习题9_二元函数的泰勒公式

第九节多元函数的泰勒公式

第九节 多元函数的泰勒公式 分布图示 ★ 二元函数的泰勒公式 ★ 例1 ★ 关于极值充分条件的证明 ★ 内容小结 ★ 习题8—9 ★ 返回 内容要点 一、二元函数的泰勒公式 我们知道用一个一元函数的泰勒公式可以按任意给定的精度要求来近似表达这个函数. 对多元函数也有类似的结果，即可以用一个多元多项式按任意给定的精度要求来近似表达一个多元函数. 现以二元函数为例叙述如下： 定理1 设),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内连续且有直到1+n 阶的连续偏导数, ),(00k y h x ++为此邻域内任一点, 则有 ),(),(),(000000y x f y k x h y x f h y h x f ???? ????+??+=++),(!21002 y x f y k x h ???? ????+??+ ),(!100y x f y k x h n n ???? ????+??++ ),()!1(1001k y h x f y k x h n n θθ++???? ????+??+++ ).10(<<θ 这个公式称为二元函数),(y x f 在点),(00y x 的n 阶泰勒公式. 推论1 设函数),(y x f 在区域D 上具有连续的一阶偏导数，且在区域D 内，有,0),(≡y x f x 0),(≡y x f y ，则函数),(y x f 在区域D 内为一常数. 二、极值充分条件的证明 例题选讲 例1（E01）求函数)1ln(),(y x y x f ++=的三阶麦克劳林公式. 解 ,11),(y x y x f x ++=,11),(y x y x f y ++= ),(y x f xx 2)1(1y x ++- =),(y x f xy =),,(y x f yy =

§6.3 泰勒公式 数学分析课件(华师大四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件

带有拉格朗日型余项的泰勒公式 在近似计算中的应用 )(x f 设 在 0x x =处可导, 0000()()()()().f x f x f x x x o x x '=+-+-当 ||0x x -充分小时, )(x f 可以由一次多项式 ) )(()(000x x x f x f -'+其误差为 0().o x x -带有佩亚诺型余项的泰勒公式 )(0x x o -是不够的, 而要考虑用较高次 误差仅为 的多项式来逼近 f , 使得误差更小, 0(()).n o x x -如由有限增量公式 近似地代替, 但在许多情况下, 后退 前进 目录 退出 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式

问题: 是否存在一个 n 次多项式 ),(x P n 使得 ? ))(()()(n o n x x o x P x f -=-答案: 当 f (x )在点 x 0 有n 阶导数时, 这样的 n 次多 设 0100()()(),n n n P x a a x x a x x =+-++-则 有什么关系？ 现在来分析这样的多项式与 f (x ) 项式是存在的. ,!)(0) (n n n a n x P =,)(00a x P n =,)(10a x P n =',!2)(20a x P n ='',

即 () 0().! n n n P x a n =上式表明 P n (x ) 的各项系数是由其在点 x 0 的各阶 设 f (x ) 在 x 0 处 n 阶可导. 导数所确定的. ),(00x P a n =,!1)(01x P a n '=,! 2)(02x P a n ''=, 即 00()()lim 0,() n n x x f x P x x x →-=-), )(()()(0n n x x o x P x f -=-如果

泰勒公式及其在解题中的应用

本科生毕业设计（论文） （ 2014届） 设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用 作者周立泉 分院理工分院用数学1001班 指导教师（职称）徐华（讲师） 专业班级数学与应用数学） 论文字数 8000 论文完成时间 2014年4月3日 杭州师范大学钱江学院教学部制

泰勒公式及其在解题中应用 数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华 摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用． 关键词：泰勒公式;数学分析;导数 Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHua Abstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications. Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative.

泰勒公式及其应用典型例题

泰勒公式及其应用 常用近似公式，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当较大时），从下图可看出。 上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。 2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“心中不安”。 将上述两个想法作进一步地数学化： 对复杂函数，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望尽可能多地反映出函数所具有的性态——如：在某点处的值与导数值；我们还关心的形式如何确定；近似所产生的误差。 【问题一】

设在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于的次多项式 近似 【问题二】 若问题一的解存在，其误差的表达式是什么一、【求解问题一】 问题一的求解就是确定多项式的系数。

…………… 上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出： 于是，所求的多项式为： (2) 二、【解决问题二】 泰勒(Tayler)中值定理

若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，可以表示成 这里是与之间的某个值。 先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路： 这表明： 只要对函数及在与 之间反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。【证明】

以与为端点的区间或记为，。 函数在上具有直至阶的导数， 且 函数在上有直至阶的非零导数， 且 于是，对函数及在上反复使用次柯西中值定理，有

三、几个概念 1、 此式称为函数按的幂次展开到阶的泰勒公式； 或者称之为函数在点处的阶泰勒展开式。 当时，泰勒公式变为 这正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我们也称泰勒公式中的余项。 为拉格朗日余项。 2、对固定的，若 有 此式可用作误差界的估计。 故

北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案习题

习题4.5 x (,3 2 )3 2 (3 2 ,0) 0(0, 3 2 ) 3 2 (3 2 ,+) f0+00+ f拐点拐 点 拐 点x(,0) -∞0(0,1)1(1,2)2(2,) +∞y'0++0 y''++ y 极小值拐点极大值 ()() ()() 2 22222 22 222 32 1.() ()212,()12(2)4 3 642320,0,. 2 x x x x x x x x f x xe f x e x e e x f x e x x xe e x x xe x x - ------- = ''' -=-=--- =-+=-+==± 求函数 的凸凹性区间及拐点. 解= 23 2 1 ,(,). 3 2(2)0,0,2. 220, 1. y x x x y x x x x x y x x =-∈-∞∞ '=-=-== ''=-== 作下列函数的图形： 2.

222223.,(,).2(2)(2)0,0,2;(2)(22)(42)0,2 2. x x x x x x x x y x e x y xe x e e x x e x x x y e x x e x e x x x --------'=∈-∞+∞=-=-=-==''=--+-=-+==± x (,0)-∞ (0,22)- 22- (22,2)- 2 (2,22)+ 22+ (22,)++∞ y ' - + + - - y '' + + - - 0 + y ? 极小值 ? 拐点 ? 极大值 ? 拐点 ? 22231 4.,0. 11 10, 2 1;. y x x x x y x x x y x =+≠-'=-==''=±=

北大版高等数学第四章 微分中值定理与泰勒公式答案 习题4.1

习题 4.1 3 2 12121.()32[0,1][1,2]R o lle 0,(0)(1)(2)0,()[0,1][1,2]R o lle 620,6 3 (0,1),(1,2),()()0. 332.f x x x x f f f f f x x x x x x f x f x =-+==='-+== = ''====2 验证函数在区间及上满足定理的条件并分别求出导数为的点. 处处可导故在区间及上满足定理的条件.f (x )=3x 讨论下列 解11 1 1 ()[1,1]R o lle ,,(1,1),()0. (1)()(1)(1),,;(2)()1(1)()(1)(1)(1)(1) (1)(1)()0,(1,1),()0. 1 (2)(m n m n m n m n f x c f c f x x x m n f x f x m x x n x x m n x x m m x n n x c f c m f x -----∈-'==+-=- '=+--+--'=+----== ∈-=+'函数在区间上是否满足定理的条件若满足求使为正整数解1/3 2),(0). 33.()ln [1,],?11(),()(1)ln ln 11(1), 1. 4.L ag ran g e (1)|sin sin |||; (2)|tan tan |||,,(/2,/2);(3) ln x f f x x e c f x f e f e e c e x c y x x y x y y x x y b a b b b a ππ-'=- =='= -=-== -=--≤--≥-∈--<<不存在写出函数在区间上的微分中值公式并求出其中的应用中值定理,证明下列不等式:解2 2 2 (0). (1)|sin sin ||(sin )|()||co s |||||.(2)|tan tan ||(tan )|()|sec ||||.(3) ln ln ln (ln )|()((,)). 5.()(1)(4)x c x c x c a a b a x y x x y c x y x y y x x y x c y x y x b a b b a b a b a x b a c a b a a c a P x x x ===-<<'-=-=-≤-'-=-=-≥----'<=-=-= ∈< =--证明多项式的导函数的证1,212,. ()1,2,R o lle ,,,()(2,1),(1,1),(1,2). 6.,,,:()co s co s 2co s (0,). n n P x P x c c c f x c x c x c n x π±±---=+++ 三个根都是实根并指出它们的范围有四个实根根根据定理它的导函数有三个实根又作为四次多项式的导函数是三次多项式,最多三个实根,故的导函数的三个根都是实根,分别在区间设为任意实数证明函数在内必有根证

证明泰勒公式

泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n) (x.)/n!?(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。） 证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式： P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0,所以 A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n) (x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得： P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n. 接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有 Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n) (x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n- 0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但 Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项 Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。 麦克劳林展开式：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?x^(n+1),这里0<θ<1。 证明：如果我们要用一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x.=0时的特殊形式： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+f(n+1)

泰勒公式的理解及泰勒公式

对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用 1 函数展开与向量空间 泰勒公式是函数展开的一种工具,也就是说,利用泰勒公式将函数展成幂级数是函数展开的一种方法,当然,函数的展开方法有多种,例如：用泰勒公式展开、三角级数的展开等。为更好地理解函数展开的意义以及泰勒公式的应用，文章先对函数的展开进行论述,然后,用例题对其应用做进一步的说明。 在高等数学中,函数展开有许多不同的形式,最常用的有如下两种类型的函数级数展开。 1.1 函数的泰勒展开（幂级数展开） 若函数f(x)在区间｛x｜｜x-x 0｜＜R｝内无穷可微,且它的Lagrange余项r n(x)当n→∞ 时,收敛于零,则在这区间内有： 1 2 函数的三角级数展开 若函数f(x)在区间［-π,π］上连续且逐段光滑,则在这区间内有： 从函数展开式(1)和(2)两边的项来看,左边的函数f(x)作为一个整体,它只有有限的一项,而右边却包含着无限多项,说明在一定条件下,有限形式的函数可以用无限形式的级数来表示, 关于这一点,可以从另一个视角来看，若把展开式(1)和(2)中的函数系： ｛1,(x-x0),(x-x 0)2,(x-x0)3,…,(x-x0)n,…｝ {1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…,cosnx,sinnx,…} 分别看成无限维函数空间的两个坐标系, 其中的函数就是相应的坐标向量,则f(x)就可以看作这个空间的一个点（或一个向量）,则两级数的系数组成的两个数列: ｛a0,a1,a2,…,a n｝与｛a0,a1,b1,a2,b2，…，n,b n,…｝ 就是f(x)分别在这两个坐标系中的坐标,于是从形式来看，f(x)作为这无限维空间中的一个点（一个向量）,但从数来看，f(x)在这个空间中却要用无限个坐标来决定.在高等数学中, 根据问题的需要,进行有限与无限形式的相互变换,在解决数学问题中是常有的。可见,换个角度看函数的展开,会给人加深印象,能在原有的基础上根深蒂固。 谈到有限与无限,在高等数学中,根据问题的需要,进行有限与无限形式的相互变换,在解决数学问题中是常常会用到的,这就是泰勒公式的魅力所在.比如说：函数的分解与求和,函数关系的证明等,就要用这种有限与无限之间的变换方法。

多元函数泰勒公式的张量表示

第21卷第3期2018年5月 西安文理学院学报（自然科学版） Journal of Xi?an University (Natural Science Edition) Vol.21 No3 May2018 文章编号:1008-5564 (2018 )03-0001-03 多元函数泰勒公式的张量表示 曹文飞，韩国栋 (陕西师范大学数学与信息科学学院，西安710119) 摘要:泰勒公式在多元微分学中占据着十分重要的地位，在多元函数逼近、计算机图形学以及工程近似计算等分支中有成功的应用.在高等数学教材中，多元函数泰勒展开式中的高阶项通常是借助于 多项展开式进行表达，这种抽象的表达形式导致本知识点艰涩难懂.为了克服此授课难点，基于张量与 张量积运算为泰勒公式引人一种直观且简洁的新表达形式.该新形式有利于学生对泰勒公式的理解与 记忆，从而激发起他们运用数学工具解决实际问题的兴趣. 关键词:泰勒公式;矩阵;张量;教学研究 中图分类号:〇172.1 文献标志码:A Tensor Representation for Taylor Formula of the Multivariate Function C A O W en-f e i,H A N G u o-d on g (School of Mathematics and Information Science，Shaanxi Normal University，Xi’an710119，China) Abstract! Taylor’s formula occupies a very important position in multivariate differential calcu- lus.It has been applied successfi^lly to many branches such as multivariate function approxima- tion，computer graphics and engineering approximate calculation.In the teaching materials of higher mathematics，the high order term in the Taylor expansion of multiple functions is usually expressed by multiple expansion，and this abstract expression form leads to th edge.In order to overcome the diiculty of teaching，a new and co Taylors formula based o n the tensor and tensor product operation is introduced in this paper. This new form is b eneficial to students7understanding and memory of Taylors formula，thus a- rousing their interest in solving practical problems by using mathematical tools. Key words ：Taylor formu l a$matrix$tensor$teaching research 我们正处在一个高新技术蓬勃发展的时代，数学对高新技术的发展发挥巨大的推动作用.正如应用 数学家D avd[1]指出:很少有人认识到，被如此称颂的高新技术本质上是一种数学技术.因此，良好的数 学教育在这个年代显得尤为迫切.高等数学教育是数学教育中不可缺少的重要环节，因而如何讲授好高 收稿日期：2018-01-09 基金项目：国家自然科学基金项目（61603235 )$陕西师范大学科研启动基金 作者简介:曹文飞（1985%)，男，安徽怀宁人，陕西师范大学数学与信息科学学院讲师，博士，主要从事机器学习、图 像处理研究； 韩国栋（1978%)，男，山西祁县人，陕西师范大学数学与信息科学学院副教授，博士，主要从事非线性泛函 分析及其应用研究.

对于多元函数泰勒展开

… 电动力学中的泰勒展开问题 物理系同学们在学习电动力学和量子力学的过程中会碰到对类似()f x y -展开的问题，初学者可能会对此类函数的展开感到困惑，对此，自己课下之余整理了一下，希望能对同学们的学习带来帮助。以下讨论主要针对的是电动力学中的极矩问题，源点与场点统一规定为用x '和x 来表示。 对于多元函数泰勒展开，例如(),f x y ，有 (),f x y ()00,f x y =()()()0000,x x y y f x y x y ????+-+-????? ? ()()()200001,2!x x y y f x y x y ????+-+-+?????? （1） 其中展开中心为()00,x y .对于函数()f x x '-，它是x x '-的函数，展开时需要指出其 展开中心是源点x '还是场点x . 1 若在0x x '=处展开，则 ()f x x '- } ()()()()()(){}()20000012!f x x x x x x f x x x x x x f x x ''=-+---??-+---??-+???????? =()()()()()20000012!f x x x x f x x x x f x x ''-+-??-+ -??-+???? (2) 其中，()()() ???i j k x x y y z z ????=++'''?-?-?-， 下同. 由于()f x x '-是在x '为小量的情况下展开的，为了计算方便，(2)式的0x 可取为原点， 即x '=0，此时，(2)式便成为电势多级展开中常见的形式，即 ()()()()()()212!f x x f x x f x x f x '''-=+-??+-??+ (3) 2 若在0x x =处展开，则同理可得 ()f x x '- ()()()()()(){}()20000012!f x x x x x x f x x x x x x f x x '''''''=-+---??-+ ---??-+???????? ； =()()()()()2 0000012!f x x x x f x x x x f x x '''-+-??-+ -??-+???? (4)

泰勒公式例题

泰勒公式及其应用 等价无穷小在求函数极限中的应用及推广

泰勒公式及其应用 １ 引言 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识 定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有 '''200000()() ()()()()1!2! f x f x f x f x x x x x =+-+-+L ()000()()(()) ! n n n f x x x o x x n +-+- （1） 这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式. 当0x =0时,（1）式变成)(! )0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n n n x o x n f x f x f f x f +++++=Λ, 称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式. 定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则 ''()' 2 0000000()()()()()()()...()()2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ , （2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10() ()()(1)! n n n f R x x x n ξ++= ++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式. 当0x =0时,（2）式变成''()' 2(0)(0)()(0)(0)...()2!! n n n f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.

二元函数的泰勒公式

§10.4. 二元函数的泰勒公式 一、高阶偏导数 二元函数),(y x f z =的两个（一阶）偏导数y z x z ????,仍是x 与y 的二元函数.若它们存在关于x 和y 的偏导数，即 .,;,??? ? ?????????? ???????? ? ????????? ??????y z y z y z x z x z y z x z x z 称它们是二元函数),(y x f z =的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22个.通常将它们表为： ??? ??????x z x z 表为 22x z ?? 或 ).,(y x f xx '' ?? ? ??????x z y z 表为 y x z ???2 或 ).,(y x f xy '' （混合偏导数） ??? ? ??????y z x z 表为 x y z ???2 或 ).,(y x f yx '' （混合偏导数） ???? ??????y z y z 表为 22y z ?? 或 ).,(y x f yy '' 一般地，二元函数),(y x f z =的1-n 阶偏导函数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数.二元函数的n 阶偏导数至多有n 2个.二元函数),(y x f z =的n 阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如，符号 k k n n y x z ???- 或 ),()(y x f n y x k k n - 表示二元函数),(y x f z =的n 阶偏导数，首先对x 求k n -阶偏导数，其次接着对 y 求k 阶偏导数. 二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数. 例1. 求函数 332233++-=xy y x y x z 的二阶偏导数.

最新北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案第四章总练习题

北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案第四章总 练习题

第四章总练习题 000000001..()()[()()]. ()(),[0,].()()(),(0)0. Lagrange ,(0,1)()(0)(),f x h f x h f x h f x h h f x x f x x x h g g x f x x f x x g g h g g h h θθθθθθ''+--=++-+--∈'''=++-=∈'-=00设y=f(x)在[x -h,x +h](h>0)内可导证明存在,0<<1使得令g(x)=(x)在[0,h]内可导,根据公式存在使得 证00000 ()()[()()].2.:0,()1/4()1/2lim ()1/4,lim ()1/2.4(())211()(124x x f x h f x h f x h f x h h x x x x x x x x x x θθθθθθθθ→→+∞ ''+--=++-≥= ≤≤=== = =+=++=+即证明当时中的满足且 00). 11()(12), 441 11()(12)(1(1)2). 442 11 lim ()lim (12).44 1 lim ()lim (12)4 1 lim 4x x x x x x x x x x x x x x x x θθθθ→→→+∞→+∞≥+=-=+≤+++-==+==+=由算术几何平均不等式得 2 2 111lim lim .442 3,012 3.()()[0,2]1, 1,01 (2)(0)1().12 0, 1x x x x f x f x x x x x f f f x x x = ===?-≤≤??=??<<+∞??-≤≤?-? '==?--<<+∞??设求在闭区间上的微分中值定理的中间值. 解2/23/21. 221111,;,()[0,2]222x x x f x x -=--=-=-=-=1 在闭区间上的微分中值定理的中间值为2

泰勒公式的深刻理解

泰勒公式的深刻理解 1 学生对泰勒公式的疑惑及其根源分析 泰勒公式这一节的教学目标是要求学生理解泰勒公式,并了解它的一些应用。然而,在完成教学任务后仍有相当多的学生心存疑惑,不能不说这是教学上的一个失败。平时和学生聊起数学的学习,谈到泰勒公式, 很多学生都说不理解;讲课中要用到泰勒公式时,学生也会叫喳喳的,表现出畏难的情绪。和同事们谈起这事,上过这门课的教师都有同感。学生在什么地方卡住了呢？在与学生沟通中发现学生通常会这样来描述他们的疑惑:不知道它是什么意思,不知道它有什么用。是什么原因导致了学生的不理解？通过进一步与学生沟通和不断地思考,我们做出如下分析: (1)教科书中泰勒公式的表达方式与学生的思维方式不一致。 我们采用的教材是同济大学应用数学系编写的《高等数学》,教材中的泰勒公式以定理的形式给出: 泰勒中值定理如果函数f (x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数,则对任一 ,(1) 其中 (2) 这里x 为x与x0之间的某个值x。 公式(1)称为n阶泰勒公式。 刚从中学步入大学,大部分学生还没有完全适应大学的思维方式。公式(1)的右端由两部分构成:x-x0的多项式和余项R n(x),复杂的多项式加上一个需要附加说明的余项和学生心中公式(在中学中认识的公式)的表达方式不一致,由于学生的抽象思维没有达到一定的程度,他们还无法接受这么一个有着附加说明(而且说明也很抽象)的公式,用学生的话说就是不知道它讲的是什么。 (2)泰勒公式证明过程的抽象性加深了学生的疑惑。 泰勒公式是通过重复应用柯西中值定理来证明的,过程比较抽象, 由于学生没有理解泰勒公式的表达式,也就是说没有完全弄清楚定理的条件和结论,在这种学生还没有做好准备的情况下,公式证明过程的抽象性只能加深学生的疑惑。 (3)例题的讲解没有给学生的理解带来预期的帮助。 由于没有分重视学生思维方式上的差异,教师通常认为给出泰勒公式后,针对一些常见的函数写出相应的泰勒公式,再简单地提一提近似 94 中国科教创新导刊 China Education Innovation Herald 计算就可以达到目标了。的确,学生也能模仿例题完成作业,但是学生仍表示不知道这个公式有什么用。也就是说学生并没有理解例题的作用,没有将例题和泰勒公式的理解联系在一起,认为例题也就是套着公式(1)写出相应的式子罢了。在没有理解泰勒公式的前提下,写出常见函数的泰勒公式对学生来说只是一种机械行为,没有任何意义。 2 教学设计 通常的教学过程都是以泰勒公式的证明、常见函数的泰勒公式为重点和难点,基于以上的分析,我们在教学设计时改换思路,教学中对以下三方面进行了尝试,取得了较好的教学效果: (1)把重点放在问题的提出和泰勒公式的引入上。通常情况下教师在这里花的时间并不多,在大部分学生还理不清头绪的时候老师就已经给出抽象的泰勒中值定理了。根据学生的具体情况,我们认为这部分内容对于我们的学生理解泰勒公式有很大的帮助,讲好了有事半功倍的作用,因此我们把重点放在这里。 (2)尝试用另外一种形式来描述泰勒公式,以促进学生的理解。 (3)改变例题的讲解方式。将第一个例题的重点由写出泰勒公式改为近似计算,以加强学生对泰勒公式的理解并了解它的一些应用。 具体设计思路如下: (1)问题的提出。 微分的近似计算公式的缺点:在实际应用中有可能不满足精度要求。问题:如何才能提高精度？ (2)提出猜想。 微分的近似计算公式实质上就是用一次多项式P1(x)=a0+a1(x-x0) 来拟合函数,那么能否用n次多项式P n(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+a n(xx0)n来拟合函数呢？ (3)拟合系数的选取。 问题:如果要用多项式来拟合函数:,系数a i(i=1,?n)该如何选取？ 从微 分的近似 计算公式出发,研究一次多项式P1(x)的系数与函数f (x)的关系: 1 函数f (x)之间的关系: 。 将上述关系作为拟合条件进行推广:如果要用多项式来拟合函数, 即有,那么可以猜想拟合多项式P n(x)与函数f (x)之间应该有下列关系: , 由 此可得到拟合系数与函数的之间的关系:于是可选取多项式 ,有 ,由此推出拟合多项式P(x)与

(完整word版)高等数学复习习题答案(全)

1、设()f x 在[0,1]连续，在(0,1)内可导，0()1f x <<，且在(0,1)内()1f x '≠，证明：在(0,1)内有且只有一个数ξ，使得()f ξξ=。 证明：先证其存在性。作辅助函数()()F x f x x =-，则()F x 在[0,1]连续，在(0,1)内可导，注意到(0)(0)0,(1)(1)10F f F f =>=-<，故由零点存在定理知，存在(0,1)ξ∈，使得 ()0F ξ=，即有()f ξξ=。 最后证明唯一性。用反证法。假设还有一个11(0,1),ξξξ∈≠，使得1()0F ξ=，则在ξ与1ξ之间的区间对()F x 用罗尔定理，知存在(0,1),η∈使得()0F η'=，即()1f η'=，这与题设 ()1f x '≠矛盾，所以唯一性得证。 2、设()f x 在[0,3]连续，在(0,3)内可导，，且(0)(1)(2)3,(3)1f f f f ++==，证明：在必存在(0,3)ξ∈，使得()0f ξ'=。 证明：因为()f x 在[0,2]连续，设其在[0,2]取得最小值m 和最大值M 。又因为 (0)(1)(2) 13 f f f m M ++≤ =≤，故由介值定理知，存在1[0,2]ξ∈，使得1()1f ξ=，又 (3)1f =，由罗尔定理得1(,3)(0,3)ξξ∈?，使得()0f ξ'=。 3、设()f x 在[1,2]上具有二阶导数，且(1)(2)0f f ==，令()(1)()F x x f x =-，证明必存在(1,2)ξ∈，使得()0F ξ''=。 证明：由题设，()F x 在[1,2]上具有二阶导数，且()()(1)()F x f x x f x ''=-+-。 注意到(1)0,(2)(2)0F F f ==-=，由罗尔定理，知存在1(1,2)ξ∈，使得1()0F ξ'=。又 (1)(1)(11)(1)0F f f ''=-+-=，故由罗尔定理，知存在1(1,)(1,2)ξξ∈?，使得()0F ξ''=。 4、见课件 5、见课件 6、设()f x 在[,]a b 上可导，且()()0f a f b ++''?<，证明存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=。 证明：先不妨设()0,()0f a f b ++''<>，则由函数极限保号性质，知存在2 b a δ-< ，使得

数学分析6.3泰勒公式(练习详解)

第六章微分中值定理及其应用 3 泰勒公式练习题 (下载后用WORD打开就能看到公式，谁知道怎么解决这个问题，加QQ12332954教我，谢谢~) 1、求下列函数带佩亚诺余项的麦克劳林公式. (1)f(x)=; (2)f(x)=arctanx到含x5的项; (3)f(x)=tanx到含x5的项. 解：(1)f’(x)=, f”(x)=, …, f(n)(x)=. ∴f(n)(0)=, ∴=1+x+ x2+…+(-1)n x n+o(x n). ！ (2)∵f’(x)=(1+x2)-1, f”(x)=-2x(1+x2)-2, f”’(x)=-2(1+x2)-2+8x2(1+x2)-3, f(4)(x)=24x(1+x2)-3-48x3(1+x2)-4, f(5)(x)=24(1+x2)-3-288x2(1+x2)-4+384x4(1+x2)-5. ∴f(0)=0, f’(0)=1, f”(0)=0, f”’(0)=-2, f(4)(0)=0, f(5)(0)=24. ∴arctanx=x++o(x5). (3)∵f’(x)=sec2x, f”(x)=2sec2xtanx, f”’(x)=4sec2xtan2x+2sec4x, f(4)(x)=8sec2xtan3x+16sec4xtanx, f(5)(x)=16sec2xtan4x+88sec4xtan2x+16sec6x. ∴f(0)=0, f’(0)=1, f”(0)=0, f”’(0)=2, f(4)(0)=0, f(5)(0)=16. ∴tanx=x+o(x5). 2、求下列极限. (1); (2); (3). 解：(1)∵e x sinx =[1+x+++o(x3)][x+o(x3)]=x+x2++o(x3), ∴===.

泰勒公式及其应用典型例题

泰勒公式及其应用 常用近似公式八1 +工，血mx（|"充分小），将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当廿1较大时），从下图可看出。 上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。 2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“ 心中不安”。 将上述两个想法作进一步地数学化： 对复杂函数J3）,想找多项式稣丈）来近似表示它。自然地，我们希望必）尽可能多地反映出函数/（幻所具有的性态一一如：在某点处的值与导数值；我们还关心玖（"）的形式如何确定；外（*）近似所产生的误差" 【问题一】 设/（工）在含工口的开区间内具有直到打斗1阶的导数，能否找出一个关于3 ■此）的n次多项式 乩⑴二劣斗％（工-工°）+%3」工J +…+ %3 —工Q”① 且pf它）*由6）3 = 0,1,…M） 近似""?.）？ 【问题二】 若问题一的解存在，其误差嵌）=了3）5工）的表达式是什么？ 一、【求解问题一】

问题一的求解就是确定多项式的系数口D，口1，…*%。 次有■ J +仃1S -工u ）斗占L ）' +…+ &方-%）日 ?■勾=入（勺） P；（K）=及"*（应?^0 ） + 3^0-立淀 4 …+ ^a K（x -z0）M'} 二^1 = P；（x0） PZ fx）= 2L% + 3 2% 3一利）+ 4 3 / （上一沔沪+ …+为伽一1）冬?知广’ 二2?y = p；（Q 或@）=3 2 1 %+432 龟&-毛）+5 4 3 % Q-母）'+ …+叩（n-1）（n-T）（r-Jt^T-3 二3,2，1，知=尸怜。） 上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出:

对于多元函数泰勒展开

电动力学中的泰勒展开问题 物理系同学们在学习电动力学和量子力学的过程中会碰到对类似()f x y -展开的问题，初学者可能会对此类函数的展开感到困惑，对此，自己课下之余整理了一下，希望能对同学们的学习带来帮助。以下讨论主要针对的是电动力学中的极矩问题，源点与场点统一规定为用x ' 和x 来表示。 对于多元函数泰勒展开，例如(),f x y ，有 (),f x y ()00,f x y =()()()0000,x x y y f x y x y ????+-+-????? ? ()()()2 00001,2!x x y y f x y x y ????+-+-+?????? （1） 其中展开中心为()00,x y .对于函数()f x x '- ，它是x x '- 的函数，展开时需要指出其展 开中心是源点x ' 还是场点x . 1 若在0x x '= 处展开，则 ()f x x '- ()()()()()(){}()20000012!f x x x x x x f x x x x x x f x x ''=-+---??-+---??-+??????? ? =()()()()()20000012!f x x x x f x x x x f x x ''-+-??-+-??-+???? (2) 其中，()()() ???i j k x x y y z z ????=++'''?-?-?-， 下同. 由于()f x x '- 是在x ' 为小量的情况下展开的，为了计算方便，(2)式的0x 可取为原点， 即x ' =0，此时，(2)式便成为电势多级展开中常见的形式，即 ()()()()()()212! f x x f x x f x x f x '''-=+-??+-??+ (3) 2 若在0x x = 处展开，则同理可得 ()f x x '- ()()()()()(){}()20000012!f x x x x x x f x x x x x x f x x '''''''=-+---??-+---??-+???????? =()()()()()20000012!f x x x x f x x x x f x x '''-+-??-+-??-+??? ? (4) 对在0x x = 处展开时， x ' 此时是变化的， ?算符可换为对源点的'?算符.