专题06 三角函数的图像与性质(高考押题)-2016年高考文数二轮复习精品资料(解析版)
三角函数：三角函数的图像与性质-高三数学二轮复习
(4)对称轴：ωx + =________.
(5)对称中心：ωx + =________.
试卷讲评课件
(6)值域：若已知三角函数y = Asin ωx + + B，且x ∈ [m, n]
①若ωx +
π
可以取到
2
+
π
2kπ和−
2
+ 2kπ，则Asin ωx + + B的最大
值为________，最小值为________；
2
2
A.1
B.2
= f x 的图象与直线
C.3
D.4
π
6
试卷讲评课件
例10.( ⋅辽宁·二模)已知函数f x = sin2x + 2 3cos2 x − 3，则下
列说法正确的是(
)
A.函数f x 的最小正周期为π
B.函数f x
π 3π
在区间[ , ]上单调递减
6 4
C.将函数f x
π
的图象向右平移 个单位长度，得到函数y
π
是y
6
π
,0
3
对称
上单调递增
= f x 图象的一条对称轴
)
试卷讲评课件
例12.( ⋅河北沧州·一模)已知函数f x = sin 2x +
且f x = f
2π
3
函数，则(
)
A. =
≤
π
2
，
− x ，若函数f x 向右平移a a＞0 个单位长度后为偶
π
−
6
B.函数f x 在区间
π
C.a的最小值为
6
象
高考数学专题 三角函数的图像与性质高考押题原卷
高考押题1．函数f (x )＝2sin 2x －1是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数2．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．83．已知函数：①y ＝sin x ＋cos x ，②y ＝22·sin x cos x ，则下列结论正确的是( )A ．两个函数的图象均关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0中心对称B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π4轴对称C ．两个函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫π12，0对称 D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称 5．为了使变换后的函数的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0成中心对称，只需将原函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与直线y ＝b (0<b <A )的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则函数f (x )的单调递增区间是( )A ．[6k π，6k π＋3]，k ∈ZB ．[6k －3,6k ]，k ∈ZC ．[6k,6k ＋3]，k ∈ZD ．无法确定7. (如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，|φ|≤π2与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为________．8．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝________.9．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛ ω>0，－π2⎭⎪⎫≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________. 10．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？11.(某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表如下：x 2π3 x 1 8π3 x 2 x 3 ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π Asin(ωx＋φ)2－2(1)求x 1，x 2，x 3的值及函数f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向左平移π个单位，可得到函数g (x )的图象，求函数y ＝f (x )·g (x )在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，5π3上的最小值．。
高考数学(四海八荒易错集)专题06 三角函数的图像与性质 理
专题06 三角函数的图像与性质1．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度答案 D解析 由题意可知，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，故选D.2．若将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 答案 B3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5 答案 B解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N )，又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(x ∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移3π20个单位长度B ．向右平移3π20个单位长度C ．向左平移π5个单位长度D ．向右平移π5个单位长度答案 A5．如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为( )A.833 B.163 3 C ．8 D ．16答案 B解析 由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)．则M (a 2，－a2)，由两点间距离公式得，PM ＝－a22＋a22＝25，解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)，由此得，T2＝8－2＝6，即T ＝12，故ω＝π6， 由P (2,0)得φ＝－π3，代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)得，f (x )＝A sin(π6x －π3)，从而f (0)＝A sin(－π3)＝－8，得A ＝1633.6．义在区间[0,3π]上的函数y ＝sin2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________． 答案 7解析 在区间[0,3π]上分别作出y ＝sin2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点．7．已知函数f (x )＝2a sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx － 3 (a >0，ω>0)的最大值为2，x 1，x 2是集合M ＝{x ∈R |f (x )＝0}中的任意两个元素，且|x 1－x 2|的最小值为6. (1)求函数f (x )的解析式及其图象的对称轴方程；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈(－1,2]时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域．解 (1)f (x )＝2a sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx －3＝a sin2ωx ＋3cos2ωx . 由题意知f (x )的最小正周期为12， 则2π2ω＝12，得ω＝π12. 由f (x )的最大值为2，得a 2＋3＝2， 又a >0，所以a ＝1. 于是所求函数的解析式为f (x )＝sin π6x ＋3cos π6x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3，令π6x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝1＋6k (k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝1＋6k (k ∈Z )．易错起源1、 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式例1、(1)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A ．(－12，32)B ．(－32，－12) C ．(－12，－32) D ．(－32，12)(2)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 答案 (1)A (2)－1解析 (1)设Q 点的坐标为(x ，y )， 则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.∴Q 点的坐标为(－12，32)．(2)∵sin α＋2cos α＝0，∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2，又∵2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1，∴原式＝－－1－2＋1＝－1. 【变式探究】(1)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4 C.5π4 D.7π4(2)如图，以Ox 为始边作角α (0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则sin2α＋cos2α＋11＋tan α＝________.答案 (1)D (2)1825解析 (1)tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin 3π4>0，cos 3π4<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.(2)由三角函数定义， 得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αα＋cosαsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825.【名师点睛】(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．【锦囊妙计，战胜自我】1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.3．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．易错起源2、三角函数的图象及应用例2、(1)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，则f (π3)的值为________．答案 (1)B (2)1解析 (1)∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象向右平移π12个单位． (2)根据图象可知，A ＝2，3T 4＝11π12－π6，所以周期T ＝π，由ω＝2πT ＝2.又函数过点(π6，2)，所以有sin(2×π6＋φ)＝1，而0<φ<π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin(2x ＋π6)，因此f (π3)＝2sin(2π3＋π6)＝1.【变式探究】(1)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(x ∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度(2)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10答案 (1)A (2)C【名师点睛】(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 【锦囊妙计，战胜自我】 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：y ＝sin x―――――――――→向左φ或向右φ平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)10sin()y x ωωωϕ>−−−−−−−−→横坐标变为原来的()倍纵坐标不变＝＋―――――――――――→纵坐标变为原来的A A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 易错起源3、 三角函数的性质例3、已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性． 解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos2x )＝12sin2x －32cos2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．【变式探究】设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin2x ＋a (a ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈[0，π6]时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．解 (1)f (x )＝2cos 2x ＋sin2x ＋a ＝1＋cos2x ＋sin2x ＋a ＝2sin(2x ＋π4)＋1＋a ，则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )时，f (x )单调递增．所以[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )为f (x )的单调递增区间．【名师点睛】函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式； 第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．三角函数的单调区间：y ＝sin x 的单调递增区间是[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )； y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )； y ＝tan x 的递增区间是(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )．2．y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．1．若0≤sin α≤22，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－7π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋2k π，－7π4＋2k π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4＋2k π，－π＋2k π(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )答案 A解析 根据题意并结合正弦线可知，α满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )，∵α∈[－2π，0]，∴α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－7π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π.故选A.2．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象对应的函数为( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2π3答案 C解析 函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的图象向左平移π3个单位长度后所得图象的解析式为y ＝cos[3(x ＋π3)－π3]＝cos(3x ＋2π3)，故选C. 3．已知tan α＝3，则π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2的值为( ) A ．－13B ．－3 C.13 D ．3答案 A 解析π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos αsin α＝－1tan α＝－13. 4．已知角α的终边经过点A (－3，a )，若点A 在抛物线y ＝－14x 2的准线上，则sin α等于( )A ．－32B.32C ．－12D.12答案 D解析 由条件，得抛物线的准线方程为y ＝1，因为点A (－3，a )在抛物线y ＝－14x 2的准线上，所以a＝1，所以点A (－3，1)，所以sin α＝13＋1＝12. 5.函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f(3)＋…＋f (2015)的值为( )A ．0B ．3 2C ．6 2D ．－ 2答案 A解析 由图可得，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，而2015＝8×251＋7，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2015)＝0.6．函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为________．答案 2＋ 3 解析 因为0≤x ≤9， 所以－π3≤πx 6－π3≤7π6，因此当πx 6－π3＝π2时，函数y ＝2sin(πx 6－π3)取得最大值，即y max ＝2×1＝2.当πx 6－π3＝－π3时，函数y ＝2sin(πx 6－π3)取得最小值， 即y min ＝2sin(－π3)＝－3，因此y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为2＋ 3.7．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．答案 [－32，3]8．已知α是三角形的内角，若sin α＋cos α＝15，则tan α＝________.答案 －43解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＋cos α＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝45.因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35.所以tan α＝sin αcos α＝－43.方法二 由已知得(sin α＋cos α)2＝125，化简得2sin αcos α＝－2425，则可知角α是第二象限角，且(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925，由于sin α－cos α>0，所以sin α－cos α＝75，将该式与sin α＋cos α＝15联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35.所以tan α＝sin αcos α＝－43.9．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)若f (α)＝35，其中π4<α<3π4，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值；(2)设g (x )＝f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值和最小值．解 (1)因为f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，且0<α－π4<π2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝45. (2)g (x )＝f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12cos2x .x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.则当x ＝0时，g (x )的最大值为12；当x ＝π3时，g (x )的最小值为－14.10．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．(2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . 11．函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A ，B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则f (12)＝________.答案2212．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋π4)(A >0，ω>0)，g (x )＝tan x ，它们的最小正周期之积为2π2，f (x )的最大值为2g (17π4)．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)设h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x .当x ∈[a ，π3)时，h (x )有最小值为3，求a 的值．解 (1)由题意，得2πω·π＝2π2，所以ω＝1.又A ＝2g (17π4)＝2tan 174π＝2tan π4＝2，所以f (x )＝2sin(x ＋π4)．令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )．故f (x )的单调递增区间为[2k π－3π4，2k π＋π4](k ∈Z )．(2)因为h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x＝32×4×sin 2(x ＋π4)＋23cos 2x＝3(sin x ＋cos x )2＋23cos 2x ＝3＋3sin2x ＋3(cos2x ＋1) ＝3＋3＋23sin(2x ＋π6)，又h (x )有最小值为3，所以有3＋3＋23sin(2x ＋π6)＝3，即sin(2x ＋π6)＝－12.因为x ∈[a ，π3)，所以2x ＋π6∈[2a ＋π6，5π6)，所以2a ＋π6＝－π6，即a ＝－π6.。
专题06知识点 三角函数的图像与性质
-
-3 2
-2
1
o
-1
2
3
2 2
7
3 2
5
4
2
x
y
y=tanx
y
y=cotx
3 -2
-
-2
o
2
3
x
2
-
-2
o
2
3 2 x
2
函数 y=sinx
y=cosx
定义 域
值域
R
R
［-1，1］x=2kπ+ ［-1,1］ 2
时 ymax=1
x=2kπ时
x=2kπ- 2
时 ymin=-1
ymax=1
0
2 3 5
3 2
6
4
3
2
3
4
6
2
3.弧长及扇形面积公式
弧长公式： l .r
扇形面积公式:S= 1 l.r 2
----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径
知识点二：诱导公式
1.常用的诱导公式
公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关 系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关 系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα
专题05 三角函数图象与性质(高考押题)-2016年高考数学(文)考纲解读及热点难点试题演练(原卷版)
【高考押题】1．若点(4，a )在y ＝x 12的图象上，则tan a 6π的值为( )A ．0 B.33 C ．1 D. 32．若点P 在－10π3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于( )A ．－33 B.33 C ．－ 3 D. 33．已知α是第四象限角，且sin α＝－35，则tan α＝( ) A.34 B ．－34 C.43 D ．－434．设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－435．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是() A ．(－2，3] B ．(－2，3)C ．[－2，3)D ．[－2，3]6．已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A.14 B ．－14 C.12 D ．－127．当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是( )A ．奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称B ．偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．偶函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称8．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )是图象关于直线x ＝π4对称D ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 9．在(0，2π)内，使|sin x |≥cos x 成立的x 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π4，7π4 B.⎣⎡⎦⎤π4，5π4 C.⎣⎡⎦⎤0，5π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤7π4，2π 10．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且其图象向右平移π12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B ．关于直线x ＝5π12对称 C ．关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称 D ．关于直线x ＝π12对称 11．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x .(1)求当x ∈[－π，0]时，f (x )的解析式；(2)画出函数f (x )在[－π，π]上的简图；(3)求当f (x )≥12时x 的取值范围． 12．已知函数f (x )＝32sin ωx ＋32cos ωx (ω＞0)的周期为4.(1)求f (x )的解析式；(2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g (x )的图象，P ，Q 分别为函数g (x )图象的最高点和最低点(如图)，求∠OQP 的大小．：。
三角函数的图象与性质高考复习题
三角函数的图象与性质高考复习题1.函数y ＝2sin )36(ππ-x (0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 32．若函数y ＝cos )6(πω+x (ω∈N *)图象的一个对称中心是)06(，π，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 3．为了得到函数y ＝cos )32(π+x 的图象，可将函数y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移5π6单位长度B ．向右平移5π6单位长度C ．向左平移5π12单位长度D ．向右平移5π12单位长度4．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6 D ．9 5．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x －1，则以下判断中正确的是( )A ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π8而得到B ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π4而得到C ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移3π8而得到D ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移3π4而得到6．已知函数f (x )＝sin )6(πω+x －1(ω＞0)的最小正周期为2π3，则f (x )的图象的一条对称轴方程( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π27．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ))2,0(πϕω<>的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点)0,12(π对称D ．关于点)0,125(π对称 8．已知f (x )＝2sin )4(π+x ，x ∈[0，π]，则f (x )的单调递增区间为________． 9．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω＝________.10．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在]4,3[ππ-上的最小值是－2，则ω的最小值为________． 11．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为π，且函数图象关于点)0,83(π-对称，则函数的解析式为________．12．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．。
三角函数的图像和性质知识点讲解+例题讲解(含解析)
三角函数的图像与性质一、知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π3.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.(3).对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条. (2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2解析 最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 答案 A3.函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________.解析 由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )， 得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2解析 由题意T ＝2π2＝π. 答案 C5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65. 答案 A6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.解析 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 答案 －π6考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ） D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 解析 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56 π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.解析 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________. (3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.解析 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. (2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2 .所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π. 答案 (1)B(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. 解析 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z角度2 利用单调性比较大小【例3－2】 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c解析 令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 答案 A角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.答案 A【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( )A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增 C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增(2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32.答案 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( ) A.－π6 B.π6 C.－π3 D.π3解析 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3， 由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ). ∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6. 答案 (1)B (2)A角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称 C.关于直线x ＝π3对称 D.关于直线x ＝π6对称解析 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. 规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C.πD.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .f (x )＝sin x cos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确.C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.答案 (1)C (2)D三、课后练习1.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 解析 因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ). 答案 D2.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A.ω＝23，φ＝π12 B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )， 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.答案 A3.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________.解析 因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z )4.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23.5.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.解析 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2. 答案 π26.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π解析 ∵y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.答案 C7.(2019·石家庄检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8解析 因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6.答案 C8.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C.2 D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 B9.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2解析 依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2.答案 C10.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.解析 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 答案 2311.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π， ∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ). 注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8； 同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.。
专题06 三角函数的图像与性质(押题专练)-2018年高考理数二轮复习精品资料(原卷版)
1．函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin x 2cos x 2的最小正周期是( )A.π4B.π2C ．πD ．2π2．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4(x ∈R )的图象为C ，则下列表述正确的是( )A ．点⎝⎛⎭⎫π2，0是C 的一个对称中心B ．直线x ＝π2是C 的一条对称轴C ．点⎝⎛⎭⎫π8，0是C 的一个对称中心D ．直线x ＝π8是C 的一条对称轴3．函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)的值为()A. 2B ．3 2C ．6 2D ．－ 24．函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω≠0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4等于( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或05．若函数y ＝f (x )的最小正周期为π，且图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，则f (x )的解析式可以是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝2sin 2x －1D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π66．已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，74 C.⎣⎡⎦⎤34，94 D.⎣⎡⎦⎤32，74 7．为了得到函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可将函数g (x )＝3sin 2x ＋cos 2x 的图象( ) A ．向左平移π3 B ．向右平移π3C ．向左平移π6D ．向右平移π68．将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( ) A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称 B ．在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增，为奇函数 C ．在⎝⎛⎭⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称9．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( ) A ．－ 3 B.33 C. 3 D ．110．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ个单位，得到的图象关于原点对称，则φ的最小正值为( ) A.π6 B.π3C.5π12D.7π1211．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π3(－2＜x ＜10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →＝( )A ．－32B ．－16C ．16D ．3212．已知函数f (x )＝sin(2x ＋α)在x ＝π12时有极大值，且f (x －β)为奇函数，则α，β的一组可能值依次为( ) A.π6，－π12 B.π6，π12C.π3，－π6D.π3，π613．函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是________． 14．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.若y ＝f (x －φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2是偶函数，则φ＝________. 15．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4(ω＞0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为________．16．已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中正确的是________(填入正确结论的序号)． ①y ＝f (x )的图象关于点(2π，0)中心对称；②y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π对称；③f (x )的最大值为32； ④f (x )既是奇函数，又是周期函数．17．已知函数f (x )＝2sin x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．。
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高考押题
1．函数f (x )＝2sin 2
x －1是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 【答案】D 【解析】
2．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *
)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8 【答案】B
【解析】由题意知ωπ6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z)，又ω∈N *
，∴ωmin ＝2.故选B.
3．已知函数：①y ＝sin x ＋cos x ，②y ＝22·sin x cos x ，则下列结论正确的是( )
A ．两个函数的图象均关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π4，0中心对称
B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π
4轴对称
C ．两个函数在区间⎝
⎛⎭⎪⎫－π4，π4上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同 【答案】C
【解析】设f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4，
g (x )＝22sin x cos x ＝2sin 2x ，
对于A ，B ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝0，g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π4＝－2≠0，易知A ，B 都不正确．
对于C ，由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z)，得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z)，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z)，得g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z)，
易知C 正确．
对于D ，f (x )的最小正周期为2π，g (x )的最小正周期为π，D 不正确．故选C.
4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个
单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )
A ．关于直线x ＝π12对称
B ．关于直线x ＝5π
12对称
C ．关于点⎝
⎛⎭⎪⎫π12，0对称 D ．关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π12，0对称 【答案】B 【解析】
5．为了使变换后的函数的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0成中心对称，只需将原函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )
A ．向左平移π
12个单位长度
B ．向左平移π
6个单位长度
C ．向右平移π
12个单位长度
D ．向右平移π
6个单位长度
【答案】C
【解析】函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0(k ∈Z)，其中距离点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0最近的对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，0，故只需将原函数的图象向右平移π12个单位长度即可．
6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与直线y ＝b (0<b <A )的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则函数f (x )的单调递增区间是( )
A ．[6k π，6k π＋3]，k ∈Z
B ．[6k －3,6k ]，k ∈Z
C ．[6k,6k ＋3]，k ∈Z
D ．无法确定 【答案】C 【解析】
7. (如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ⎝
⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，|φ|≤π2与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π
4
，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为________．
【答案】163
3
【解析】
8．已知函数f (x )＝A cos 2
(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交
点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝________.
【答案】4 030
【解析】f (x )＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋A 2＋1.由相邻两条对称轴间的距离为2知，T 2＝2，得T ＝4＝2π
2ω
，ω
＝
π4，由f (x )的最大值为3，得A ＝2.又f (x )的图象过点(0,2)，∴cos 2φ＝0，∴2φ＝k π＋π
2
(k ∈Z)，又0<φ<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
2
x ＋π2＋2＝－sin πx 2＋2.
∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝3，f (4)＝2.又f (x )的周期为4,2 015＝4×503＋3，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝503×(1＋2＋3＋2)＋1＋2＋3＝4 030.
9．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝
⎛ ω>0，－π2
⎭
⎪⎫≤φ<π
2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，
纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝________. 【答案】
2
2
【解析】将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横
坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×π6＋π6＝sin
π4＝2
2
. 10．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：
f (t )＝10－3cos π
12t －sin π12
t ，t ∈[0,24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 【解析】(1)
11.(某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表如下：
(1)求x 1，x 2，x 3的值及函数f (x )的表达式；
(2)将函数f (x )的图象向左平移π个单位，可得到函数g (x )的图象，求函数y ＝f (x )·g (x )在x ∈
⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，5π3上的最小值． 【解析】
：。