量定理知：E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH ―→＝AH ―→－AE ―→＝12AD ―→－12AB ―→＝12(AD ―→－AB ―→)＝12BD ―→，因为E ，H ，B ，D 四点不共线，所以EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH . [方法技巧]1．证明空间三点P ，A ，B 共线的方法(1)PA ―→＝λPB ―→(λ∈R )；(2)对空间任一点O ，OP ―→＝OA ―→＋t AB ―→(t ∈R )； (3)对空间任一点O ，OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→(x ＋y ＝1)． 2．证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法 (1)MP ―→＝x MA ―→＋y MB ―→；(2)对空间任一点O ，OP ―→＝OM ―→＋x MA ―→＋y MB ―→；(3)对空间任一点O ，OP ―→＝x OM ―→＋y OA ―→＋z OB ―→(x ＋y ＋z ＝1)； (4) PM ―→∥AB ―→ (或PA ―→∥MB ―→或PB ―→∥AM ―→)．考法三 空间向量数量积的应用[例3]如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，D 1D 的中点．若正方体的棱长为1.求cos 〈CE ―→，AF ―→〉．[解] ∵|CE ―→|＝C1E2＋CC21＝14＋1＝52＝|AF ―→|，∴CE ―→·AF ―→＝|CE ―→||AF ―→|cos 〈CE ―→，AF ―→〉＝54cos 〈CE ―→，AF ―→〉．又∵CE ―→＝CC1―→＋C1E ―→，AF ―→＝AD ―→＋DF ―→， ∴CE ―→·AF ―→＝(CC1―→＋C1E ―→)·(AD ―→＋DF ―→)＝CC1―→·AD ―→＋C1E ―→·AD ―→＋CC1―→·DF ―→＋C1E ―→·DF ―→＝|CC1―→||DF ―→|＝1×12＝12.∴cos 〈CE ―→，AF ―→〉＝25.[方法技巧] 空间向量数量积的3个应用[集训冲关]1.[考法一]已知三棱锥O -ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，用a ，b ，c 表示MN ―→，则MN ―→等于( )A.12(b ＋c －a ) B.12(a ＋b ＋c ) C.12(a －b ＋c ) D.12(c －a －b ) 解析：选D MN ―→＝MA ―→＋AO ―→＋ON ―→＝12BA ―→＋AO ―→＋12OC ―→＝12(OA ―→－OB ―→)＋AO ―→＋12OC ―→＝－12OA ―→－12OB ―→＋12OC ―→＝12(c －a －b )．2.[考法二]O 为空间任意一点，若OP ―→＝34OA ―→＋18OB ―→＋18OC ―→， 则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断解析：选B 因为OP ―→＝34OA ―→＋18OB ―→＋18OC ―→，且34＋18＋18＝1.所以P ，A ，B ，C 四点共面．3.[考法三]如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且 ∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA ―→，BC ―→〉的值为________．解析：设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，由已知条件，得〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA ―→·BC ―→＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b ＝12|a ||c |－12|a ||b |＝0， ∴OA ―→⊥BC ―→，∴cos 〈OA ―→，BC ―→〉＝0. 答案：0突破点二 利用空间向量证明平行与垂直[基本知识]1．两个重要向量2．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为n 1，n 2，则[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( )(2)已知AB ―→＝(2,2,1)，AC ―→＝(4,5,3)，则平面ABC 的单位法向量是n 0=±⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－23，23.( ) (3)两条不重合的直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1＝(1,0，－1)，v 2＝(－2,0,2)，则l 1与l 2的位置关系是平行．( )(4)若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、填空题1．已知直线l 1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,8)，且l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.答案：－14 62．若平面α的一个法向量为n 1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为n 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________.答案：－33．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－3,0，－6)，则l 与α的位置关系是________．答案：l ⊥α[全析考法]考法一 向量法证明平行与垂直关系[例1]如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F .(1)证明：PA ∥平面EDB ； (2)证明：PB ⊥平面EFD .证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点， 设DC ＝a .(1)连接AC 交BD 于G ，连接EG .依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2.∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心．故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，且PA ―→＝(a,0，－a )，EG ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2，∴PA ―→＝2EG ―→，∴PA ∥EG .又∵EG ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ， ∴PA ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB ―→＝(a ，a ，－a )，DE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，故PB ―→·DE ―→＝0＋a22－a22＝0，∴PB ⊥DE ，又∵EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， ∴PB ⊥平面EFD . [方法技巧]1．利用空间向量证明平行的方法量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外．[针对训练]已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F . 证明：建立空间直角坐标系如图，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC1―→＝(0,2,1)，DA ―→＝(2,0,0)，AE ―→＝(0,2,1)． (1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则⎩⎨⎧n1⊥DA ―→，n 1⊥AE―→，即⎩⎨⎧n1·DA ―→＝2x 1＝0，n 1·AE ―→＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝0，z1＝－2y1， 令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC1―→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC1―→⊥n ， 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)∵C1B1―→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量， 由⎩⎨⎧n2⊥FC1―→，n 2⊥C1B1―→，得⎩⎨⎧n2·FC1―→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C1B1―→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x2＝0，z2＝－2y2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2 ＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2， 所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .考法二 向量法解决垂直、平行关系中的探索性问题[例2]如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．[解] 依题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A 1(0,0,1)，B (1,0,0)，B 1(1,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，BA1―→＝(－1,0,1)，BE ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，12.设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，则由⎩⎨⎧n·BA1―→＝0，n ·BE ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0.所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设棱C 1D 1上存在点F (t,1,1)(0≤t ≤1)满足条件，又因为B 1(1,0,1)， 所以B1F ―→＝(t －1,1,0)． 而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B1F ―→·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .[方法技巧]向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路(1)根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示．(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．[针对训练]在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，则在线段CC 1上是否存在一点P ，使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE ？证明你的结论．解：存在点P ，当点P 为CC 1的中点时，平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .证明如下：如图，以D 点为原点，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，P (0,1，a )(0≤a ≤1)，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，C 1(0,1,1)， ∴A1B1―→＝(0,1,0)，A1P ―→＝(－1,1，a －1)，DE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，DC1―→＝(0,1,1)． 设平面A 1B 1P 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧ n1·A1B1―→＝0，n 1·A1P ―→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y1＝0，－x1＋y1＋－＝0，令z 1＝1，则x 1＝a －1，∴n 1＝(a －1,0,1)．设平面C 1DE 的一个法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧ n2·DE ―→＝0，n 2·DC1―→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12x2＋y2＝0，y2＋z2＝0. 令y 2＝1，得x 2＝－2，z 2＝－1， ∴n 2＝(－2,1，－1)．若平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE ，则n 1·n 2＝0，∴－2(a －1)－1＝0，解得a ＝12. ∴当P 为C 1C 的中点时，平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .。