(完整版)泰勒公式及其应用(数学考研)

第2章 预备知识

前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的．

给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有：

)()()()(000x x x f x f x x f ∆+∆'+=∆+ο

这样当1<<∆x 时可得近似公式

x x f x f x x f ∆'+≈∆+)()()(000

或

))(()()(000x x x f x f x f -'+=，10<<-x x

即在0x 点附近，可以用一个x 的线形函数（一次多项式）去逼近函数f ，但这时有两个问题没有解决：

（1） 近似的程度不好，精确度不高．因为我们只是用一个简单的函数—一次多项式去替代可能是十分复杂的函数f ．

（2）近似所产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量

)(0x x -ο，如果要求误差不得超过410-，用))(()(000x x x f x f -'+去替代)(x f 行吗？因此就需要用新的逼近方法去替代函数．

在下面这一节我们就来设法解决这两个问题．

2.1 Taylor 公式

首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，我们可以设想用一个x 的n 次多项式在0x 附近去逼近f ，即令

n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+= （2.1）

从几何上看，这表示不满足在0x 附近用一条直线（曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的切线）去替代)(x f y =，而是想用一条n 次抛物线n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=去替代它．

我们猜想在点))(,(00x f x 附近这两条曲线可能会拟合的更好些．那么系数0a ，1a …

n a 如何确定呢？

假设f 本身就是一个n 次多项式，显然，要用一个n 次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有

n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=

于是得：)(00x f a =

第2章 预备知识

2

求一次导数可得：)(01x f a '= 又求一次导数可得：!

2)

(02x f a ''= 这样进行下去可得：

!

3)

(03x f a '''=

，!4)(0)4(4x f a =，… ，!)(0)(n x f a n n = 因此当f 是一个n 次多项式时，它就可以表成：

k n

k k n

n x x k x f x x n x f

x x x f x f x f )(!)()(!)(...))(()()(00

0)(00)

(000-=-+

+-'+=∑= （2.2） 即0x 附近的点x 处的函数值)(x f 可以通过0x 点的函数值和各级导数值去计算．通过这个特殊的情形，我们得到一个启示，对于一般的函数f ，只要它在0x 点存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式

n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T )(!

)(...)(!2)())(()()(00)(2

00000-++-''+-'+=

称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒多项式，)(x T n 的各项系数

!

)

(0)

(k x f

k ),...,3,2,1(n k = ，称为泰勒系数．因而n 次多项式的n 次泰勒多项式就是它本身．

2.2 Taylor 公式的各种余项

对于一般的函数，其n 次Taylor 多项式与函数本身又有什么关系呢？函数在某点0

x 附近能近似地用它在0x 点的n 次泰勒多项式去替代吗？如果可以，那怎样估计误差呢？下面的Taylor 定理就是回答这个问题的．

定理1]10[ (带拉格朗日型余项的Taylor 公式)

假设函数)(x f 在h x x ≤-||0上存在直至1+n 阶的连续导函数，则对任一

],[00h x h x x +-∈,泰勒公式的余项为

10)1()()!

1()

()(++-+=n n n x x n f x R ξ

其中)(00x x x -+=θξ为0x 与x 间的一个值.即有

10)1(00)

(000)()!

1()()(!)(...))(()()(++-++-+

+-'+=n n n

n x x n f x x n x f

x x x f x f x f ξ (2.3) 推论1]10[ 当0=n ，（2.3）式即为拉格朗日中值公式：

))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ

所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广． 推论2]10[ 在定理1中,若令

)0()()1(!

)

()(1

01)

1(>--⋅=

+-++p x x n p f

x R n p n n n θξ

则称)(x R n 为一般形式的余项公式, 其中0

x x x --=ξθ．在上式中，1+=n p 即为拉格朗日

型余项．若令1=p ，则得

)0()()1(!

)

()(1

0)1(>--=++p x x n f x R n n n n θξ,

此式称为柯西余项公式．

当00=x ，得到泰勒公式：

1

1)(2)!

1()(!)0(...!2)0()0()0()(++++++''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ）（，)10(<<θ （2.4）

则（2.4）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式．

定理２]10[ （带皮亚诺型的余项的Taylor 公式） 若函数f 在点0x 处存在直至n 阶导数，则有

∑

=-=n

k k k n x x k x f

x P 000)

()(!

)

()(， )()()(x P x f x R n n -=．

则当0x x →时，))(()(0n n x x x R -=ο．即有

))(()(!

)

(...))(()()(000)(000n n n x x x x n x f x x x f x f x f -+-++-'+=ο （2.5）

定理3所证的（2.5）公式称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x P x f x R n n -=， 称为泰勒公式的余项的，形如))((0n x x -ο的余项称为皮亚诺型余项，所以（2.5）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式

当（2.5）式中00=x 时，可得到

)(!

)0(...!2)0()0()0()()(2n n

n x x n f x f x f f x f ο+++''+'+= （2.6）

（2.6）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，此展开式在一些求极限的题目中有重要应用．

由于))(()(0n n x x x R -=ο，函数的各阶泰勒公式事实上是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小领域将超越运算转化为整幂运算的手段．这一手段使得我们可能将无理的或超越函数的极限，转化为有理式的极限，从而使得由超越函数所带来的极限式的奇性或不定性，得以有效的约除，这就极大的简化了极限的运算．这在后面的应用中给以介绍．