任意角的三角函数定义
任意角的三角函数的符号
（2）此关系式是对于同角而言的．
2 如： sin cos 1, 2 2
2
sin 3 tan 3 cos3
（3）注意某些变式的运用． 2 2 2 2 1 如： sin cos , sin 1 cos ,
思考： 请计算
sin cos
2 2
的值．
由三角函数定义我们可以看到：
y x y2 x2 r 2 2 2 sin cos 2 1 2 r r r r
2
2
同角三角函数关系式的推导 ？
当 思考： k 且 k
2
k Ζ 时sin 、 cos
及 tan 之间有什么关系？
y y r sin tan x x cos r
同角三角函数的基本关系式
(1) sin cos 1 （平方关系） sin (2) tan （商数关系） cos
2 2
几点说明：
y sin a r
y
x a cos r
y
( )
y a tan x
y
( )
(+ ) ( )
（+ ）
( )
-
(+ )
-
(+ )
-
-
x
( )
x
x
(+ ) ( )
-
(+ )
-
符号口诀：
y
（一全正 二正弦 三正切 四余弦）
正 弦 正 切
全 正 余 弦
x
（二）同角三角函数关系式的推导
？
y tan x
任意角三角函数定义
01
在三角形中，已知两边长，可用正弦、余弦定理求解未知角。
求解边长
02
在三角形中，已知两角及一边，或已知两边及夹角，可用正弦、
余弦定理求解未知边长。
判断三角形形状
03
通过比较三角形内角的大小关系，可以判断三角形的形状（如
锐角、直角、钝角三角形）。
物理学中应用举例
简谐振动
描述物体在平衡位置附近的往复运动，其运动规律可 用三角函数表示。
弧度制
以弧长与半径之比来度量角的大小， 是国际单位制中的角度单位，常用于 微积分等高级数学领域。
三角函数定义域与值域
定义域
三角函数中的自变量，即角度或弧度，其取值范围通常是实数集或其子集。
值域
三角函数中的因变量，即函数值，其取值范围依赖于具体的三角函数。例如，正弦函数和余弦函数的值域为[1,1]，而正切函数的值域为全体实数。
04
正切、余切函数性质与图 像
正切函数性质及图像特点
定义域
正切函数的定义域为所有不等于直角的角 度。
图像特点
正切函数的图像是一条连续的、无穷无尽 的曲线，以π为周期，在每个周期内，图像 从负无穷大增加到正无穷大。
值域
正切函数的值域为全体实数。
奇偶性
正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x) 。
THANKS
感谢观看
正切、余切关系式推导
正切与余切的关系式
tan(x) = 1/cot(x)，cot(x) = 1/tan(x)。
VS
推导过程
根据三角函数的定义，正切函数和余切函 数可以表示为对边与邻边之比和邻边与对 边之比。因此，正切函数和余切函数互为 倒数关系。
05
三角函数在各领域应用举 例
高中数学必修一课件：三角函数的概念
【分析】 先确定所给角的象限，再确定有关的三角函数值的符号．
【解析】 (1)∵105°，－230°均为第二象限角， ∴sin 105°>0，cos(－230°)<0.于是sin 105°cos(－230°)<0. (2)∵π2 <78π<π，∴78π是第二象限角， 则sin 78π>0，tan 78π<0.∴sin 78πtan 78π<0.
1
2
4．sin 390°＝____2____；cos(－315°)＝____2____；tan
8π 3 ＝__－___3___．
5．判断sin 3cos 4tan－234π的符号． 解析 ∵π2 <3<π，π<4<3π 2 ，∴sin 3>0，cos 4<0.
∵－234π＝－6π＋π4 ，∴tan－234π>0.
1．对三角函数概念的理解应注意什么？ 答：①三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终 边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值大小只与角有关．
②符号sin α，cos α，tan α各自是一个整体，离开“α”，“sin” “cos”“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘
课时学案
题型一 利用定义求值
例1 (1)求4π 3 的正弦值、余弦值和正切值．
【解析】
①sin
4π 3 ＝sinπ＋π3 ＝－sin
π 3 ＝－
23，
②cos 4π 3 ＝cosπ＋π3 ＝－cos π3 ＝－12，
③tan
4π 3 ＝tanπ＋π3 ＝tan
第二节 任意角的三角函数定义
③按键顺序为 tan [ +/- 53 D°M'S'' 23 D°M'S'' 48 ] = .
知识梳理
首先将计算器置于RAD(以弧度为单位的计算)状态，
例如：求①
sin
21π 4
；② cos 21π
4
；③
tan
2 3 22
-1
0
1
31
3
不存 3 在 3
-1 3
3
不存 0在 0
知识梳理
4.单位圆与三角函数线 (1)单位圆：如右图所示，__半__径__等__于__1_个__单__位__的圆叫做 单位圆． (2)三角函数线 正弦线与余弦线：如右图所示，设角α的顶点在圆心O， 始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作 PM垂直于x轴，垂足为M，则有向线段___O_M____叫做角α的 余弦线，有向线段___M__P___叫做角α的正弦线． (3)角α的终边与单位圆的交点坐标是__(c_o_s_α_，__s_i_n_α_) _．
21π 4
.
①按键顺序为 sin [ +/- 21 2ndF EXP ÷ 4 ] = ;
②按键顺序为 cos [ 21 2ndF EXP ÷ 4 ] = ;
③按键顺序为 tan [ +/- 21 2ndF EXP ÷ 4 ] = .
知识梳理
6．三角函数值在各象限的符号 我们知道，根据三角函数的定义，cosα，sinα的符号分 别与各象限中的点的横坐标和纵坐标的符号相同，如图所 示．
1.2.1 任意角的三角函数(2)
例1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线 .
（1）
3
；
（2）
2
3
.
解：
y
的终边
T3
y
T
P
O M A(1, 0) x
M
O A(1, 0) x
2 的终边 P
3
（1）
3
正弦线是
MP，
（2）
2
3
正弦线是 MP，
余弦线是 OM，
余弦线是 OM，
正切线是 AT .
正切线是 AT .
例2. 求证：当 为锐角时，sin tan ．
3 ，y），且sin
2 4
y，
求cos、tan 的值。
解：由已知得 r （ 3）2 y2 3 y2
sin y y ，又 sin 2 y
r 3 y2
4
y 3 y2
2y 4
即
y 0或
3 y2 2 2
解得 y 0 或 y 5.
(1) 当 y 0时，P（ 3 ，0），r 3 ,
作 业：
1. 教材 P22 习题4.3 1 ~ 2 2. 步步高：P9~12
高活页：§4.3 任意角的三角函数第一课时
练习1：若角α的终边落在射线 y 3x (x 0) 上，
求 sin ，cos ，tan .
解：在 射线 y 3x (x 0) 上取一点 P(1，3)，
则 r 12 32 10 ，
α的终边
y
P
y
T α的终边 P
MO
A(1, 0) x
T
O M A(1, 0) x
y
y
T
α的终边
M O
P
A(1, 0) x
1.2.1 任意角的三角函数重难点题型(举一反三)(解析版)
1.2.1任意角的三角函数重难点题型【举一反三系列】【知识点1 三角函数的定义】1.任意角的三角函数定义2.三角函数的定义域：【知识点2 三角函数值的符号】第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负.注：一全正，二正弦，三正切，四余弦.【知识点3 诱导公式一】由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：【知识点4 单位圆的三角函数线定义】如图（1）PM表示α角的正弦值，叫做正弦线.OM表示α角的余弦值，叫做余弦线.如图（2）AT表示α角的正切值，叫做正切线.注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.【考点1 三角函数的定义】【分析】根据三角函数的定义，列方程求出m的值．【答案】解：角α的终边上一点(1,)P m，所以0m>，故选：B．【点睛】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．A ．4B ．4±C ．3D ．3±【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m 的值．故选：D ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．)【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan α的值．【答案】解：角故选：C ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．【变式1-3】（2019春•牡丹江期末）角α的终边上一点(P a ，2)(0)a a ≠，则2sin cos (αα-= )【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，分类讨论求得结果． 【答案】解：α的终边上一点(P a ，2)(0)a a ≠， 555a a =，22555a a =，555a a=-，2555a a=-故选：D ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 【考点2 利用象限角判断三角函数的符号】【例2】（2019春•湖北期中）下列命题成立的是( ) A ．若θ是第二象限角，则cos tan 0θθ< B ．若θ是第三象限角，则cos tan 0θθ> C ．若θ是第四象限角，则sin tan 0θθ< D ．若θ是第三象限角，则sin cos 0θθ>【分析】根据角所在的象限判断三角函数值的符号进行判断即可．【答案】解：若θ是第二象限角，则cos 0θ<，tan 0θ<，则cos tan 0θθ>，故A 错误， 若θ是第三象限角，则cos 0θ<，tan 0θ>，则cos tan 0θθ<，故B 错误， 若θ是第四象限角，则sin 0θ<，tan 0θ<，则sin tan 0θθ>，故C 错误， 若θ是第三象限角，则sin 0θ<，cos 0θ<，则sin cos 0θθ>，故D 正确， 故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数值符号的判断，结合角的象限与三角函数值符号的关系是解决本题的关键． 【变式2-1】（2019春•珠海期末）已知点(sin ,tan )M θθ在第三象限，则角θ在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】由题意可得sin 0θ<且tan 0θ<，分别求得θ的范围，取交集得答案． 【答案】解：由题意，00sin tan θθ<⎧⎨<⎩①②，由①知，θ为第三、第四或y 轴负半轴上的角； 由②知，θ为第二或第四象限角． 则角θ在第四象限． 故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的象限符号，是基础题．【变式2-2】（2019春•玉山县校级月考）若sin cos 0θθ<，则θ在( ) A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限【分析】判断三角函数的符号，然后判断角所在象限即可．【答案】解：sin cos 0θθ<，可知sin θ与cos θ异号，说明θ在第或第四象限． 故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的符号的判断，角所在象限，是基本知识的考查． 【变式2-3】（2018秋•安庆期末）式子sin1cos2tan4的符号为( )A．正B．负C．零D．不能确定【分析】由1，2，4分别表示第一、二、三象限的角，由此可得答案．【答案】解：1，2，4分别表示第一、二、三象限的角，<，tan40>．∴>，cos20sin10故选：B．【点睛】本题考查三角函数值的符号，是基础题．【考点3 利用诱导公式一判断三角函数的符号】【例3】（2019秋•武邑县校级期中）下列三角函数值的符号判断正确的是()【分析】根据角所在的象限、诱导公式、三角函数值的符号逐项判断即可．【答案】解：A、因为156︒在第二象限，所以sin1560︒>，故A错误；︒=︒+︒=︒，且196︒在第三象限，D、因为tan556tan(360196)tan196所以tan5560︒>，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，及三角函数在各象限的符号的应用，属于基础题．【变式3-1】（2019秋•西陵区校级期末）下列三角函数值的符号判断错误的是() A．sin1650︒<︒>D．tan3100︒>B．cos2800︒>C．tan1700【分析】直接利用诱导公式化简，判断符号即可．【答案】解：sin1650︒=︒>，正确；︒>，正确；cos280cos800tan1700︒=-︒<，正确；︒>，错误；tan310tan500故选：C．【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数值的符号的判断，是基础题．【变式3-2】（2019春•武功县期中）下列值①sin(1000)-︒；④sin2是负值-︒；②cos(2200)-︒；③tan(10)的为()A．①B．②C．③D．④【分析】根据终边相同的角的三角函数值相同，利用三角函数符号判断方法，即可得出结论．【答案】解：①sin(1000)sin1000sin 2800-︒=-︒=-︒>； ②cos(2200)cos2200cos400-︒=︒=︒>； ③tan(10)tan100-︒=-︒<；综上，是负值的序号为③． 故选：C ．【点睛】本题考查了终边相同的角与三角函数符号判断问题，是基础题．【变式3-3】（2019秋•夷陵区校级月考）给出下列各函数值：①sin(1- 000)︒；②cos(2- 200)︒；③tan(10)-；A ．①④B ．②③C ．③⑤D ．④⑤【分析】利用诱导公式分别对五个选项进行化简整理，进而根据三角函数的性质判断正负． 【答案】解：①，sin(1000)sin(2360280)sin 280cos100-︒=-⨯︒-︒=-︒=︒>； ②，cos(2200)cos(636040)cos400-︒=-⨯︒-︒=︒>； ③，tan(10)tan(30.58)tan(0.58)0π-=-+=-<；，πsin2cos3tan40∴<．∴其中符号为负的是：③⑤．故选：C ．【点睛】本题主要考查了运用诱导公式化简求值，解题时应正确把握好函数值正负号的判定，是基础题． 【考点4 三角函数定义域】【分析】列出使函数有意义的不等式组，即由被开方数不小于零，得三角不等式组，分别利用正弦函数和余弦函数图象解三角不等式组即可【答案】解：要使函数有意义，需解得： （k ∈Z ）即2k π+≤x ≤2k π+π （k ∈Z ）故答案为Z ）【点睛】本题考查了函数定义域的求法，三角函数的图象和性质，解简单的三角不等式的方法 可．【答案】解：函数【点睛】本题考查了函数的概念，三角函数的定义域，解三角函数的不等式，属于中档题． 【分析】由绝对值的特点得到sin α-和0的关系，由正弦曲线和角的正弦值可以得到角的范围，写出角的范围后注意加上k 的取值． 【答案】解：|sin |sin αα=-，sin 0α∴-， sin 0α∴，由正弦曲线可以得到[2k αππ∈-，2]k π，k Z ∈， 故答案为：[2k ππ-，2]k π，k Z ∈【点睛】本题主要考查三角函数不等式，解题时最关键的是要掌握三角函数的图象，通过数形结合得到要求的角的范围，这个知识点应用非常广泛，可以和其他知识结合来考查．【变式4-3】求下列函数的定义域：（2）(2sin1)=-；y lg x【分析】利用函数的定义域以及三角函数线化简求解即可．【答案】解：（1）要使y＝有意义，可得cos x≥0，解得{x|﹣，k∈Z}；（2）要使y＝lg（2sin x﹣1）有意义，可得2sin x﹣1＞0，即：sin x，解得{x|，k∈Z}；（3）要使y＝有意义，可得sin x≠﹣1．所以函数的定义域为：{x|x＝﹣+2kπ，k∈Z}．【点睛】本题考查三角函数的定义域的求法，三角函数线的应用，考查计算能力．【考点5 利用诱导公式一化简求值】【例5】（2019春•娄星区期中）求下列各式的值：（2）sin1170cos1440tan1845︒+︒-︒【分析】（1）利用诱导公式进行恒等变形，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值；（1）利用诱导公式进行恒等变形，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值；【答案】（本题满分10分）（2）sin1170cos1440tan1845︒+︒-︒sin(336090)cos(43600)tan(536045)=⨯︒+︒+⨯︒+︒-⨯︒+︒ sin90cos0tan45=︒+︒-︒1=．【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．【变式5-1】求下列各式的值（2）9cos2708cos03tan011sin180︒+︒+︒+︒．【分析】由特殊角的三角函数值即可计算得解．1(1)(1)=+-+-1=-．（2）9cos2708cos03tan011sin180︒+︒+︒+︒ 08100=+⨯++ 8=．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 【变式5-2】（2019春•船营区校级月考）计算下列各式的值： （1）sin(1395)cos1140cos(1020)sin750-︒︒+-︒︒； tan 4ππ； 【分析】（1）原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． （2）利用诱导公式即可计算得解．【答案】解：（1）原式sin(144045)cos(108060)cos(108060)sin(72030)=-︒+︒︒+︒+-︒+︒︒+︒ sin45cos60cos60sin30=︒︒+︒︒tan 4ππ )0【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，属于基础题． 【变式5-3】（2019春•平罗县校级期中）求下列各式的值 )cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)︒-︒-︒-︒-︒【分析】（1）利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值即可． （2）利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值即可． )cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)-︒-︒=-︒-︒25)sin cos tan 463πππ=+-【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力． 【考点6 利用三角函数线解不等式】【例6】（2019春•泗县校级月考）利用单位圆，求适合下列条件的角的集合：【分析】在单位圆中画出三角函数线． （1）由[0，2π）内，，结合正弦线得的解集；（2）由[0，2π）内，，结合余弦线得的解集．【答案】解：在单位圆内作三角函数线如图：（1）∵在[0，2π）内，，OA，OB分别为的终边，由正弦线可知，满足的角的终边在劣弧AB内，∴的解集为{α|}；（2））∵在[0，2π）内，，OC，OD分别为的终边，由余弦线可知，满足的终边在劣弧CD内，∴的解集为{α|}．【点睛】本题考查了三角函数线，考查了三角不等式的解法，训练了数形结合的解题思想方法，是中低档题．【变式6-1】求下列不等式的解集：【分析】作出单元圆，利用三角函数线进行求解即可．【答案】解：（1）正弦线大于0的角为x轴的上方，对应的角为2kπ＜x＜2kπ+π，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ，2kπ+π），k∈Z．（2）余弦线小于0的角为y轴的左侧，对应的角为2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ+，2kπ+），k∈Z．（3）sin x＞对应的区域在阴影部分，对应角的范围为2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ+，2kπ+），k∈Z．（4）cos x≤﹣对应的区域在阴影部分，对应角的范围为2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．【点睛】本题主要考查三角不等式的求解，利用三角函数的三角函数线是解决本题的关键．【变式6-2】利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合：（2）tan x≥﹣1．【分析】根据三角函数线分别进行求解即可．【答案】解：（1）作出y＝﹣，交单位圆于B，C，则sin x＞﹣对应的区域为阴影部分，作出x＝，交单位圆于E，D，则cos x＞对应的区域为阴影部分OD，OE之间，则sin x＞﹣且cos x＞对应的区域为OC到OE之间，其中OC对应的角为﹣，OE对应的角为，则阴影部分对应的范围是2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z，即sin x＞﹣且cos x＞对应的范围是{x|2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z}（2）作出正切函数线AT＝﹣1，则tan x≥﹣1对应的区域为阴影部分，OT对应的角为﹣，则阴影部分对应的角的范围是kπ﹣≤x＜kπ+，即不等式的解集为{x|kπ﹣≤x＜kπ+，k∈Z}【点睛】本题主要考查三角函数对应不等式的求解，利用三角函数线是解决本题的关键．【变式6-3】利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合．（3）tan x≥﹣1；【分析】作出单位圆，由三角函数值先求出角在[0，2π]内的取值范围，再由终边相同的角的概念加上周期，由此能求出满足条件的角x的集合．【答案】解：（1）由sin x，作出单位圆，如下图，∵sin x，∴，∴满足sin x≥的角x的集合为{x|2kπ+，k∈Z}．（2）由cos x≤，作出单位圆，如下图，∵cos x≤，∴，∴满足cos x≤的角x的集合为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．（3）由tan x≥﹣1，作出单位圆，如下图，∵tan x ≥﹣1，∴﹣≤x ＜， ∴满足tan x ≥﹣1的角x 的集合为{x |k π﹣，k ∈Z }． （4）由sin x ＞且cos x ＞，作出单位圆，如下图，∵sin x ＞且cos x ＞，∴，∴满足sin x ＞且cos x ＞x 的集合为{x |2k π+，k ∈Z }． 【点睛】本题考查角的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意单位圆和三角函数线的合理运用．【考点7 利用三角函数线比较大小】【例7】比较下列各组数的大小：【分析】（1）根据余弦函数单调性的大小进行比较（2）利用三角函数的诱导公式以及作差法进行比较即可．704π<-cos(π∴-02πα<<则0sin(cos <cos(sin )α222ππ-<【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，结合三角函数的诱导公式以及三角函数的单调性是解决本题的关键．【变式7-1】利用三角函数线比较下列各组三角函数值的大小：【分析】根据题意，依次作出各个角的三角函数值对应的三角函数线，进而比较大小即可得答案．【点睛】本题考查的知识点是三角函数线，三角函数值的大小比较，关键是掌握三角函数线的定义．【变式7-2】比较大小：可知：21AT AT >，可知：BD BC >，【点睛】本题考察了诱导公式的化简运用，正切线的画法，属于三角函数线的基础题目．【变式7-3】比较下列各组数的大小：【分析】根据三角函数线进行比较即可．）5 cos7π=在单位圆中作出对应的三角函数线如图，则余弦线为OM，正弦线为MP，（2）在单位圆中作出对应的三角函数线如图，则正切线为AT，正弦线为MP，则AT MP>，【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，根据三角函数线是解决本题的关键．。
任意角的三角函数及基本公式
任意角的三角函数及基本公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第 18 讲 任意角的三角函数及基本公式（第课时）任意角的三角函数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±±--︒±︒+︒•⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧的函数关系与以及的函数关系与以及的函数关系与的函数关系与诱导公式倒数关系式商数关系式平方关系式系式同角三角函数的基本关任意角三角函数定义弧度制角的概念的扩充三角函数的概念ααπαπααααααα232360180360k重点：1．任意角三角函数的定义；2．同角三角函数关系式；3．诱导公式。
难点：1．正确选用三角函数关系式和诱导公式；2．公式的理解和应用。
1．了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；2．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；3．掌握同角三角函数的基本关系式；4. 掌握正弦、余弦的诱导公式。
任意角三角函数的意义，三角函数值的符号；1．角的定义⑴ 角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的，射线旋转开始的位置叫做角的始边，旋转终止的位置叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。
⑵ 射线逆时针旋转而成的角叫正角。
射线顺时针旋转而成的角叫负角。
射线没有任何旋转所成的角叫零角。
2．弧度制⑴ 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
用“弧度” 作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。
注意：1sin 表示1弧度角的正弦，2sin 表示2弧度角的正弦，它们与︒1sin 、︒2sin 不是一回事。
⑵ 一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。
⑶ 设一个角的弧度数为α，则 rl=α （l 为这角所对的弧长，r 为半径）。
⑷ 所有大小不同的角组成的集合与实数集是一一对应的，这个对应是利用角的弧度制建立的。
⑸ 1π=︒弧度，1弧度︒=)180(。
三角函数的概念解析
5.2.1 三角函数的概念知识点1 任意角的三角函数1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：sin y α=，cos x α=，tan (0)yx xα=≠． 2．推广：设点(,)P x y 是角α终边上任意一点且不与原点重合，r OP =，则：sin y r α=，cos x r α=，tan (0)yx xα=≠． 注：三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，我们只需计算点到原点的距离22r OP x y ==+，那么22sin x y α=+22cos x y α=+tan (0)yx xα=≠知识点2 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．意为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．考点一 三角函数的定义及应用解题方略：(1)求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解． (2)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=. 注：利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ．(3)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． ①注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(,)(0)a b a ≠，则对应角的正弦值22sin a b α=+，余弦值22cos a b α=+tan baα=. 注：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况(点所在象限不同)进行分析．(4)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.(一)利用定义求角的三角函数值【例1-1】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(2,1)-，则sin α的值为( )A ．5B 5C ．25D 25【答案】B【解析】已知点()2,1P -，则()22215r OP ==-+5sin =5y r α=.变式1-1-1：若角α的终边经过点2(5,)1P -，则sin α=_______，cos α=______，tan α=________．【答案】1213-；513；125- 【解析】因为5,12x y ==-，所以225(12)13r =+-，则12512sin ,cos tan 13135y x y r r x ααα==-====-，．变式1-1-2：已知角α的终边过点()43-，，则2sin cos αα+=( ) A ．1 B ．25-C ．25D ．1-【答案】B【解析】因为角α的终边过点()43-，， 所以()()222234sin ,cos 554343αα=-==+-+-，所以3422sin cos 2555αα⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭，变式1-1-3：(多选)已知函数()()log 2401a f x x a a =-+>≠且的图象经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则11tan sin θθ+的值可能是( ) A ．2 B ．3 C 171+ D 171+【答案】AC【解析】由题意，可知(3,4)A 或(1,4)A ，当点是(3,4)A 时，由三角函数的定义有2244tan ,sin 3534θθ==+，所以11352tan sin 44θθ+=+=； 当点是(1,4)A 时，由三角函数的定义有224tan 4,sin 11714θθ==+11117171tan sin 4θθ+∴+==变式1-1-4：(多选)若角α的终边上有一点(4,)P a -，且3sin cos αα⋅=，则a 的值为( ) A ．3 B 3 C ．43-D ．43【答案】CD【解析】由三角函数的定义可知，()22sin 4a α=-+()22cos 4a α=-+又3sin cos αα⋅=，则()22434a a -=-+43a =-433(二)由三角函数值求终边上的点或参数【例1-2】已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()02,y -，若π3α=，则0y 的值为( )． A ．3- B ．23C ．3D 23【答案】A【解析】因为角α终边经过点()02,y -，且3πα=，所以0πtan332y =-023y =-变式1-2-1：已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =( )A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】由题意31tan 2m m θ-==，解得2m =．变式1-2-2：已知()2,P y -是角θ终边上一点，且22sin θ=y 的值是( ) A ．22B 22C ．434D 434【答案】D【解析】因为()2,P y -是角θ终边上一点，22sin 05θ=>，故点()2,P y -位于第二象限 所以0y >，2222sin (2)y θ==-+21732y =，因为0y >，所以434y =变式1-2-3：已知角θ的终边经过点()21,2a a +-，且3cos 5θ=，则实数的a 值是( )A ．2-B ．211C ．2-或211D ．1【答案】B2235(21)(2)a a =++-且210a +>，即12a >-，①2244195525a a a ++=+，则2112040a a +-=，解得2a =-或211a =，综上，211a =.变式1-2-4：已知角α的终边上有一点(3P m ，且2cos 4mα=，则实数m 取值为______．【答案】0或5【解析】因为角α的终边上有一点(3P m ， 所以22cos 43mm α==+，解得0m =或5±(三)由单位圆求三角函数值【例1-3】已知角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，则sin α的值为( )A. 3 B ．12-C 3D ．12【答案】C【解析】因为角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，所以根据三角函数的定义可知，3sin y α==．变式1-3-1：角α的终边与单位圆的交点A 3sin α=________，若点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，则转过的角度为________． 132π 【解析】α的终边与单位圆的交点A 3可得：3cos α=sin 0α>，则有：22313sin 1cos 14αα⎛⎫=--=⎪⎝⎭点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，可得：2AOB π∠=变式1-3-2：已知角α的终边与单位圆交于点36(P ，则sin cos αα⋅=( ) A 3 B ．2C ．3D 2【答案】B【解析】α的终边与单位圆交于点36(P ,故36||1,r OP x y ====， 故636333sin cos 11y x r r αα==== 所以632sin cos 3αα⋅=（=-，(四)已知角α的终边在直线上求三角函数值【例1-4】已知角α的终边落在射线2(0)y x x =≥上，求sin α，cos α的值．【解析】设射线2(0)y x x =≥上任一点00(,)P x y ，则002y x =，220005OP r x y x ∴==+=，00025sin 55y r x α∴===，0005cos 55x r x α===.变式1-4-1：已知α的终边落在直线2y x =上，求sin α，cos α的值255255【解析】①若α的终边在第一象限内，设点(,2)(0)P a a a >是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=>25sin 55y r a α∴===，5cos 55x r a α===①若α的终边在第三象限内，设点(,2)(0)P a a a <是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=-<25sin 5y r a α∴===-，5cos 5x r a α===-变式1-4-2：α是第二象限角，其终边上一点(5P x ，且2cos x α=，则sin α的值为( ) A 10 B 6 C 2 D ．10 【答案】A【解析】由题意可知0x <，22cos 5x x α=+，解得3x =-510sin 35α==+考点二 三角函数值符号的判定解题方略：三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解．(一)已知角或角的范围确定三角函数式的符号【例2-1】坐标平面内点P 的坐标为()sin5,cos5，则点P 位于第( )象限.A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】B 【解析】32π2π5<<，sin50,cos50∴<>，则点P 位于第二象限，变式2-1-1：若α为第四象限角，则( )A ．cos 2α＞0B ．cos 2α＜0C ．sin 2α＞0D ．sin 2α＜0 【答案】D【解析】法一：因为α为第四象限角，22,2k k k Z ππαπ∴-<<∈，424,k k k Z ππαπ∴-<<∈所以2α的终边在第三象限、第四象限或y 轴的负半轴上，所以sin 20α<.法二：因为α为第四象限角，sin 0α∴<，cos 0α>，sin 22sin cos 0ααα∴=<.变式2-1-2：下列各选项中正确的是( )A ．sin300>0︒B ．cos(305)0-︒<C ．22tan 03π⎛⎫-> ⎪⎝⎭D ．sin100<【答案】D【解析】30036060︒=︒-︒，则300︒是第四象限角，故sin3000︒<；30536055-︒=-︒+︒，则305-︒是第一象限角，故cos(305)0-︒>；222833πππ-=-+，则223π-是第二象限角，故22tan 03π⎛⎫-< ⎪⎝⎭； 73102ππ<<，则10是第三象限角，故sin100<，故选D.变式2-1-3：下列各式：①()sin 100-︒； ①()cos 220-︒； ①()tan 10-； ①cos π. 其中符号为负的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】100-︒，故()sin 1000-︒<；220-︒在第二象限，故()cos 2200-︒<；710,32ππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭在第二象限，故()tan 100-<，cos 10π=-<.(二)由三角函数式的符号确定角的范围或象限【例2-2】已知sin tan 0θθ⋅<，则角θ位于第________象限．【答案】二或三【解析】当θ为第一象限角时，sin 0θ>，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅>； 当θ为第二象限角时，sin 0θ>，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第三象限角时，sin 0θ<，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第四象限角时，sin 0θ<，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅> 综上，若sin tan 0θθ⋅<，则θ位于第二或第三象限变式2-2-1：已知sin 0θ<且tan 0θ<，则θ是( )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角【答案】D【解析】sin 0θ<，则θ是第三、四象限的角，tan 0θ<，则θ是第二、四象限的角 ①θ是第四象限的角变式2-2-2：若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】sin cos 0αα⋅<，α是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<； 当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意； 综上所述：α是第二象限角.变式2-2-3：若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】C【解析】由sin tan 0αα<可知sin α,tan α异号，从而α是第二或第三象限角．由cos 0tan αα<可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角． 综上可知，α是第三象限角．变式2-2-4：已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】因为点P 在第四象限，所以有tan 0cos 0αα>⎧⎨<⎩，由此可判断角α的终边在第三象限．变式2-2-5：若cos α与tan α同号，那么α在( )A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第三、四象限D ．第二、四象限 【答案】B【解析】因为cos α与tan α同号，则cos α与tan α的乘积为正，即正弦值为正，所以α在第一、二象限.变式2-2-6：在ABC 中，A 为钝角，则点()cos ,tan P A B 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】在ABC 中，A 为钝角，则B 为锐角，则cos 0,tan 0A B <>，则点()cos ,tan P A B 在第二象限变式2-2-7：已知角α的终边经过点(39,2)a a -+，且cos 0α≤，sin 0α>，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 【答案】A【解析】①cos 0α≤，sin 0α>，①角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ①39020a a -≤⎧⎨+>⎩ ①23a -<≤ .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例4 证明：充分性，即如果式都成立，那么θ为第三象 证明：充分性，即如果式都成立，那么 为第三象 限的角。 限的角。 因为① 成立，所以角θ的终边可能位于 因为①式sin θ ＜成立，所以角 的终边可能位于 第三或第四象限，也可能位于 轴的非正半轴上 轴的非正半轴上； 第三或第四象限，也可能位于y轴的非正半轴上； 又因为② 成立， 又因为②式tan θ >0成立，所以角 的终边可能位 成立 所以角θ的终边可能位 于第一或第三象限。 于第一或第三象限。 因为① 式都成立，所以角θ的终边只能位于第 因为① ②式都成立，所以角 的终边只能位于第 三象限。 三象限。 于是角θ是第三象限角 是第三象限角。 于是角 是第三象限角。
邹城市第二中学 王朝阳
温故知新
正弦函数、余弦函数、正切函数的定义 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义? 正弦： 正弦：sinα =MP =y/r 余弦： 余弦：cosα =OM =x/r 正切： 正切：tanα=AT =y/x 交换三个比值的前后项是否可以得出三个 新的三角函数? 新的三角函数
余切cotα＝x/y， ＝ ， 余切 正割secα＝r/x ， 正割 ＝ 余割cscα＝r/y 余割 ＝
sinα＝y/r， cosα＝x/r， tanα＝y/x， cotα＝x/y， secα＝r/x， cscα＝r/y， 叫做α的六个三角函数 三角函数。 注意六个三角函数之间的关系的运用。 注意六个三角函数之间的关系的运用。
y +
Y>0
+
Y>0
y x
－ X<0 0 － X<0
y +
X>0 － X<0，y>0 X>0，y>0
+
－ 0 － Y<0 Y<0
+
X>0
x
0 － X<0，y<0 X>0，y<0
+
x
sinα cscα
cosα sec α
tanα cotα
它是今后角的讨论及确定三角函数值符号的重要依据。 它是今后角的讨论及确定三角函数值符号的重要依据。
sin(α ＋ k·360° )＝sinα ° ＝ cos(α ＋ k·360° )＝cosα ° ＝ tan(α ＋ k·360°)＝tanα °＝
设α是任意角，p（x，y）是角α终边上任 意一点，PO= x2 + y2 =r（r＞0），则把下面 六个函数
正弦： 正弦：sinα=y/r
余弦： 余弦：cosα=x/r
余切： 正切：tanα=y/x 余切：cotα=x/y 正切： 正割： 正割：secα=r/x 余割： 余割：cscα=r/y
统称为角α的三角函数
4
（2）下列四个命题中，正确的是 ）下列四个命题中， A．终边相同的角都相等 ． B．终边相同的角的三角函数相等 ． C．第二象限的角比第一象限的角大 ． D．终边相同的角的同名三角函数值相等 ． （3）课下研究：三角函数值在象限中的变化规律。 ）课下研究：三角函数值在象限中的变化规律。
本节课我们学习了任意角三角函数定义，三角函数的定义域，以及三 角函数值的符号，其中正确理解三角函数定义是前提； 设α是一个任意大小的角，角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)， 它与原点的距离是r(r＞0)，则
例2
求函数y＝1/(1＋sinx)的定义域。
解：∵1＋sinx≠0， ∴ sinx≠－1 即角x的终边不能在y轴的负半轴上。 ∴x≠2kπ＋3π/2，k∈Z， 故函数的定义域是 {x|x∈R，且x≠2kπ＋3π/2，k∈Z} 练习P19-1、2 三角函数值在各象限的符号是怎样的？
y +
Y>0
+
Y>0
例题1：已知角α的终边经过点p(2，－3)，求α的六个三 － 角函数值； 解： ∵ x＝2，y＝－3 ∴r＝ ＝ ＝－3 ＝2 /13 /3 / 13
∴sinα＝y/r ＝－3/ cosα＝x/r＝2 / ∴ tanα＝y/x＝－3/2 secα＝r/x＝ /2
cotα＝x/y＝－2/3 cscα＝r/y＝－
终边相同的同名三角 函数值什么关系？ 函数值什么关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等！ 终边相同的角的同一三角函数值相等！ 公式一： 公式一：
sin(α ＋ k·360° )＝sinα ° ＝ cos(α ＋ k·360° )＝cosα ° ＝
tan(α ＋ k·360°)＝tanα °＝
(k∈z) ∈
练习P19-4、5、6 、 、 练习
例3
（1） ） 因为2500是第三象限的角， 是第三象限的角， 解： ①因为 所以cos 2500 <0。 所以 。 ②因为tan(11π/3)=tan(5π/3+2π) 因为 =tan(5π/3)， ， 是第四象限角， 而5π/3是第四象限角，所以 是第四象限角 tan(11π/3)<0。 。 （2） ） 解： ①cos(9π/4)=cos(π/4+2π) =cos(π/4)= =tan(π/6)= /2 /3 （－11π/6)=tan(π/6－2π) ②tan（－ （－ －
(k∈z) ∈
作业布置： 作业布置： 习题4.3
7、8、9、10；
sinα=y/r
r/y
有意义 y≠0 有意义 x≠0 有意义 y≠0
新函数cscα=r/y
cosα=x/r
r/x
新函数secα=r/x
tanα=y/x
x/y
新函数cotα=x/y
的终边经过点p（ （1）. 若sinα=1/3，且α的终边经过点 （—1，y）， ） ， 的终边经过点 ， ）， 是第几象限的角？ 的值。 则α是第几象限的角？并求 是第几象限的角 并求secα，tanα的值。 ， 的值 为第二象限的角， （答案：α为第二象限的角，sec α = − 3 2 , tan α = −2 2 ) 答案： 为第二象限的角
其它的三个三角函数是否有同样的规律？ 其它的三个三角函数是否有同样的规律？
1 运用公式时， k∈z不能省略！ 运用公式时， ∈ 不能省略 不能省略！
2
α ＋ k·360°， k∈z表示任意 ° ∈ 表示任意 与 α终边相同的角。 终边相同的角。 终边相同的角 此公式表明求任意角的三角函数 值的问题，可以转化为求 ° 值的问题，可以转化为求0°～360° ° (0～2π)间角的三角函数值的问题。 ～ 间角的三角函数值的问题。 间角的三角函数值的问题
3
应用举例 例 3 （1） 确定下列三角函数值的符号： ） 确定下列三角函数值的符号： ① cos2500 ② tan（11π/3） （ ）
（2）求下列三角函数值： ）求下列三角函数值： ① cos (9π/4) ② tan (－11π/6) －
求证， 为第三象限角的充分必要条件是 为第三象限角的充分必要条件是： 例4 求证，θ为第三象限角的充分必要条件是： sinθ<0 ① 且 tanθ>0 ②
y x
－ X<0 0 － X<0
y +
X>0 － X<0，y>0 X>0，y>0
+
－ 0 － Y<0 Y<0
+
X>0
x
0 － X<0பைடு நூலகம்y<0 X>0，y<0
+
x
sinα cscα
cosα sec α
tanα cotα
意为：第一象限各三角函数均为正 第二象限只有正弦及与正弦相关的余 第一象限各三角函数均为正,第二象限只有正弦及与正弦相关的余 第一象限各三角函数均为正 割为正,其余均为负 割为正 其余均为负 第三象限正切、余切为正，其余为负，第四象限余弦及与之相关 第三象限正切、余切为正，其余为负， 的正割为正，其余皆为负。 的正割为正，其余皆为负。
三角函数值与P点的位置 无关 三角函数值与 点的位置 实数” 实数 的函数 角α的三角函数也可以看成 “实数” 的三角函数也可以看成 六个三角函数之间的关系。 六个三角函数之间的关系。 三角函数的定义域： 三角函数的定义域： 三角函数 sinα cosα tanα 定义域 R R
{x| x≠π/2+kπ,k∈Z}