泰勒公式及其应用典型例题

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泰勒公式求极限题目

泰勒公式求极限题目以泰勒公式求极限计算是近代数学上一个重要的课题。

它不仅可以帮助我们计算复杂的函数表达式的极限，而且可以更深入地探讨数学中的各类概念。

本文旨在介绍如何用泰勒公式求极限，分析它的使用场景。

泰勒公式是由18世纪英国数学家约翰科斯特泰勒提出的。

它是一种应用多项式近似来分析函数曲线的算法。

其具体形式为：$ f(x)=f(a)+frac{f(a)(x-a)}{1!}+frac{f(a)(x-a)^2}{2!}+frac{ f(a)(x-a)^3}{3!}+cdots+frac{f^{(n)}(a)(x-a)^n}{n!}+O((x-a)^ {n+1})$其中$f(x)$为函数的导数，$f(x)$为二阶导数，$f^{(n)}$为n 阶导数，$n$为任意正整数，$O$表示无穷小项。

泰勒公式可以帮助我们计算函数的极限，这是其最重要的应用之一。

当$a$是函数$f(x)$在$x=a$时的上下极限时，若$f(x)$在$x$的邻域内可以用泰勒公式来近似，则$f(x)$的极限存在，并且等于： $ displaystyle lim_{x to a} f(x) =f(a)+frac{f(a)(x-a)}{1!}+frac{f(a)(x-a)^2}{2!}+frac{f(a)(x-a)^3}{3!}+cdots+frac{f^{(n)}(a)(x-a)^n}{n!} $事实上，泰勒公式的应用不仅仅局限于求极限这一类。

它也可以用来分析函数表达式在不同区间内的变化趋势，以及用来证明某一函数及其极限的准确性等。

比如，当我们需要证明某一函数及其极限的准确性时，可以首先用泰勒公式以多项式的形式表示出来，然后比较形式之间的差距，最后结论出给定的函数及其极限是否满足条件。

此外，泰勒公式也可以用来求函数表达式在某一区间内的变化趋势。

下面我们将以一维函数为例，详细分析如何运用泰勒公式。

在这里，我们拟定一维函数$f(x)=sin(x)$，它在$[-3,3]$区间内变化如下：当$ -3 leq x leq -2 $时，由于函数有一个拐点，所以函数值随着$x$增大而减小。

泰勒公式知识点及习题

n
x 0
n!, n 0,1,2,... ；
x
x3 x5 x 2 n 1 n ... 1 R ( x) ； 2n 1! 2n2 3! 5! x 2 n 3 2n 3 sin(x ), (0,1) 2n 3! 2
n 1! n x0 n 1!x0 x0
n 0
所以 Rn x
f ( n 1) ( ) n 1 x , 介于 x 与 x0 之间． n 1 ！
定理中的关系称为 Taylor 公式． Rn x 称为 Taylor 公式的 Lagrange 余项．特别地，在 x0 0 时，有
n
Peano 余项. 例 6.15 求函数 sin x ， cos x ， e ，解由于对任意的 n N ，有
x
1 ， ln 1 x 在 x 0 处的 Taylor 公式． 1 x
；
n sin n x sin x 2
n cos n x cos x ； 2

n 1 1 x0 n n 1x0 x0 n
n n n 1 n 1 0

n
..... n n(n 1) 2 x 0 f n 1 ． n 1!
f P f x P x
由上面结果可以直接得到如下推论推论 6.2 设两元函数 z f ( x, y) 在区域 D R 上的偏导数恒为零，那么
2
z f ( x, y) 在区域 D 上为常数。
类似地，我们可以得到多元函数的中值定理定理 6.17 设 n 元函数 z f ( x1 , x2 ,, xn ) 在凸区域 D R 上是一个可微函数，则对

泰勒公式在考研数学的常见应用

泰勒公式在考研数学的常见应用泰勒公式在解题中的妙用——从几道数学考研题说起泰勒公式是数学分析中的重要工具之一，它反映了函数在某一点处的局部行为。

在很多数学问题中，泰勒公式的应用可以帮助我们更好地理解问题的本质，从而找到更简洁高效的解题方法。

本文将从几道数学考研题入手，详细阐述泰勒公式在解题中的应用，同时介绍一些应用技巧和注意事项，并进一步拓展泰勒公式在更高维度和更复杂问题中的应用。

求limx→0⁡(1+x+x2/2−−−−−−−√)−1x−−−−−−−−−−−−−−−√ex−1ex−1这道考研题中，我们可以将函数f(x)=(1+x+x2/2)−−−−−−−−−−−−−−−√ex −1在x=0处展开成泰勒级数，然后利用级数求和的方法得到答案。

具体步骤如下：f(x)=ex−1+xex−1+x22ex−1=(x+1)+x22+O(x3)因此，limx→0⁡f(x)=limx→0⁡(x+1)+limx→0⁡x22+O(x3)=12+1+0=32这道考研题可以利用泰勒公式将sin⁡xx展开成幂级数，然后求导n 次得到答案。

具体步骤如下：y=sin⁡xx=∑k=0∞(−1)k×x2k+O(x3)y(n)=∑k=n∞(−1)k×2k×x2k−n+O(x3)因此，y(n)(0)=∑k=n∞(−1)k×2k×1=(−1)n×2n×1=2n×(−1)n证明：(1+x)ln⁡(1+x)−xx=O(x3)这道考研题可以利用泰勒公式将等式中的函数展开成幂级数，然后进行恒等变形得到答案。

具体步骤如下：f(x)=(1+x)ln⁡(1+x)−xx=(1+x)(ln⁡1+ln⁡(1+x))−xx=x+x2+O(x3)−ln⁡(1+x)+O(x3)=O(x3)因此，f(x)(0)=0+0+…=0，即(1+x)ln⁡(1+x)−xx=O(x3)成立。

泰勒公式在很多数学问题中都有着广泛的应用，例如在微积分、线性代数、概率论等领域。

(完整版)泰勒公式及其应用(数学考研)

第2章预备知识前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的．给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有：)()()()(000x x x f x f x x f ∆+∆'+=∆+ο这样当1<<∆x 时可得近似公式x x f x f x x f ∆'+≈∆+)()()(000或))(()()(000x x x f x f x f -'+=，10<<-x x即在0x 点附近，可以用一个x 的线形函数（一次多项式）去逼近函数f ，但这时有两个问题没有解决：（1）近似的程度不好，精确度不高．因为我们只是用一个简单的函数—一次多项式去替代可能是十分复杂的函数f ．（2）近似所产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量)(0x x -ο，如果要求误差不得超过410-，用))(()(000x x x f x f -'+去替代)(x f 行吗？因此就需要用新的逼近方法去替代函数．在下面这一节我们就来设法解决这两个问题．2.1 Taylor 公式首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，我们可以设想用一个x 的n 次多项式在0x 附近去逼近f ，即令n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+= （2.1）从几何上看，这表示不满足在0x 附近用一条直线（曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的切线）去替代)(x f y =，而是想用一条n 次抛物线n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=去替代它．我们猜想在点))(,(00x f x 附近这两条曲线可能会拟合的更好些．那么系数0a ，1a …n a 如何确定呢？假设f 本身就是一个n 次多项式，显然，要用一个n 次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=于是得：)(00x f a =第2章预备知识2求一次导数可得：)(01x f a '= 又求一次导数可得：!2)(02x f a ''= 这样进行下去可得：!3)(03x f a '''=，!4)(0)4(4x f a =，… ，!)(0)(n x f a n n = 因此当f 是一个n 次多项式时，它就可以表成：k nk k nn x x k x f x x n x fx x x f x f x f )(!)()(!)(...))(()()(000)(00)(000-=-++-'+=∑= （2.2）即0x 附近的点x 处的函数值)(x f 可以通过0x 点的函数值和各级导数值去计算．通过这个特殊的情形，我们得到一个启示，对于一般的函数f ，只要它在0x 点存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T )(!)(...)(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+=称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒多项式，)(x T n 的各项系数!)(0)(k x fk ),...,3,2,1(n k = ，称为泰勒系数．因而n 次多项式的n 次泰勒多项式就是它本身．2.2 Taylor 公式的各种余项对于一般的函数，其n 次Taylor 多项式与函数本身又有什么关系呢？函数在某点0x 附近能近似地用它在0x 点的n 次泰勒多项式去替代吗？如果可以，那怎样估计误差呢？下面的Taylor 定理就是回答这个问题的．定理1]10[ (带拉格朗日型余项的Taylor 公式)假设函数)(x f 在h x x ≤-||0上存在直至1+n 阶的连续导函数，则对任一],[00h x h x x +-∈,泰勒公式的余项为10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ其中)(00x x x -+=θξ为0x 与x 间的一个值.即有10)1(00)(000)()!1()()(!)(...))(()()(++-++-++-'+=n n nn x x n f x x n x fx x x f x f x f ξ (2.3) 推论1]10[ 当0=n ，（2.3）式即为拉格朗日中值公式：))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广．推论2]10[ 在定理1中,若令)0()()1(!)()(101)1(>--⋅=+-++p x x n p fx R n p n n n θξ则称)(x R n 为一般形式的余项公式, 其中0x x x --=ξθ．在上式中，1+=n p 即为拉格朗日型余项．若令1=p ，则得)0()()1(!)()(10)1(>--=++p x x n f x R n n n n θξ,此式称为柯西余项公式．当00=x ，得到泰勒公式：11)(2)!1()(!)0(...!2)0()0()0()(++++++''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ）（，)10(<<θ （2.4）则（2.4）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式．定理２]10[ （带皮亚诺型的余项的Taylor 公式）若函数f 在点0x 处存在直至n 阶导数，则有∑=-=nk k k n x x k x fx P 000)()(!)()(， )()()(x P x f x R n n -=．则当0x x →时，))(()(0n n x x x R -=ο．即有))(()(!)(...))(()()(000)(000n n n x x x x n x f x x x f x f x f -+-++-'+=ο （2.5）定理3所证的（2.5）公式称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x P x f x R n n -=，称为泰勒公式的余项的，形如))((0n x x -ο的余项称为皮亚诺型余项，所以（2.5）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式当（2.5）式中00=x 时，可得到)(!)0(...!2)0()0()0()()(2n nn x x n f x f x f f x f ο+++''+'+= （2.6）（2.6）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，此展开式在一些求极限的题目中有重要应用．由于))(()(0n n x x x R -=ο，函数的各阶泰勒公式事实上是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小领域将超越运算转化为整幂运算的手段．这一手段使得我们可能将无理的或超越函数的极限，转化为有理式的极限，从而使得由超越函数所带来的极限式的奇性或不定性，得以有效的约除，这就极大的简化了极限的运算．这在后面的应用中给以介绍．第2章预备知识4定理３设0>h ，函数)(x f 在);(0h x U 内具有2+n 阶连续导数，且0)(0)2(≠+x f n ，)(x f 在);(0h x U 内的泰勒公式为10,)!1()(!)(...)()()(10)1(0)(000<<+++++'+=+++θθn n n n h n h x fh n x fh x f x f h x f （2.7）则21lim 0+=→n h θ．证明：)(x f 在);(0h x U 内的带皮亚诺型余项的泰勒公式：)()!2()()!1()(!)(...)()()(220)2(10)1(0)(000++++++++++++'+=+n n n n n n n h h n x f h n x f h n x f h x f x f h x f ο将上式与（2.7）式两边分别相减，可得出)()!2()()!1()(-)(220)2(10)1(0)1(++++++++=++n n n n n n h h n x fhn x fh x fοθ，从而220)2(0)1(0)1()()!2()()()()!1(+++++++=-+⋅+n n n n n h h n x f h x f h x fn οθθθ，令0→h ，得)!2()()(lim )!1(10)2(0)2(0+=⋅⋅+++→n x fx f n n n h θ，故21lim 0+=→n h θ．由上面的证明我们可以看得出，当n 趋近于无穷大时，泰勒公式的近似效果越好，拟合程度也越好．第3章泰勒公式的应用由于泰勒公式涉及到的是某一定点0x 及0x 处函数)(0x f 及n 阶导数值：)(0x f '，)(0x f ''，…，)(0)(x fn ，以及用这些值表示动点x 处的函数值)(x f ，本章研究泰勒公式的具体应用，比如近似计算，证明中值公式，求极限等中的应用．3.1 应用Taylor 公式证明等式例3.1.1 设)(x f 在[]b a ,上三次可导，试证： ),(b a c ∈∃，使得3))((241))(2()()(a b c f a b b a f a f b f -'''+-+'+= 证明： (利用待定系数法)设k 为使下列式子成立的实数：0)(241))(2()()(3=---+'--a b k a b b a f a f b f （3.1）这时，我们的问题归为证明：),(b a c ∈∃，使得：)(c f k '''=令3)(241))(2()()()(a x k a x x a f a f x f x g ---+'--=，则0)()(==b g a g ．根据罗尔定理，),(b a ∈∃ξ，使得0)(='ξg ，即：0)(82)()2()2()(2=---+''-+'-'a k a a f a f f ξξξξξ 这是关于k 的方程，注意到)(ξf '在点2ξ+a 处的泰勒公式：2))((812)()2()2()(a c f a a f a f f -'''+-+''++'='ξξξξξ 其中),(b a c ∈∃，比较可得原命题成立．例3.1.2 设)(x f 在[]b a ,上有二阶导数，试证：),(b a c ∈∃，使得3))((241)2()()(a b c f b a f a b dx x f ba-''++-=⎰．（3.2）证明：记20ba x +=，则)(x f 在0x 处泰勒公式展开式为： 20000)(2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ （3.3）对（3.3）式两端同时取[]b a ,上的积分，注意右端第二项积分为0，对于第三项的积分，由于导数有介值性，第一积分中值定理成立：),(b a c ∈∃，使得第3章泰勒公式的应用632020))((121)()())((a b c f dx x x c f dx x x f baba-''=-''=-''⎰⎰ξ 因此原命题式成立．因此可以从上述两个例子中得出泰勒公式可以用来证明一些恒等式，既可以证明微分中值等式，也可以证明积分中值等式．以后在遇到一些等式的证明时，不妨可以尝试用泰勒公式来证明．证明等式后我们在思考，它能否用来证明不等式呢？经研究是可以的，下面我们通过几个例子来说明一下．3.2 应用Taylor 公式证明不等式例3.4设)(x f 在[]b a ,上二次可微，0)(<''x f ，试证：b x x x a n ≤<<≤≤∀...21，0≥i k ，11=∑=n i i k ，∑∑==>ni i i n i i i x f k x k f 11)()(．证明：取∑==ni i i x k x 10，将)(i x f 在0x x =处展开))(()()(2)())(()()(00020000x x x f x f x x f x x x f x f x f i i i i i -'+<-''+-'+=ξ 其中()n i ,...,3,2,1=．以i k 乘此式两端，然后n 个不等式相加，注意11=∑=ni i k()00110=-=-∑∑==x x k x xk ni i i ni ii得：)()()(101∑∑===<ni i i ni i ix k f x f x f k．例3.2.2 设)(x f 在[]1,0上有二阶导数，当10≤≤x 时，1)(≤x f ，2)(<''x f ．试证：当10≤≤x 时，3)(≤'x f ．证明：)(t f 在x 处的泰勒展开式为：2)(!2)())(()()(x t f x t a f x f t f -''+-'+=ξ 其中将t 分别换为1=t ，0=t 可得：2)1(!2)()1)(()()1(x f x x f x f f -''+-'+=ξ （3.4） 2)(!2)())(()()0(x f x x f x f f -''+-'+=η （3.5）所以（3.4）式减（3.5）式得：22!2)()1(!2)()()0()1(x f x f x f f f ηξ''--''+'=- 从而，312)1(2)(21)1()(21)0()1()(2222=+≤+-+≤''+-''++≤'x x x f x f f f x f ηξ 例3.2.3 设)(x f 在[]b a ,上二阶可导，0)()(='='b f a f ，证明：),(b a ∈∃ξ，有|)()(|)(4|)(|2a fb f a b f --≥''ξ．证明：)(x f 在a x =，b x =处的泰勒展开式分别为：21)(!2)())(()()(a x f a x a f a f x f -''+-'+=ξ，),(1x a ∈ξ 22)(!2)())(()()(b x f b x b f b f x f -''+-'+=ξ，),(2b x ∈ξ令2ba x +=，则有 4)(!2)()()2(21a b f a f b a f -''+=+ξ，)2,(1ba a +∈ξ （3.6）4)(!2)()()2(22a b f b f b a f -''+=+ξ，),2(2b b a +∈ξ （3.7）（3.7）－（3.6）得：[]0)()(8)()()(122=''-''-+-ξξf f a b a f b f 则有[])()(8)()()(8)()()(122122ξξξξf f a b f f a b a f b f ''+''-≤''-''-=- 令{})(,)(max )(21ξξξf f f ''''=''，即有|)()(|)(4|)(|2a fb f a b f --≥''ξ．例3.2.4 设)(x f 二次可微，0)1()0(==f f ，2)(max 10=≤≤x f x ，试证：16)(min 10-≤''≤≤x f x ．证明：因)(x f 在[]1,0上连续，故有最大值，最小值．又因2)(max 10=≤≤x f x ，0)1()0(==f f ，故最大值在()1,0内部达到，所以()1,00∈∃x 使得)(max )(100x f x f x ≤≤=于是)(0x f 为极大值，由费马定理有：0)(0='x f ，在0x x =处按Taylor 公式展开：)1,0(,∈∃ηξ使得：第3章泰勒公式的应用82002)()()0(0x f x f f ξ''+==，（3.8） 200)1(2)()()1(0x f x f f -''+==η．（3.9）因此{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---=''''≤''≤≤202010)1(4,4min )(),(min )(min x x f f x f x ηξ 而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,210x 时，16)1(4)1(4,4min 202020-≤--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---x x x ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,00x 时，164)1(4,4min 202020-≤-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---x x x ．所以，16)(min 10-≤''≤≤x f x ．由上述几个例题可以看出泰勒公式还可以用来证明不等式，例3.2.1说明泰勒公式可以根据题目的条件来证明函数的凹凸性，例3.2.2说明可以对某些函数在一定范围内的界进行估计，例3.2.3是用泰勒公式证明中值不等式，例3.2.4与例3.2.2很相似，只不过前者是界的估计，后者是对导数的中值估计．证明不等式有很多种方法，而学习了泰勒公式后，又增添了一种方法，在以后的学习中我们要会灵活应用．但前提是要满足应用的条件，那就是泰勒公式成立的条件．3.3 应用Taylor 公式求极限例3.3.1求422cos limxex x x -→-．解：在这里我们用泰勒公式求解，考虑到极限，用带皮亚诺型余项的麦克劳林公式展开，则有)(2421cos 542x x x x ο++-=)(82154222x x x ex ο++-=-)(12cos 5422x x ex x ο+-=--所以，121)(12lim cos lim4540242-=+-=-→-→xx x xex x x x ο．像这类函数用泰勒公式求极限就比较简单，因为使用洛毕达法则比较麻烦和复杂．例 3.3.2 设函数)(x ϕ在[)+∞,0上二次连续可微，如果)(lim x x ϕ+∞→存在，且)(x ϕ''在[)+∞,0上有界，试证：0)(lim ='+∞→x x ϕ．证明：要证明0)(lim ='+∞→x x ϕ，即要证明：0>∀ε，0>∃δ．当M x >时()εϕ<'x ．利用Taylor 公式，0>∀h ，2)(21)()()(h h x x h x ξϕϕϕϕ''+'+=+ （3.10）即[]h x h x h x )(21)()(1)(ξϕϕϕϕ''--+=' （3.11）记)(lim x A x ϕ+∞→=，因)(x ϕ''有界，所以0>∃M ，使得M x ≤'')(ϕ， )0(≥∀x故由（3.11）知[]h x A A h x h x |)(|21)()(1)(ξϕϕϕϕ''+-+-+≤' （3.12） 0>∀ε，首先可取0>h 充分小，使得221ε<Mh ，然后将h 固定，因)(lim x A x ϕ+∞→=，所以0>∃δ，当δ>x 时[]2)()(1εϕϕ<-+-+x A A h x h 从而由（3.12）式即得：εεεϕ=+<'22)(x ．即0)(lim ='+∞→x x ϕ例3.3.3 判断下列函数的曲线是否存在渐近线，若存在的话，求出渐近线方程．（1）32)1)(2(+-=x x y ；（2）)1(cos 2215x e xx y --=．解：（1）首先设所求的渐近线为 b ax y +=，并令 xu 1=，则有：第3章泰勒公式的应用100)(1lim )()321)(321(lim )1()21(lim])1)(2([lim 003231032=+--=+--+-=--+-=--+-→→→∞→uu bu a u u bu a u u ubu a u u b ax x x u u u x οο从中解出：1=a ，0=b ．所以有渐近线：x y =．（2）设b ax y +=，xu 1=，则有 0)()4221)(2421(lim cos lim ])1(cos [lim 554424205542021522=+--⋅+-+-=---=---→-→-∞→u u bu au u u u u u bu au e u b ax e x x u u u xx ο从中解出：121-=a ，0,1==b a ．所以有渐近线：x y 121-=．从上面的例子中我们可以看得出泰勒公式在判断函数渐近线时的作用，因而我们在判断函数形态时可以考虑这个方法，通过求极限来求函数的渐进线．上述三个例子都是泰勒公式在求极限的题目上的应用，例3.3.1是在具体点或者是特殊点的极限，而第二个例子是求无穷远处的极限，第三个是利用极限来求函数的渐近线，学习了数学分析，我们知道求极限的方法多种多样，但对于有些复杂的题目我们用洛必达法则或其他方法是很难求出，或者是比较复杂的，我们不妨用泰勒公式来解决．3.4 应用Taylor 公式求中值点的极限例3.4.1]4[ 设(1))(x f 在),(00δδ+-x x 内是n 阶连续可微函数，此处0>δ； (2)当)1(,...,3,2-=n k 时，有0)(0)(=x f k ，但是0)(0)(≠x f n ；(3)当δ<≠h 0时有))(()()(000h h x f hx f h x f θ+'=-+．（3.13）其中1)(0<<h θ，证明：101)(lim -→=n h nh θ．证明：要求出)(h θ的极限必须设法解出)(h θ，因此将（3.13）式左边的)(0h x f +及右端的))((0h h x f θ+'在0x 处展开，注意条件(2)，知)1,0(,21∈∃θθ使得())(!)()()(10000h x f n h x f h x f h x f n n θ++'+=+，（3.14） ))(()!1())(()())((20)(1100h h x f n h h x f h h x f n n n θθθθ+-+'=+'--，（3.15）于是（3.13）式变为=++'-)(!)(10)(10h x f n h x f n n θ))(()!1())(()(20)(110h h x f n h h x f n n n θθθ+-+'--从而120)(10)())(()()(-++=n n n h h x nf h x f h θθθθ．因)1,0()(,,21∈h θθθ，利用)()(x f n 的连续性，由此可得101)(lim -→=n h nh θ．这个例子可以作为定理来使用，但前提是要满足条件．以后只要遇到相关的题目就可以简单应用．3.5 应用Taylor 公式近似计算由于泰勒公式主要是用一个多项式去逼近函数，因而可用于求某些函数的近似值，或根据误差确定变量范围．特别是计算机编程上的计算．例3.5.1 求：（1）计算e 的值，使其误差不超过610-；（2）用泰勒多项式逼近正弦函数x sin ，要求误差不超过310-，以2=m 的情形讨论x 的取值范围．解：(1) 由于x e 的麦克劳林的泰勒展开式为： 10,)!1(!...!2112<<++++++=+θθn xn x x n e n x x x e 当1=x 时，有)!1(!1...!2111++++++=n e n e θ故)!1(3)!1()1(+<+=n n e R n θ．当9=n 时，有第3章泰勒公式的应用 12691036288003!103)1(-<<=R 从而省略)1(9R 而求得e 的近似值为： 718285.2!91...!31!2111≈+++++≈e (2) 当2=m 时， 6sin 3x x x -≈，使其误差满足： 355410!5!5cos )(-<≤=x x x x R θ 只需6543.0<x （弧度），即大约在原点左右37°29′38″范围内，上述三次多项式逼近的误差不超过310-．3.6 应用Taylor 公式求极值定理3.1 ]12[ 设f 在0x 附近有1+n 阶连续导数，且)(0x f ')(0x f ''=0)(...0)(===x f n ， 0)(0)1(≠+x f n（1）如果n 为偶数，则0x 不是f 的极值点．（2）如果n 为奇数，则0x 是f 的严格极值点，且当0)(0)1(>+x fn 时，0x 是f 的严格极小值点；当0)(0)1(<+x f n 时，0x 是f 的严格极大值点．证明：将f 在0x 点处作带皮亚诺型余项的Taylor 展开，即：))(()()!1()()()(10100)1(0+++-+-++=n n n x x x x n x f x f x f ο 于是1010100)1(0)()())(()!1()()()(++++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++=-n n n n x x x x x x n x f x f x f ο 由于)!1()()())(()!1()(lim 0)1(10100)1(0+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++++++→n x f x x x x n x f n n n n x x ο 故0>∃δ，),(00δδ+-x x 中，10100)1()())(()!1()(+++--++n n n x x x x n x f ο与)!1()(0)1(++n x f n 同号．（1）如果n 为偶数，则由10)(+-n x x 在0x 附近变号知，)()(0x f x f -也变号，故0x 不是f 的极值点．（2）如果n 为奇数，则1+n 为偶数，于是，10)(+-n x x 在0x 附近不变号，故)()(0x f x f -与)!1()(0)1(++n x f n 同号．若0)(0)1(>+x f n ，则)()(0x f x f >，)(),(0,000δδ+-∈∀x x x x x ，0x 为f 的严格极小值点．若0)(0)1(<+x f n ，则)()(0x f x f <，)(),(0,000δδ+-∈∀x x x x x ，0x 为f 的严格极大值点．例3.6.1 试求函数34)1(-x x 的极值．解：设34)1()(-=x x x f ，由于)47()1()(23--='x x x x f ，因此74,1,0=x 是函数的三个稳定点．f 的二阶导数为)287)(1(6)(22+--=''x x x x x f ，由此得，0)1()0(=''=''f f 及0)74(>''f ．所以)(x f 在74=x 时取得极小值．求三阶导数)4306035(6)(23-+-='''x x x x x f ，有0)0(='''f ，0)1(>'''f ．由于31=+n ，则2=n 为偶数，由定理3.1知f 在1=x 不取极值.再求f 的四阶导数)1154535(24)(23)4(-+-=x x x x f ，有0)0()4(<f ．因为41=+n ，则3=n 为奇数，由定理3.1知f 在0=x 处取得极大值．综上所述，0)0(=f 为极大值，82354369127374)74(34-=-=）（）（f 为极小值．由上面的例题我们可以了解到定理3.1也是判断极值的充分条件．3.7 应用Taylor 公式研究函数图形的局部形态定理3.2]12[ 设R X ∈为任一非空集合，X x ∈0，函数R X f →:在0x 处n 阶可导，且满足条件：)(0x f ''0)(...)(0)1(0==='''=-x f x f n ，0)(0)(≠x f n ．（1）n 为偶数，如果)0(0)(0)(<>x f n ，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的邻近位于曲线过此点的切线的上（下）方．（2）n 为奇数，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的邻近位于该点切线的两侧，此时称曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处与该点的切线横截相交．证明：因为f 在0x 处n 阶可导，并且)(0x f ''0)(...)(0)1(0==='''=-x f x f n ，0)(0)(≠x f n ，所以f 在0x 的开邻域 ),(0δx B 内的n 阶Taylor 公式为第3章泰勒公式的应用 14))(()(!)())(()()(000)(000n n n x x x x n x f x x x f x f x f -+-+-'+=ο )(0x x → 于是[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=-'+-n n n nx x x x n x f x x x x x f x f x f )())((!)()())(()()(000)(0000ο 由于!)()())((!)(lim 0)(000)(0n x f x x x x n x f n n n n x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+→ο 由此可见：0>∃δ，),(0δx B X x ∈∀，有：[]))(()()(000x x x f x f x f -'+-与n n x x n x f )(!)(00)(-同号．（1）当n 为偶数，如果0)(0)(>x f n ，则[]0))(()()(000>-'+-x x x f x f x f ，),(0δx B X x ∈∀这就表明在点))(,(00x f x 邻近，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的上方；如果0)(0)(<x f n ，则有[]0))(()()(000<-'+-x x x f x f x f ，),(0δx B X x ∈∀因此，在点))(,(00x f x 邻近，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的下方．（2）当n 为奇数，这时若)0(0)(0)(<>x f n ，则[])0(0))(()()(000<>-'+-x x x f x f x f ， ),(0δx B X x+∈∀ [])0(0))(()()(000><-'+-x x x f x f x f ， ),(0δx B X x-∈∀ 由此知，在0x 的右侧，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的上（下）方；而在0x 的左侧，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的下（上）方．因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处与该点的切线横截相交．3.8 应用Taylor 公式研究线形插值例 3.8.1（线形插值的误差公式）设R b a f →],[:为实一元函数，l 为两点))(,(a f a 与))(,(b f b 所决定的线形函数，即)()()(b f a b a x a f a b x b x l --+--=，l 称为f 在区间],[b a 上的线形插值．如果f 在区间],[b a 上二阶可导，f 在],[b a 上连续，那么，我们可以对这种插值法带来的误差作出估计．应用带Lagrange 型余项Taylor 公式：),(x a ∈∃ξ，),(b x ∈∃η，使得 [][])(2))(()()(2))(()()(21)()()()(21)()()()()()()()(22ζηξηξf a x x b f a b x b f a b a x a x x b f x b x f x b a b a x f x a x f x a a b x b x f b f ab a x x f a f a b x b x f x l ''--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''--+''----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-+'---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-+'---=---+---=-其中，),(b a ∈ζ，最后一个式子是由于0>--a b x b ，0>--ab a x ． )}(),(max{)()())}((),(min{)}(),(min{ηξηξηξηξf f f ab x b f a b a x ab x b a b a x f f f f ''''≤''--+''--≤--+--''''='''' 以及Darboux 定理推得．如果M 为)(x f ''的上界（特别当)(x f ''在],[b a 上连续时，根据最值定理，取)(max ],[x f M b a x ''=∈），则误差估计为 M a b f a x x b x f x l 2)(|)(|2))(()()(2-≤''--≤-ζ，],[b a x ∈∀ 这表明，M 愈小线性插值的逼近效果就会愈好，当M 很小时，曲线)(x f y =的切线改变得不剧烈，这也是符合几何直观的．3.9 应用Taylor 公式研究函数表达式例3.9.1]4[ 设在内有连续三阶导数，且满足方程：)()()(h x f h x f h x f θ+'+=+，10<<θ．(θ与h 无关) （3.16）试证：)(x f 是一次或二次函数．证明：要证)(x f 是一次或二次函数，就是要证0)(≡''x f 或0)(≡'''x f ．因此要将（3.16）式对h 求导，注意θ与h 无关，我们有)()()(h x f h h x f h x f θθθ+''++'=+' （3.17）从而)()()()()(h x f hh x f x f x f h x f θθθ+''=+'-'+'-+' （3.18）令0→h ，对（3.17）式两边取极限得：)()()(x f x f x f ''=''-''θθ，即第3章泰勒公式的应用16 )(2)(x f x f ''=''θ 若21≠θ，由此知0)(≡''x f ，)(x f 为一次函数；若21=θ，则（3.17）式变成：)21(21)21()(h x f h h x f h x f +''++'=+'．此式两端同时对h 求导，减去)(x f ''，除以h ，然后令0→h 取极限，即得0)(≡'''x f ，即)(x f 为二次函数．实际上在一定条件下证明某函数0)(≡x f 的问题，我们称之为归零问题，因此上例实际上也是)(x f ''，)(x f '''的归零。

泰勒公式用于一些函数极限问题 (1)

泰勒公式用于一些函数极限问题约定分别用f k和g k来记f(k)(0)和g(k)(0),k=0,1,2,···.命题1设f(x)和g(x)都在0点处4次可导，f0=g0=0,f1=g1=1,则lim x→0f(g(x))−g(f(x))x4=18(︀f2g22−f22g2)︀+112(f3g2−f2g3).例1在命题1中，取f(x)=ln(1+x),g(x)=−ln(1−x),可得lim x→0ln[1−ln(1−x)]+ln[1−ln(1+x)]x4=112.例2在命题1中，取f(x)=1−e−x,g(x)=e x−1,可得lim x→02−e1−e x−e1−e−xx4=−112.命题2设f(x)和g(x)都在0点的某邻域中5次可导，f0=g0=0,f1=g1=1,则lim x→0f(g(x))+f−1(g(x))−g(f(x))−g(f−1(x))x5=38(︀f22g22−f32g2)︀+14(︀f2f3g2−f22g3)︀.例3在命题2中，取f(x)=e x−1,g(x)=−ln(1−x),可得lim x→0x1−x+ln(2−e x)+ln[1−ln(1−x)]+ln[1−ln(1+x)]x5=−14.命题3设f(x)和g(x)都在0点的某邻域中5次可导，f0=g0=0,f1=g1=1,则lim x→0f(g(x))+g−1(f−1(x))−g(f(x))−f−1(g−1(x))x5=38(︀f2g32−f32g2)︀+14(︀f2f3g2+f3g22−f2g2g3−f22g3)︀.例4在命题3中，取f(x)=ln(1+x),g(x)=−ln(1−x),可得lim x→0ln[1−ln(1−x)]+ln[1−ln(1+x)]+2−e1−e x−e1−e−xx5=0.注进一步的计算可得lim x→0ln[1−ln(1−x)]+ln[1−ln(1+x)]+2−e1−e x−e1−e−xx6=772.1命题4设f(x)和g(x)都是(−δ,δ)中的奇函数且都在0点处7次可导，f1=g1=1,则lim x→0f(g(x))−g(f(x))x7=172(︀f3g23−f23g3)︀+1360(f5g3−f3g5).例5在命题4中，取f(x)=tan x,g(x)=sin x,可得lim x→0tan(sin x)−sin(tan x)x7=130.命题5设f(x)和g(x)都是(−δ,δ)中的奇函数且都在(−δ,δ)中9次可导，f1=g1=1,则lim x→0f(g(x))+f−1(g(x))−g(f(x))−g(f−1(x))x9=5216(︀f23g23−f33g3)︀+1216(︀f3f5g3−f23g5)︀.例6在命题5中，取f(x)=tan x,g(x)=sin x,可得lim x→0tan(sin x)+arctan(sin x)−sin(tan x)−sin(arctan x)x9=19.命题6设f(x)和g(x)都是(−δ,δ)中的奇函数且都在(−δ,δ)中9次可导，f1=g1=1,则lim x→0f(g(x))+g−1(f−1(x))−g(f(x))−f−1(g−1(x))x9=5216(︀f3g33−f33g3)︀+1216(︀f3f5g3+f5g23−f3g3g5−f23g5)︀.例7在命题6中，取f(x)=tan x,g(x)=sin x,可得lim x→0tan(sin x)+arcsin(arctan x)−sin(tan x)−arctan(arcsin x)x9=118.2。

泰勒公式典型例题

例1 用泰勒公式，证明：当x>1时，.
证设，则f (x)当x>1时有二阶导数，且.
将f (x)点x=1处依泰勒公式展开，得
即
由于，故f (x)>0，即.
从而
例2 设f (x)在[a, b]上连续，在(a, b)内二阶可导，若，则在
(a, b)内至少有一点，使
证由泰勒公式，得
令，代入得
相减，得
设
则
例3 验证当时，按公式
计算的近似值，所产生的误差小于0.01；并求的近似值，使误差小于0.01.
解因为公式右边是的三阶麦克劳林公式，故误差
又已知，从而，故
误差
例4 求函数按(x－4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式.
解由于，故
因此
其中介于x与4之间.
例5 利用泰勒公式求极限
解
例6 求函数在x = 0处的n阶导数(n≥3)
解由f (x)和的麦克劳林公式
比较的系数得
故
五、练习题
1、应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值，并估计误差.
(1) (2) sin18°
（答：(1) ；(2) 0.3090，误差为）
2、设函数f (x)在(－1, 1)内具有二阶连续导数，且，试证：对于任
意非零，存在唯一的，使成立，且.
（提示：拉格朗日中值定理、泰勒公式）
3、求函数的带有拉格朗日型余项的三阶麦克劳林公式.
（答：）
4、利用泰勒公式求极限
（答：）
5、求函数的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林公式
（答：）
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用泰勒公式求极限的例题

用泰勒公式求极限的例题
利用泰勒公式求函数极限的一般方法。

（当然洛必达法则+等价无穷小替换仍是求函数极限的首先方法，泰勒公式通常用来处理“疑难杂症”。

）
含根号的复合函数的极限。

常见函数的麦克劳林公式见下文：
高等数学入门——常见函数的泰勒公式的推导与总结
四、对例1的一些补充说明。

在利用泰勒公式求极限时经常涉及o项的运算，其实就是利用四则运算或变量代换法求泰勒公式，其方法见下文：
高等数学入门——求泰勒公式的四则运算法和变量代换法
五、含复合三角函数的极限。

六、含幂指函数的极限（请思考余项是如何处理的）。

七、利用泰勒公式求数列极限的一般方法（注意用泰勒公式求数列极限时通常是不必事先转化为函数极限的）。

八、利用泰勒公式求数列极限的典型例题。

泰勒公式求极限典型例题

泰勒公式求极限典型例题若将函数f(x)随x的取值从某一个数a取到正无穷大时，函数f(x)取得的值p趋于某一个定值L，则称L为函数f(x)在x=a取极限，记作lim x→a f(x)=L，其中L称为极限值，a称为极限点，f(x)称为极限函数。

泰勒公式是求极限的一种常用方法，其公式有无限项式求和形式： lim x→a f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+ (1/2)f(a)(x-a)2 +(1/6)f(a)(x-a)3 + ... + (1/n!)(f^(n)(a)(x-a)n+ ...其中f^(n)(a)是函数f(x)的n阶导数。

这里以典型例子来说明如何使用泰勒公式求极限：例题1：求lim x→0 sinx/x的极限。

解：由泰勒公式可知：lim x→0 sinx/x = f(0)+f(0)(x-0)+ (1/2)f(0)(x-0)2 + ...经过求导可知：f(0) = 0, f(0) = 1, f(0) = 0，所以lim x→0 sinx/x = 1例题2：求lim x→1 (x^3-1)/(x-1)的极限。

解：由泰勒公式可知：lim x→1 (x^3-1)/(x-1) = f(1)+f(1)(x-1)+ (1/2)f(1)(x-1)2 + ...经过求导可知：f(1) = 0, f(1) = 3, f(1) = 6，所以lim x→1 (x^3-1)/(x-1) = 3以上就是使用泰勒公式求极限的一般步骤，当函数f(x)的几阶导数可以计算出来时，就可以采用此方法来求极限了。

泰勒公式可以用来计算出大多数复杂函数的极限，对求极限有很大的帮助，它可以帮助我们分析复杂的函数关系，也可以帮助我们理解函数在某一点的取值情况，并由此分析函数在该点处的连续性等特征。

泰勒公式并非万能，有时候你会遇到函数f(x)，其函数的某阶导数不存在，这也就意味着我们无法用泰勒公式来计算该函数的极限，或者某些次高阶导数取值很大，这就会使得该项在求极限的过程中的贡献很大，这时候、泰勒公式就可能不太准确。

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泰勒公式及其应用
常用近似公式，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。

当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当较大时），从下图可看出。

上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进：
1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。

2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“心中不安”。

将上述两个想法作进一步地数学化：
对复杂函数，想找多项式来近似表示它。

自然地，我们希望尽可能多地反映出函数所具有的性态——如：在某点处的值与导数值；我们还关心的形式如何确定；近似所产生的误差。

【问题一】
设在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于的次多项式
近似?
【问题二】
若问题一的解存在，其误差的表达式是什么?
一、【求解问题一】
问题一的求解就是确定多项式的系数。

……………
上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：
于是，所求的多项式为：
(2)
二、【解决问题二】
泰勒(Tayler)中值定理
若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，可以表示成
这里是与之间的某个值。

先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：
这表明：
只要对函数及在与之间反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。

【证明】
以与为端点的区间或记为，。

函数在上具有直至阶的导数，
且
函数在上有直至阶的非零导数，
且
于是，对函数及在上反复使用次柯西中值定理，有
三、几个概念
1、
此式称为函数按的幂次展开到阶的泰勒公式；
或者称之为函数在点处的阶泰勒展开式。

当时，泰勒公式变为
这正是拉格朗日中值定理的形式。

因此，我们也称泰勒公式中的余项。

为拉格朗日余项。

2、对固定的，若
有
此式可用作误差界的估计。

故
表明：误差是当时较高阶无穷小，这一余项表达式称之为皮亚诺余项。

3、若，则在与之间，它表示成形式，泰勒公式有较简单的形式——麦克劳林公式
近似公式
误差估计式
【例1】求的麦克劳林公式。

解：
，
于是
有近似公式
其误差的界为
我们有函数的一些近似表达式。

(1)、 (2)、 (3)、
在matlab中再分别作出这些图象，观察到它们确实在逐渐逼近指数函数。

【例2】求的阶麦克劳林公式。

解：
它们的值依次取四个数值。

其中：
同样，我们也可给出曲线的近似曲线如下，并用matlab作出它们的图象。

【例3】求的麦克劳林展开式的前四项，并给出皮亚诺余项。

解：
于是：
利用泰勒展开式求函数的极限，可以说是求极限方法中的“终极武器”，使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。

【例4】利用泰勒展开式再求极限。

解：，
【注解】
现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处
因为，从而
当时，，应为
【例5】利用三阶泰勒公式求的近似值，并估计误差。

解：
故：。