任意角和弧度制及任意角的三角函数
任意角、弧度制及任意角的三角函数
1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(3)终边相同的角❶：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．（2）.若α的终边上有一点P (x ,y )(与原点O 不重合),则sin α=yr ,cos α=xr ,tan α=yx (x ≠0),其中r=√x 2+y 2.(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线❷.(4)三角函数值在各象限内的符号,1.三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦. (1)终边相同的角不一定相等．(2)“锐角”不等同于“第一象限的角”，锐角的集合为{α|0°＜α＜90°}，第一象限的角的集合为{α|k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z}，小于90°的角包括锐角、负角、零角．(3)角的集合的表示形式不是唯一的，如⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π3，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝2k π＋7π3，k ∈Z .当角α的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在．1．象限角角α的弧度数公式 |α|＝lr (l 表示弧长)注意：(1)正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．(2)在一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用 角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式 l ＝|α|r扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 22．轴线角4．四种角的终边关系(1)β，α终边相同⇔β＝α＋2k π，k ∈Z . (2)β，α终边关于x 轴对称⇔β＝－α＋2k π，k ∈Z . (3)β，α终边关于y 轴对称⇔β＝π－α＋2k π，k ∈Z .(4)β，α终边关于原点对称（终边互为反向延长线）⇔β＝π＋α＋2k π，k ∈Z . (5)β，α终边在一条直线上⇔β＝π＋α＋k π，k ∈Z .5．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan α＞α＞sin α. 角α的终边上到原点的距离为r 的点P 的坐标可写为：()cos ,sin P r r αα(3)特殊角的三角函数值2.弧度制（1）定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.（2）计算：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α弧度数的绝对值是 =l rα 其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定. 注意：弧长公式: =l r α. 扇形面积公式: 21122==S lr r α. （3）换算:360°＝2π 180°＝π 1001745180π≈=.1801=()5730≈.π说明：①1800＝π是所有换算的关键，如ππ====,18018030456644；②1设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.角α 0° 30° 45° 60°90°120°135°150°180° 270°360° 角α的弧度数π6π4 π3 π22π 3π 5π6π 3π2π sin α 0 12√22√321 √32√22120 -1 0 cos α 1 √32√22120 -12-√22-√32-1 0 1 tan α√331√3 不 存在-√3 -1-√33不 存在第四2．若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角 3．若α是第二象限的角，则下列结论一定成立的是( )A ．sin α2>0B ．cos α2>0C ．tan α2>0D ．sin α2cos α2<04.已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.5.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A.M ＝N B.M ⊆N C.N ⊆M D.M ∩N ＝∅6.若角α的顶点为坐标原点,始边在x 轴的非负半轴上,终边在直线y=-√3x 上,则角α的取值集合是 ( ) A.{α|α=2kπ-π3,k ∈Z} B.{α|α=2kπ+2π3,k ∈Z} C.{α|α=kπ-2π3,k ∈Z}D.{α|α=kπ-π3,k ∈Z}7.已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值． 8．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A.3 B ．±3 C ．－ 2 D ．－39.已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12B.12C.－32D.3210.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边所在象限是( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象11.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A.－45B.－35C.35D.4512．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．①tan α2 ②sin α2 ③cos α2④cos2α13．(2008年高考全国卷Ⅱ改编)若sin α<0且tan α>0，则α是第_______象限的角．14．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域为________．15．(原创题)若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为________．16．已知角α的终边上的一点P 的坐标为(－3，y )(y ≠0)，且sin α＝24y ，求cos α，tan α的值．17．已知角α的终边过点P (a ，|a |)，且a ≠0，则sin α的值为________．18．已知扇形的周长为6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是_____． 19．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于 10 cm ，则扇形的面积为________．4．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ3角的终边相同的角的集合为__________．答20．设角α的终边经过点P (－6a ，－8a )(a ≠0)，则sin α－cos α的值是________．1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1❶；(2)商数关系：tan α＝sin αcos α❷.2．三角函数的诱导公式断三角函数值的符号． 作用：切化弦，弦切互化．同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.(2)sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . (3)sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1.（4）(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.考法(一)是公式的直接应用，即已知sin α，cos α，tan α中的一个求另外两个的值．解决此类问题时，直接套用公式sin 2α＋cos 2α＝1及tan α＝sin αcos α即可，但要注意α的范围，即三角函数值的符号．1.已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin α＝( )A ．－1－k 2 B.1－k 2 C ．±1－k 2 D.1＋k 22.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝________. 3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3 B ．－3 C ．1D ．－14.已知sin α＋cos α＝－15，且π2＜α＜π，则1sin (π－α)＋1cos (π－α)的值为________．5.若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α＝( )A.125 B.－125 C.512 D.－5126.已知α为锐角，且sin α＝45，则cos (π＋α)＝( )A.－35 B.35 C.－45 D .457．已知△ABC 中，sin A ＋cos A ＝－713，则tan A ＝________.8.已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝( )A ．－55 B.55 C.255 D ．－255 考法(二)的分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，往往转化为关于tan α的式子求解.1．已知tan α＝2，求sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值．3.已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.4．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α的值为______．5．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是_____．6已知tan α＝－43，求2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α的值． 7.已知tan α＝3，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( )A.12 B.2 C.－12 D.－2 8.已知θ为直线y ＝3x －5的倾斜角，若A (cos θ，sin θ)，B (2cos θ＋sin θ，5cos θ－sin θ)，则直线AB 的斜率为( )A ．3B ．－4 C.13 D ．－14考法(三)是考查sin α±cos α与sin αcos α的关系．对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二1.已知x ∈(－π，0)，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值．2.已知sin 2α＝34，π4＜α＜π2，则sin α－cos α的值是( )A.12 B ．－12 C.14D ．－143.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( ) A.－79 B.－29C.29D.794.已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α＝( )A.－32 B.32 C.－34 D .345．已知角A 为△ABC 的内角，且sin A ＋cos A ＝15，则tan A 的值为__________． 6.(2018自贡一模)求值:√1-2sin10°cos10°√2=.7.．若θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，sin 2θ＝116，则cos θ－sin θ的值是________． 8.已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为________.1．(2018·大连二模)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝( )A.13 B ．－13 C.222 D ．－23 2.已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝( )A.34 B ．－43 C ．－34 D.433.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________. 4.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝( )A.513 B.1213 C.－513D.－12135.已知sin (π3-α)=12,则cos (π6+α)= .6..(2016·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β(异名相乘、加减一致)；(2)cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β(同名相乘、加减相反)；(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β(两式相除、上同下异)．(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切中α＝β的特殊情况． (2)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.1．公式的常用变式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；tan α·tan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1.2．降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2；sin αcos α＝12sin 2α. 3．升幂公式：1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；1＋sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22；1－sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22. 4．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α等． (1)sin(A+B )=sin C ;(2)cos(A+B )=-cos C ; (3)sin A+B 2=cos C 2;(4)cosA+B 2=sin C2; (5)tan(A+B )=-tan C ;(6)∵tan(A+B )=tan(π-C ),∴tanA+tanB1-tanAtanB=-tan C ,去分母,移项,整理可得tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C.2.找出下列复角的一个关系式,并写出它们的一个三角函数关系式.提示:(1)π4+α+π4-α=π2,sin (π4+α)=cos (π4-α);(2)(2π3+α)-(π6+α)=π2,sin (2π3+α)=cos (π6+α);(3) (π4+α)+(3π4-β)=π+(α-β),sin(α-β)=-sin [(3π4-β)+(π4+α)]; (4) (4)(3π4-β)-(π4+α)=π2-(α+β),sin(α+β)=cos [(3π4-β)-(π4+α)].5．辅助角公式：一般地，函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba 或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ab . 1．cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°＝( )A ．－32B.32 C ．－12 D.122.cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β)D.cos α3..3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝________.4.1+tan 18°)(1+tan 27°)的值是( ) A.√2 B.√3 C.2D.√55．已知cos x ＝34，则cos 2x ＝________6．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝________.7．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A ．－211 B.211 C.112D ．－1128．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 9.在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C ＝________. 10.sin 10°1－3tan 10°＝________.(3)化简sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.11.已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( )A.16B ．－16 C.12 D.2312.已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝13，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( )A.32 B.3 C.12 D.3313.(2019·南昌模拟)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－13，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为( )A.725 B.72－818C ．－17250 D.25 14．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( )A.12 B.13 C.14 D.1515．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89 B.79 C ．－79 D ．－8916．下列式子的运算结果为3的是( )①tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)；③1＋tan 15°1－tan 15°；④tanπ61－tan2π6.A ．①②④ B ．③④C ．①②③ D ．②③④17.若cos α=13,α∈(0,π),则cos α2的值为( )A.√63B.-√63C.±√63D.√3318已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－23，则cos α＝( )A.5＋23 B.15－26 C.5－23 D.15＋2619.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cos (π4-α)=35,则sin 2α=( )A.725B.15C.-15D.-72520.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°·sin 10°=( ) A.-√32 B.√32 C.-12 D.12 考法(一) 给角求值 1.cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝________ 2.sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°＝________.3.2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°的值为( )A ．1 B ．－1C.12 D ．－124.cos 165°的值是( ). A.√6-√22B.√6+√22C.√6-√24D.-√6-√245.sin47°-sin17°cos30°cos17°= .6.(2018年全国Ⅱ卷)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= .考法(二) 给值求值1.已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，若17π12＜x ＜7π4，则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值为________． 2.若tan α=2,tan(β-α)=3,则tan(β-2α)=( ).A.-1B.-15C.57D.173.已知0<α<π2<β<π,cos (β-π4)=13,sin(α+β)=45,求cos (α+π4)的值.4.已知sin (α+π3)=35,α∈(-π2,π6),求sin α的值. 5.在△ABC 中,若sin A=35,cos B=513,则cos C= .考法(三) 给值求角 1. 若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是________． 2.已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，若0<β<α<π2，则β＝________. 3.已知α，β为锐角，cos α＝17，且sin(α＋β)＝5314，则角β＝________. 4.设cos α＝－55，tan β＝13，π<α<3π2，0<β<π2，则α－β＝________.5.已知0<α<π2<β<π,cos (β-π4)=13,sin(α+β)=45,求cos (α+π4)的值.(2)已知sin (α+π3)=35,α∈(-π2,π6),求sin α的值.6.已知α∈(π2,π),且sin α2+cos α2=√62.(1)求cos α的值;(2)若sin(α-β)=-35,β∈(π2,π),求cos β的值.辅助角公式 (1)sin x±cos x ;(2)sin x±√3cos x ;(3)√3sin x±cos x.2.(2013年全国Ⅰ卷)设当x=θ时,函数f (x )=sin x -2cos x 取得最大值,则cos θ= .3.(2014年全国Ⅱ卷)函数f (x )=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为 .1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. 3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，4.sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.3.tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________.考点一 三角函数式的化简【例1】 (1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________. (2)化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)＝________.(1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β) D.cos α 角度1 给角(值)求值(1)计算：cos 10°－3cos （－100°）1－sin 10°＝________.(2)(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. ①求cos 2α的值；②求tan(α－β)的值.角度2 给值求角(1)(2019·河南六市联考)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，若0<β<α<π2，则β＝___. (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________. 考点三 三角恒等变换的简单应用【例3】 (2019·郑州模拟)设函数f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＋λ的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的最值. (2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A.－45 B.－15 C.15 D.45 1..sin 10°1－3tan 10°＝( )A.14 B.12C.32 D .12..(2017·江苏卷)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.3.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.4.．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A ．－211 B.211 C.112 D ．－1125.．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．3．下列式子的运算结果为3的是( ) ①tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)； ③1＋tan 15°1－tan 15°；④tan π61－tan2π6.A ．①②④B ．③④C ．①②③D ．②③④6.(2016·高考全国卷Ⅱ)若cos(π4－α)＝35，则sin 2α＝( )1、已知θ是第三象限角，且4459sincos θθ+=，那么2sin θ等于（） A 、3B 、3-C 、23D 、23- 2、函数222y sin x x =-+的最小正周期 A 、2π B 、π C 、3π D 、4π 3、tan 70cos10(3tan 201)-等于 （ ）A 、1B 、2C 、－1D 、－2 4、设10,sin cos 2απαα<<+=，则cos2α＝＿＿＿＿＿。
第4章 三角函数、解三角形 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
因此 cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.
索引
(3)函数 y＝ 2cos x－1的定义域为__2__k_π_－__π3_，__2_k_π_＋__π3__(k_∈__Z__) _.
解析 ∵2cos x－1≥0， ∴cos x≥21. 由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴 影部分所示)， ∴x∈2kπ－π3，2kπ＋π3 (k∈Z).
索引
2.弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于__半__径__长__的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作
rad. (2)公式
角 α 的弧度数公式 角度与弧度的换算
|α|＝rl(弧长用 l 表示)
1°＝1π80
180° rad；1 rad＝___π___
弧长公式 扇形面积公式
弧长 l＝_|_α_|_r_ S＝__12_lr__＝__12_|_α_|r2
索引
感悟提升
应用弧度制解决问题时应注意： (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
索引
训练1 (1)(2021·长沙质检)已知弧长4π的弧所对的圆心角为2弧度，则这条弧所
在的圆的半径为( D )
A.1
B.2
C.π
D.2π
解析 ∵弧长4π的弧所对的圆心角为2弧度，
∴4rπ＝2，解得 r＝2π， ∴这条弧所在的圆的半径为2π.
索引
10π (2)在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为______9__，由该弧及半径围成的
5π 扇形的面积为______9__. 解析 单位圆半径 r＝1，200°的弧度数是 200×1π80＝109π. ∴l＝109π，S 扇形＝12lr＝21×109π×1＝59π.
任意角和弧度制及任意角的三角函数
tan θ 的值. 世纪金榜导学号
【解析】由题意得r=
3 m2,所以sin θ=
m=
3 m2
2m 4
(m≠0),所以m=± 5 ,故角θ是第二或第三象限角.
【拓展】求 或nθ (n∈N*)所在象限的方法
n
(1)将θ 的范围用不等式(含有k)表示.
(2)两边同除以n或乘以n.
(3)对k进行讨论,得到
n
或nθ
(n∈N*)所在的象限.
提醒:注意“顺转减,逆转加”的应用,如角α 的终边逆 时针旋转180°可得角α +180°的终边,类推可知 α +k·180°(k∈Z)表示终边落在角α 的终边所在直线 上的角.
任意角三角函数的定义,是三角函数的最基本的概 念,很多知识点都是在其基础之上派生出来的.试题常 以选择题、填空题形式出现,考查符号的判断、比较大 小、解不等式及求值等问题.
命题角度1 三角函数值符号的判断问题
【典例】sin 2·cos 3·tan 4的值 ( )
A.小于0
B.大于0
C.等于0
D.不存在
C.510°
D.-150°
【解析】选B.与角330°的终边相同的角为
α =k·360°+330°(k∈Z),令k=-2,可得α =-390°.
4.(2018·福州模拟)与-2 010°终边相同的最小正角 是________.
【解析】因为-2 010°=(-6)×360°+150°, 所以150°与-2 010°终边相同,又终边相同的两个角 相差360°的整数倍,所以在0°～360°中只有150°与 -2 010°终边相同,故与-2 010°终边相同的最小正角 是150°. 答案:150°
高考数学复习：任意角和弧度制及任意角的三角函数
当m=- 5 时,r=2 2,点P的坐标为 （ 3, 5）,
所以cos x 3 6 ，tan y 5 15 ,
r 22 4
x 3 3
综上可知,cos θ=- ,t6an θ=- 或c1o5 s θ=- , 6
2
2.若圆弧长度等于圆内接正方形的边长,则该圆弧所对
圆心角的弧度数为 ( )
A.
B.
C. 2
D. 2
4
2
2
【解析】选D.设圆的直径为2r,则圆内接正方形的边长 为 2r, 因为圆的圆弧长度等于该圆内接正方形的边长, 所以圆弧的长度为 2r, 所以圆心角弧度为 2r 2.
r
考点三 任意角三角函数的定义及应用 【明考点·知考法】
【典例】函数y= sin x 3 的定义域为________.
2
世纪金榜导学号
【解析】由题意可得sin x- ≥30,即sin x≥ .作 3
2
2
直线y= 3交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围
2
成的区域(图中阴影部分含边界)即为角x的终边的范围,
故满足条件的角x的集合为
{x|2k x 2k 2 , k Z}.
2
答案:6π
题组二:走进教材
1.(必修4P5T4改编)下列与 9 的终边相同的角的表达
4
式中正确的是 ( )
A.2kπ+45°(k∈Z) C.k·360°-315°(k∈Z)
B.k·360°+ 9 π(k∈Z)
4
D.kπ+ 5 (k∈Z)
4
【解析】选C.由定义知终边相同的角的表达式中不能
同时出现角度和弧度,应为 +2kπ或k·360°+45°
第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数高考概览：1.了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．[知识梳理]1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式3.任意角的三角函数[辨识巧记]1．区分两个概念(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角．(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等．2．两个关注点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)小于90°的角是锐角．()(2)锐角是第一象限角，反之亦然．()(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.()(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(必修4P10A组T10改编)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( )A ．10πB ．9π C.910π D.109π[解析] ∵200°＝10π9，∴单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为l ＝10π9×1＝10π9.故选D.[答案] D3．(必修4P 15练习T 6改编)若角θ满足tan θ>0，sin θ<0，则角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 由正切和正弦的象限符号可知，在第三象限．故选C.[答案] C4．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( ) A ．－43 B ．－45 C ．－35 D ．－34[解析] 根据三角函数的定义，tan α＝y x ＝35－45＝－34，故选D. [答案] D5．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为________．[解析] 如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4考点一 角的概念及集合表示【例1】 (1)若α是第三象限角，且cos α2>0，则α2是第________象限角． (2)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是________．[解析] (1)解法一：∵α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋3π2(k∈Z )，则k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈N )时，2n π＋π2<α2<2n π＋3π4，不满足cos α2>0，舍去．当k ＝2n ＋1(n ∈N )时，2n π＋π＋π2<α2<2n π＋π＋3π4，满足cos α2>0，∴α2是第四象限角．解法二：利用等分象限角的方法，可以判断α2是第二或四象限角，又因为cos α2>0，所以α2是第四象限角．(2)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π3＋k π，k ∈Z . [答案] (1)四 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π3＋k π，k ∈Z(1)确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤①用终边相同角的形式表示出角α的范围；②再写出kα或αk 的范围；③然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置．(2)终边在某直线上角的求法3步骤①数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；②按逆时针方向写出[0，π)内的角β；③{α|α＝k π＋β，k ∈Z }．[对点训练]1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] －3π4是第三象限角；4π3是第三象限角；－400°＝－40°－360°，所以－400°是第一象限角；－350°＝10°－360°，所以350°是第一象限角．故②④正确，故选B.[答案] B2．设集合M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 4×180°＋45°，k ∈Z ，则两集合的关系是( ) A ．N ⊆M B ．M ＝N C ．M ND ．M ∩N ＝∅ [解析] 因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合； 而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)·45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，所以：M N .故选C.[答案] C考点二 扇形的弧长和面积公式【例2】 已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长．(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？[思路引导] (1)化α为弧度制→代入弧长公式求解(2)利用扇形周长为C 确定α和R 的关系→用α表示扇形的面积S →借助函数知识求解[解] (1)设弧长为l ，则α＝60°＝π3，R ＝10，l ＝π3×10＝10π3(cm)．(2)解法一：扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴R ＝C2＋α， ∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2 ＝C 22α·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216.当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.解法二：扇形周长C ＝2R ＋l ，面积S ＝12lR ＝12R (C －2R )＝－R 2＋12CR ＝－⎝⎛⎭⎪⎫R －C 42＋C 216⎝ ⎛⎭⎪⎫0<R <C 2， 当且仅当R ＝C 4，即C ＝4R 时，扇形的面积S 最大，此时C ＝4R ＝2R ＋l ，l ＝2R ，由l ＝2R 得α＝2，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l ＝|α|R ，S ＝12|α|R 2＝12lR .在公式的选择上以简单，计算量小为原则，如本例(2)中解法二比解法一计算量小．[对点训练]已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由S ＝12×4×R 2＝2，得R ＝1，所以弧长l＝4×1＝4，故扇形的周长C＝2R＋l＝2＋4＝6.故选C.[答案] C考点三三角函数的定义任意角的三角函数的定义属于理解内容，单独考查时不多，多结合其他知识一起考查，以选择、填空题形式出现．常见的命题角度有：(1)求三角函数值；(2)判断三角函数值的符号；(3)利用三角函数线解不等式．角度1：求三角函数值【例3－1】已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sinα＝2m4，求cosα，tanα的值．[解]设P(x，y)．由题设知x＝－3，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－3)2＋m2(O为原点)，r＝3＋m2，所以sinα＝mr＝2m4＝m22，所以r＝3＋m2＝22，3＋m2＝8，解得m＝±5. 当m＝5时，r＝22，x＝－3，y＝5，所以cosα＝－322＝－64，tanα＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5，所以cos α＝－322＝－64，tan α＝153. 角度2：判断三角函数值的符号【例3－2】 若sin α·tan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限的角，由cos αtan α<0，可知cos α，tan α异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．故选C.[答案] C角度3：利用三角函数线解不等式【例3－3】 函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． [思路引导] 真数大于0→解三角不等式→ 单位圆中正弦线→看图得结果[解析] ∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34， ∴－32<sin x <32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )(1)定义法求三角函数的3种情况①已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．(2)三角函数符号在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(3)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．[对点训练]1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－45[解析] 根据题，cos α＝－4(－4)2＋32＝－45.故选D. [答案] D2．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α<0，则a 的取值范围是________．[解析] 因为sin α>0，cos α<0，所以α是第二象限角．所以点(3a －9，a ＋2)在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9<0，a ＋2>0，解得－2<a <3.[答案] (－2,3)3．函数y ＝2cos x －1的定义域为________． [解析] ∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围．∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )课后跟踪训练(二十)基础巩固练一、选择题1．下列角中终边与330°相同的角是( ) A ．30° B ．－30° C ．630° D ．－630°[解析] 因为330°的角的终边与－30°的角的终边相同，所以选项B 满足题意．故选B.[答案] B2．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512[解析] 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.[答案] D3．若角α＝2 rad(rad 为弧度制单位)，则下列说法错误的是( ) A ．角α为第二象限角B ．α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°C ．sin α>0D ．sin α<cos α[解析] 对于A ，∵π2<α<π，∴角α为第二象限角，故A 正确；对于B ，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°＝2 rad ，故B 正确；对于C ，sin α>0，故C 正确；对于D ，sin α>0，cos α<0，故D 错误．故选D.[答案] D4．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角α的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4[解析] 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则l ＋2r ＝6，S ＝12lr ＝2，解得r ＝2，l ＝2或r ＝1，l ＝4，故α＝lr ＝1或4，故选C.[答案] C5．集合⎭⎬⎫{α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )[解析] 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．故选C.[答案] C 二、填空题6．若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α为________象限角． [解析] α＝k ·180°＋45°＝k 2·360°＋45°.当k 为偶数时，α为第一象限角；当k 为奇数时，α为第三象限角．综上，α为第一或第三象限角．[答案] 第一或第三7．若点⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． [解析] ∵角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，∴由任意角的三角函数的定义，可得sin α＝－32.[答案] －328．已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝________.[解析] 圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1.[答案] 1 三、解答题9．(1)设90°<α<180°，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，求tan α.(2)已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ.[解] (1)∵90°<α<180°，∴cos α<0，∴x <0. 又cos α＝15x ＝x x 2＋16，∴x ＝－3.∴tan α＝4x ＝－43.(2)∵θ的终边过点(x ，－1)，∴tan θ＝－1x ， 又∵tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22.10．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角； (2)一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .[解] (1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎨⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎨⎧r ＝4，θ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8.(舍去)． ∴扇形的圆心角为12.(2)设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎨⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr ＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad. ∴AH ＝1·sin1＝sin1(cm)， ∴AB ＝2sin1(cm)．能力提升练11．(2019·江西南昌二中测试)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sin α等于( )A ．sin2B ．－sin2C ．cos2D ．－cos2[解析] r ＝(2sin2)2＋(－2cos2)2＝2.由任意角的三角函数的定义，得sin α＝yr ＝－cos2，故选D.[答案] D12．(2019·山东济南外国语学校段考)下列结论中错误的是( ) A ．若0<α<π2，则sin α<tan αB ．若α是第二象限角，则α2为第一象限或第三象限角 C ．若角α的终边过点P (3k,4k )(k ≠0)，则sin α＝45D ．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度 [解析] 选项A ，若0<α<π2，则sin α<tan α＝sin αcos α，A 正确；选项B ，若α是第二象限角，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z ，则α2∈⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2，k ∈Z ，为第一象限或第三象限角，B 正确；选项C ，若角α的终边过点P (3k,4k )(k ≠0)，则sin α＝4k 9k 2＋16k 2＝4k 5|k |，不一定等于45，C 不正确；选项D ，若扇形的周长为6，半径为2，则弧长＝6－2×2＝2，其圆心角的大小为22＝1弧度，D 正确．故选C.[答案] C13．(2018·北京第三十五中学期中)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆的交点A 在第二象限．若cos α＝－35，则点A 的坐标为________．[解析] ∵cos α＝－35，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫－35，45.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，4514.如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴的正半轴的交点，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213，∠AOB ＝90°.(1)求cos ∠COA ； (2)求tan ∠COB .[解] (1)因为点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213，根据三角函数的定义可得cos ∠COA ＝513.(2)因为∠AOB ＝90°，sin ∠COA ＝1213， 所以cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋90°)＝－sin ∠COA ＝－1213.又因为点B 在第二象限， 所以sin ∠COB ＝1－cos 2∠COB ＝513.故tan ∠COB ＝sin ∠COB cos ∠COB＝－512.拓展延伸练15．(2019·上海长宁、嘉定一模)设角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] α的终边在第一、二象限能推出sin α>0，sin α>0成立能推出α的终边在第一、二象限或y 轴的正半轴上，故“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的充分不必要条件．故选A.[答案] A16．(2019·河北张家口月考)若角θ满足sin θ>0，tan θ<0，则θ2是( )A ．第二象限角B ．第一象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第二象限角[解析] ∵角θ满足sin θ>0，tan θ<0，∴θ是第二象限角，即π2＋2k π<θ<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<θ2<π2＋k π，k ∈Z ，∴θ2是第一或第三象限角．故选C.[答案] C。
高一任意角和弧度制及任意角的三角函数复习
y r x cos a = r y tan a = x 0 x sin a =
1.根据三角函数的定义，确定它们的定 三角函数 定义域 义域 （弧度制
cos a tan a
y + o （ ） （ （ x （
sin a
R
R
p a a kp (k Z ) 2
2.确定三角函数值在各象限的符号
使比值有意义的角的集合即为三 角函数的定义域.
定义推广：
设角a 是一个任意角, P ( x, y )是终边上任意一点，点P 与原点的距离是r= x 2 y 2 0
那么① ② ③ 任意角
y r x r y x
叫做
a
a
的正弦，即 的余弦，即 的正弦，即
叫做 叫做
a
a 的三角函数值仅与a 有关，而与点 P在角的终边上的位置无关.
那么:（1） 叫做 （2） 叫做 （3） 叫做 y x
y a 的正弦，记作
，即 ，即
sin a ；
；
sin a = y
x a 的余弦，记作
cosa
cos a = x
。 tan a =
y
a 的正切，记作
，即tana
y ( x 0) x
P( x, y)
1
a
o
x
M
正弦，余弦，正切都是以角为 自变量，以单位圆上点的坐标 或坐标的比值为函数值的函数 ，我们将他们称为三角函数.
1 1 S扇形 = r = a r 2 2 2 1 1 S弓 =S扇形 S = r r r sin a 2 2 扇形周长=2r
l a = r
r=
l
a
思考：扇形的弧长和面积共含几个变量，已 知几个量,才能求出另外的量呢？
(完整版)三角函数知识点归纳
三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．终边与角α相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= ④若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为(r r =，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号） (2)商数关系：sin αcos α＝tan α. （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα 2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，απαtan )2tan(=+k 其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，()tan tan παα-=-． 公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，()tan tan αα-=-. 公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角．．．．时，根据k ·π2±α在哪个象限判断原．三角．．函数值的符号，最后作为结果符号．B.方法与要点 一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． （ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ= sin2π＝tan π4 （4）齐次式化切法：已知k =αtan ，则nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin 三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如x y sin =与x y cos =的周期是π）。
任意角和弧度制及任意角的三角函数
三角函数周期性质
周期性是三角函数的重要性质之 一，它反映了三角函数值的重复 变化规律，对于三角函数的图像 和性质研究具有重要意义。
三角函数的奇偶性
奇偶性定义
如果一个函数满足f(-x)=-f(x)，则称该函数为奇函数；如果满足f(-x)=f(x)，则称该函数 为偶函数。
三角函数的奇偶性
正弦函数和余弦函数都是偶函数，正切函数是奇函数。
1 2
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角 三角形中锐角的邻边与斜边的比值。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为$360^circ$ 或$2pi$弧度。
3
图像
余弦函数的图像也是一个周期性曲线，在每个周 期内，其值从$1$减小到$0$，再增加到$1$。
正切函数
定义
01
正切函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角
正弦值
1/sqrt{2}或sin45°
余弦值
1/sqrt{2}或cos45°
45°和60°的三角函数值
正切值：1
正弦值：1/2+√3/2i或sin60°
45°和60°的三角函数值
余弦值：1/2-√3/2i或cos60° 正切值：√3
90°的三角函数值
正弦值：不存在 余弦值：0 正切值：1
THANKS
02
任意角的三角函数
正弦函数
01
02
03
定义
正弦函数是三角函数的一 种，定义为直角三角形中 锐角的对边与斜边的比值 。
周期性
正弦函数具有周期性，其 周期为$360^circ$或 $2pi$弧度。
图像
正弦函数的图像是一个周 期性曲线，在每个周期内 ，其值从$0$增加到$1$ ，再减小到$0$。
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二、任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 设 α 是一个任意角， 它的终边与单位圆交于 定义 点 P(x，y)，那么 y ____ y 叫做 α x 叫做 α _____ x ____叫做 α 的 定义 的正切，记anα
各 象 限 符 号
任意角和弧度制 及任意角的三角函数
考点梳理 一、任意角 1．角的分类 正角 、_______ 负角 、 零角 (1)任意角可按旋转方向分为_______ _______. 象限角 和终边在坐标轴上的角． (2)按终边位置可分为_______ (3)与角 α 终边相同的角连同角 α 在内可以用一个式子来 k· 360° ＋α(k∈Z) 表示，即 β＝____________________.
α 变式探究 3 已知 α 是第三象限角， 问 是哪个象限的角？ 3
解析：方法一：∵α 是第三象限角， ∴180° ＋k· 360° ＜α＜270° ＋ k· 360° ，k∈Z， α 60° ＋k· 120° ＜ ＜90° ＋k· 120° . 3 α ①当 k ＝ 3m(m ∈ Z) 时，可得 60° ＋ m· 360° ＜ ＜ 90° ＋ 3 m· 360° (m∈Z)． α 故 的终边在第一象限； 3
(2)设扇形的半径为 r，弧长为 l，则 l＋2r＝20， 即 l＝20－2r(0＜r＜10)① 1 扇形的面积 S＝ lr，将①代入，得 2 1 S＝ (20－2r)r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25， 2 所以当且仅当 r＝5 时，S 有最大值 25.此时 l l＝20－2×5＝10，α＝ ＝2. r 所以当 α＝2 rad 时，扇形的面积取最大值．
解析：∵角 α 终边上一点 P(2sin2，－2cos2)， ∴x＝2sin2，y＝－2cos2， r＝ x2＋y2＝ 4sin22＋4cos22＝2， y －2cos2 ∴sinα＝ ＝ ＝－cos2. r 2 答案：D
4 5．已知角 α 的终边经过点 P(m，－3)，且 cosα＝－ ，则 5 m 等于( ) 11 11 A．－ B. C．－4 D．4 4 4
题型二 弧长与扇形面积 例 2.(1)一个半径为 r 的扇形，若它的周长等于弧所在的 半圆的长， 那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的 面积是多少？ (2)一扇形的周长为 20 cm， 当扇形的圆心角 α 等于多少弧 度时，这个扇形的面积最大？
解析： (1)设扇形的圆心角是 θ rad， 因为扇形的弧长是 rθ， 所以扇形的周长是 2r＋rθ. 依题意，得 2r＋rθ＝πr， 180 ∴θ＝π－2＝(π－2)× π ° ≈1.142×57.30° ≈65.44° ≈65° 26′， 12 1 ∴扇形的面积为 S＝ r θ＝ (π－2)r2. 2 2
变式探究 1 (1)若角 α 的终边和函数 y＝－|x|的图象重合， 试写出角的集合； (2)若 θ 角的终边与 168° 角的终边相同，求在[0° ，360° ) θ 内终边与 角的终边相同的角． 3
解析：(1)由于 y＝－|x|的图象是三、四象限的角平分线， 故在 0° ～360° 间所对应的两个角分别为 225° 及 315° ，从而角 α 的集合为 S＝{α|α＝k· 360° ＋225° 或 α＝k· 360° ＋315° ， k∈Z}． θ (2)θ＝k· 360° ＋168° ，k∈Z， ＝k· 120° ＋56° ，k∈Z. 3 依题意得 0≤k· 120° ＋56° ＜360° ，当 k＝0,1,2 时， θ k· 120° ＋56° 在[0° ，360° )内，所以 ＝56° ，176° ，296° . 3
解析：小于 90° 的角由锐角、零角、负角组成，而第一 象限角包含锐角及其他终边在第一象限的角，所以 A∩B 是 由锐角和终边在第一象限的负角组成，又 0° ～ 90° 的角为 θ|0° ≤θ＜90° ，故上述 A、B、C 项都不对． 答案：D
(
2． 将表的分针拨慢 10 分钟， 则分针转过的角的弧度数是 ) π π π π A. B. C．－ D．－ 3 6 3 6
α 题型三已知角 α 所在象限，判断 所在象限的问题, n α α 例 3.若 α 是第二象限的角，试分别确定 ， 的终边所在 2 3 位置．
α 解析：(1)∵k· 180° ＋45° ＜ ＜k· 180° ＋90° (k∈Z)， 2 当 k＝2n(n∈Z)时， α n· 360° ＋45° ＜ ＜n· 360° ＋90° ； 2 当 k＝2n＋1(n∈Z)时， α n· 360° ＋225° ＜ ＜n· 360° ＋270° . 2 α ∴ 是第一或第三象限的角． 2
α (2)∵k· 120° ＋30° ＜ ＜k · 120° ＋60° (k∈Z)， 3 当 k＝3n(n∈Z)时， α n· 360° ＋30° ＜ ＜n· 360° ＋60° ； 3 当 k＝3n＋1(n∈Z)时， α n· 360° ＋150° ＜ ＜n· 360° ＋180° ； 3 当 k＝3n＋2(n∈Z)时， α n· 360° ＋270° ＜ ＜n· 360° ＋300° . 3 α ∴ 是第一或第二或第四象限的角． 3
2．象限角 第一象限角 的集合 第二象限角 的集合 第三象限角 的集合 第四象限角 的集合
π {α|2kπ＜α＜2kπ＋ ，k∈Z} 2 __________________________________ π {α|2kπ＋ ＜α＜2kπ＋π，k∈Z} 2 __________________________________ 3π {α|2kπ＋π＜α＜2kπ＋ ，k∈Z} 2 __________________________________ 3π {α|2kπ＋ ＜α＜2kπ＋2π，k∈Z} 2 __________________________________
解析：将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转， ∴C、D 不正确． 2 1 又∵拨慢 10 分，∴转过的角度应为圆周的 ＝ ， 12 6 1 π 即为 ×2π＝ . 6 3 答案：A
3．已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆 心角的弧度数是( ) A．1 B．4 C．1 或 4 D．2 或 4
解析：设此扇形的半径为 r，弧长是 l， 2r＋l＝6， r＝1， r＝2， 则1 解得 或 rl＝2， l＝4， l＝2. 2 l 4 l 2 从而 α＝ ＝ ＝4 或 α＝ ＝ ＝1. r 1 r 2 答案：C
4．已知角 α 终边上一点 P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则 sinα 等于( ) A．sin2 B．－sin2 C．cos2 D．－cos2
题型探究 题型一 角的集合表示 例 1.(1)写出终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合； 6π (2)若角 θ 的终边与 角的终边相同，求在[0,2π)内终边与 7 θ 角的终边相同的角． 3
π 解析：(1)在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角是 ，∴终 3 π 边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为{α|α＝ ＋kπ，k∈Z}． 3 6π θ 2π 2kπ (2)∵θ＝ ＋2kπ(k∈Z)，∴ ＝ ＋ (k∈Z)． 7 3 7 3 2π 2kπ 3 18 依题意 0≤ ＋ ＜2π(k∈Z)⇒－ ≤k＜ (k∈Z)． 7 3 7 7 θ 2π ∴k＝0,1,2， 即在[0,2π)内终边与 角的终边相同的角为 ， 3 7 20π 34π ， . 21 21
点评：①利用终边相同的角的集合 S＝{β|β＝2kπ＋α，k ∈Z}判断一个角 β 所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范 围内的一个角 α 与 2π 的整数倍， 然后判断角 α 所在的象限． ② 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角， 方法是先 写出与这个角的终边相同的所有角的集合， 然后通过对集合中 的参数 k 赋值来求得所需角．
3．三角函数线是三角函数的几何表示 (1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下 为负． (2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负． (3)当角 α 的终边在 x 轴上时，点 T 与点 A 重合，此时正 切线变成了一个点，当角 α 的终边在 y 轴上时，点 T 不存在， 即正切线不存在． (4)在“数 ”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还 可以从图形角度考察任意角的三角函数， 即用有向线段表示三 角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方.
α α 点评：(1)若由 90° ＜α＜180° ，得 45° ＜ ＜90° ，得 是第 2 2 一象限角， 则混淆了象限角与区间角的概念， 犯了以偏概全的 错误． α (2)已知角 α 所在象限，应熟练地确定 所在象限： 2 α 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 α 第一或第三象限 第二或第四象限 2 区域
答案：C
疑点清源 1.对角概念的理解要准确 (1) 不少同学往往容易把 “ 小于 90° 的角 ” 等同于 “ 锐 角”，把“0° ～90° 的角”等同于“第一象限的角”．其实锐 角的集合是{α|0° ＜α＜90° }， 第一象限角的集合为{α|k· 360° ＜α ＜k· 360° ＋90° ，k∈Z}． (2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同， 终边相同的角的同一三角函数值相等．
2．对三角函数的理解要透彻 三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制) 的集合到一个比值的集合的函数． 也可以看成是以实数为自变 量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围． y 如 tanα＝ 有意义的条件是角 α 终边上任一点 P(x， y)的横 x 坐标不等于零， 也就是角 α 的终边不能与 y 轴重合， 故正切函 π 数的定义域为{α|α≠kπ＋ ，k∈Z}． 2
3.角的度量 半径 长的圆弧所对的圆心角叫做 1 (1)弧度制：把等于_______ 弧度的角． (2)角的度量制有：_______ 角度制，_______ 弧度 制． 180 π π ° (3)换算关系：1° ＝_______rad,1 rad＝_______. 180 l＝|α|r ，扇形面 (4)弧长及扇形面积公式：弧长公式为________ 1 1 2 S＝ lr＝ |α|r 积公式为______________. 2 2