泰勒公式的证明及应用
泰勒公式的证明及其应用课题意义怎么写
泰勒公式的证明及其应用课题意义怎么写泰勒公式是数学中一个重要的公式,可以用来展开一个函数在某一点处的函数值,从而得到该点处的函数表达式。
证明泰勒公式及其应用是一个复杂的数学问题,下面将给出一些介绍:一、泰勒公式的证明设$f(x)$在点$x_0$处具有$n$阶导数$f'(x_0)$,则在该点附近可以表示为:$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) +frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 + cdots + frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)$$其中$R_n(x)$为余项,它只与前$n-1$个项有关。
余项$R_n(x)$可以表示为:$$R_n(x) = frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} - frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$其中$c$是$x$和$x_0$之间的某个数。
泰勒公式的证明思路可以看作是将$f(x)$展开成一个多项式,并根据多项式的阶数和系数确定余项$R_n(x)$。
二、泰勒公式的应用泰勒公式在许多领域都有广泛的应用,包括:1. 数值计算:泰勒公式可以用来将一个复杂的函数逼近一个数值值,从而进行数值计算。
2. 数学分析:泰勒公式可以用来证明函数的连续性,并在微积分中应用。
3. 物理学:泰勒公式可以用来描述函数在时间和空间上的分布,从而研究物理系统的运动状态。
4. 统计学:泰勒公式可以用来估计一个函数的自变量取值范围,从而进行统计学推断。
泰勒公式是一个数学工具,它的证明和应用具有很高的实用价值。
用数学归纳法证明泰勒公式
用数学归纳法证明泰勒公式
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一、引言
泰勒公式是数学上著名的级数展开公式，它可以用来求解函数在某一点的近似值，并且可以用来求解有限次复杂函数的精确值。
它是一种重要的数学工具，被广泛应用于科学计算、工程计算和统计学中。
本文将以数学归纳法的方式证明泰勒公式。
二、证明
（1）设f(x)为一般多项式，其形如f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn。
（2）当n＝0时，根据泰勒公式有f(x)＝a0。
（3）假设n＝k时，f(x)的泰勒公式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋akxk，且我们已经证明了该公式的正确性。
（4）证明n=k+1时，泰勒公式的正确性。
由于已知f(x)的泰勒公式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋akxk，则由泰勒展开公式可以得到
f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋akxk＋ak＋1xk＋1＝a0＋(a1＋ak
＋1x)x＋(a2＋akx)x2＋…＋(ak＋1)xk＋，
即当n＝k＋1时，f(x)的泰勒公式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋akxk＋ak＋1xk＋1，且该公式的正确性已被证明。
（5）综上所述，根据数学归纳法可以证明，当n从0取值到正无穷时，f(x)的泰勒公式的正确性得以证实。
三、总结
本文利用数学归纳法证明了泰勒公式的正确性。
从而说明，当n 从0取值到正无穷时，f(x)的泰勒公式的正确性得以证实。
泰勒展开的公式
泰勒展开的公式摘要：1.泰勒公式的定义2.泰勒公式的用途3.泰勒公式的证明方法4.泰勒公式的实际应用正文：1.泰勒公式的定义泰勒公式，又称泰勒级数，是由英国数学家布鲁克·泰勒在18 世纪初提出的一种数学公式。
泰勒公式可以将一个可微函数在某一点附近的值表示为该点的函数值、导数值和高阶导数值的有限和。
具体来说，设函数f(x) 在点a 附近可微，则泰勒公式可以表示为：f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2 / 2! + f"""(a)(x-a)^3 / 3! +...+ f^n(a)(x-a)^n / n! + Rn(x)其中，f"(a)、f""(a)、f"""(a) 等分别表示函数f(x) 在点a 处的一阶导数、二阶导数、三阶导数等，n! 表示n 的阶乘，Rn(x) 表示泰勒公式的余项。
2.泰勒公式的用途泰勒公式在数学和实际应用中有着广泛的用途，主要包括以下几点：（1）求函数的近似值：通过泰勒公式，可以将复杂的函数在某一点附近近似为多项式，从而简化问题。
（2）证明其他数学定理：泰勒公式可以作为证明其他数学定理的工具，例如证明函数的凹凸性、极限等。
（3）数值计算：在数值计算中，泰勒公式可以用于求解微分方程、插值和逼近等问题。
3.泰勒公式的证明方法泰勒公式的证明方法有多种，其中较为常见的是利用洛必达法则进行证明。
具体证明过程较为繁琐，这里不再赘述。
4.泰勒公式的实际应用泰勒公式在实际应用中有很多例子，下面举一个简单的例子来说明。
例如，我们要求函数f(x) = sin(x) 在点x=π/2 附近的值。
首先，我们知道sin(x) 在x=π/2 处的值为1，其次，我们可以求出sin(x) 在x=π/2 处的一阶导数为cos(π/2)=0，二阶导数为-sin(π/2)=-1，以此类推。
泰勒公式在高考中的应用之终极版
泰勒公式在高考中的应用之终极版泰勒公式是微积分中非常重要的一个定理，它在高考中的应用非常广泛。
本文将从终极版的角度，详细介绍泰勒公式在高考中的应用。
首先，我们来回顾一下泰勒公式的表达式。
泰勒公式是一个函数在一些点附近的展开式，它可以将一个函数表示成无穷个项的无穷级数。
泰勒公式的一般形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中，f(x)是要展开的函数，a是展开点，f'(x)是f(x)的一阶导数，f''(x)是f(x)的二阶导数，以此类推，f^n(x)是f(x)的n阶导数，Rn(x)是余项。
高考中最常见的泰勒公式是二阶泰勒公式，即：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+R2(x)应用方面，泰勒公式可以用于求函数的近似值、计算复杂函数的导数、证明恒等式等等。
首先，泰勒公式可以帮助我们计算函数的近似值。
当我们需要计算一个复杂函数的值时，可以利用泰勒公式将该函数展开，然后取前几项进行计算。
由于泰勒公式是一个无穷级数，所以当我们取到一定阶数的时候，剩下的余项非常小，可以忽略不计，从而得到较为准确的结果。
其次，泰勒公式可以用于计算复杂函数的导数。
根据泰勒公式的定义，我们可以得到一个函数在一些点处的导数与该点周围的函数值之间的关系。
这样，当我们需要计算一个复杂函数的导数时，可以利用泰勒公式将该函数展开，然后对展开后的每一项求导，最终求得函数的导数。
另外，泰勒公式也可以用于证明恒等式。
对于一些复杂的恒等式，我们可以利用泰勒公式将其中的函数进行展开，然后比较两边展开后的项，从而得到相等的结论。
这样，我们就能够通过泰勒公式证明一些复杂的恒等式。
综上所述，泰勒公式在高考中的应用非常广泛。
考研泰勒公式大全
考研泰勒公式大全考研泰勒公式是考研数学中的一个重要知识点，也是数学分析中的经典内容。
它是基于函数的无数阶导数和函数值之间的关系，可以用来近似计算函数的值。
由于涉及到较多的公式推导和应用场景，下面将详细介绍泰勒公式的推导过程和一些常见的应用。
1.雅可比泰勒公式泰勒公式的最基本形式是雅可比泰勒公式，它可以通过有限次的求导得到。
假设函数f(x)在x=a处具有无限次可导，那么在x=a处，f(x)的泰勒展开式可以写作：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)（1）其中，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a 处的二阶导数，f^n(a)表示f(x)在x=a处的n阶导数，(x-a)^n表示(x-a)的n次幂，n!表示n的阶乘。
公式（1）中的最后一项Rn(x)表示余项，用来衡量泰勒展开式与原函数之间的误差。
当n趋向于无穷大时，如果余项Rn(x)趋于0，则泰勒展开式可以无限逼近原函数f(x)，也就是可以用泰勒展开式来近似计算f(x)的值。
2.泰勒公式的推导泰勒公式的推导步骤可以通过数学归纳法来进行证明。
首先，我们有泰勒公式的一阶导数形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R1(x)其中，R1(x)为余项，我们将其化简为：R1(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)然后，我们对R1(x)进行第一次求导：R1'(x)=f'(x)-f'(a)接着，将R1(x)和R1'(x)带入泰勒公式的形式中，我们可以得到泰勒公式的二阶导数形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+R2(x)其中，R2(x)为二阶导数形式的余项，其化简步骤为：R2(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)-f''(a)(x-a)^2/2!通过类似的推导方式，我们可以继续得到更高阶导数形式的泰勒公式，即得到公式（1）的形式。
泰勒公式的证明及应用
泰勒公式的证明及应用work Information Technology Company.2020YEAR摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，是一种非常重要的数学工具。
它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。
本文通过对泰勒公式的证明方法进行介绍，归纳整理其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用，从而进一步加深对泰勒公式的认识。
关键词：泰勒公式，佩亚诺余项，拉格朗日余项，验证，应用绪论随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。
泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。
泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+- 称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。
泰勒公式原理
泰勒公式原理泰勒公式是数学中的一个重要定理，它描述了一个函数在某一点附近的局部近似。
这个公式由苏格兰数学家布鲁克·泰勒在18世纪提出，被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
泰勒公式的原理是基于函数在某一点的导数值和高阶导数值来进行近似展开，从而可以用多项式来近似表示函数的值。
在实际应用中，泰勒公式可以帮助我们更好地理解函数的性质，进行数值计算和物理建模等工作。
首先，我们来看一下泰勒公式的基本形式。
对于一个充分光滑的函数f(x)，在点a处展开的泰勒公式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! +f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(a)代表函数在点a处的值，f'(a)代表函数在点a处的一阶导数的值，f''(a)代表函数在点a处的二阶导数的值，以此类推。
展开的项数可以是有限的，也可以是无限的，取决于我们需要多精确的近似。
泰勒公式的原理是通过利用函数在某一点的导数值和高阶导数值来构造一个多项式，使得这个多项式在该点的函数值和函数的各阶导数值都与原函数在该点的值相近。
这样，我们就可以用这个多项式来近似表示原函数在该点附近的取值，从而更方便地进行计算和分析。
泰勒公式的应用非常广泛。
在数学中，它常常被用来证明函数的性质，计算函数的极限、导数和积分等。
在物理学和工程学中，泰勒公式可以被用来建立物理模型，进行数值计算和仿真分析。
在计算机科学中，泰勒公式也被广泛应用于数值计算和优化算法中。
总之，泰勒公式是一个非常重要的数学工具，它可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质，进行数值计算和物理建模等工作。
通过对泰勒公式的深入理解和应用，我们可以更好地解决实际问题，推动科学技术的发展。
希望本文对泰勒公式的原理有所帮助，也希望读者能够在实际工作中灵活应用这一重要的数学工具。
不同余项型泰勒公式的证明与应用
不同余项型泰勒公式的证明与应用一、不同余项型泰勒公式的证明$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)$$其中$f(x)$是需要展开的函数，$f'(x)$是$f(x)$的一阶导数，$f''(x)$是$f(x)$的二阶导数，$f^{(n)}(x)$是$f(x)$的$n$阶导数，$R_n(x)$是余项。
证明不同余项型泰勒公式的关键是对余项$R_n(x)$的估计。
根据拉格朗日中值定理，存在$x$在$x$和$a$之间，使得$f(x)$的$n$阶导数$f^{(n)}(x)$等于$f^{(n)}(a)$和$f^{(n)}(x)$之间的差值。
即存在一个$\xi$满足$a < \xi < x$，使得$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$这里用到了泰勒公式的剩余项的拉格朗日型余项。
二、不同余项型泰勒公式的应用1.近似计算函数值不同余项型泰勒公式可以用于近似计算复杂函数在其中一点处的函数值。
通过泰勒展开，我们可以用函数的高阶导数来逐步逼近函数的真实值，使得计算更加简化。
尤其是在计算机数值计算中，利用不同余项型泰勒公式进行近似计算可以大大提高计算效率和精度。
例如，在计算$\sin(x)$时，我们可以通过泰勒展开将其逼近为一系列多项式函数的和，计算复杂度大幅减少。
2.证明其他重要结论不同余项型泰勒公式也可以用于证明其他数学中的重要结论。
例如，在证明函数的极限或导数存在时，我们可以通过利用泰勒展开，并将余项$R_n(x)$进行估计，从而得到极限或导数的正确表达式。
这在实分析学中经常应用，可以大大简化证明的步骤。
另外，不同余项型泰勒公式也可以用于证明函数的逼近性质。
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摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，是一种非常重要的数学工具。
它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。
本文通过对泰勒公式的证明方法进行介绍，归纳整理其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用，从而进一步加深对泰勒公式的认识。
关键词：泰勒公式，佩亚诺余项，拉格朗日余项，验证，应用绪论随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。
泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。
泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+- 称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。
它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。
一、预备知识1.1泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异。
定性的余项如佩亚诺型余项0(())n o x x -，表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小。
如)(!2132x o x x e x+++=，表示当0x →时，x e 用!212x x ++近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小。
定量的余项如拉格朗日型余项)1(0)1())(()!1(1++-+n n x x f n ζ（ζ也可以写成)(00x x x -+θ）。
1.2泰勒公式的定理（1）带有佩亚诺（Peano ）余项的泰勒公式如果函数)(x f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有))(()()(0n n x x o x T x f -+=，即))(()(!)()(!2)())(()()(000)(200"00'0n n n x x o x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-++-+-+=（2）带有拉格朗日（Lagrange ）余项的泰勒公式如果函数)(x f 在[]b a ,上存在直至n 阶的连续导函数，在),(b a 内存在)1(+n 阶导函数，则对任意给定的],[,0b a x x ∈，至少存在一点),(b a ∈ζ，使得)1(0)1(00)(200"00'0)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-+-+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ζ 特别的，00x =时，"()'2(0)(0)()(0)(0)()2!!n n n f f f x f f x x x R x n =+++++，此时上式称之为麦克劳林（Maclaurin ）公式，根据()n R x 的不同，麦克劳林公式又分带有佩亚诺余项的麦克劳林公式和带有拉格朗日余项的麦克劳林公式。
1.3泰勒公式的意义我们在学习导数和微分概念时知道，如果函数在一点处可导0x ，则有在这点附近用一次多项式去逼近函数)(x f ，其误差为的高阶无穷小量))((0n x x o 。
再用二次多项式或高于二次多项式去逼近。
我们可以看出二次切线或者高次切线与曲线的接近程度比一次切线要好，当然次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度越来越高。
泰勒公式的意义就是，用一个n 次多项式来逼近函数()f x ，而多项式具有形式简单，易于计算、近似程度高等优点。
二、泰勒公式的证明2.1泰勒公式的证明两种余项的泰勒公式所表达的根本思想都是怎样用多项式来逼近函数，带有佩亚诺余项的泰勒公式是反映了极限性质的渐进等式，所以这个公式在求极限时很有用，对余项可以提供充分小的估计值。
带有拉格朗日余项的泰勒公式有确切的表达式，当然也有像中值这样不确定的因素，但是并不妨碍定理的使用，为近似计算的误差估计提供了理论依据。
定理1：（带有佩亚诺型余项的泰勒公式）若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有))(()()(0n n x x o x T x f -+=，即))(()(!)()(!2)())(()()(000)(200"00'0n n n x x o x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-++-+-+= 。
证明：设)()()(x T x f x R n n -=，n n x x x Q )()(0-=，现在只要证0)()(lim0=-x Q x R nn x x由n k x T x f k n k ,,2,1,0)()(0)(0)( ==，可知，0)()()(0)(0'0====x R x R x R n n n n ，并易知!)(,0)()()(0)(0)1(0'0n x Q x Q x Q x Q n n n n n n =====-因为)(0)(x f n 存在，所以在点0x 的某邻域)(0x U 内)(x f 存在1-n 阶导函数)(x f 。
于是，当)(0x U x ∈且0x x →时，允许接连使用洛必达（L'Hospital ）法则1-n 次，得到)]()()([lim !1)(2)1())(()()(lim )()(lim )()(lim )()(lim 0)(00)1()1(000)(0)1()1()1()1(''00000=---=-----====--→--→--→→→x f x x x f x f n x x n n x x x f x f x f x Q x R x Q x R x Q x R n n n x x n n n x x n nn n x x n n x x n n x x 所以定理1成立。
定理2：若函数)(x f 在[]b a ,上存在直至n 阶的连续导函数，在),(b a 内存在)1(+n 阶导函数，则对任意给定的],[,0b a x x ∈，至少存在一点),(b a ∈ζ，使得)1()()!1()()(!)()(!2)())(()()()1(0)1(00)(200"00'0++-++-++-+-+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ζ 证明：作辅助函数])(!)())(()([)()()('n n t x n t f t x t f t f x f t F -++---= ，1)()(+-=n t x t G所以要证明的（1）式即为)!1()()()()()!1()()()1(000)1(0+=+=++n f x G x F x G n f x F n n ζζ或 不妨设x x <0，则)(t F 与)(t G 在],[0x x 上连续，在),(0x x 内可导，且))(1()()(!)()(')1('≠-+-=--=+n nn t x n t G t x n t f t F 又因0)()(==x G x F ，所以由柯西中值定理证得)!1()()()()()()()()()()1(''0000+==--=+n f G F x G x G x F x F x G x F n ζζζ 其中),(),(0b a x x ⊂∈ζ 所以定理2成立三、泰勒公式的实际应用3.1在极限和导数方面的应用例1求极限4202cos limx e x x x -→-分析：本题可以用洛必达法则来求解，但要用四次，比较繁琐，这里我们就可以用带有佩亚诺余项的泰勒公式求解。
由于极限式的分母为4x ，我们用麦克劳林公式来表示极限的分子（取4=n ）解：)(12cos )(821)(2421cos 542542254222x o x ex x o x x ex o x x x x x +-=-++-=++-=--因而求得121)(12lim cos lim45404202-=+-=-→-→x x o x x e x x x x 例2设x arc y cot =，求)0()(n y解： 1),)1(1(11cot)(26422''<-++-+--=+-==x x x x x xarc y n n 所以1,121)1(715131]121)1(715131[12175312753<+-+-+-+-=+-++-+--=+++x x n x x x x x n x x x x y n n n n又)(x f 在0=x 处的麦克劳林展开式为∑===nn nn x n f x f y 0)(!)0()( 因为通常情况下对于函数多项式和有理分式的极限问题的计算是十分简单的，所以对于一些复杂的函数可以根据泰勒公式将原来的复杂的问题转化为类似多项式和有理分式的极限问题。
综上所述，在式子满足下列情况时可以考虑用泰勒公式来求极限：1）用洛必达法则时，次数比较多、求导过程和化简过程比较复杂的情况。
2）分子或分母中有无穷小的差, 且此差不容易转化为等价无穷小替代形式。
3）函数可以很容易的展开成泰勒公式。
3.2在判定级数敛散性方面的应用在级数敛散性的理论中，要判断一个正项级数∑=nn n a 1是否收敛，通常找一个简单的函数，)0(111>=∑∑==p nb nn pnn n ，在用比较判定法来判定，但是在实际应用中比较困难的问题是如何选取适当的∑=nn p n 11（0>p 中的p 值）？ 如：当2=p ，此时∑∞=121n n收敛，但是+∞=∞→21lim n a n n 但是当1=p 时，此时∑∞=11n n收敛，但是01lim =∞→na n n在这种情况下我们就无法判定∑=nn n a 1的敛散性，为了更好的选取∑=nn pn11中p 的值，使得11lim =∞→p nn na 且+∞<<10，在用比较判别法，我们就可以判定∑=nn n a 1的敛散性。