工程硕士——数理统计习题5答案
数理统计工程硕士题目(三套)
第一套一、(12分)设4321,,,X X X X 是来自总体X 的样本，试求下列情况下),,,(4321X X X X 的联合概率分布：(1)X ～)(λP ；(2)X ～],0[θU ；(3)X ～),1(λΓ.二、(21分)设4321,,,X X X X 是来自总体X ～）（4,0N 的样本，2,S X 分别为样本均值和样本方差。
(1)试求参数b a ,，使得2432211)2()23(X X b X X a Y -++=服从2χ分布，并求出自由度；(2)试求参数c ，使得2423212XX X X cY ++=服从t 分布，并求出自由度；(3)试求参数d ，使得223SX d Y =服从F 分布，并求出自由度。
三、(21分)设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=-其他,010,),(1x x x f θθθ其中θ（0>θ）是未知参数。
123,,,X X X …,n X 为来自总体X 的样本，θθ1)(=g 。
求：(1))(θg 的矩估计； (2))(θg 的极大似然估计； (3))(θg 的有效估计。
四、（10分）某机器生产的金属杆用于汽车刹车系统。
随机抽取了9根杆，测量它们的直径（单位：mm ），得到的结果如下表所示：8.23 8.31 8.42 8.29 8.19 8.24 8.198.298.10---假设金属杆直径服从正态分布。
(1)在显著水平05.0=α下，依据上述抽样数据，能否认为这种机器生产的金 属杆的平均直径是8.20mm ？为什么？(2)求金属杆平均直径的置信区间（置信度为95%）。
五、（8分）某城市的出城公路共有四条，为研究该城市交通情况，在早晨高峰期观察统计了1000辆汽车各自的流向，记录结果如下：道路编号 1 2 3 4 观察的车辆数294 276 238 192试问四条道路上的汽车流量是否均匀？为什么？（05.0=α）六、(18分)某公司为了研究广告支出费用x （千元）对销售额Y （10万元）的影响，统计了过去10个月广告支出费用与销售额的情况，结果是：54,46,66,4,4=====xy yy xx l l l y x(1)试用假设检验方法分析该公司的销售额Y 与广告支出费用x 之间是否有显著的线性相关关系；（05.0=α）(2)求销售额Y 关于广告支出费用x 的经验线性回归方程；(3)如果公司下个月广告支出费用计划开支1万元，试预计公司的平均销售额及其置信度为95%的置信区间。
数理统计方法题解5-2
5.6 设 i i i i x x y εβββ+-++=)23(2210，i ε～),0(2σN ，3,2,1=i ，321,,εεε 相互独立，11-=x ，02=x ，13=x 。
（1）写出矩阵 X ，X X T和 1)(-X X T ； （2）求 210,,βββ 的最小二乘估计； （3）证明 02=β 时，10,ββ 的最小二乘估计与02≠β 时的最小二乘估计相同。
解 （1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111201111X ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=600020003X X T ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-610002100031)(1X X T 。
（2） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210ˆˆˆˆββββY X X X T T 1)(-= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=311121101111610002100031y y y ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-++=622332131321y y y y y y y y 。
即有3ˆ3210y y y ++=β ，2ˆ311y y +-=β ，62ˆ3210y y y +-=β 。
（3）（证法一）02=β 时，模型成为 i i i x y εββ++=10，i ε～),0(2σN ，3,2,1=i ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110111X ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2003X X T ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-210031)(1X X T ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡10ˆˆββY X X X T T 1)(-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=321101*********y y y ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-++=2331321y y y y y ，即有3ˆ3210y y y ++=β ，2ˆ311y y +-=β ， 10,ββ 的最小二乘估计与02≠β 时的最小二乘估计相同。
（证法二）02=β 时，模型成为 i i i x y εββ++=10，i ε～),0(2σN ，3,2,1=i ， 按照一元线性回归的计算公式，有03101=++-=x ，2)01()00()01(222=-+-+--=xx L ， 3321y y y y ++= ，y x n y x L i i i xy -=∑=313132110)1(y y y y y +-=⋅+⋅+⋅-= ，xxxy L L =1ˆβ231y y +-=，3ˆˆ32110y y y y x y ++==-=ββ 。
研究生-数理统计课后答案参考
, i 1, 2, , n
解
由已知条件得： Yi ~ B(1, p) ，其中 p 1 FX ( ) .
因为 X i 互相独立，所以 Yi 也互相独立，再根据二项分布的可加性，有
Y ~ B(n, p) ， p 1 F
i 1 i
n
X
( ) .
9 设 X1 ,, X n 是来自总体 X 的样本，试求 EX , DX , ES 2 。假设总体的分布为： 1） X ~ B( N , p); 2) X ~ P( ); 3) X ~ U [a, b]; 4) X ~ N ( ,1);
解
n 2 2 2 E Xi X E (n 1) S (n 1) ES i 1 (n 1) DX (n 1) 2
2 (n 1) S 2 n 2 4 D X i X D ( n 1) S D 2 i 1
试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形. 解
图 1.2 数据直方图
它近似服从均值为 172，方差为 5.64 的正态分布，即 N (172,5.64) . 4 设总体 X 的方差为 4，均值为 ，现抽取容量为 100 的样本，试确定常数 k，使得 满足 P( X k ) 0.9 .
2）对总体 X ~ P( )
P( X 1 x1 , X 2 x2 , X 3 x3 , X 4 x4 , X 5 x5 ) P( X i xi )
i 1 i 1 n 5
x
i
xi !
e
5xBiblioteka x !i 1 i5
e 5
其中： x
概率论与数理统计第五章习题参考答案
F = S甲2 ~ F (4,4) S乙2
由
P⎪⎨⎧ ⎪⎩
S甲2 S乙2
<
F 1−
0.05
(4,4)
U
2
S甲2 S乙2
>
F0.05
2
(4,4)⎪⎬⎫ ⎪⎭
=
0.05
查表得： F0.05 (4,4) = 9.6,
2
F 1−
0.05
2
(4,4)
=
1 F0.025 (4,4)
=
0.1042
，
故拒绝域为 (0, 0.142) U (9.6, + ∞) .
54 67 68 78 70 66 67 70 65 69 问患者与正常人的脉搏有无显著差异（患者的脉搏可视为服从正态分布。α = 0.05 ） 解：设患者的脉搏为 X , 计算其样本均值与样本方差分别为 x = 67.4, s = 5.93
在检验水平α = 0.05 下，检验假设 H 0 : µ = µ0 = 72 H1 : µ ≠ µ0 = 72
问两台机器的加工精度是否有显著差异（α = 0.05 ）？
解：在检验水平α = 0.05 下，检验假设 H 0 : µ1 = µ 2
H1 : µ1 ≠ µ2
因为
µ1，µ
2，σ
12，σ
2 2
均未知，且不知
σ
12与σ
2 2
是否相等，
故先检验假设 H 0′
:
σ
2 1
=
σ
2 2
,
H
1′
:
σ
2 1
≠
σ
2 2
。
H1 : µ1 ≠ µ2
当假设 H 0 为真时，取检验统计量
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第五章习题参考答案
n n
4． 为估计鱼塘里有多少鱼，一位统计学家设计了一个方案如下：从鱼塘中打捞出一网鱼，计有 n 条，涂 上不会被水冲刷掉的红漆后放回，一天后再从鱼塘里打捞一网，发现共有 m 条鱼，而涂有红漆的鱼则 有 k 条，你能估计出鱼塘里大概有多少鱼吗？该问题的总体和样本又分别是什么呢？ 解：设鱼塘里有 N 条鱼，有涂有红漆的鱼所占比例为
样本标准差 s = 3.7778 ≈ 1.9437 ．
2． 证明：对任意常数 c, d，有
∑ ( x − c)( y − d ) = ∑ ( x − x )( y − y ) + n( x − c)( y − d ) ．
i =1 i i i =1 i i
n
n
证： ∑ ( xi − c)( y i − d ) = ∑ [( xi − x ) + ( x − c)][( y i − y ) + ( y − d )]
频数 9 9 5 4 4 1 1 3 4 30
频率 0.225 0.225 0.125 0.1 0.1 0.025 0.025 0.075 0.1 1
累计频率 0.225 0.45 0.575 0.675 0.775 0.8 0.825 0.9 1
6． 对下列数据构造茎叶图 472 425 400 382 418 392 429 428 381 443 解：茎叶图为
1572 − 738 ≈ 140 ， 6 区间端点可取为 735，875，1015，1155，1295，1435，1575， 频率分布表为 组序 分组区间 组中值 频数 频率 累计频率 1 (735, 875] 805 6 0.2 0.2 2 (875, 1015] 945 8 0.2667 0.4667 3 (1015, 1155] 1085 9 0.3 0.7667 4 (1155, 1295] 1225 4 0.1333 0.9
数理统计考研复试题库及答案
数理统计考研复试题库及答案一、选择题1、设随机变量 X 的概率密度为 f(x) ＝ 2x, 0 ＜ x ＜ 1，则 P{02 ＜X ＜ 08} ＝（）A 06B 04C 032D 016答案：C解析：P{02 ＜ X ＜ 08} ＝∫02,08 2x dx ＝ x^2|02,08 ＝ 064 004 ＝062、设 X₁, X₂,， Xₙ 是来自正态总体 N(μ, σ²) 的样本，样本均值为X，样本方差为 S²，则（）A Xμ ～ N(0, 1)B n(Xμ) ／σ ～ N(0, 1)C （Xμ) ／（S ／√n) ～ t(n 1)D （n 1)S²／σ² ～χ²(n 1)答案：D解析：根据抽样分布的性质，（n 1)S²／σ² ～χ²(n 1)3、设总体 X 服从参数为λ 的泊松分布，X₁, X₂,， Xₙ 是来自总体 X 的样本，则λ 的矩估计量为（）A XB S²C 2XD 1 ／X答案：A解析：由 E(X) ＝λ ，且样本矩等于总体矩，可得λ 的矩估计量为X。
4、对于假设检验问题 H₀: μ ＝μ₀，H₁: μ ≠ μ₀，给定显著水平α ，若检验拒绝域为｜Z| ＞zα/2 ，其中 Z 为检验统计量，当 H₀成立时，犯第一类错误的概率为（）A αB 1 αC α/2D 1 α/2答案：A解析：第一类错误是指 H₀为真时拒绝 H₀，犯第一类错误的概率即为显著水平α 。
5、设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从标准正态分布 N(0, 1) ，则 Z ＝ X²＋ Y²服从（）A 正态分布B 自由度为 2 的χ² 分布C 自由度为 1 的χ² 分布D 均匀分布答案：B解析：因为 X 和 Y 相互独立且都服从标准正态分布，所以 Z ＝ X²＋ Y²服从自由度为 2 的χ² 分布。
西大数理统计工程硕士习题
数理统计一、填空题1、设n X X X ,,21为总体X 的一个样本，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。
不含任何未知参数2、设总体σσμ),,(~2N X 已知，则在求均值μ的区间估计时，使用的随机变量为nX σμ-3、设总体X 服从方差为1的正态分布，根据来自总体的容量为100的样本，测得样本均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。
0.0251510u ±⨯ 4、假设检验的统计思想是 。
小概率事件在一次试验中不会发生5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个样本检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。
0H ：05.0≤p6、某地区的年降雨量),(~2σμN X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2σ的矩估计值为 。
1430.87、设两个相互独立的样本2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态总体)2,1(2N 与)1,2(N ， 2221,S S 分别是两个样本的方差，令22222121)(,S b a aS +==χχ，已知)4(~),20(~222221χχχχ，则__________,==b a 。
用*222(1)~(1)n S n χσ--， 1,5-==b a8、假设随机变量)(~n t X ，则21X 服从分布 。
)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2=≤λX P ，则____=λ 。
用),1(~2n F X 得),1(95.0n F =λ10、设样本1621,,,X X X 来自标准正态分布总体)1,0(N ，X为样本均值，而01.0)(=>λX P ， 则____=λ0.01~(0,1)41XN u λ⇒= 11、假设样本1621,,,X X X 来自正态总体),(2σμN ，令∑∑==-=201110143i i i iX XY ，则Y 的分布 原题∑∑==-=201110143i i i iX XY 改为∑∑==-=161110143i i i i X X Y 答案为)170,10(2σμN12、设样本1021,,,X X X 来自标准正态分布总体)1,0(N ，X 与2S 分别是样本均值和样本方差，令2210S X Y =，若已知01.0)(=≥λY P ，则____=λ 。
工程硕士数理统计
正态分布,其中 , 2 未知; (1)试检验假
设 H0: = 125 ； H1: >125, 取 0.05.
(2) 若要求(1)中的H1的( 125) / 1.4
时,犯第二类错误的概率不超过0.1 , 求 所需子样容量.
P(4.5425 x 5.0575 4.8)
5.0575 4.8 4.5425 4.8 0.1 0.1
(2.575) (2.575) 0.99.
解一 1061602004 陆文敏
由 x 5 2.575得拒绝域 1 / 10
W (, 4.7425) (5.2575, ) 于是接受域为 (4.7425, 5.2575)
当 4.8 时 x ~ N( 4.8, 1/100)
P(接受H0
H
不真
0
)
P(4.7425 x 5.2575 4.8)
5.2575 4.8 4.7425 4.8 0.1 0.1
(4.575) (0.575) 0.7174.
解二 1060502012 李 钧
2
(n 1)S2
2 0
~
2 (n 1)
拒绝域 W ： 2 02.02（5 6） 14.449,
现 2 6 5.27 12.352 14.449 W ,
2.56
接受原假设,即两正态母体方差相等.
假设 H0 : 新 旧 3; H1 : 新 旧 3.
取统计量 T X Y 3 ~ t (12) Sw / 2/ 7
H0 : 23.8; H1 : 23.8. 欠 H0 : 23.8; H1 : 23.8. 妥 H0 : 23.8; H1 : 23.8. 对
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5.1解：首先计算11n i i x x n ==∑=550，11ni i y y n ==∑=57；再计算离差平方和621()x x i i l x x ==-∑=175000，61()()x y i i i l x x y y ==--∑=10300；计算回归系数1ˆ/0.0589x x x y l l β=≈，01ˆˆ24.6286y x ββ=-≈； 从而得到回归方程：ˆ24.62860.0589yx =+。
5.4解：（1）首先计算110.7029n i i x x n ==≈∑，11 1.5782ni i y y n ==≈∑；再计算离差平方和1721()0.7094x x i i l x x ==-≈∑，171()() 1.4682x y i i i l x x y y ==--≈-∑；计算回归系数1ˆ/ 2.0698xx x yl l β=≈-，01ˆˆ 3.0332y x ββ=-≈； 从而得到回归方程：ˆ 3.0332 2.0698yx =-。
下算2DY σ=的无偏估计。
（由P 97性质 5.2.4知：22ˆ/(2)E S n σ=-是2σ的无偏估计）因为1722222212/()/3.0686 1.4682/0.70940.0298ETRy y x yx x i x y x xi S S S l l l y y l l ==-=-=--≈-=∑所以，22ˆ/(172)0.0020E S σ=-=。
（2）用F 检验法检验，取显著水平0.05α=，统计假设为：0111ˆˆ:0,:0H H ββ=≠ 临界值 21ˆ(1,2)0.002 4.540.01280.7094xxF n c l ασ--⨯==≈；拒绝域{}201ˆ0.0128K c β=>=。
由于221ˆ(2.0698)0.0128c β=->=，所以拒绝0H 接受1H ，故认为Y 和X 之间的线性关系显著。
（3）Y 的置信度为95%（即：0.05α=）的预测区间为：()ˆˆ(),()yx y x δδ-+。
其中21ˆ()()(2)x S x t n αδσ-=-≈ （4）()1101/211ˆˆ0.9015ˆx y u αβσβ-=-+≈， ()2201/211ˆˆ0.696ˆx y u αβσβ-=-+≈，所以需要把x 的值限制在区间（0.696，0.9015）内。
5.6解：（1）令z =1111 3.0424n n i i i z z n n ====≈∑，11109.9362ni i y y n ==≈∑；再计算离差平方和1721()11.6670z z i i l z z ==-≈∑，171()()13.9389z y i i i l z z y y ==--≈∑；计算回归系数1ˆ/ 1.1947z z z y l l β=≈，01ˆˆ106.3013y z ββ=-≈； 从而得到回归方程：ˆ106.3013y=+。
因为19221()21.2105Ty y i i S l y y ===-=∑，22222/21.210513.9389/11.6670 4.5573E T R yy z y z z S S S l l l =-=-≈-=，所以0.8861R =≈。
（2）令ln z x =，首先计算1111ln 2.1129n n i i i i z z x n n ====≈∑∑，11109.9362ni i y y n ==≈∑；再计算离差平方和1721() 6.3343z z i i l z z ==-≈∑，171()()10.8568z y i i i l z z y y ==--≈∑；计算回归系数1ˆ/ 1.7140z z z y l l β=≈，01ˆˆ106.3147y z ββ=-≈； 从而得到回归方程：ˆ106.3147 1.7140ln yx =+。
因为19221()21.2105Ty y i i S l y y ===-=∑，22222/21.210510.8568/6.3343 2.6022E T R y y z y z z S S S l l l =-=-≈-=，所以0.9367R =≈。
（3）令1xz =，首先计算 11111/0.1578n n i i i i z z x n n ====≈∑∑，11109.9362ni i y y n ==≈∑；再计算离差平方和1721()0.2137z z i i l z z ==-≈∑，171()() 2.1011z y i i i l z z y y ==--≈-∑；计算回归系数1ˆ/9.8334z z z y l l β=≈-，01ˆˆ111.4875y z ββ=-≈； 从而得到回归方程：ˆ111.48759.8334/yx =-。
因为19221()21.2105Ty y i i S l y y ===-=∑，22222/21.2105 2.1011/0.21370.5496,E T R y y z y z z S S S l l l =-=-≈-=所以0.9870R =≈。
故第3个回归方程的相关系数R =5.12解：（1）根据最小二乘根估计法，求得回归系数的估计值为：()10123ˆˆˆˆˆ(,,,)(162.8759, 1.2103,0.6659,8.6130)X X X y βββββ-''===---即多元回归方程为123ˆ162.8759 1.21030.66598.6130yx x x =---。
（2）对回归模型进行显著性检验0123ˆˆˆ:0H βββ===。
当0.05α=时，拒绝域为：2010.952(1)(,1)(3,2331) 3.13RE n k S KF F k n k F kS α-⎧⎫--==>--=--=⎨⎬⎩⎭又因为12361.3478, 39.6087, 50.7826, 2.2957,y x x x ====232221322221236145.2174,ˆ4133.5820,2011.6354Ti i R i i y E T Ri S y y S l S S S β===-====-=∑∑其中，231()()i y k i i i k l x x y y ==--∑，进而有22(1)REn k S F kS --==13.0145>3.13，所以拒绝0H ，故认为所建立的回归方程效果好。
（3）对回归系数进行检验0ˆ:0,1,2,3i iH i β==。
当0.05α=时，拒绝域为：2010.952(1)(1,1)(1,19) 4.38i i ii E n k K F F n k F c S αβ-⎧⎫--⎪⎪==>--==⎨⎬⎪⎪⎩⎭， 其中()1C X X -'=。
算出12316.1191 4.38,0.6578 4.38,0.4950 4.38F F F =>=<=<， 所以拒绝01H 接受0203,H H ，这说明1x 对y 有显著影响，23,x x 对y 无显著影响，故要剔除23,x x 计算新的回归方程，所以所求的模型不是最优的回归模型。
计算161.3478, 39.6087,y x ==再计算离差平方和621()x x i i l x x ==-∑=1577.4783，61()()x y i i i l x x y y ==--∑=-2408.8696；计算回归系数1ˆ/ 1.5270x x x yl l β=≈-，01ˆˆ121.8318y x ββ=-≈；从而得到回归方程：1ˆ121.8318 1.5270yx =-。
因为19221()6145.2174Ty y i i S l y y ===-=∑，22212ˆ6145.2174 1.52701577.47832466.9655E T R yy x xS S S l l β=-=-≈-⨯=所以0.7737R =≈。
用F 检验法检验，取显著水平0.05α=，统计假设为：0111ˆˆ:0,:0H H ββ=≠ 拒绝域2010.952(2)(1,2)(1,2331) 4.33RE n S KF F n F S α-⎧⎫-==>-=--=⎨⎬⎩⎭。
由于22222(2)21()31.31R T E E En S S S F S S -⨯-==≈>4.33，所以拒绝0H 接受1H ，故认为Y 和1x 之间的线性关系显著。