第六章图像变换的不变性与偏微分方程

Xb
X
meas ( X ) b

*
（2）Extrema Killer图像变换定义为 Tbu(x) = sup{ l ,x∈T′b(clu) }
*式定义了集合算子是Extrema Killer变换的伴随集 合算子，即
cl(Tbu) = T′b(clu)
噪声图像
killer算子作用后图像 （改进的Extrema Killer）
s∈Ru时。否则，g(s) ﹥s。定义：
g(s) = s + d(s,Ru)∕2
其中d(s,X)表示s到X距离 inf s t 。当且仅当
t X
s∈Ru时，有
d(s,Ru) = 0
因此，当且仅当s∈Ru时，g(s) = s，所以 g(u) = u。 因为T是对比不变的，所以 Tu = T( g(u) ) = g(Tu) 因此 (Tu)(x)∈Ru 。 ■
证明：定义
s l 0, s (l ) gl , l s l sl 1,
则 gl (s) 是对比变换（连续、单调递增的），且 gl(s)≥gl，于是 T (g l (u )) T (g l (u )) g l (Tu ) g l (Tu )
证明：根据T′的定义，显然有
1c
l u
= gl(u)
c1( gl(v) ) = clv 并且T和gl几乎处处可交换。由定理3，得到： T′(clu) = c1( T(1c u ) ) = c1( T( gl(u) ) )
l
= c1( gl(Tu) ) = cl(Tu) 对于x, l﹥0 几乎处处成立。 由 T′(clu) = cl(Tu) 知 T′(clu)是Tu的水平集。 那么显然**式成立。
T作为单调的图像变换，使单调性得以保持
T(1X) ≤ T(1Y)
定理3：T是一个对比不变的单调算子。阈值函数gl(s) 定义为, 如果s≥l，则 gl(s) = 1 ；否则gl(s) = 0 。那么T 几乎处处和每一个阈值函数相交换，即 gl (Tu) = T( gl (u) )
对l,x几乎处处成立。
u u
c l1 (u ) T ( c l1 (u )) c l 2 (u ) T ( c l 2 (u )) c l n (u ) T ( c l n (u ))
Tu ( x) sup {l , x T ( c l )
6.1.3 从集合算子到形态学算子
考虑，给定一个单调的集合算子T′是否可以得到一个 对比不变的单调图像变换呢？ 自然的思路就是令 Tu(x) = sup{ l,x∈T′(clu) }
cl(Tu) = T′(cl(u)) ≤ T′(cl(v)) = cl(Tv)
Tu ≤ Tv
下面证明，T和对比变换相交换。
g ( s) 和 假设g是严格增加的，设 g () slim g ( ) lim g ( s ) ，对于 l﹥g(+∞) 有 s
clg(u) = F，因此，T′(clg(u)) = F；对于 l﹤g(-∞) 有 clg(u) = RN，因此 T′(clg(u)) = RN 。 T( g(u(x)) ) = sup{ l, g(-∞) ≤ l≤g(-∞) , x∈ T′(clg(u)) } = sup{ g(m), x ∈ T′(cgg(u)) } = sup{ g(m), x ∈ T′(cmu) } = g( Tu(x) )
几乎处处成立。
*式说明图像变换后的水平集是原图像水平集（并且是 同一个 l）在伴随集合算子作用下的结果。
T′(F) = F 说明当l=1时，*式成立；
T′(W) = W 说明当l=0时，*式成立。
这里涉及到水平集和最大值表示公式：
cl(u) = { x∈W ; u(x) ≥l }
u(x) = sup{ l; x ∈ cl(u) }
几乎处处成立。
■
定理4：T是定义在图像函数集合F 上的单调对比不 变算子，1x∈F 。T的伴随集合算子为T′，则T′是单 调的，并且 ∀u∈F 有 T′( clu) = cl(T(u))
对l, c几乎处处成立。并且
*
Tu(x) = sup{ l,x∈T′(clu) }
对x几乎处处成立。另外，
**
T′(F) = F, T′(W) = W
定义2：图像变换T是对比不变的，如果对每一个 连续对比变换g，对任意的u∈F ，都满足g(u)∈F 和
g(Tu) = T( g(u) )
同时满足单调性和对比不变的图像变换被称为形 态学算子。 可以证明：线性算子是单调的，但不是对比不变 的。
例1：最大值滤波是对比不变的。最大值滤波定义： Du ( x) sup u。
对于图像变换T，引进算子T′作用在Y上，它将一个 水平集X转换为另一个水平集T′X，即
T′: X∈ Y → T′X∈ Y
定义1：称图像变换T是单调递增的，如果对于任意 两两幅图像u,v∈F u≥v ⇒ Tu ≥ Tv 集合算子T′是单调递增的，如果对于任意X,Y∈Y X ⊂ Y ⇒ T′(X) ⊂ T′(Y)
定理5：令T′是一个Y → Y单调算子，满足
T′(F) = F , T′(W) = W
那么，可以定义图像变换
Tu(x) = sup{ l ,x∈T′(clu) }
对于所有的l，满足
cl(Tu) = T′(cl(u)) 则对几乎所有的 l ∈R g(Tu) = T(g(u)) 证明：对每一个l ，我们有 cl(Tu) = T′(cl(u)) 即对∧∈R中的所有l满足meas(R\∧) = 0。 注意到u≤v当且仅当 clu ⊂ clv ，对R的一个稠密可数 子集合上的所有l ，可得T是单调的
证明：
假设u的Lipschitz常数为K。对任意的x,y,z有
|u(x+z)- u(y+z)|≤ K|x-y|
u(y+z)- K|x-y|≤u(x+z)≤u(y+z)+ K|x-y|
因为T单调，考虑上面关于z的函数，有 T(u(y+z)- K|x-y|)≤Tu(x+z)≤T(u(y+z)+ K|x-y|) 注意到取 z=0, 有 T(u(y+z)) = (Tu)(y)， 用T的灰度平移不变性（将K|x-y|看做C ）得 Tu(y)- K|x-y|≤Tu(x)≤Tu(y)+ K|x-y|。 |Tu(x)- Tu(y)| ≤ K|x-y| ■
R(u) = { s∈[0,1], ∃x, u(x) = s } 其中Ru是包含R(u)的最小闭集。
定理1：T是一对比不变的图像变换。那么对每一副 图像u，R(Tu) ⊂Ru，特别的，如果图像u只有有限 个灰度值，则Tu只取其中的部分灰度值。 证明：考虑一连续单调递增函数g，满足g(s) = s，当
定理说明：如果图像变换T是单调且对比不变的，那 么计算Tu可以通过一下算法实现：
（1）计算u的所有水平集 cl(u) ( l∈[0,1] )； （2）对每一个水平集 cl(u) ，用T的伴随集合算子T′ 作用，得到 T′( cl(u) )；
（3）用最大值表示公式得到Tu, 整个过程如下。
这种算法适用于T难以实现，而T′容易计算的情况。
6.1.2 从形态学算子到集合算子 记集合X⊂W上的特征函数为1x，即
1, x X 1X 0, x X
1x也被认为是一个图像函数，即1x∈F 。
借助特征函数，可从单调、对比不变的图像变换（形 态学算子）T衍生出一个集合变换T′。
定义4：令T是一个单调、对比不变的图像变换，定 义T的伴随集合算子T′为 ∀X ⊂ W, 1X ∈F 另外 T′(F) = F, T′(W) = W 如果T作为函数是单调的，那么T′作为集合变换也是 单调的。因为 X ⊂ Y ⇒ 1X ≤ 1 Y T′(X) = c1( T(1X) )
定义3：一个图像变换T是灰度平移不变的，如果对任 意的常数C，有 T(u+C) = Tu + C
如果图像变换T同时具有灰度平移不变性和对比不变 性，就得到下面的结论。
定理2：T是一个单调灰度平移不变算子，如果u(x) 是R2上的Lipschitz函数，那么Tu(x)也是Lipschitz函 数，并且Tu(x)的Lipschitz常数比u(x)的Lipschitz常 数小。 Lipschitz常数定义：如果函数u满足 |u(x) – u(y)| ﹤k |x-y| , ∀x, y 则u为Lipschitz函数，k为u的Lipschitz常数。
6.1 形态学算子—单调和对比不变的图像变换
6.1.1 定义 前面学过连续模型下图像空间的定义，是一族由 R2→R的特殊函数组成的函数空间，并记为F 。图像 变换T是作用在F 上的一个算子，即T将一副图像u变 换为另一幅图像Tu。 图像水平集之间的变换，是对于F 中所有函数，Y表 示在F 所拥有的所有水平集，即 Y = { clu ; u∈F , l∈[0, 1] }
yx B
其中B是包含原点的闭集，x+B = { x+z;z∈B }。假设
yx B
sup u ( y ) a
，由于x+B为闭集，∃z∈x+B，
满足u(z) = a，而
u(y) ≤ u(z) , ∀ y∈x+B
又因为对比变换g是单调递增的，所以 g( u(y) ) ≤ g( u(z) ) = g(a) ∀ y∈x+B
0
同样的方法，用不减函数 g l ≤ gl，可证明 T( gl(u) ) ≥ gl(Tu) 其中，gl(s)=1 ，当s﹥l 时；
gl(s)=0 ，当 s≤l时。
因此，有
gl(Tu)≥ T( gl(u ) ) ≥ gl(Tu)
s l 0, s (l ) gl , l s l , sl 1, sl 0, sl gl , l s l , s l 1,