2018版高考数学(人教A版理)一轮复习课件：第10章 第2节 排列与组合

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1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( ) )
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(
m (3)若组合式 Cx ＝ C n n ，则 x＝m 成立．(
)
(4)排列定义规定给出的 n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不 相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．( )
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3 B [当五位数的万位为 4 时，个位可以是 0,2，此时满足条件的偶数共有 C1 A 2 4
＝48 个；当五位数的万位为 5 时，个位可以是 0,2,4，此时满足条件的偶数共有 C1 3 A3 4＝72 个， 所以比 40 000 大的偶数共有 48＋72＝120 个．]
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法二(间接法)：从 9 人中选 3 人有 C3 9种方法， 其中甲、乙均不入选有 C3 7种方法，
3 ∴满足条件的选排方法有 C3 9－C7＝84－3，C，D，E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在 A 的右边(A，B 可 以不相邻)，那么不同的排法共有________种．
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3．(2016· 四川高考)用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的 个数为( A．24 C.60 ) B.48 D.72
D [第一步，先排个位，有 C1 3种选择； 第二步，排前 4 位，有 A4 4种选择．
4 由分步乘法计数原理，知有 C1 · A 3 4＝72(个)．]
(2)(2017· 北京西城区质检)把 5 件不同产品摆成一排， 若产品 A 与产品 B 相邻， 且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有________种. 【导学号：01772381】
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(1)B (2)36 [(1)第一类：甲在左端， 有 A5 5＝5×4×3×2×1＝120 种方法； 第二类：乙在最左端， 有 4A4 4＝4×4×3×2×1＝96 种方法， 所以共有 120＋96＝216 种方法． (2)记其余两种产品为 D，E，A，B 相邻视为一个元素，先与 D，E 排列，有
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抓 基 础 · 自 主 学 习
第二节
排列与组合
[考纲传真] 1.理解排列与组合的概念.2.理解排列数公式、组合数公式.
明 考 向 · 题 型 突 破
3.能利用公式解决一些简单的实际问题．
课 时 分 层 训 练
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1．排列与组合的概念
名称 排列 组合 定义 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素 按照 一定的顺序 排 成一列 合成一组
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[规律方法]
1.(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先
将这些元素取出，再由另外元素补足； “不含”，则先将这些元素剔除，再从剩 下的元素中选取． (2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思 维，间接求解． 2．第(2)题是“新定义”问题，首先理解“规范 01 数列”的定义是解题的关 键，注意分类讨论时要不重不漏，并重视间接法的应用．
3 2 3 1 A2 2A3种方法．再将 C 插入，仅有 3 个空位可选，共有 A2A3C3＝2×6×3＝36 种不
同的摆法．]
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[规律方法]
1.第(1)题求解的关键是按特殊元素甲、乙的位置进行分类．注意
特殊元素(位置)优先原则，即先排有限制条件的元素或有限制条件的位置．对于分 类过多的问题，可利用间接法． 2．对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法等 常用的解题方法．
高三一轮总复习 4．(2017· 唐山调研)某市委从组织机关 10 名科员中选 3 人担任驻村第一书记，
则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( A．85 B.56
)
C.49 D.28 2 C [法一(直接法)：甲、乙两人均入选，有 C1 C 7 2种方法，
2 甲、乙两人只有 1 人入选，有 C1 C 2 7种方法， 1 1 2 由分类加法计数原理，共有 C2 2C7＋C2C7＝49 种选法．
60
[5 人的全排列，B 站在 A 的右边与 A 站在 B 的右边各占一半，
1 5 ∴满足条件的不同排法共2A5＝60 种．]
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排列应用题
(1)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排 甲，则不同的排法共有( A．192 种 C.240 种 ) B.216 种 D.288 种
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[思想与方法] 1．解有附加条件的排列、组合应用题的三种思路： (1)特殊元素、特殊位置优先原则． (2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法) 来解决，分类标准应统一． (3)解排列、组合的综合题一般是先选再排，先分组再分配． 2．求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无 序组合；分类相加，分步相乘．”
4 元素排列有 A2 A 2 4＝48 种结果，
由分步乘法计数原理，实验编排共有 2×48＝96 种方法．]
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组合应用题
(1)若从 1,2,3，„，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶 数，则不同的取法共有( A．60 种 C.65 种 ) B.63 种 D.66 种
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由分类加法计数原理，不同的取法共 264＋208＝472 种．]
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排列与组合的综合应用
☞角度 1 简单的排列与组合的综合问题 (2017· 成都质检)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其 中比 40 000 大的偶数共有( A．144 个 C．96 个 ) B.120 个 D.72 个
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
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2．(教材改编)某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业 留言，那么全班共写了毕业留言( A．1 560 条 C.1 600 条 ) B.780 条 D.800 条
A [由题意，得毕业留言共 A2 40＝1 560 条．]
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(1)D (2)C [(1)共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数，要使和为偶数，则 4 个数全为奇数，或全为偶数，或 2 个奇数和 2 个偶数，
4 2 2 ∴不同的取法共有 C4 5＋C4＋C5C4＝66 种．
(2)由题意知：当 m＝4 时，“规范 01 数列”共含有 8 项，其中 4 项为 0,4 项为 1，且必有 a1＝0，a8＝1.不考虑限制条件“对任意 k≤2m，a1，a2，„，ak 中 0 的个 数不少于 1 的个数”，则中间 6 个数的情况共有 C3 a1 ， 6＝20(种)，其中存在 k≤2m， a2，„，ak 中 0 的个数少于 1 的个数的情况有：①若 a2＝a3＝1，则有 C1 4＝4(种)； ②若 a2＝1，a3＝0，则 a4＝1，a5＝1，只有 1 种；③若 a2＝0，则 a3＝a4＝a5＝1， 只有 1 种．综上，不同的“规范 01 数列”共有 20－6＝14(种)． 故共有 14 个．故选 C.]
☞角度 2
分组分配问题 (2017· 江南名校联考)将甲、乙等 5 位同学分别保送到北京大学，上
海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方 法有( ) 【导学号：01772382】 A．240 种 C.150 种 B.180 种 D.540 种
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C [5 名学生可分为 2,2,1 和 3,1,1 两组方式． 1 2 2 3 当 5 名学生分成 2,2,1 时， 共有2C5C3A3＝90 种方法； 当 5 名学生分成 3,1,1 时，
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[易错与防范] 1． 易混淆排列与组合问题， 区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关， 排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．
m 2．计算 An 时易错算为 n(n－1)(n－2)„(n－m)．
3．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数，是一件事， 而排列数是所有排列的个数，是一个正整数． 4．解组合应用题时，应注意“至少”“至多”“恰好”等词的含义． 5．对于分配问题，一般是坚持先分组，再分配的原则，注意平均分组与 不平均分组的区别，避免重复或遗漏．
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[变式训练 2] 现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张．从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张， 不同取法的种数为________．
2 472 [第一类，含有 1 张红色卡片，不同的取法 C1 C 4 12＝264 种．第二类，不 3 含有红色卡片，不同的取法 C3 12－3C4＝220－12＝208 种．
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[变式训练 1] 在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中 程序 A 只能出现在第一或最后一步，程序 B 和 C 在实施时必须相邻，问实验顺序 的编排方法共有( A．34 种 C.96 种 ) B.48 种 D.144 种
C [程序 A 的顺序有 A1 2＝2 种结果，将程序 B 和 C 看作一个元素与除 A 外的
(2)(2016· 全国卷Ⅲ)定义“规范 01 数列”{an}如下：{an}共有 2m 项，其中 m 项为 0， m 项为 1， 且对任意 k≤2m， a1， a2， „， ak 中 0 的个数不少于 1 的个数． 若 m＝4，则不同的“规范 01 数列”共有( A．18 个 C.14 个 B.16 个 D.12 个 )
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3．排列数、组合数的公式及性质
(1)Am n＝ n！ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝ n－m！
m nn－1n－2„n－m＋1 A n m 公式 (2)Cn ＝ m＝ Am m！