泰勒公式 典型例题(教学课资)
泰勒公式用于一些函数极限问题 (1)
泰勒公式用于一些函数极限问题约定分别用f k和g k来记f(k)(0)和g(k)(0),k=0,1,2,···.命题1设f(x)和g(x)都在0点处4次可导，f0=g0=0,f1=g1=1,则lim x→0f(g(x))−g(f(x))x4=18(︀f2g22−f22g2)︀+112(f3g2−f2g3).例1在命题1中，取f(x)=ln(1+x),g(x)=−ln(1−x),可得lim x→0ln[1−ln(1−x)]+ln[1−ln(1+x)]x4=112.例2在命题1中，取f(x)=1−e−x,g(x)=e x−1,可得lim x→02−e1−e x−e1−e−xx4=−112.命题2设f(x)和g(x)都在0点的某邻域中5次可导，f0=g0=0,f1=g1=1,则lim x→0f(g(x))+f−1(g(x))−g(f(x))−g(f−1(x))x5=38(︀f22g22−f32g2)︀+14(︀f2f3g2−f22g3)︀.例3在命题2中，取f(x)=e x−1,g(x)=−ln(1−x),可得lim x→0x1−x+ln(2−e x)+ln[1−ln(1−x)]+ln[1−ln(1+x)]x5=−14.命题3设f(x)和g(x)都在0点的某邻域中5次可导，f0=g0=0,f1=g1=1,则lim x→0f(g(x))+g−1(f−1(x))−g(f(x))−f−1(g−1(x))x5=38(︀f2g32−f32g2)︀+14(︀f2f3g2+f3g22−f2g2g3−f22g3)︀.例4在命题3中，取f(x)=ln(1+x),g(x)=−ln(1−x),可得lim x→0ln[1−ln(1−x)]+ln[1−ln(1+x)]+2−e1−e x−e1−e−xx5=0.注进一步的计算可得lim x→0ln[1−ln(1−x)]+ln[1−ln(1+x)]+2−e1−e x−e1−e−xx6=772.1命题4设f(x)和g(x)都是(−δ,δ)中的奇函数且都在0点处7次可导，f1=g1=1,则lim x→0f(g(x))−g(f(x))x7=172(︀f3g23−f23g3)︀+1360(f5g3−f3g5).例5在命题4中，取f(x)=tan x,g(x)=sin x,可得lim x→0tan(sin x)−sin(tan x)x7=130.命题5设f(x)和g(x)都是(−δ,δ)中的奇函数且都在(−δ,δ)中9次可导，f1=g1=1,则lim x→0f(g(x))+f−1(g(x))−g(f(x))−g(f−1(x))x9=5216(︀f23g23−f33g3)︀+1216(︀f3f5g3−f23g5)︀.例6在命题5中，取f(x)=tan x,g(x)=sin x,可得lim x→0tan(sin x)+arctan(sin x)−sin(tan x)−sin(arctan x)x9=19.命题6设f(x)和g(x)都是(−δ,δ)中的奇函数且都在(−δ,δ)中9次可导，f1=g1=1,则lim x→0f(g(x))+g−1(f−1(x))−g(f(x))−f−1(g−1(x))x9=5216(︀f3g33−f33g3)︀+1216(︀f3f5g3+f5g23−f3g3g5−f23g5)︀.例7在命题6中，取f(x)=tan x,g(x)=sin x,可得lim x→0tan(sin x)+arcsin(arctan x)−sin(tan x)−arctan(arcsin x)x9=118.2。
泰勒公式 典型例题
例1 用泰勒公式，证明：当x>1时，.
证设，则f (x)当x>1时有二阶导数，且.
将f (x)点x=1处依泰勒公式展开，得
即
由于，故f (x)>0，即.
从而
例2 设f (x)在[a, b]上连续，在(a, b)内二阶可导，若，则在
(a, b)内至少有一点，使
证由泰勒公式，得
令，代入得
相减，得
设
则
例3 验证当时，按公式
计算的近似值，所产生的误差小于0.01；并求的近似值，使误差小于0.01.
解因为公式右边是的三阶麦克劳林公式，故误差
又已知，从而，故
误差
例4 求函数按(x－4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式.
解由于，故
因此
其中介于x与4之间.
例5 利用泰勒公式求极限
解
例6 求函数在x = 0处的n阶导数(n≥3)
解由f (x)和的麦克劳林公式
比较的系数得
故
五、练习题
1、应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值，并估计误差.
(1) (2) sin18°
（答：(1) ；(2) 0.3090，误差为）
2、设函数f (x)在(－1, 1)内具有二阶连续导数，且，试证：对于任
意非零，存在唯一的，使成立，且.
（提示：拉格朗日中值定理、泰勒公式）
3、求函数的带有拉格朗日型余项的三阶麦克劳林公式.
（答：）
4、利用泰勒公式求极限
（答：）
5、求函数的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林公式
（答：）
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泰勒公式例题精品资料
泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及其应用１ 引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()000()()(())!n n n f x x x o x x n +-+-（1）这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ ,（2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(1112n n x o x x x x+++++=- +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m . 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .3 泰勒公式的应用 3.1 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例3.1 求极限2240cos lim x x x e x -→-.分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和22x e-分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解 由244cos 1()2!4!x x x o x =-++,222242()21()22x x x e o x --=-++得2444422111cos ()()()4!22!12x x ex o x x O x --=-+=-+⋅, 于是244244001()cos 112limlim 12x x x x O x x e x x -→→-+-==-. 例3.2极限1sin 2lim sin cos xx xx x x x xe →0---- .分析：此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sinx, xe分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由1sin 2xx x x e---=233331()())2626x x o o x x x x x ++++-1-x-(x-+=34333()()6126o o x xxx x ++=+,3233sin cos ()(1())62x x x o x o x x x x -x =-+--+33()3o xx =+于是1sin 2lim sin cos xx x x x x x x e →0----3333()162()3o o x x x x +==+例3.3利用泰勒展开式再求极限。
用泰勒公式求极限的例题
用泰勒公式求极限的例题
利用泰勒公式求函数极限的一般方法。
（当然洛必达法则+等价无穷小替换仍是求函数极限的首先方法，泰勒公式通常用来处理“疑难杂症”。
）
含根号的复合函数的极限。
常见函数的麦克劳林公式见下文：
高等数学入门——常见函数的泰勒公式的推导与总结
四、对例1的一些补充说明。
在利用泰勒公式求极限时经常涉及o项的运算，其实就是利用四则运算或变量代换法求泰勒公式，其方法见下文：
高等数学入门——求泰勒公式的四则运算法和变量代换法
五、含复合三角函数的极限。
六、含幂指函数的极限（请思考余项是如何处理的）。
七、利用泰勒公式求数列极限的一般方法（注意用泰勒公式求数列极限时通常是不必事先转化为函数极限的）。
八、利用泰勒公式求数列极限的典型例题。
泰勒公式例题
泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及其应用1引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大sin* —分v2n+l 1-X量的参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真演算，其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献，并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用，所以，本文会以大量的例题进行讲解说明.2预备知识定义2.1[1]若函数/在X。
存在〃阶导数，则有= /（兀）+ 晋（―兀）+ -（X - XJ + …+斗％7。
）+©7）”）（1）n\这里0 （（X-X。
）"）为佩亚诺型余项，称⑴f在点X。
的泰勒公式.当兀二0 时，（1 ）式变成f（x） = /（0） + / 丫）x + ' 丫）/ + …+ 一x"+o（x"）,称此式为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式.定义2.2[21若函数/在入某邻域内为存在直至” + 1阶的连续导数，则f（x） = f（x0） + f '（x Q）（x-x Q） +丄平（X- X。
）' + ... + -一y（X- X。
）" + 心（X）,2! n\f 5十1）（已（2）这里尺,（x）为拉格朗日余项R代x）= —（A- + x0）w+1,其中点在x与兀。
之间，称（2）仪 + 1）!为/在兀的泰勒公式.当心二0 时，（2）式变成/•（Q = /（O） + /'（O）x+厶岁亍+...+£21H + R“（X）2! n\称此式为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式.常见函数的展开式：X ’ X2 X"产…+1e =1 + x+ -------- ・・•+一H------ x ・2! n\（” + 1）!V2 V4工 6 ”曲八亍矿h…+7而+。
泰勒公式练习题
泰勒公式练习题一、泰勒公式简介泰勒公式（Taylor's formula）是数学中的一种重要工具，可以用来近似计算函数的值。
它基于一个简单的观察：在某一点附近，许多函数都可以用一个多项式来逼近。
泰勒公式就是利用这个多项式逼近的原理，将函数在某一点的值与该点附近的导数值联系起来，从而得到一个近似表达式。
二、一阶泰勒公式一阶泰勒公式是泰勒公式的最简单形式，它用一个一次多项式来逼近函数。
设函数f(x)在x=a处有定义，并且f(x)在x=a处可导，则有以下近似表达式：f(x) ≈ f(a) + f'(a) * (x - a)其中，f'(a)表示函数f(x)在x=a处的导数值。
三、二阶泰勒公式二阶泰勒公式是泰勒公式的进一步推广，它利用函数在某一点的一、二阶导数值来进行逼近。
以下是二阶泰勒公式的表达式：f(x) ≈ f(a) + f'(a) * (x - a) + f''(a) * (x - a)^2 / 2!其中，f''(a)表示函数f(x)在x=a处的二阶导数值，2!表示阶乘运算。
四、高阶泰勒公式高阶泰勒公式是指使用更高阶的多项式来逼近函数。
一般而言，n阶泰勒公式可以表示为：f(x) ≈ f(a) + f'(a) * (x - a) + f''(a) * (x - a)^2 / 2! + ... + f^n(a) * (x - a)^n / n!其中，f^n(a)表示函数f(x)在x=a处的n阶导数值，n!表示阶乘运算。
五、练习题根据以上泰勒公式的理论，接下来我们来进行一些练习题，以加深对其应用的理解。
1. 求函数f(x) = e^x 在x=0附近的近似值。
解：将函数代入一阶泰勒公式，有：f(x) ≈ f(0) + f'(0) * (x - 0)≈ 1 + 1 * x≈ 1 + x所以，函数f(x)在x=0附近的近似值为1 + x。
多元函数泰勒公式教学案例
多元函数泰勒公式教学案例1. 引言1.1 引言介绍多元函数泰勒公式是微积分中的重要内容，它能够帮助我们近似表示复杂的多元函数。
通过泰勒公式的学习，我们可以更深入地理解多元函数的性质和变化规律。
本教学案例旨在帮助学生掌握泰勒公式的基本原理和应用方法，提高他们在多元函数求导和近似计算方面的能力。
在本教学案例中，我们将首先介绍泰勒公式的概述，包括其在多元函数中的作用和意义。
接着我们将详细讲解泰勒公式的原理，帮助学生理解该公式的推导过程及其在多元函数中的应用场景。
随后，我们将通过具体的实例来展示泰勒公式在实际问题中的应用，让学生更好地掌握其具体操作方法。
通过本教学案例的学习，希望学生能够加深对多元函数泰勒公式的理解，提高其在实际问题中的应用能力，为将来深入学习微积分和相关领域打下坚实的基础。
1.2 教学目的教学目的是通过本教学案例，让学生深入了解多元函数泰勒公式的概念、原理和应用，并掌握其具体的计算方法和技巧。
通过本案例的教学，希望能够培养学生的数学思维和计算能力，提高他们对多元函数泰勒公式的理解和运用能力。
教学目的还包括引导学生建立正确的数学学习方法和思维方式，激发他们对数学的兴趣和热情，培养他们解决实际问题的能力和创新思维。
通过本教学案例，希望能够激发学生对数学研究和应用的兴趣，为他们未来的学习和工作打下良好的基础。
1.3 教学对象教学对象指的是本次课程中的学习者，可以是大学生、研究生，也可以是对多元函数泰勒公式感兴趣的其他人群。
他们可能具有不同的数学基础知识和学习背景，有的可能已经学过相关知识，有的可能是初次接触。
在教学过程中，需要根据学习者的不同特点和需求来设计教学内容和教学方法，使得每位学习者都能够理解和掌握多元函数泰勒公式的原理和应用。
为了更好地满足不同学习者的学习需求，本教学案例将采用多种教学方法，如讲授、示范、实例分析等，以激发学习者的兴趣，提高他们的学习积极性。
教学案例将设置不同的教学步骤，让学习者逐步学习和掌握多元函数泰勒公式的相关知识，从而提升他们的学习效果和能力。
泰勒公式例题
泰勒公式例题Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】泰勒公式及其应用 等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及其应用１ 引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识定义]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有()000()()(())!n n n f x x x o x x n +-+-（1）这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+,（2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x R x n =+++++称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n x n xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m . 定理]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .3 泰勒公式的应用 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例 求极限2240cos lim x x x e x -→-.分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和22x e -分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解 由244cos 1()2!4!x x x o x =-++,222242()21()22x x x e o x --=-++得 2444422111cos ()()()4!22!12x x ex o x x O x --=-+=-+⋅, 于是244244001()cos 112limlim 12x x x x O x x e x x -→→-+-==-. 例极限1sin 2lim sin cos xx xx x x x xe →0---- .分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sinx,xe 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由1sin 2xx x x e---=233331()())2626x x o o x x x x x ++++-1-x-(x-+=34333()()6126o o x xxx x ++=+,于是例利用泰勒展开式再求极限。
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比较 的系数得
故
五、练习题
1、应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值，并估计误差.
(1) (2) sin18°
（答：(1) ；(2) 0.3090，误差为 ）
2、设函数f(x)在(－1, 1)内具有二阶连续导数，且 ，试证：对于任意非零 ，存在唯一的 ，使 成立，且 .
（提示：拉格朗日中值定理、泰勒公式）
计算 的近似值，所产生的误差小于0.01；并求 的近似值，使误差小于0.01.
解因为公式 右边是 的三阶麦克劳林公式，故误差
又已知 ，从而 ，故
误差
例4求函数 按(x－4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式.
解由于 ，故
因此
其中 介于x与4之间.
例5利用泰勒公式求极限
解
例6求函数 在x= 0处的n阶导数 (n≥3)
例1用泰勒公式，证明：当x>1时， .
证设 ，则f(x)当x>1时有二阶导数，且 .
将f(x)点，即 .
从而
例2设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导，若 ，则在(a,b)内至少有一点 ，使
证由泰勒公式，得
令 ，代入得
相减，得
设
则
例3验证当 时，按公式
3、求函数 的带有拉格朗日型余项的三阶麦克劳林公式.
（答： ）
4、利用泰勒公式求极限
（答： ）
5、求函数 的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林公式
（答： ）