2019届甘肃省兰州第一中学高三12月月考数学(文)试题(PDF版)

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2021-2022学年甘肃省兰州市第一中学高二上学期期末考试数学(文)试题解析

2021-2022学年甘肃省兰州市第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．抛物线28y x =的焦点坐标为 A ．(0,2) B ．(2,0) C ．1(,0)32D ．1(0,)32答案：D解：抛物线28y x =可化为218x y =，∴抛物线28y x =的焦点在y 轴上，∵128=p ，∴11 232p =，∴抛物线的焦点坐标为10,32⎛⎫⎪⎝⎭，故选D ． 2．双曲线221416y x -=的渐近线方程为（）A ．12y x =± B ．2y x =± C ．14y x =±D ．4y x =±答案：A令双曲线方程得右边为0，可得双曲线的渐近线方程.解：解：令双曲线方程得右边为0，可得220416y x -=，可得12y x =±，即：双曲线221416y x -=的渐近线方程为12y x =±，故选：A.点评：本题主要考查双曲线的渐近线方程，注意牢记双曲线渐近线的求法. 3．若方程2212x y m m+=-表示椭圆，则实数m 的取值范围为（） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()0,2 D ．()()0,11,2答案：D由题知0202m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解不等式组即可得答案.解：解：因为方程2212x y m m+=-表示椭圆所以0202m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得021m m m >⎧⎪<⎨⎪≠⎩，所以实数m 的取值范围为()()0,11,2故选：D4．命题“00x ∃>，00sin x x <”的否定是（） A ．00x ∃≤，00sin x x < B ．00x ∃≥，00sin x x > C ．0x ∀>，sin x x ≥ D ．0x ∀>，sin x x >答案：C特称命题否定为全称命题即可解：命题“00x ∃>，00sin x x <”的否定是“0x ∀>，sin x x ≥”，故选：C5．如果质点A 按照规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为 A ．6 B ．18C ．54D ．81答案：B对23s t =求导，再把3t =代入,从而可得3t =时的瞬时速度. 解：质点A 按照规律23s t =运动，'6s t ∴=，∴根据导数的物理意义可得，在3t =时的瞬时速度为6318⨯=，故选B.点评：本题主要考查导数的物理意义，意在考查利用所学知识解决实际问题的能力，属于简单题.6．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为 1.1时，函数的平均变化率为（） A ．2.1 B ．1.1 C ．2 D ．0答案：A由平均变化率的定义计算．解：22(1.1)(1)(1.11)(11) 2.11.110.1y f f x ∆----===∆- 故选：A ．7．已知0a >，0b >，则“4a b +=1a =，4b =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案：B根据基本不等式确定等式成立的条件，然后由充分必要条件的定义判断．解：0a >，0b >时，4a b +≥=4a b =.因为4a b =时，不一定有1a =，4b = 故选：B.8．椭圆与双曲线2213y x -=有相同的焦点1F ，2F ，离心率互为倒数，P 为椭圆上任意一点，则角12F PF ∠的最大值为（） A ．5π6B ．2π3 C ．π2D ．π3答案：D设椭圆方程为22221x y a b+=，根据条件列方程求出,a b ，即可求出椭圆方程，当点P 为椭圆短轴端点时角12F PF ∠最大，利用余弦定理可求得该角. 解：设椭圆方程为22221x y a b+=，则222213211c c a a b c ⎧=+⎪⎪⋅=⎨⎪=+⎪⎩，解得2216,12a b ==，则椭圆方程为2211612x y +=，当点P 为椭圆短轴端点时角12F PF ∠最大，此时()22212221616161cos 22162a a c F PF a +-+-∠===⨯，因为()120,F PF π∠∈，12π3F PF ∴∠= 故选：D.9．已知点P 是抛物线22y x =-上的一个动点，则点P 到点()0,2M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（） AB ．3 CD ．92答案：A求出抛物线的焦点F 的坐标，分析可知点P 到点()0,2M 的距离与点P 到准线12x =的距离之和等于点P 到点()0,2M 的距离与点P 到点F 的距离之和，利用当点P 为线段MF 与抛物线的交点时，即M 、P 、F 三点共线时取PM PF +取最小值可得结果.解：抛物线22y x =-的焦点为1,02F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线方程为12x =，如下图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线12x =的距离PD 等于点P 到焦点F 的距离PF ，因此点P 到点()0,2M 的距离与点P 到准线12x =的距离之和等于点P 到点()0,2M 的距离与点P 到点F 的距离之和，其最小值为点()0,2M 到点1,02F ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离（当点P 为线段MF 与抛物线的交点时，即M 、P 、F 三点共线时）11744+ 故选：A.10．已知点1F ，2F 为椭圆22142x y+=的左右焦点，过点1F 与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，则三角形2ABF 的内切圆的半径为（）A ．2B ．1C 2D 2答案：C根据题意得2ABF 的周长为48a =，2AB =，进而等面积法求解即可. 解：解：根据题意得2,2a b c ===()12,0F ，因为过点1F 与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点所以()()2,1,2,1A B ---，2AB = 根据椭圆定义得2ABF 的周长为48a =，不妨设三角形2ABF 的内切圆的半径为r ，所以根据等面积法得21211422ABF S a r AB F F =⨯⋅=△，代入数据得22r故选：C11．已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的右焦点为(),0F c ，右顶点为A ，以OA 为直径的圆交直线cy x b=于点B （不同于原点O ），设OBF 的面积为S ．若S AB AF =⋅，则椭圆C 的离心率为（） A ．12 B ．13C ．34D ．35答案：D由题可得Rt OAB 的三边长，再结合三角形面积公式及向量数量积公式可得,,a b c 的关系式，即求.解：依题意，得OB AB ⊥， ∴点A 到直线c y x b =的距离22||AB c b c==+，在Rt OAB 中，∵OA a =，AB c =， ∴OB b =， ∵S AB AF =⋅，∴1sin ()cos 2bc BOA c a c BAO ∠=-∠，其中sin cos BOA BAO ∠=∠， ∴()2b a c =-，∴()224b a c =-，即225830c ac a -+=，得2583e e -+=(53)(1)0e e --=，∴35e =或1e =（舍）∴离心率为35.故选：D.12．下列结论正确的个数为（）①已知1F ，2F 分别为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则12PF F △的重心G 的轨迹方程为()2293104x y y +=≠②若动点(),P x y2，则点P 的轨迹为双曲线；③动点P 到直线40x +=的距离减去它到()2,0M 的距离之差是2，则点P 的轨迹是抛物线；④点2F 为椭圆2212516x y +=的右焦点，点P 为椭圆上任意一点，点()1,3M ，则2PF PM+的最小值为5；⑤斜率为2的直线与椭圆()222210x y a b a b+=>>交于A ，B 两点，点M 为AB 的中点，直线OM 的斜率为14-（O 为坐标原点）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D设()G x y ,，由重心坐标公式可得(3,3)P x y ，代入椭圆方程化简即可判断①，根据两点间的距离公式及双曲线的定义可判断②，由抛物线的定义判断③，根据椭圆的定义转化为动点到两定点间距离差的最大值，数形结合求解即可判断④，由点差法建立,a b 关系，求出离心率判断⑤.解：设椭圆的动点坐标00(,)P x y ，12PF F △的重心()G x y ,，则003003x c c x y y +-⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，所以03x x =，030y y =≠，代入椭圆方程可得()2293104x y y +=≠，故①正确；动点(),P xy24<，即动点到定点(2,0)-与(2,0)的距离之差为定值且小于两定点间的距离，所以动点轨迹为双曲线一支，故②错误；动点P 到直线40x +=的距离减去它到()2,0M 的距离之差是2，即动点P 到直线20x +=的距离与P 到()2,0M 的距离相等，所以点P 的轨迹是抛物线，故③正确；由M 在椭圆内，如图，22211||||10(||||)10||10(13)(30)1055PM PF PF PM F M ∴+=--≥-=++-=-=当且仅当1,,P F M 共线时，2||||PM PF +取得最小值，即最小值为5成立，故④正确；设1122,,()()A x y B x y ，，可得22221122222211,，x y x y a b a b+=+=两式相减可得1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=-，由题意可得12122y y x x --=，且1212(,)22x x y y M ++，121214y y x x +=-+，所以22112(),42b a -=⨯-=-则22121122c b e a a ==--=故⑤正确. 所以正确的结论有4个，故选：D 二、填空题13．下列各结论中，正确的是______．①“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的充分不必要条件； ②“p q ∧为假”是“p q ∨为假”的充分不必要条件； ③“p q ∨为真”是“p ⌝为假”的必要不充分条件； ④“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的必要不充分条件．答案：①③利用充分条件和必要条件结合复合命题的真假判断方法分析判断即可解：对于①，当p q ∧为真时，,p q 都为真，所以p q ∨为真，当p q ∨为真时，,p q 至少有一个为真，则p q ∧不一定为真，所以“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的充分不必要条件，所以①正确，对于②，当p q ∧为假时，,p q 中至少有一个为假，则p q ∨不一定为假，当p q ∨为假时，,p q 都为假，则p q ∧一定为假，所以“p q ∧为假”是“p q ∨为假”的必要不充分条件，所以②错误，对于③，当p q ∨为真时，,p q 至少有一个为真，所以p ⌝不一定为假，而当p ⌝为假时，p 为真，所以p q ∨一定为真，所以“p q ∨为真”是“p ⌝为假”的必要不充分条件，所以③正确，对于④，当p ⌝为真时，p 为假，则p q ∧为假，当p q ∧为假时，,p q 中至少有一个为假，所以p 不一定为假，则p ⌝不一定为真，所以“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的充分不必要条件，所以④错误，故答案为：①③14．与双曲线221916x y -=有共同的渐近线,且经过点()3,23-的双曲线方程是______. 答案：224194x y -=解：设22916x y λ-=,将()3,23-代入求得14λ=. 双曲线方程是224 1.94x y -= 15．在平面直角坐标系xoy 中，点M 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P 、Q 两点．若MPQ 为锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是____________．答案：6251,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】解：试题分析：∵△PQM 是锐角三角形， ∴∴2222cos cos 4MD c QMD ac a c b QMaπ∠==>=<- 22222,ac a c ac a c >-<- ∴22210,10e e e e +->+-< 解得6251e e --><∴该椭圆离心率的取值范围是6251--⎝⎭ 故答案为6251--⎝⎭16．已知抛物线C ：2y 2px(p 0)=>的焦点为F ，过F 且倾斜角为60的直线l 与抛物线C在第一、四象限分别交于A 、B 两点，与它的准线交于点P ，则AB PB=_____．答案：2：1设出A 、B 坐标，利用焦半径公式求出|AB |，结合x 1x 2＝24p ，求出A 、B 的坐标，然后求其比值．解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 12＝2px 1，y 22＝2px 2， |AB |＝x 1+x 2+p ＝2028sin 603p p =，即有x 1+x 2＝53p ，由直线l 倾斜角为60°，则直线l 的方程为：y ﹣0x ﹣2p ），联立抛物线方程，消去y 并整理，12x 2﹣20px +3p 2＝0，则x 1x 2＝24p ，可得x 1＝32p ，x 2＝16p ，则|AP |＝4p ， ∴AB PB=2.故答案为:2:1.点评：本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．三、解答题17．已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{}14B x x =<<． (1)当3a =时，求A B ；(2)“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．答案：(1){}15A B x x ⋃=-≤≤ (2){}1a a <（1）由3a =，得到{}15A x x =-≤≤，再利用并集的运算求解；（2）根据 “x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，得到AB ，然后分A =∅，A ≠∅讨论求解. (1)解：当3a =时，{}15A x x =-≤≤．因为{}14B x x =<<，所以{}15A B x x ⋃=-≤≤． (2)因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以AB ．当A =∅时，符合题意，此时有22a a +<-，解得：0a <．当A ≠∅时，要使AB ，只需22,24,21,a a a a +≥-⎧⎪+<⎨⎪->⎩解得：01a ≤<，综上：1a <．所以实数a 的取值范围{}1a a <． 18．已知命题p ：方程表示焦点在x 轴上的双曲线．命题:q 曲线2(23)1y x m x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围．答案：522m <≤或12m <. 分别求出命题p 、q 为真命题时m 的范围，根据复合命题真值表可得命题p ，q 命题一真一假，分p 真q 假和p 假q 真求出m 的范围，再求并集．解：解：方程22122x y m m -=-表示焦点在x 轴上的双曲线， ∴20220m m m >⎧⇒>⎨->⎩若p 为真时：2m >，曲线2(23)1y x m x =+-+与x 轴交于不同的两点，则△25(23)402m m =-->⇒>或12m <，若q 真得：52m >或12m <，由复合命题真值表得：若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，p ，q 命题一真一假若p 真q 假：522m <；若p 假q 真：12m <∴实数m 的取值范围为：522m<或12m <． 19．设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，113AF BF =（1）若24,AB ABF =∆的周长为16，求2AF ；（2）若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率.答案：（1）5；（2）2. 【解析】解：试题分析：（1）由题意113,4AF F B AB ==可以求得113,1AF F B ==，而2ABF ∆的周长为16，再由椭圆定义可得12416,28a AF AF a =+==.故212835AF a AF =-=-=.（2）设出1F B k =，则0k >且13,4AF k AB k ==.根据椭圆定义以及余弦定理可以表示出,a k 的关系()(3)0a k a k +-=，从而3a k =，2123,5AF k AF BF k ===，则22222||||BF F A AB =+，故12F A F A ⊥，12AF F ∆为等腰直角三角形.从而2c a =，所以椭圆E 的离心率2c e a ==. （1）由113,4AF F B AB ==，得113,1AF F B ==.因为2ABF ∆的周长为16，所以由椭圆定义可得12416,28a AF AF a =+==.故212835AF a AF =-=-=.（2）设1F B k =，则0k >且13,4AF k AB k ==.由椭圆定义可得2223,2AF a k BF a k =-=-.在2ABF ∆中，由余弦定理可得22222222||||2cos AB AF BF AF BF AF B =+-⋅∠，即2226(4)(23)(2)(23)(2)5k a k a k a k a k =-+---⋅-，化简可得()(3)0a k a k +-=，而0a k +>，故3a k =.于是有2123,5AF k AF BF k ===.因此22222||||BF F A AB =+，可得12F A F A ⊥，故12AF F ∆为等腰直角三角形.从而c =，所以椭圆E 的离心率c e a ==. 【解析】1.椭圆的定义；2.椭圆的离心率求解.20．已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，椭圆的左、右焦点分别是12F F 、，点M 为椭圆上的一个动点，12MF F △（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）P 为椭圆上一点，1PF 与y 轴相交于Q ，且112F P FQ =，若1PF 与椭圆相交于另一点R ，求2PRF △的面积 .答案：（1）22143x y +=（2）157 【解析】解：试题分析：（Ⅰ）由已知条件：12c e a ==，122c b bc ⋅⋅==椭圆C 的方程；（Ⅱ）由112F P FQ =，知Q 为1F P 的中点，设()0,Q y ，则()1,2P y ，由此利用韦达定理、弦长公式能求出2PRF ∆的面积. 试题解析：解：（I )由已知条件：12c e a ==，122c b bc ⋅⋅=∴2,1a b c === ∴椭圆C 的方程为22143x y += . (Ⅱ)由112F P FQ =，知Q 为1F P 的中点，所以设()0,Q y ，则()1,2P y , 又P 满足椭圆的方程，代入求得34y =. ∴直线1PF 方程为()314y x =+ . 由()22314{143y x x y =++= 得 276130x x +-= . 设()11,P x y ，()22,R x y ，则 1212613,77x x x x +=-=- .∴1212627,728y y y y +==- ，∴212115227PRF S c y y c ∆=⋅⋅-==. 说明：各题如有其它解法可参照给分.点睛：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式的合理运用；当直线与圆锥曲线相交时，将三角形的面积转化为求弦长问题，即联立直线的方程与圆锥曲线的方程构成方程组，结合韦达定理12y y -=.21．已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线222:142x y C -=有相同的渐近线，且点(P 在1C 上. （1）求1C 的标准方程；（2）过点()1,1M 的直线l 与双曲线1C 交于,A B 两点，且M 恰好是线段AB 的中点，求直线l 的方程.答案：（1）2212x y -=；（2）210x y -+=.（1）设()221:042x y C λλ-=≠，将(P 代入可得λ，进而可得1C 的标准方程；（2）设直线():11l y k x =-+，将其与1C 联立得到关于x 的方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式可解得k ，进而可得直线l 的方程.解：（1）因为1C 与2C 的渐近线相同，可设()221:042x y C λλ-=≠将(P 代入得831422λ=-=，所以1C 的标准方程为2212x y -=. （2）直线l 的斜率显然存在，设直线():11l y k x =-+，联立方程组()221211x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩，消去y 可得()()()22212412120k x k k x k -+----=，由221208(22)0k k k ⎧->⎨∆=-+->⎩得11k <<且2≠±k . 设()1122(),,,A x y B x y ，则()1224121k k x x k -+=-因为M 是线段AB 的中点，所以()122211221k k x xk -+==-，解得12k =，满足题意.所以直线l 的方程为()1112y x =-+，即210x y -+=.22．已知F 为抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为94π. （1）求抛物线C 的方程；（2）设A (2，1)，B 是抛物线C 上异于A 的一点，直线AB 与直线y =x -2交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ，证明：直线BN 恒过一定点，并求出该定点的坐标.答案：（1）x 2=4y ；（2）证明见解析，定点(2，2).(1)由题意知圆心必在4p y =，由相切即可知34pr =，结合已知圆的面积即可求出p =2，进而可求出抛物线的方程.(2) 设211(,)4x B x ，写出直线AB 的方程与y =x -2联立，求出P 的横坐标，即可知N 的横坐标，进而可求出N 的坐标，由直线的点斜式可写出直线BN 的方程，从而可求出所过定点.解：解：（1）设△OFM 外接圆的半径为r ，由题知圆心必在4py =，且圆心到准线的距离3424p p p r +==，所以239()44p π⋅=π，解得p =2，所以抛物线C 的方程为：x 2=4y .（2）设211(,)4xB x ，由题意知，12x ≠，则直线AB 的方程：211141(2)2x y x x --=--，化简得：121(2)4x y x +-=-，与y =x -2联立得121(2)42x y x y x +⎧-=-⎪⎨⎪=-⎩，解得11282p x x x -=-，把112(4)2p x x x -=-代入x 2=4y 得：2114()2N x y x -=-，即211112(4)4(,())22x x N x x ----，则直线BN 的方程：221121111114()42()2(4)42x x x x y x x x x x ----=----，约分得：11211142()2()44x x x x y x x -+--=-，化简得111141()()422x x x y x x x --+--，因为与x 1无关，所以当x =2，y =2时恒成立，所以直线BN 恒过定点(2，2).点评：关键点睛:本题第二问的关键是联立直线和直线求出P 的横坐标，写出N 的坐标后，写出直线BN 的方程.。

2019届甘肃省兰州第一中学高三12月月考数学(理)试题(教师版)

数学资料库2019届甘肃省兰州第一中学高三12月月考数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题 1．已知集合,则A ．B ．C ．D ．2．设，，则是成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知是等比数列，，则 A ． B ． C ． D ．4．已知实数，满足，则的最小值是A ．B ．C ．D ．5．若将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于原点对称，则最小时，A ．B ．C ．D ．6．已知数列满足，，若恒成立，则m 的最小值为 A ． B ． C ． D ．7．在ABC ∆中， M 为边BC 上任意一点， N 为AM 的中点， AN x AB y AC =+，则x y +的值为A ．12 B ．14C ．1D ．2 8．已知非零向量，，满足，若函数在R 上存在极值，则和夹角的取值范围为 A ．B ．C ．D ．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为A ．6+B ．8+C ．6+ +D ．6+10．设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是A ．B ．C ．D ． 11．若且，则的最小值是A ．B ．C ．D ．12．已知函数，若关于的方程有两个相异实根，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．二、填空题13．在中，AB=3，AC=4，BC=3，D 为BC 的中点，则AD=__________．14．若曲线在点(1,-1)处的切线与曲线相切，则m 的值是_________.此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号15．已知球为正四面体的内切球，为棱的中点，，则平面截球所得截面圆的面积为__________．16．已知.若,的最大值为2，则m+n的最小值为____________.三、解答题17．函数，，的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）已知数列满足，且是与的等差中项，求的通项公式.18．某地区某农产品近几年的产量统计如表：（Ⅰ）根据表中数据，建立关于的线性回归方程；（Ⅱ）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量.附:对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.(参考数据:，计算结果保留小数点后两位）19．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，M为BC的中点.（I）证明：AM⊥PM ；(II)求二面角P－AM－D的大小.20．已知定点F(1,0)，定直线：x=-1，动圆M过点F，且与直线相切.（Ⅰ）求动圆M的圆心轨迹C的方程；（Ⅱ）过点D(1,2)作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线C于异于点D的两点P,Q，试证明直线PQ的斜率为定值，并求出该定值.21．设函数．（Ⅰ）当k=3时，求函数在区间上的最值；（Ⅱ）若函数在区间上无零点，求实数k的取值范围．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.求曲线的普通方程和的直角坐标方程；Ⅱ已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且，均异于原点，，求的值.23．[选修4-5：不等式选讲]已知函数（Ⅰ）求不等式f(x)>0的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式有解，求实数m的取值范围.数学资料库2019届甘肃省兰州第一中学高三12月月考数学（理）试题数学答案参考答案1．D【解析】【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两个集合的交集即可.【详解】解：由A中不等式变形得：，即为变形可得：，解得，即A=，对于B中由x2﹣3x+2＞0，得x＜1或x＞2，故B={x|y=log2（x2﹣3x+2）}={x|x＜1或x＞2}，即.故选:D.【点睛】本题考查函数的定义域及其求法及分式不等式解法，考查交集及其运算，是基础题．2．A【解析】【分析】根据条件，分析是否成立即可。

二项式定理(1)

x 二项式定理1.【来源】浙江省 2017 届高三“超级全能生”3 月联考数学试题在二项式(2x - 1)6的展开式中，常数项是（ C ）xA ．-240B ．240C ．-160D ．160答案及解析：2.【来源】安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题在(1+x )6(1－2x )展开式中，含 x 5 的项的系数是( D ) A. 36B. 24C. －36D. －243.【来源】新疆维吾尔自治区 2018 届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题若⎛ 2 1 ⎫n- x ⎪ 展开式中含 x 项的系数为-80，则 n 等于（ A ）⎝ ⎭A ．5B ．6 C.7 D ．84.【来源】浙江省金丽衢十二校联考 2017 届高考二模数学试题在（1+x 3）（1﹣x ）8 的展开式中，x 5 的系数是（ A ） A ．﹣28B ．﹣84C ．28D ．84答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：由（1+x 3）展开可知含有 x 3 与（1﹣x ）8 展开的 x 2 可得 x 5 的系数；由（1+x 3）展开可知常数项与（1﹣x ）8 展开的 x 5，同样可得 x 5 的系数； ∴含 x 5 的项+=28x 5﹣56x 5=﹣28x 5；∴x 5 的系数为﹣28，故选 A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数把含有 x 5 的项找到．从而可以利用通项求解．属于中档题5.【来源】北京东城景山学校 2016-2017 学年高二下学期期中考试数学（理）试题设(3x -1)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 ，则 a + a + a + a的值为（ A ）．12341234A ．15B ．16C ．1D ．－15答案及解析：在(3x -1)4= a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 中，令 x = 0 ，可得 a = 1 ，1234再令 x = 1可得 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 16 ，所以 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 15 ．n 7 7 7 故选 A ．6.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题在(x + y )n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于（ D ）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13答案及解析：(x + y )n 的展开式第七项系数为 C 6 ，且最大，可知此为展开式中间项，当展开式为奇数项时： n= 6 ， n = 12 ，2当有偶数项时 n + 1= 6 ， n = 11， 2 或 n + 1 = 7 ， n = 13 ，2故 n = 11，12 ，13 ．选 D ．7.【来源】广东省广州市海珠区 2018 届高三综合测试（一）数学（理）试题(x + y )(2x - y )6 的展开式中 x 4 y 3 的系数为（ D ）A ．－80B ．－40C. 40D ．808.【来源】广东省潮州市 2017 届高三数学二模试卷数学（理）试题在（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ） A ．71 B ．70 C ．21 D ．49答案及解析：【分析】先将问题转化为二项式（1﹣2x ）7 的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数分别等于 1，2 求出特定项的系数【解答】解：（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中 x 2 的系数等于（1﹣2x ）7 展开式的 x 的系数+（1﹣2x ）7 展开式的 x 2 的系数，（x+1）7 展开式的通项为 T r+1=（﹣2）r C r x r ，故展开式中 x 2 的系数是（﹣2）2C 2+（﹣2）•C 1=84﹣14=60，故选：B ．9.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第四次联考数学试题在二项式(x 2- 1)5 的展开式中，含 x 7的项的系数是（ C ）xA ． -10B. 10C. -5D. 510.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题已知(1 + x )n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为( D ) A ．212B ．211C.210D ．2911.【来源】上海市浦东新区 2018 届高三上学期期中考试数学试卷展开式中的常数项为（ C ）x -A.-1320B.1320C.-220D.22012.【来源】浙江省绍兴一中2017 届高三上学期期末数学试题在（x﹣y）10 的展开式中，系数最小的项是（C ）A．第4 项B．第5 项C．第6 项D．第7 项答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11 项，奇数项为正，偶数项为负，且第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第 6项．故选C．13.【来源】浙江省金华十校联考2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（B）A．7 B．8 C．9 D．10答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n 的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式•（﹣1）r x r，∴该项的系数，∵2a2+a n﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5 为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．14.【来源】浙江省重点中学2019 届高三上学期期末热身联考数学试题⎛ 2 ⎫5 1⎪1展开式中，x2的系数是( B )⎝⎭A、80B、－80C、40D、－4015.【来源】山东省德州市2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题a 2 4如果x + x - 的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是( C ) x xA．8 B．－8 C.16 D．－1616.【来源】云南省昆明市第一中学2018 届高三第八次月考数学（理）试题x x2 ⎪ ⎛1- 1 ⎫ (1+ x )6x 3⎝ ⎭ 展开式中 x 的系数为（B ）A ．－14B ．14C. 15D ．3017.【来源】安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟）2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题在二项式(x - 1)n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含有 x 2项的系数是（ C ）xA ．35B ．－35C ．－56D ．56答案及解析：第五项的二项式系数最大，则，通项，令，故系数.18.【来源】辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校 2016-2017 学年高二下学期期末联考数学（理）试题在( - 2)n 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ A ）xA ．60B ．45C ． 30D ．1519.【来源】湖北省武汉市 2018 届高三四月调研测试数学理试题在(x + 1-1)6 的展开式中，含 x 5项的系数为（ B ）xA ．6B ．－6C ．24D ．－24答案及解析：的展开式的通项．的展开式的通项=．由 6﹣r ﹣2s=5，得 r+2s=1，∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴的展开式中，含 x 5 项的系数为．故选：B ．20.【来源】辽宁省抚顺市 2018 届高三 3 月高考模拟考试数学（理）试题在(2 -1)6 的展开式中，含 1项的系数为( C )xA. －60B. 160C. 60D. 6421.【来源】2018 年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）(x 2+ 2)5 的展开式中 x 4 的系数为( C )xA ．10B ．20C ．40D ．80答案及解析：由题可得令 ,则所以x2× 4x9 n故选 C.22.【来源】浙江省金华市十校联考 2016-2017 学年高二下学期期末数学试卷在（x 2﹣4）5 的展开式中，含 x 6 的项的系数为（ D ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160答案及解析：【分析】=（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2，由此能求出含 x 6 的项的系数．【解答】解：∵（x 2﹣4）5， ∴T r+1==（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2， ∴含 x 6 的项的系数为=160．故选：D ．23.【来源】浙江省诸暨市牌头中学 2018 届高三 1 月月考数学试题在⎛x 2 - ⎝2 ⎫6的展开式中，常数项为（ D ）⎪⎭ A ．-240 B ．-60 C ．60 D ．24024.【来源】浙江省湖州市 2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 的展开式中，含 x 3 的项的系数是（ D ） A ．121 B ．﹣74C ．74D ．﹣121答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前 n 项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含 x 4 的项的系数，即是代数式的含 x 3 的项的系数．【解答】解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 ==，（1﹣x ）5 中 x 4 的系数，﹣（1﹣x ）9 中 x 4 的系数为﹣C 4=﹣126，﹣126+5=﹣121．故选：D25.【来源】甘肃省兰州市第一中学 2018 届高三上学期期中考试数学（理）试题在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中，x 3 的系数是（ A ） A ．0B ．10C ．－10D ．20答案及解析：(x +1)4 的展开式的通项, 因此在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中,x 3 的系数是26.【来源】山西重点中学协作体 2017 届高三暑期联考数学（理）试题在二项式 + 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互 x xx 1 ⎝ ⎭不相邻的概率为( D ) A ． 16B ． 14C. 1 3D ． 51227.【来源】湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（理）试题已知C 0- 4C 1+ 42C 2- 43C 3+ + (-1)n 4nC n= 729 ，则C 1+ C 2+ + C n的值等于（ C ）nnnnnA ．64B ．32 C.63 D ．31答案及解析：nnn因为，所因，选 C. 28.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题若òn(2x -1)dx = 6 ，则二项式(1 - 2x )n的展开式各项系数和为( A ) A ．－1 B ．26 C ．1 D ． 2n29.【来源】浙江省金华十校 2017 届高三数学模拟试卷（4 月份）数学试题若(x －1)8=1+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则 a 5=（ B ） A ．56B ．﹣56C ．35D ．﹣35答案及解析：利用通项公式即可得出．解：通项公式 T r+1=（﹣1）8﹣r x r ，令 r=5，则（﹣1）3=﹣56．故选：B ．30.【来源】广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三 3 月联考数学（理）试题6⎛ 1 ⎫ x 4在( + x ) 1+ y ⎪ 的展开式中， y 2 项的系数为（ C ）A ．200B ．180 C. 150 D ．120答案及解析：展开式的通项公式，令可得：，，展开式的通项公式，令可得，据此可得：项的系数为 .本题选择 C 选项.31.【来源】吉林省长春外国语学校 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题 (2－x )(1+2x )5 展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ）x x 0 1 2 2017 3n nx A ． 30 B ． 70 C ．90 D ．－15032.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第三次联考数学试题若(1 + x )3 + (1 + x )4 + (1 + x )5 + + (1 + x )2017 = a + a x + a x 2 + + a x 2017 ，则 a 的值为（ D ）3 2017 32018 420174201833.【来源】广东省肇庆市 2017 届高考二模数学（理）试题若（x 6+ 1 ）n的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ C ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案及解析：【分析】二项式的通项公式 T r+1=C ）r ，对其进行整理，令 x 的指数为 0，建立方程求出 n 的最小值．【解答】解：由题意）n 的展开式的项为）r =C n r=C r令r=0，得 r ，当 r=4 时，n 取到最小值 5故选：C ．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为 0，得到 n 的表达式，推测出它的值．34.【来源】上海市金山中学 2017-2018 学年高二下学期期中考试数学试题设(3x -1)6= a x 6+ a x 5+ + a x + a ，则| a | + | a | + | a | + + | a| 的值为…（ B ）651126(A) 26(B) 46(C) 56(D) 26+ 4635.【来源】浙江省台州市 2016-2017 学年高二下学期期末数学试题x -已知在（ 2 1 ）n的展开式中，第 6 项为常数项，则 n =（ D ）A ．9B ．8C ．7D ．6答案及解析：【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：∵第 6 项为常数项，由 =﹣ •x n ﹣6，可得 n ﹣6=0．解得 n=6．故选：D ．36.【来源】山东省潍坊寿光市 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题⎛ 1 ⎫6+ 2x ⎪ ⎝ ⎭的展开式中常数项为（ B ） A ．120B ．160C. 200D ．24037.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 (2x + 3)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4(a + a + a )2 - (a + a )2若0 1 2 3 4，则 0 2 41 3 的值为（ A ）． 5 x A ． C B ． C C ． C D ． Cx x A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案及解析：令 x = 1， a + a + + a = (2 + 3)4 ，1 4令 x = -1， a - a + a - a + a= (-2 + 3)4 ，1234而 (a + a + a )2 - (a + a )22413= (a 0 + a 2 + a 4 + a 1 + a 3 )(a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 )= (2 + 选 A ．3)4 (-2 + 3)4 = (3 - 4)4 = 1． 38.【来源】云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七）数学（理）试题设 i 是虚数单位，a 是(x + i )6的展开式的各项系数和，则 a 的共轭复数 a 的值是（ B ） A ．－8iB ． 8iC ． 8D ．-8答案及解析：由题意，不妨令，则，将转化为三角函数形式，，由复数三角形式的乘方法则，，则，故正确答案为 B.39.【来源】福建省三明市 2016-2017 学年高二下学期普通高中期末数学（理）试题 a 2 52x + x - 的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中常数项为( A ) x xA ．－200B ．－120 C.120 D ．20040.【来源】甘肃省天水一中 2018 届高三上学期第四次阶段（期末）数学（理）试题已知（1+ax ）(1+x )5 的展开式中 x 2 的系数为 5，则 a =( D )A.-4B.-3C.-2D.-141.【来源】广东省深圳市宝安区 2018 届高三 9 月调研测数学（理）试题(1 + 1)(1 + x )5 展开式中 x 2 的系数为 ( A )xA ．20B ．15C ．6D ．142.【来源】甘肃省民乐一中、张掖二中 2019 届高三上学期第一次调研考试（12 月）数学（理）试题⎛ a ⎫ ⎛1 ⎫5x + ⎪ 2x - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( D )A ．-40B ．-20C ．20D ．4043.【来源】浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试数学试题⎛ 1+ 2⎫(1- x )4 展开式中 x 2 的系数为（ C ） x ⎪ ⎝ ⎭A .16B .12C .8D .444.【来源】山西省太原市 2018 届高三第三次模拟考试数学（理）试题已知(x -1)(ax +1)6展开式中 x 2 的系数为 0，则正实数a = （ B ） 22 A ．1B ．C.53D ． 2x 4 5 5 答案及解析：的展开式的通项公式为.令得；令得.展开式为. 由题意知，解得（舍）.故选 B. 45.【来源】吉林省松原市实验高级中学、长春市第十一高中、东北师范大学附属中学 2016 届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题(x +1)2 (x - 2)4的展开式中含 x 3 项的系数为( D )A ．16B ．40 C.－40 D ．846.【来源】海南省天一大联考 2018 届高三毕业班阶段性测试（三）数学（理）试题若(2x - 3)2018= a + a x + a x 2 + L + ax 2018 ，则 a + 2a + 3a + L + 2018a= （ D ）122018A ．4036B ．2018C ．-2018D ．-4036123201847.【来源】湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题(1 + x )8 (1 + y )4 的展开式中 x 2y 2 的系数是 ( D )A ．56B ．84C ．112D ．168答案及解析：因的展开式的系数，的展开式的系数，所的系数.故选 D.48.【来源】北京西城八中 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 ⎛ x 2 - 在二项式⎝ 1 ⎫5⎪⎭ 的展开式中，含 x 的项的系数是（ C ）． A ．－10B ．－5C ．10D ．5答案及解析：解： ⎛ x 2 - 1 ⎫5⎪ 的展开项T = C k (x 2 )k (-x -1 )5-k = (-1)5-k C k x 3k -5 ，令3k - 5 = 4 ，可得 k = 3， ⎝x ⎭ k +1 5 5∴ (-1)5-k C k = (-1)5-3 C 3= 10 ．故选 C ．49.【来源】广东省化州市 2019 届高三上学期第二次模拟考生数学（理）试题已知(x +1)(ax - 1)5的展开式中常数项为－40，则 a 的值为（ C ）xA. 2B. －2C. ±2D. 450.【来源】福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 2017-2018 学年高二下学期第二次联考试题（5 月）数学（理）试题若(1 - 2 x )n(n ∈ N *) 的展开式中 x 4的系数为 80，则(1 - 2 x )n的展开式中各项系数的绝对值之和为( C ) A ．32B ．81C ．243D ．256。

甘肃省兰州第一中学届高三12月月考数学(文)试卷 Word版含解析

2019届甘肃省兰州第一中学高三12月月考数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题 1．已知集合A ={x | 2x−1x−2<1 },B ={x | y =log 2(x 2−3x +2) },则A ∩B =A ．(−∞,−1)B ．(12,1) C ．(2,+∞) D ．(−1,1) 2．设p:b <a <0，q:1a<1b ，则p 是q 成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知{a n }是等比数列，a 7=−4,a 11=−16，则a 9= A ．−4√2 B ．±4√2 C ．−8 D ．±84．已知实数x ，y 满足{x −y +1≥0x +y −1≥0x ≤3 ，则y+3x+1的最小值是A ．14 B ．4 C ．−14 D ．−45．若将函数f(x)=sin (2x +π3)的图象向左平移φ (φ>0)个单位，所得图象关于原点对称，则φ最小时，tan φ=A ．−√33B ．√33 C ．−√3 D ．√36．已知数列{a n }满足a n =14n 2−1，S n =a 1+a 2+⋯+a n ，若m >S n 恒成立，则m 的最小值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．127．设M 是ΔABC 边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，若AN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则λ+μ的值为 A ．12 B ．13 C ．14 D ．18．已知非零向量a ⃗，b ⃑⃗，满足| a ⃗ |=2| b ⃑⃗ |，若函数f(x)=13x 3+12|a ⃗|x 2+a ⃗⋅b ⃑⃗x +1在R 上存在极值，则a ⃗和b⃑⃗夹角的取值范围为 A ．[0,π3) B ．(π3,π] C ．[0,π3] D ．[π3,π]9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为A ．6+6√2B ．8+4√2C ．6+4√2+2√3D ．6+2√2+4√3 10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 5−1)3+2018(a 5−1)=1， (a 2014−1)3+2018(a 2014−1)=−1，则下列结论正确的是 A ．S 2018=−2018,a 2014>a 5 B ．S 2018=2018,a 2014>a 5 C ．S 2018=−2018,a 2014<a 5 D ．S 2018=2018,a 2014<a 511．已知锐角ΔABC 的一边BC 在平面α内，A ∉α，点A 在平面内的射影为点P ，则∠ABC 与∠BPC 的大小关系为A ．∠BAC <∠BPCB ．∠BAC >∠BPC C ．∠BAC =∠BPCD ．以上情况都有可能12．已知函数f(x)={e x , x <06x 3−9x 2+1, x ≥0 ，则函数g(x)=2[f(x)]2−3f(x)−2的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题13．在ΔABC 中，AB=3，AC=4，BC=3，D 为BC 的中点，则AD=__________．14．若曲线f(x)=4lnx −x 2在点(1,-1)处的切线与曲线y =x 2−3x +m 相切，则m 的值是_________.15．已知球O 为正四面体ABCD 的内切球，E 为棱BD 的中点，AB =2，则平面ACE 截球O 所得截面圆的面积为__________．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号16．已知OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0), OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1), (x,y)=λOA ⃑⃑⃑⃑⃑ +μOB ⃑⃑⃑⃑⃑ .若0≤λ≤1≤μ≤2,z =x m+yn (m >0, n >0)的最大值为2，则m+n 的最小值为____________.三、解答题17．已知{a n }是公差为1的等差数列，且a 1，a 2，a 4成等比数列．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{an2}的前n 项和．18．某地区某农产品近几年的产量统计如表：（Ⅰ）根据表中数据，建立关于的线性回归方程y ̂=b ̂t +a ̂；（Ⅱ）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量.附:对于一组数据(t 1，y 1)，(t 2，y 2)，...，(t n ，y n )，其回归直线y ̂=b ̂t +a ̂的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b ̂=∑(t i −t )(y i −y ̅)ni=1∑(t i −t )2ni=1，a ̂=y ̅−b ̂t .(参考数据:∑(t i −t )(y i −y ̅)6i=1=2.8，计算结果保留小数点后两位）19．如图，在长方形ABCD 中，AB=π ,AD=2,E,F 为线段AB 的三等分点，G 、H 为线段DC 的三等分点．将长方形ABCD 卷成以AD 为母线的圆柱W 的半个侧面，AB 、CD 分别为圆柱W 上、下底面的直径．（Ⅰ）证明：平面ADHF ⊥平面BCHF ；（Ⅱ）若P 为DC 的中点，求三棱锥H —AGP 的体积．20．已知定点F(1,0)，定直线：x=-1，动圆M 过点F ，且与直线相切. （Ⅰ）求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点D(1,2)作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线C 于异于点D 的两点P,Q ，试证明直线PQ 的斜率为定值，并求出该定值.21．设函数f(x)=x −2x −a(lnx −1x 2) (a >0)．（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）记函数f(x)的最小值为g(a)，证明：g(a)<1． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosφy =2sinφ（φ为参数）.以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ.(I )求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)已知曲线C 3的极坐标方程为θ=α(0<α<π)，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，AB =4√2，求α的值.23．[选修4-5：不等式选讲]已知函数 f(x)=|2x −1|−|x +2| （Ⅰ）求不等式f(x)>0的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式|2m +1|≥f(x +3)+3|x +5|有解，求实数m 的取值范围.2019届甘肃省兰州第一中学高三12月月考数学（文）试题数学答案参考答案1．D【解析】【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两个集合的交集即可. 【详解】解：由A中不等式变形得：2x−1x−2−1<0，即为2x−1−(x−2)x−2<0变形可得：(x−2)(x+1)<0，解得−1<x<2，即A=(−1,2)，对于B中由x2﹣3x+2＞0，得x＜1或x＞2，故B={x|y=log2（x2﹣3x+2）}={x|x＜1或x＞2}，即A∩B=(−1,1).故选:D.【点睛】本题考查函数的定义域及其求法及分式不等式解法，考查交集及其运算，是基础题．2．A【解析】【分析】根据条件，分析是否成立即可。

甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学(理)试题含答案

兰州一中2022-2023-1学期期中考试试题高三数学（理）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟. 答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合{3,1,0,2,4}U =--，{1,0}A =-，{0,2}B =，则()U A B ⋃=( ) A ．{3,1}- B ．{3,4}- C ．{3,1,2,4}--D ．{1,0,2}-2．已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则=a ( ) A ．1-B ．1C ．3-D ．33．已知()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，它们的部分图像如图，则()()⋅f x g x 的图像大致是( )A ．B ．C ．D ．4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且918S =，71a =，则1a =( ) A ．4B ．2C ．12-D ．1-5．已知x 、y 都是实数，那么“x y >”的充分必要条件是( )．A ．lg lg x y >B ．22x y >C ．11x y> D ．22x y >6．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为2的一个半圆，则该几何体的体积为( ) A 3π B 3πC 3πD 3π 7．设x ，y 满足约束条件23250y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =-+的最小值为( )A ．2B ．1-C ．2-D ．3-8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()x f x e x =+，则32(2)a f =-，2(log 9)b f =，(5)c f =的大小关系为( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>9．设函数()f x 定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列结论错误的是( )A ．7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()7f x +为奇函数C ．()f x 在()6,8上为减函数D ．()f x 的一个周期为810．已知函数222,2,()366,2,x ax x f x x a x x ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩若()f x 的最小值为(2)f ，则实数a的取值范围为( ) A ．[2,5]B ．[2,)+∞C ．[2,6]D ．(,5]-∞11．已知双曲线2221x y a-=（0a >）的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P 若12PF F △的面积为22率为( ) A 23B 32C ．3D 1412．已知函数3()5()R f x x x x =+∈，若不等式()22(4)0f m mt f t ++<对任意实数2t ≥恒成立，则实数m 的取值范围为（） A ．(2,2-- B ．4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．((),22,-∞+∞D ．(,2-∞第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是______．（用数字作答）14．已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为______．15．已知()f x 是R 上的奇函数，()g x 是在R 上无零点的偶函数，()20f =，当0x >时，()()()()0f x g x f x g x ''-<，则使得()()lg 0lg f x g x <的解集是________16．已知0x >，0y >，且24x y +=，则112x y y ++最小值为________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)（一）必考题：共五小题，每题12分，共60分。

甘肃省兰州第一中学2019届高三12月月考数学(理)试题(解析版)

甘肃省兰州第一中学2019届高三12月月考数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两个集合的交集即可.【详解】解：由A中不等式变形得：，即为变形可得：，解得，即A=，对于B中由x2﹣3x+2＞0，得x＜1或x＞2，故B={x|y=log2（x2﹣3x+2）}={x|x＜1或x＞2}，即.故选:D.【点睛】本题考查函数的定义域及其求法及分式不等式解法，考查交集及其运算，是基础题．2.设，，则是成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据条件，分析是否成立即可。

【详解】若，则成立，所以是充分性若，则当时成立，不满足，所以不是必要性所以是的充分不必要条件所以选A【点睛】本题考查了不等式成立条件及充分必要条件，属于基础题。

3.已知是等比数列，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由等比数列性质知，且由此能求出的值．【详解】解：∵数列{a n}为等比数列，且∴=（﹣4）•（﹣16）=64，且，∴=﹣8．故选：C．【点睛】本题考查等比数列的性质，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题．4.已知实数，满足，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，数形结合即可得到结果.【详解】作出实数x，y满足条件表示的平面区域：,记，其表示定点P（）与平面区域上的动点连线的斜率，显然PB连线的斜率最小，此时B（3，）故的最小值为：故选：C．【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.5.若将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于原点对称，则最小时，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得tanφ的值．【详解】将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，可得y=sin（2x+2φ+）的图象；根据所得图象关于原点对称，则2φ+=kπ，k∈Z，且∴φ的最小值为，tanφ=tan=，故选：A．【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．6.已知数列满足，，若恒成立，则m的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由进行列项相消求和得再求出的最大值即可得到的范围.【详解】解:，又在上单调递增，故当时，若恒成立，则则的最小值为 .故选：D.【点睛】本题主要考查对数列的通项公式进行变形再利裂项相消对数列求和,解题的关键是正确求出的最大值.7.在中，为边上任意一点，为的中点，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：.考点：平面向量.8.已知非零向量，，满足，若函数在R上存在极值，则和夹角的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求导数,而根据f（x）在R上存在极值便有f′（x）=0有两个不同实数根，从而这样即可得到这样由余弦函数的图象便可得出的范围，即得出结果.【详解】解：，∵f（x）在R上存在极值；∴f′（x）=0有两个不同实数根；;即，因为，；；与夹角的取值范围为 .故选：B．【点睛】考查函数极值的概念，以及在极值点两边的导数符号的关系，一元二次方程的实数根的个数和判别式△取值的关系，数量积的计算公式，并要熟悉余弦函数的图象．9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（）A. 6+B. 8+C. 6++D. 6+【答案】C【解析】所以棱锥P-ABCD的表面积为选C.点睛:空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．10.设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令，借助函数为奇函数且在R上位增函数得到结果.【详解】令不难发现函数为奇函数且在R上为增函数，又，即，变形为：，即，∴∴，即∴=∵，，又在R上为增函数，∴，即故选：D【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调性，等差数列性质（若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q）的应用及求和公式应用，本题是一道综合性非常好的试题.11.若，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】=（）（a+b﹣2）=2+1++，根据基本不等式即可求出【详解】∵a＞0，b＞2，且a+b=3，∴a+b-2=1，∴=（）（a+b-2）=2+1++≥3+2，当且仅当a=（b﹣2）时取等号，即b=1+，a=2﹣时取等号，则的最小值是3+2，故选：A．【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.12.已知函数，若关于的方程有两个相异实根，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】【解析】分析：将方程恰有两个不同的实根，转化为方程恰有两个不同的实根，在转化为一个函数的图象与一条折线的位置关系，即可得到答案.详解：方程恰有两个不同的实根，转化为方程恰有两个不同的实根，令，，其中表示过斜率为1或的平行折线，结合图象，可知其中折线与曲线恰有一个公共点时，，若关于的方程恰有两个不同的实根，则实数的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查了方程根的存在性及根的个数的判断问题，其中把方程的实根的个数转化为两个函数的图象的交点的个数，作出函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及分析问题和解答问题的能力.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在中，AB=3，AC=4，BC=3，D为BC的中点，则AD=__________．【答案】.【解析】【分析】首先应用余弦定理，利用三角形的边长，求得的值，之后在中，根据余弦定理，从而求得的长. 【详解】在中，根据余弦定理，可得，在中，根据余弦定理，可得，所以，故答案是.【点睛】该题考查的是三角形中有关边长的求解问题，涉及到的知识点有余弦定理，一步是应用余弦定理求内角的余弦值，第二步是借助于所求的余弦值求边长，正确应用公式是解题的关键.14.若曲线在点(1,-1)处的切线与曲线相切，则m的值是_________.【答案】【解析】【分析】利用导数的几何意义得到切线方程，联立方程，由判别式法得到的值.【详解】因为，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即，联立得，为直线与曲线相切，所以，解得.故答案为：【点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．15.已知球为正四面体的内切球，为棱的中点，，则平面截球所得截面圆的面积为__________．【答案】【解析】分析:根据正四面体的性质，可得内切球半径，根据平面ACE截球O所得截面经过球心，可得答案．详解:∵球O为正四面体ABCD的内切球，AB=2，所以正四面体的体积为.设正四面体的内切球半径为r,则故内切球半径r=，平面ACE截球O所得截面经过球心，故平面ACE截球O所得截面圆半径与球半径相等，故S=πr2=，点睛：本题主要考查几何体的内切球外接球问题，考查正四面体的性质.它的关键在于找到内切球的半径，关键在于找到关于r的方程.球心和正四面体的每一个顶点连接起来，得到四个小的三棱锥，它们的体积的和等于正四面体的体积，本题就是根据体积相等列出关于r的方程的.16.已知.若,的最大值为2，则m+n 的最小值为____________.【答案】【解析】试题分析：，由，作出此可行域如图所示，当直线经过点时，有最大值，所以，则，当且仅当，即时取等号，故答案填.考点：1、平面向量；2、线性规划；3、基本不等式.【思路点晴】本题是一个关于平面向量、线性规划以及基本不等式方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：首先根据题目条件将的限制范围转化为限制范围，也就是关于的可行域，然后再根据线性规划的知识得出的关系，最后再结合基本不等式，即可求出的最小值.不过在此过程中要特别注意不等式取等号的条件，即“一正、二定、三相等”，否则容易出错.三、解答题：共70分.答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.17.函数，的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）已知数列满足，且是与的等差中项，求的通项公式.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（Ⅰ）通过函数的图象求出A，利用周期求出ω，利用函数的图象经过的特殊点求出φ，即可求出f（x）的解析式；（Ⅱ）由题意可得，利用待定系数法可得，从而得到的通项公式. 【详解】（Ⅰ）由图象可知A＝2，，从而ω＝2. 又当时，函数f(x)取得最大值，故(k∈Z)，∵0< <π，∴＝，∴.（Ⅱ）由已知数列中有：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.故是以为首项，2为公比的等比数列，则，所以 .【点睛】本题考查三角函数的解析式的求法，考查了利用递推关系求数列通项公式，属于中档题.18.某地区某农产品近几年的产量统计如表：（Ⅰ）根据表中数据，建立关于的线性回归方程；（Ⅱ）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量.附:对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.(参考数据:，计算结果保留小数点后两位）【答案】（1）．（2）预测2019年该地区该农产品的年产量约为万吨．【解析】【分析】（1）先求得，然后利用线性回归方程的计算公式计算得到的值，从而求得线性回归方程.（2）将代入（1）求得的回归直线方程，来求年产量的预测值.【详解】（1）由题意可知：，，，∴，又，∴y关于t的线性回归方程为．（2）由（1）可得，当年份为2019年时，年份代码，此时，所以，可预测2019年该地区该农产品的年产量约为万吨．【点睛】本小题主要考查回归直线方程的求法，并考查了利用回归直线方程来预测的知识.求解回归直线方程，只需要将题目所给的数据，代入回归直线方程的计算公式，即可求解出来.属于基础题.主要是运算不要出错，并且，回归直线方程值，不是，这一点要特别注意.19.如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，M为BC的中点.（I）证明：AM⊥PM ；(II)求二面角P－AM－D的大小.【答案】（1）见解析；（2）45°.【解析】【分析】（Ⅰ）以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,求出与的坐标，利用数量积为零，即可证得结果；（Ⅱ）求出平面PAM与平面ABCD的法向量，代入公式即可得到结果.【详解】（I）证明:以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,依题意，可得∴∴即,∴AM⊥PM .(II)设，且平面P AM，则,即∴,取，得；取，显然平面ABCD，∴，结合图形可知，二面角P－AM－D为45°.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20.已知定点F(1,0)，定直线：x=-1，动圆M过点F，且与直线相切.（Ⅰ）求动圆M的圆心轨迹C的方程；（Ⅱ）过点D(1,2)作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线C于异于点D的两点P,Q，试证明直线PQ的斜率为定值，并求出该定值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）设，由化简即可得结论；（Ⅱ）设直线的斜率为，则直线的斜率为，联立直线方程与抛物线方程求出两点坐标，继而求出斜率【详解】（Ⅰ）设点到直线的距离为，依题意设，则有化简得所以点的轨迹的方程为（Ⅱ）设直线的斜率为，则直线的斜率为.令，联立方程组：，消去并整理得：设，因为点的坐标为，所以，故，从而点的坐标为，用去换点坐标中的可得点的坐标为，所以直线的斜率为【点睛】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离，求轨迹方程的常见方法很多，本题采用了直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可。

甘肃省兰州第一中学2025届高三下学期联合考试语文试题含解析

甘肃省兰州第一中学2025届高三下学期联合考试语文试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

1、阅读下面的文字，完成下列小题。

最后一个目标周国华电话铃声响起，霍克医生拿起话筒接听，目光钉子般钉在桌上的笔记本上。

挂了电话后，医生左手握了握拳，右手拿起笔，在笔记本上用力写下了“22”三个数字，眯起眼看了很久，才点了点头：好，全了，刚好，感谢上帝。

过道里，医生的皮鞋声“咔咔”作响，富有节奏感。

手术室内，护士们忙碌地准备着。

医生修了指甲，消了毒，把大家叫到一起，鞠了个躬: 今天的手术对我很重要，拜托各位了。

众人愣了愣后，齐声道：一定。

十多分钟后，遇车祸的年轻人被送了进来。

大家看了看，都低下了头。

——瞳孔放大，呼吸停止……很明显，病人已经死亡！手术室内的温度好似刹那间降到冰点，人们泄气了。

有人想为年轻人盖上白布，霍克医生摆摆手，手持两块电极板，为他做电击除颤，几次下来，毫无起色。

助手劝道：没用了。

霍克医生一瞪眼：谁说的？！助手一愣。

印象中，医生话不多，尽管刻板了点儿，但从不冲人发火。

医生放下工具，用双手为病人胸外按压。

十几分钟过去，医生额头的汗水被擦拭了好几次，可年轻人依然没有血压。

看着老人手术帽外露出的白发，所有人的眼睛都湿润了。

医生在小镇的这家医院工作几十年了，从未发生过医疗事故。

曾经有大医院想高薪聘他，他没去，说等完成自己的一个心愿后再说。

至于是什么心愿，他从未对人提起过。

助手抢过医生手里的活儿，大家轮流为年轻人除颤按压。

半个多小时后，医生无奈地摆摆手：都尽力了，谢谢。

甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(PDF版,含解析)

兰州一中高一年级期中考试数学试卷第 1 页共 4 页兰州一中2023-2024-1学期期中考试试题高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟. 答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合，，则（） A ．B ．C ．D ．2．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（） A ．B ．C ．y =|x |D ．3．函数的定义域是（）A ．B ．C ．D ．4．已知，则“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知，，且，则的最小值为（） A ．2 B ．3C ．4D ．86．函数的图像大致是（）A ．B ．C．D．7．，对于，，都有成立，求的取值范围（）A ．B ．C ．D ．8．设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（）A．B ．C．D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．下列各组函数表示相同函数的是（）A．，B．，C．，D．，10．下列说法正确的是（）A．的最小值为2 B．的最小值为1C．的最大值为3 D．最小值为11．函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（）A．B．若在上有最小值，则在上有最大值1C．若在上为增函数，则在上为减函数D．若时，，则时，兰州一中高一年级期中考试数学试卷第 2 页共 4 页兰州一中高一年级期中考试数学试卷第 3 页共 4 页12．已知函数的图象由如图所示的两条线段组成，则（）A．B．C．，D．，不等式的解集为第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数，则 .14．已知，则的解析式为．15．函数在上的值域是 .16．已知对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并根据图象写出函数的增区间；写出函数的解析式和值域．兰州一中高一年级期中考试数学试卷第 4 页共 4 页18．（12分）已知二次函数的图象过点，.(1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域.19．（12分）已知二次函数，(1)若为偶函数，求的值． (2)若在上最大值为4，求．20．（12分）为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为米.(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价； (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.21．（12分）已知函数的定义域为，且对一切都有，当时，.(1)判断的单调性并加以证明； (2)若，解不等式.22．（12分）已知函数，．(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)当时，求函数的单调区间； (3)求函数的最小值．兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案第 1 页共 8 页兰州一中2023-2024-1高一期中考试答案1． C【详解】解：因为集合，所以．故选： C. 2．D 【详解】，都是奇函数，排除A ，B.，都是偶函数，在上递增，在递减，故选：D ． 3．C 【详解】由，则，解得且，即函数的定义域为，故选：C. 4．A【详解】对于不等式，可解得或，所以可以推出，而不可以推出，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A. 5．C 【详解】因为，所以.因为，，所以，当且仅当，时，等号成立，故的最小值为4.故选：C 6．B兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案第 2 页共 8 页【详解】由函数，可得，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，又由时，，所以函数图象为B 选项.故选：B. 7．C【详解】因为定义在上的函数满足对，，都有，所以函数是上的减函数，则函数和均为减函数，且有，即，解得，因此，实数的取值范围是.故选：C. 8．A【详解】解：为定义在上的偶函数，在上为增函数，在上为单调递减，，，，即，解得：，所以实数的取值范围为：．故选：A. 9．CD【详解】选项A ，两个函数的对应法则不同，不是同一函数；选项B ，两个函数的定义域和对应法则都不相同，不是同一函数；选项C ，，两个函数的定义域和对应法则都相同，是同一函数；选项D ，两个函数的定义域和对应法则都相同，与自变量的符号表示无关，是同一函数. 故选：CD 10．BC兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案第 3 页共 8 页【详解】对于A ，当时，，故选项A 错误；对于B ，因为，即的最小值为1，故选项B 正确；对于C ，因为，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为3，故选项C 正确；对于D ，因为，所以，所以当且仅当，即时，等号成立，因为，所以，即不成立，故等号不成立，所以最小值不为，故选项D 错误.故选：BC ． 11．ABD 【详解】由得，故正确；当时，，且存在使得，则时，，，且当有,∴在上有最大值为1，故正确；若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故错误；若时，，则时，，，故正确．故选：．12．AC【详解】A. 因为，，所以，正确； B.，，所以，错误；C. 由图得，当时，设解析式为，图象经过，所以，解得，所以；时，设解析式为，图象经过，所以，解得，所以解析式为；即，，正确；兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案第 4 页共 8 页D. 由C 得，，如图：所以不存在大于零的，使得不等式的解集为，故D 错误.故选：AC. 13．9【详解】解：根据题意，故答案为：9 14．【详解】令，则，∴，故答案为：．15．【详解】解：当时，函数在上是增函数，故当时，函数取得最小值为1，又，故函数的值域为，故答案为：．16．【详解】因为，故，所以，当且仅当，即时等号成立，即有，所以，即a 的最小值为，故答案为： 17．（1）递增区间是，，图像见解析（2）兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案第 5 页共 8 页【详解】解：因为函数为偶函数,故图象关于y 轴对称,补出完整函数图象如图所示:由图可得函数的递增区间是,. 设,则,所以,因为是定义在R 上的偶函数,所以,所以时,,故的解析式为, 由图像可得值域为.18．(1)；(2)【详解】（1）由题意可设，代入点坐标得，解得，故函数解析式为.（2）由第一问得上单调递增，在上单调递减而，故函数在上的值域为.19．(1) (2)或.【详解】（1）因为是偶函数，所以，即，则恒成立，由于的任意性，则；当时，定义域为，且，所以.兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案第 6 页共 8 页（2）因为，当，即时，在上单调递减，所以，解得，满足要求；当，即时，则，解得或（舍去）；当，即时，在上单调递增，所以，解得，不满足要求；综上，或.20．(1)4米，28800元 (2)【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，则.当且仅当，即时等号成立.即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元. （2）由题意可得，对任意的恒成立.即，从而恒成立，令，又在为单调增函数，故.所以.21．(1)增函数，证明见解析； (2)【详解】（1）在上为增函数，证明如下：任取且，则，则.又因为当时，，而，所以，所以，所以在上为增函数.（2）由定义域可得，解得，由已知可得，所以，所求不等式可转化为.由在上为增函数可得，解得，则不等式解集为.22．(1)见解析(2)单调递增区间是，单调递减区间是(3)【详解】（1）显然函数的定义域为R，当时，，此时函数为偶函数；当时，因为，，所以，，此时函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，即函数的单调递增区间是，单调递减区间是．（3）因为，所以①当时，时，函数的最小值为，时，函数在上单调递减，，而，所以函数的最小值为．②当时，时，函数的最小值为，时，函数的最小值为，而，所以函数的最小值为．③当时，函数的最小值为．综上所述，．。

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2x 1 1, B x y log 2 ( x 2 3x 2) ，则 A B ( x2
B. ( ,1)

)
A. (,1) 2．设 p : b a 0 ， q :
1 2
C. (2,)
D. (1,1) )
1 1 ，则 p 是 q 成立的( a b
（
） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. __________．的值是_________. 所得截面圆的面积为__________．
16．已知 OA (1,0), OB (1,1), ( x, y ) OA OB . 若 0 1 2 时的最小值为____________. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过演算步骤。第 17 ~21 题为必考题，每个试题考生都必答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。 17. （本小题 12 分）已知{a n } 是公差为 1 的等差数列，且 a1 ， a2 ， a4 成等比数列．（Ⅰ）求 {a n } 的通项公式；（Ⅱ）求数列程或须作
（Ⅱ）根据线性回归方程预测 2019 年该地区该农产品的年产量.
ˆt a ˆ b ˆ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ��1, ��1, ��2, ��2,⋯ , ��, �� ，其回归直线 y
ˆ b
(t
i 1
n
i
t )( yi y )
i
(t
��2 的极坐标方程为 4 sin . ��1 的普通方程和��2 的直角坐标方程； ��3 的极坐标方程为��=��0<��<��, ��∈��，点��是曲线��3 与��1 的交点，点��是曲线��3 与��2 的交点， ��=42，求��的值. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题 10 分） . >0 的解集；的取值范围.
��=��−��=7−0.16×3.5=6.44， ��=0.16��+6.44. ��=0.16×8+6.44=7.72，所以，可预测 2019 年该地区该农产品的年产量约为 7.72 万吨.
为下底面半圆的直径，，
2）解：设下，，
��的三等分点，∴∠��=∠��=∠��=60∘ 的等边三角形， ��=34 ��−��=13×��×��=36
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件）
3．已知 {a n } 是等比数列， a7 4, a11 16 ，则 a9 （ A． 4 2 B． 4 2 C． 8 D． 8
x y 1 0 y3 满足 x y 1 0 ，则的最小值是（ x 1 x 3
��=�� , ��，则有��−12+��2=��+1 ��2=4�� 1��， ��−1=��(��−2)��2=4��，消去��并整理得：��2−4��+8��−4=0 ��，��)，因为点��的坐标为 1,2，所以 2��=8��−4，故��=4��−2， ��2−4��+1，4��−2)，用−��去换点�� 坐标中的 ��可得点�� 的坐标为(4��2+4��+1， −4��−2)，所以直线 −4��−2−(4��−2)4��2+4�� +1−(4��2−4��+1) =−1 化简得��2=4��
相切. 的方程； 1,2 作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线��于异于点��的两点��, ��，试证明直线��的斜率为定值，
并求出该定值.
21．（本小题 12 分）设函数 f ( x) x （Ⅰ）求函数 f ( x ) 的单调区间；
2 1 a(ln x 2 ) (a 0) ． x x
． ��′(��)=1+2��2−��(1��+2��3)=��2+2��2−��⋅ ��2+2��3=(��2+2)(��−��)��3． ��2+2>0，��>0， ��′(��)<0，��(��)在( 0 , �� )上单调递减；
��′(��)>0，��(��)在( �� , +∞ )上单调递增；上单调递增． (��)min=��(��)=��−2��−��(ln��−1��2)=��−�� ln��−1��， 1��． 1��<1，即证明 1−ln��−1��2<1��， 1��+1��2−1，则只需证明 ℎ (��)=ln��+1��+1��2 −1>0，
C． S 2018 2018, a2014 a5 的大小关系为（）
D． S 2018 2018, a2014 a5
A． BAC BPC C． BAC BPC
B． BAC BPC D．以上情况都有可能
x e , x 0 2 12 ．已知函数 f ( x) ，则函数 g ( x) 2[ f ( x)] 3 f ( x) 2 的零点个数为 3 2 6 x 9 x 1, x 0
an 的前 n 项和． n 2
18．（本小题 12 分）某地区某农产品近几年的产量统计如表：年份 2012 1 (万吨) 6.6 2013 2 6.7 2014 3 7 2015 4 7.1 2016 5 7.2 2017 6 7.4
ˆt a ˆ b ˆ；的线性回归方程 y
兰州一中 2018-2019-01 学期高三年级 12 月月考试题数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 请将答案填在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合 A x
i 1
n
ˆt .(参考数据: ˆ y b ，a
t)
2
(t
i 1
6
i
t )( yi y ) 2.8 ，计算结果保留小数点后两
位）为线段 AB 的三等分点，G、H 为线段 DC 的三等分点．将长方形 ABCD 卷成以 AD 为母线的圆柱 W 的半个侧面，AB 、CD 分别为圆柱 W 上、下底面的直径．（Ⅰ）证明：平面 ADHF ⊥平面 BCHF ；（Ⅱ）若 P 为 DC 的中点，求三棱锥 H—AGP 的体积．
1 2
B．
1 3
C．
1 4
D． 1
上存在极值，则 a 和 b 夹角的取值范围为（ A． 0,

） D． , 3 ）
3
B．
, 3
C． 0, 3
形的边长为 1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（ 2 B． 8+42 C． 6+42+23 D． 6+22+43
A．
）
1 4
B． 4
C．
1 4
D． 4 ）
��>0 个单位，所得图象关于原点对称，则��最小时，tan��=（ A．
3 3
）
B．
3 3
C． 3
D． 3
的最小值为（ A． 0
B． 1
C． 2
D． )
1 2
��=��+��，则��+��的值为( A．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 ��=2+2��=2��消去参数��可得��1 普通方程为��−22+��2=4， ��2=4��sin��， ��=��=�� ，得曲线��2 的直角坐标方程为��2+��−22=4； ��1:��−22+��2=4，其极坐标方程为��=4cos ��， ��1, ��, ��2, ��， ��=��1−��2=4sin��−cos ��=42sin��−��4=42， ��−��4=± 1， ��4=��2+��∈��， 3��4. ��=��−3, ��≥12−3��−1,−2<��<12 −��+3, ��≤−2， 13；， ��>0 的解集为−∞,−13∪3,+∞. 2��+1≥��+3+3��+5min， ��=��+3+3��+5=2��+5+2��+10≥−2��−5+2��+10=5， 2��+1≥5，解得��≥2 或��≤−3， −∞,−3∪2,+∞
13.
41 13 5 ; 14. ; 15. ;16. 6 2 4 6 2