2011年海淀区高三二模数学(文)试题及答案
北京市海淀区2011届高三上学期期末考试(数学文)扫描版
参考答案第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.240x y +-= 10. 19 11.(3,0) 212y x = 12.25π13. 2 14. 4 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共13分） 解：（I ） x x x f cos 23sin 21)(+=)3sin(π+=x ， ............................... 3分)(x f ∴的周期为π2 （或答:0,,2≠∈k Z k k π）. ................................4分 因为x R ∈，所以3x R π+∈,所以)(x f 值域为]1,1[- . ...............................5分（II ）由（I ）可知，)3sin()(π+=A A f , ...............................6分23)3s i n (=+∴πA , ...............................7分 π<<A 0 , 3433πππ<+<∴A , ..................................8分 2,33A ππ∴+=得到3A π= . ...............................9分 ,23b a =且B b A a sin sin = , ....................................10分s i n b B =, ∴1sin =B , ....................................11分π<<B 0 ， 2π=∴B . ....................................12分6ππ=--=∴B A C . ....................................13分16. （共13分）解：（I ）围棋社共有60人， ...................................1分 由150301260=⨯可知三个社团一共有150人. ...................................3分 （II ）设初中的两名同学为21,a a ，高中的3名同学为321,,b b b , ...................................5分 随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:1211121321{,},{,},{,},{,},{,},a a a b a b a b a b 222312132{,}, {,},{,},{,},{,}a b a bb b b b b b ，共10个基本事件. ..................................8分 设事件A 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ..................................9分 则事件A 共有111213212223{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a b a b a b a b a b 6个基本事件. ...................................11分 ∴53106)(==A P . 故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为35. ................................13分 17. （共13分）解：（I ） 四边形ABCD 为菱形且AC BD O = ，O ∴是BD 的中点 . ...................................2分 又点F 为1DC 的中点,∴在1DBC ∆中，1//BC OF , ...................................4分 ⊄OF 平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B ,∴//OF 平面11BCC B . ...................................6分 （II ） 四边形ABCD 为菱形,AC BD ⊥∴, ...................................8分 又⊥BD 1AA ，1,AA AC A = 且1,AA AC ⊂平面11ACC A ,.................................10分 ⊥∴BD 平面11ACC A , ................................11分 ⊂BD 平面1DBC ,∴平面1DBC ⊥平面11ACC A . ................................13分 18. （共13分）解：3332222()()2a x a f x x x x -'=-=，0x ≠. .........................................2分（I ）由题意可得3(1)2(1)0f a '=-=，解得1a =， ........................................3分此时(1)4f =，在点(1,(1))f 处的切线为4y =，与直线1y =平行.故所求a 值为1. ........................................4分 （II ）由()0f x '=可得x a =，0a >， ........................................ 5分 ①当01a <≤时，()0f x '>在(1,2]上恒成立 ，所以()y f x =在[1,2]上递增， .....................................6分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+ . ........................................7分 ②当12a <<时，....................................10分由上表可得()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+ . ......................................11分 ③当2a ≥时，()0f x '<在[1,2)上恒成立，所以()y f x =在[1,2]上递减 . ......................................12分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+ . .....................................13分 综上讨论，可知：当01a <≤时， ()y f x =在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+； 当12a <<时，()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+； 当2a ≥时，()y f x =在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+. 19. （共14分）解：根据题意，设(4,)P t . (I)设两切点为,C D ，则,OC PC OD PD ⊥⊥，由题意可知222||||||,PO OC PC =+即222242t +=+ ， ............................................2分 解得0t =，所以点P 坐标为(4,0). ...........................................3分 在Rt POC ∆中，易得60POC ∠= ，所以120DOC ∠= . ............................................4分 所以两切线所夹劣弧长为24233ππ⨯=. ...........................................5分 （II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，(1,0)Q ， 依题意，直线PA 经过点(2,0),(4,)A P t -，可以设:(2)6tAP y x =+， ............................................6分和圆224x y +=联立，得到22(2)64t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩ ， 代入消元得到，2222(36)441440t x t x t +++-= ， ......................................7分 因为直线AP 经过点11(2,0),(,)A M x y -，所以12,x -是方程的两个根，所以有2124144236t x t --=+， 21272236t x t -=+ ， ..................................... 8分代入直线方程(2)6t y x =+得，212272224(2)63636t t ty t t -=+=++. ..................................9分 同理，设:(2)2tBP y x =-，联立方程有 22(2)24t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩， 代入消元得到2222(4)44160t x t x t +-+-=，因为直线BP 经过点22(2,0),(,)B N x y ，所以22,x 是方程的两个根，22241624t x t -=+， 222284t x t -=+ ， 代入(2)2t y x =-得到2222288(2)244t t ty t t --=-=++ . .....................11分 若11x =，则212t =，此时2222814t x t -==+显然,,M Q N 三点在直线1x =上，即直线MN 经过定点Q (1,0)............................12分 若11x ≠，则212t ≠，21x ≠，所以有212212240836722112136MQt y t t k t x t t -+===----+， 22222280842811214NQt y t t k t x t t ---+===----+................13分 所以MQ NQ k k =， 所以,,M N Q 三点共线，即直线MN 经过定点Q (1,0).综上所述，直线MN 经过定点Q (1,0). .......................................14分20. （共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A = ，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>= 不具有性质P . ...................................1分因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到集合B 中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立 . ...................................3分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P . ....................................4分因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠ . ............................................6分 （Ⅱ）若集合S 具有性质P ，那么集合{}(21)T n x x S =+-∈一定具有性质P . ..........7分 首先因为{}(21)T n x x S =+-∈，任取0(21),t n x T =+-∈ 其中0x S ∈， 因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2}x n ∈，从而01(21)2n x n ≤+-≤，即,t A ∈所以T A ⊆ ...........................8分 由S 具有性质P ，可知存在不大于n 的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有 12s s m -≠， ..................................9分 对上述取定的不大于n 的正整数m ，从集合{}(21)T n x x S =+-∈中任取元素112221,21t n x t n x =+-=+-， 其中12,x x S ∈， 都有1212t t x x -=- ； 因为12,x x S ∈，所以有12x x m -≠，即 12t t m -≠ 所以集合{}(21)T n x x S =+-∈具有性质P ． .............................14分。
数学_2011年北京市海淀区高考数学一模试卷(文科)(含答案)
2011年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分40分）1. 已知集合A ={x ∈R|0<x <3}，B ={x ∈R|x 2≥4}，则A ∩B =( )A {x|2<x <3}B {x|2≤x <3}C {x|x ≤−2或2≤x <3}D R2. 设a ＝30.5，b ＝log 32，c ＝cos 23π，则（ ） A c <b <a B c <a <b C a <b <c D b <c <a3. 函数f(x)=x+1x 图象的对称中心为（ ）A (0, 0)B (0, 1)C (1, 0)D (1, 1)4. 执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2，则输出的x 值为（ ）A 25B 24C 23D 225. 从集合A ＝{−1, 1, 2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{−2, 1, 2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx +b 不经过第三象限的概率为（ ）A 29B 13C 49D 59 6. 在同一个坐标系中画出函数y =a x ，y =sinax 的部分图象，其中a >0且a ≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )A B CD7. 已知函数f(x)={x 2+ax +1，x ≥1ax 2+x +1，x <1则“−2≤a ≤0”是“f(x)在R 上单调递增”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要8. 若直线l 被圆C:x 2+y 2=2所截的弦长不小于2，则l 与下列曲线一定有公共点的是（ ）A (x −1)2+y 2=1B x 22+y 2=1C y =x 2D x 2−y 2=1二、填空题（共6小题，每小题3分，满分30分）9. 计算21+i =________．10. 为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s 1，s 2，s 3，则它们的大小关系为________．（用“>”连接）11. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P −ABC 的主视图与左视图的面积的比值为________．12. 已知函数f(x)=xe x ，则f′(x)=________；函数f(x)图象在点（0, f(0)）处的切线方程为________．13. 已知向量a →=(x, 2)，b →=(l, y)，其中x ，y ≥0．若a →⋅b →≤4，则y −x 的取值范围为________． 14. 如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ．设CP =x ，△CPD 的面积为f(x)．则f(x)的定义域为________；f(x)的最大值为________．三、解答题（共6小题，满分80分）15. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知tanB =12，tanC =13，且c =（1）求tan(B+C)；（2）求a的值．16. 数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2且S n=S n−1+2n(n≥2, n∈N∗)．（1）求S n；（2）是否存在等比数列{b n}满足b1=a1，b2=a3，b3=a9？若存在，则求出数列{b n}的通项公式；若不存在，则说明理由．17. 如图，梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直，其中AB // DC，AD=CD=12AB，且O为AB中点．(I)求证：BC // 平面POD；(II)求证：AC⊥PD．18. 已知函数f(x)=1x+alnx(a≠0, a∈R)（I）若a=1，求函数f(x)的极值和单调区间；（II）若在区间[1, e]上至少存在一点x0，使得f(x0)<0成立，求实数a的取值范围．19. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(1,32)，其离心率为12．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求O到直线距离的l最小值．20. 已知每项均是正整数的数列a1，a2，a3，…a100，其中等于i的项有k i个(i＝1, 2, 3…)，设b j＝k1+k2+...k j(j＝1, 2, 3…)，g(m)＝b1+b2+...b m−100m(m＝1, 2, 3…)．(Ⅰ)设数列k1＝40，k2＝30，k3＝20，k4＝10，k5＝…＝k100＝0，求g(1)，g(2)，g(3)，g(4)；(II)若a1，a2，a3，…，a100中最大的项为50，比较g(m)，g(m+1)的大小；(Ⅲ)若a1+a2+...a100＝200，求函数g(m)的最小值．2011年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）答案1. B2. A3. B4. C5. A6. D8. B9. 1−i10. s 1>s 2>s 311. 112. (1+x)e x ,y =x13. [−4, 2]14. (2, 4),2√215. 解：（1）因为tanB =12，tanC =13，tan(B +C)=tanB+tanC 1−tanBtanC ， 代入得到，tan(B +C)=12+131−12×13=1；（2）因为A =180∘−B −C ，所以tanA =tan[180∘−(B +C)]=−tan(B +C)=−1，又0∘<A <180∘，所以A =135∘．因为tanC =13>0，且0∘<C <180∘， 所以sinC =√1010， 由a sinA =c sinC ，得a =√5．16. 解：（1）因为S n =S n−1+2n ，所以有S n −S n−1=2n 对n ≥2，n ∈N ∗成立即a n =2n 对n ≥2成立，又a 1=S 1=2⋅1，所以a n =2n 对n ∈N ∗成立所以a n+1−a n =2对n ∈N ∗成立，所以{a n }是等差数列，所以有S n =a 1+a n 2⋅n =n 2+n ，n ∈N ∗（2）存在．由（1），a n =2n ，n ∈N ∗对成立所以有a 3=6，a 9=18，又a 1=2，所以由b 1=a 1，b 2=a 3，b 3=a 9，则b 2b 1=b3b 2=3 所以存在以b 1=2为首项，公比为3的等比数列{b n }，其通项公式为b n =2⋅3n−1．17.证明：(I)因为O 为AB 中点，所以BO =12AB ，又AB // CD，CD=12AB，所以有CD=BO，CD // BO，所以ODCB为平行四边形，所以BC // OD，又DO⊂平面POD，BC⊄平面POD，所以BC // 平面POD．(II)连接OC．因为CD=BO=AO，CD // AO，所以ADCO为平行四边形，又AD=CD，所以ADCO为菱形，所以AC⊥DO，因为正三角形PAB，O为AB中点，所以PO⊥AB，又因为平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB=AB，所以PO⊥平面ABCD，而AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC，又PO∩DO=O，所以AC⊥平面POD．又PD⊂平面POD，所以AC⊥PD．18. 解：(I)因为f′(x)=−1x2+ax=ax−1x2，当a=1，f′(x)=x−1x2，令f′(x)=0，得x=1，又f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：f(x)的单调递增区间为(1, +∞)，单调递减区间为(0, 1)；（II）因为f′(x)=−1x2+ax=ax−1x2，且a≠0，令f′(x)=0，得到x=1a，若在区间[1, e]上存在一点x0，使得f(x0)<0成立，其充要条件是f(x)在区间[1, e]上的最小值小于0即可．（1）当a<0时，f′(x)<0对x∈(0, +∞)成立，所以，f(x)在区间[1, e]上单调递减，故f(x)在区间[1, e]上的最小值为f(e)=1e +alne=1e+a，由1e +a<0，得a<−1e，即a∈(−∞,−1e)（2）当a>0时，①若e ≤1a ，则f ′(x)≤0对x ∈[1, e]成立， 所以f(x)在区间[1, e]上单调递减，所以，f(x)在区间[1, e]上的最小值为f(e)=1e +alne =1e +a >0， 显然，f(x)在区间[1, e]上的最小值小于0不成立②若1<1a <e ，即1>a >1e 时，则有所以f(x)在区间[1, e]上的最小值为f(1a )=a +aln 1a ，由f(1a )=a +aln 1a =a(1−lna)<0， 得1−lna <0，解得a >e ，即a ∈(e, +∞)舍去；当0<1a <1，即a >1，即有f(x)在[1, e]递增，可得f(1)取得最小值，且为1，f(1)>0，不成立．综上，由（1）（2）可知a <−1e 符合题意．19. 解：（1）由已知，e 2=a 2−b 2a 2=14， 所以3a 2=4b 2，①又点M(1,32)在椭圆C 上， 所以1a 2+94b 2=1，②由①②解之，得a 2=4，b 2=3．故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1． （2）当直线l 有斜率时，设y =kx +m 时， 则由{y =kx +mx 24+y 23=1.消去y 得，(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，△=64k 2m 2−4(3+4k 2)(4m 2−12)=48(3+4k 2−m 2)>0，③ 设A 、B 、P 点的坐标分别为(x 1, y 1)、(x 2, y 2)、(x 0, y 0)，则：x 0=x 1+x 2=−8km 3+4k 2，y 0=y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =6m3+4k 2， 由于点P 在椭圆C 上，所以x 024+y 023=1．从而16k 2m2(3+4k2)2+12m2(3+4k2)2=1，化简得4m2=3+4k2，经检验满足③式．又点O到直线l的距离为：d=√1+k2=√34+k2√1+k2=√1−14(1+k2)≥√1−14=√32．当且仅当k=0时等号成立，当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，从而P点为(−2, 0)，(2, 0)，直线l为x=±1，所以点O到直线l的距离为1，所以点O到直线l的距离最小值为√32．20. （I）∵ 数列k1＝40，k2＝30，k3＝20，k4＝10，∴ b1＝40，b2＝70，b3＝90，b4＝100，∴ g(1)＝−60，g(2)＝−90，g(3)＝−100，g(4)＝−100；(II)∵ g(m+1)−g(m)＝b m+1−100，根据b j的含义，知b m+1≤100，∴ g(m+1)−g(m)≤0，即g(m)≥g(m+1)，当且仅当b m+1＝100时取等号；又∵ a1，a2，a3，…，a100中最大的项为50，∴ 当m≥50时，b m＝100，∴ g(1)>g(2)>...>g(49)＝g(50)＝g(51)＝…，即当1<m<49时，g(m)>g(m+1)，当m≥49时，有g(m)＝g(m+1)；(III)设M为{a1, a2, ...a100}中的最大值，由(II)知，g(m)的最小值为g(M)；则g(M)＝b1+b2+b3+...+b M−100M＝(b1−100)+(b2−100)+(b3−100)+...+(b M−1−100)＝(−k2−k3−...−k M)+(−k3−k4−...−k M)+(−k4−k5...−k M)+...+(−k M)＝−[k2+2k3+...+(M−1)k M]＝−(k1+2k2+3k3+...+Mk M)+(k1+k2+...+k M)＝−(a1+a2+a3+...+a100)+b M＝−(a1+a2+a3+...+a100)+100∵ a1+a2+a3+...+a100＝200，∴ g(M)＝−100，∴ g(m)最小值为−100．另由题易知M的最大值为101，∴ g(m)的最小值为g(101)＝−100．。
海淀区高三二模文数试卷和答案
海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文科）参考答案及评分标准2013．5说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C B D C B D二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）注：11题少写一个，扣两分，错写不给分13题开闭区间都对三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分）解：（I ）设{}n a 的公差为d因为11a =，1910101002a a S +=⨯= ……………………2分 所以1101,19a a == ……………………4分 所以2d =所以 21n a n =- ……………………6分（II ）因为26n S n n =-当2n ≥时，21(1)6(1)n S n n -=---所以27n a n =-，2n ≥ ……………………9分又1n =时，11527a S ==-=-所以 27n a n =- ……………………10分所以247n n S a n n +=--所以2472n n n -->，即2670n n -->9． 1i -+10．乙 11. 16-或 16 12．22 13．1π2π;(,)233- 14．1;02k <≤所以7n >或1n <-，所以7n >，N n ∈ ……………………13分16. 解：（I ）因为75ADB ∠=，所以45DAC ∠=在ACD ∆中，2AD =， 根据正弦定理有sin45sin30CD AD = ……………………4分 所以2CD = ……………………6分 （II ）所以4BD = ……………………7分 又在ABD ∆中，75ADB ∠=，62sin75sin(4530)4+=+=……………………9分 所以1sin75312ADB S AD BD ∆=⋅⋅=+ ……………………12分 所以333322ABC ABD S S ∆∆+== ……………………13分 同理，根据根据正弦定理有sin105sin30AC AD = 而 62sin105sin(4560)4+=+= ……………………8分 所以31AC =+ ……………………10分 又4BD =，6BC = ……………………11分 所以1333sin3022ABC S AC BC ∆+=⋅⋅= ……………………13分 17.解：（I ）因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上所以PO ⊥平面ABC ，所以PO ⊥AC …………………2分因为AB BC =，所以O 是AC 中点， …………………3分所以//OE PA …………………4分 同理//OF AD又,OE OF O PA AD A ==所以平面//OEF 平面PDA …………………6分 （II ）因为//OF AD ，AD CD ⊥所以OF CD ⊥ …………………7分 又PO ⊥平面ADC ，CD ⊂平面ADC所以PO ⊥CD …………………8分 又OF PO O =所以CD ⊥平面POF …………………10分 (III)存在，事实上记点E 为M 即可 …………………11分 因为CD ⊥平面POF ，PF ⊂平面POF所以CD PF ⊥又E 为PC 中点，所以 12EF PC =…………………12分 同理，在直角三角形POC 中，12EP EC OE PC ===， …………………13分 所以点E 到四个点,,,P O C F 的距离相等 …………………14分18.解：（I ）当因为1a =, 211'(),()f x g x x x== …………………2分 若函数()f x 在点00(,())M x f x 处的切线与函数()g x 在点00(,())P x g x处的切线平行， 所以20011x x =，解得01x = 此时()f x 在点(1,0)M 处的切线为1y x =-()g x 在点(1,1)P - 处的切线为2y x =-所以01x = …………………4分 （II ）若(0,e]x ∀∈，都有3()()2f x g x ≥+记33()()()ln 22a F x f x g x x x =--=+-， 只要()F x 在(0,e]上的最小值大于等于0 221'()a x a F x x x x-=-= …………………6分 则'(),()F x F x 随x 的变化情况如下表： x(0,)a a (,)a +∞ '()F x - 0 +()F x 极大值…………………8分 当e a ≥时，函数()F x 在(0,e)上单调递减，(e)F 为最小值所以3(e)102a F e =+-≥，得e 2a ≥ 所以e a ≥ …………………10分 当e a <时，函数()F x 在(0,)a 上单调递减，在(,e)a 上单调递增 ， ()F a 为最小值，所以3()ln 02a F a a a =+-≥，得e a ≥ 所以e e a ≤< ………………12分 综上，e a ≤ ………………13分19.解：(I)因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2， 一内角为60 的菱形的四个顶点,所以3,1a b ==,椭圆C 的方程为2213x y += ………………4分 (II)设11(,),A x y 则11(,),B x y --当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线:30l x y +-=的交点为(0,3)P ,又因为||3,||3AB PO ==，所以60PAO ∠=，所以PAB ∆是等边三角形,所以直线AB 的方程为0y = ………………6分 当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB 的方程为y kx =所以2213x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，化简得22(31)3k x += 所以 123||31x k =+，则2222333||13131k AO k k k +=+=++ ………………8分设AB 的垂直平分线为1y x k=-，它与直线:30l x y +-=的交点记为00(,)P x y 所以31y x y x k =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得003131k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩, 则2299||(1)k PO k +=- ………………10分 因为PAB ∆为等边三角形， 所以应有||3||PO AO = 代入得到22229933|3(1)31k k k k ++=-+，解得0k =（舍），1k =-……………13分 此时直线AB 的方程为y x =-综上，直线AB 的方程为y x =-或0y = ………………14分20.解：（I ）法1：42123712371237210121012101-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行 法2：24123712371237210121012101--−−−−−→−−−−−→----改变第行改变第列 法3：14123712371237210121012101----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列 （写出一种即可）…………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1; ①如果操作第三列，则 22221212a a a a a a a a ----- 则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -，210520a a -≥⎧⎨-≥⎩,解得1a a ==.…………………6分② 如果操作第一行 22221212a a a a a a a a ----- 则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a解得1a = …………………9分综上1a =…………………10分 (III) 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和） 由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得 数阵中mn 个数之和增加，且增加的幅度大于等于1(1)2--=，但是每次操作都只 是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn 个数之和必然小于等于11||m nij i j a ==∑∑，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …………………13分。
海淀区2011年高三年级第一学期文科数学期末练习及答案
海淀区2011年高三年级第一学期文科数学期末练习第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．sin 240的值为A ．12-B ． 12C ．32-D ．322. 若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且236a a +=，则4S 的值为 A. 12 B.11 C.10 D. 93. 设,αβ为两个不同的平面，直线l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”成立的 A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h 是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40，50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有A.75辆B.120辆C.180辆D.270辆 5.点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为 A.2 B. 4 C. 6 D.8 6. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积为A ．12B ．6C ． 4D ．27. 已知函数1()sin ,[0,π]3f x x x x =-∈，01cos 3x =（0[0,π]x ∈），那么下面结论正确的是A ．()f x 在0[0,]x 上是减函数 B. ()f x 在0[,π]x 上是减函数 C. [0,π]x ∃∈, 0()()f x f x > D. [0,π]x ∀∈, 0()()f x f x ≥车速O40506070800.0100.0350.030a频率组距正视图左视图俯视图222112218. 已知椭圆E ：1422=+y m x ，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 所截弦长与l ：1+=kx y 被椭圆E 所截得的弦长不可能．．．相等的是 A ．0kx y k ++= B ．01=--y kx C ．0kx y k +-= D ．20kx y +-=二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9. 若直线l 经过点（1，2）且与直线210x y +-=平行,则直线l 的方程为__________.10.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入4， 则输出的S 为 .11．椭圆2212516x y +=的右焦点F 的坐标为 .则顶点在原点的抛物线C 的焦点也为F ，则其标准方程为 .12．在一个边长为1000米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被检测到.那么随机投入一个爆破点被监测到的概率为_______.13已知向量(1,),(1,)t t ==-a b .若-2a b 与b 垂直, 则||___=a .14．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点.定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-为. 若点()1,3A -，则(,)d A O = ； 已知()1,0B ，点M 为直线20x y -+=上动点，则(,)d B M 的最小值为 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）开始0;0S n ==n i<21n S S =++是否1n n =+S输出结束i 输入设函数13()sin cos 22f x x x =+，R x ∈. （I ）求函数)(x f 的周期和值域；（II ）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若3(),2f A = 且32a b =， 求角C 的值.16. （本小题满分13分）某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）围棋社戏剧社书法社学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人. (I) 求这三个社团共有多少人？(II) 书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率.17. （本小题满分13分）如图，棱柱ABCD —1111A B C D 的底面ABCD 为菱形 ，AC BD O ，侧棱1AA ⊥BD,点F高中 45 30 a初中151020为1DC 的中点．（I ） 证明：//OF 平面11BCC B ； （II ）证明：平面1DBC ⊥平面11ACC A .18. （本小题满分13分）已知函数322()1,a f x x x=++其中0a >.（I ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线1y =平行，求a 的值； （II ）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值. 19. （本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=,点P 为直线:4l x =上的动点.(I)若从P 到圆O 的切线长为23，求P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（II ）若点(2,0),(2,0)A B -，直线,PA PB 与圆O 的另一个交点分别为,M N ,求证:直线MN 经过定点(1,0).20. （本小题满分14分）已知集合{}1,2,3,,2A n = *()n N ∈.对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P.（Ⅰ）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}*31,C x A x k k N =∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由.(II)若集合S 具有性质P ，试判断集合 {}(21)T n x x S =+-∈)是否一定具有性质P ？并说明理由.答案及评分参考第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CAACBDBD第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.240x y +-= 10. 19 11.(3,0) 212y x = 12.25π13. 2 14. 4 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共13分） 解：（I ） x x x f cos 23sin 21)(+=)3sin(π+=x ， ............................... 3分)(x f ∴的周期为π2 （或答:0,,2≠∈k Z k k π）. ................................4分 因为x R ∈，所以3x R π+∈,所以)(x f 值域为]1,1[- . ...............................5分（II ）由（I ）可知，)3sin()(π+=A A f , ...............................6分23)3s i n (=+∴πA, ...............................7分 π<<A 0 ,3433πππ<+<∴A , ..................................8分 2,33A ππ∴+=得到3A π= . ...............................9分 ,23b a =且B b A a sin sin = , ....................................10分 32s i n 32b b B ∴=, ∴1sin =B , ....................................11分 π<<B 0 ， 2π=∴B . ....................................12分6ππ=--=∴B A C . ....................................13分16. （共13分）解：（I ）围棋社共有60人， ...................................1分 由150301260=⨯可知三个社团一共有150人. ...................................3分 （II ）设初中的两名同学为21,a a ，高中的3名同学为321,,b b b , ...................................5分 随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:1211121321{,},{,},{,},{,},{,},a a a b a b a b a b 222312132{,}, {,},{,},{,},{,}a b a bb b b b b b ，共10个基本事件. ..................................8分 设事件A 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ..................................9分 则事件A 共有111213212223{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a b a b a b a b a b 6个基本事件. ...................................11分 ∴53106)(==A P . 故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为35. ................................13分 17. （共13分）解：（I ） 四边形ABCD 为菱形且AC BD O = ，O ∴是BD 的中点 . ...................................2分 又点F 为1DC 的中点,∴在1DBC ∆中，1//BC OF , ...................................4分⊄OF 平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B ,∴//OF 平面11BCC B . ...................................6分 （II ） 四边形ABCD 为菱形,AC BD ⊥∴, ...................................8分 又⊥BD 1AA ，1,AA AC A = 且1,AA AC ⊂平面11ACC A ,.................................10分 ⊥∴BD 平面11ACC A , ................................11分 ⊂BD 平面1DBC ,∴平面1DBC ⊥平面11ACC A . ................................13分 18. （共13分）解：3332222()()2a x a f x x x x -'=-=，0x ≠. .........................................2分（I ）由题意可得3(1)2(1)0f a '=-=，解得1a =， ........................................3分此时(1)4f =，在点(1,(1))f 处的切线为4y =，与直线1y =平行.故所求a 值为1. ........................................4分 （II ）由()0f x '=可得x a =，0a >， ........................................ 5分 ①当01a <≤时，()0f x '>在(1,2]上恒成立 ，所以()y f x =在[1,2]上递增， .....................................6分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+ . ........................................7分 ②当12a <<时，x(1,)a a(,2)a()f x ' － 0 ＋ ()f x极小由上表可得()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+ . ......................................11分 ③当2a ≥时，()0f x '<在[1,2)上恒成立，所以()y f x =在[1,2]上递减 . ......................................12分....................................10分所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+ . .....................................13分 综上讨论，可知：当01a <≤时， ()y f x =在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+； 当12a <<时，()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+； 当2a ≥时，()y f x =在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+. 19. （共14分）解：根据题意，设(4,)P t . (I)设两切点为,C D ，则,OC PC OD PD ⊥⊥，由题意可知222||||||,PO OC PC =+即222242(23)t +=+ ， ............................................2分 解得0t =，所以点P 坐标为(4,0). ...........................................3分 在Rt POC ∆中，易得60POC ∠= ，所以120DOC ∠= . ............................................4分 所以两切线所夹劣弧长为24233ππ⨯=. ...........................................5分 （II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，(1,0)Q ， 依题意，直线PA 经过点(2,0),(4,)A P t -，可以设:(2)6tAP y x =+， ............................................6分和圆224x y +=联立，得到22(2)64t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩ ， 代入消元得到，2222(36)441440t x t x t +++-= ， ......................................7分 因为直线AP 经过点11(2,0),(,)A M x y -，所以12,x -是方程的两个根，所以有2124144236t x t --=+， 21272236t x t -=+ ， ..................................... 8分代入直线方程(2)6t y x =+得，212272224(2)63636t t ty t t -=+=++. ..................................9分 同理，设:(2)2tBP y x =-，联立方程有 22(2)24t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩， 代入消元得到2222(4)44160t x t x t +-+-=，因为直线BP 经过点22(2,0),(,)B N x y ，所以22,x 是方程的两个根，22241624t x t -=+， 222284t x t -=+ ， 代入(2)2t y x =-得到2222288(2)244t t t y t t --=-=++ . .....................11分 若11x =，则212t =，此时2222814t x t -==+ 显然,,M Q N 三点在直线1x =上，即直线MN 经过定点Q (1,0)............................12分 若11x ≠，则212t ≠，21x ≠， 所以有212212240836722112136MQ t y t t k t x t t -+===----+， 22222280842811214NQ t y t t k t x t t ---+===----+................13分 所以MQ NQ k k =， 所以,,M N Q 三点共线，即直线MN 经过定点Q (1,0).综上所述，直线MN 经过定点Q (1,0). .......................................14分20. （共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A = ，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>= 不具有性质P . ...................................1分 因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到集合B 中两个元素110b =与210b m =+， 使得12b b m -=成立 . ...................................3分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P . ....................................4分因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠ . ............................................6分 （Ⅱ）若集合S 具有性质P ，那么集合{}(21)T n x x S =+-∈一定具有性质P . ..........7分 首先因为{}(21)T n x x S =+-∈，任取0(21),t n x T =+-∈ 其中0x S ∈，因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2}x n ∈，从而01(21)2n x n ≤+-≤，即,t A ∈所以T A ⊆ ...........................8分 由S 具有性质P ，可知存在不大于n 的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有 12s s m -≠， ..................................9分 对上述取定的不大于n 的正整数m ， 从集合{}(21)T n x x S =+-∈中任取元素112221,21t n x t n x =+-=+-， 其中12,x x S ∈， 都有1212t t x x -=- ； 因为12,x x S ∈，所以有12x x m -≠，即 12t t m -≠ 所以集合{}(21)T n x x S =+-∈具有性质P ． .............................14分。
2011届北京市海淀区高三二模文综试卷
海淀区高三年级第二学期期末练习文科综合能力测试 2011.5选择题 (共140分）本部分共35小题，每小题4分，共140分。
在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
2011年3月29日5时20分（西五区时间），美国“信使号”水星探测器向地球发回第一组高清晰的水星图像，为人类进一步了解和研究水星提供了珍贵资料。
结合下表回答第1题。
1．下列叙述正确的是①水星自转的角速度和线速度均比地球大②水星表面始终昼夜等长③水星的体积和质量小，无法吸引住大气④照片发回时，北京时间为3月29日18时20分A．①② B．②③C．③④D．①④图1为“某年4月17日02时—20日02时我国西北某地气象要素变化示意图”，读图回答2、3题。
2.根据图1中各气象要素的变化得知，该天气系统与其可能带来的天气现象的正确组合是A ．反气旋、冻雨天气 B.气旋、大雾天气C. 冷锋、暴雨天气D.冷锋、大风沙暴天气3.此次天气过程对当地产生的影响可能是A.农牧业设施受到了损坏B.附近山区易出现泥石流C.大气环境质量明显改善D.缓解绿洲农业供水紧张2011年3月11日日本近海发生9.0级强烈地震，并引发海啸，随后福岛核电站发生爆炸，核污染物质被排入海洋。
读图2，回答第4、5题。
4.根据世界洋流分布规律，排入海洋的污染物可能A ．沿北大西洋暖流污染美国西部B ．沿洋流影响到加拿大西部C ．沿我国东部沿岸暖流向南扩散D ．沿大洋西侧洋流影响俄罗斯东部5. 地震发生后，Esri 公司发布了专题地图，公众可通过互联网或智能手机查阅与本次地震及核电站泄露的相关内容。
Esri 公司提供的此项服务主要基于A ．RS 技术B ．GPS 技术C ．GIS 技术D ．数字地球 图3为“某地垂直自然带谱示意图”，回答第6、7题。
6．垂直自然带谱反映了A ．该山地可能位于云贵高原B ．经度地带性规律C ．甲坡的水热状况优于乙坡D ．水分差异导致植被类型不同7．乙坡山麓地带的气候类型是A ．温带海洋性气候B ．亚热带季风气候C ．地中海气候D ．温带季风气候图4为“1978～2000年中国县级年均水灾频次图”，回答第8、9题。
北京海淀区高三二模数学 文科 试卷及答案解析
又因为 BC AD ， BC CE 1， AD=3 所以四边形 BCEF 为正方形， AF FE ED 1 ，得 AE 2 所以 BC AE， BC= 1 AE
2 在图 2 中设点 M 为线段 D1E 的中点，连结 MG, MC ， 因为点 G 是 AD1 的中点， 所以 GM AE， GM = 1 AE
2 所以 GM BC，GM =BC ，所以四边形 MGBC 为平行四边形 所以 BG CM 又因为 CM 平面 D1EC ， BG 平面 D1EC 所以 BG 平面 D1EC （Ⅱ） 因为平面 D1EC 平面 ABCE ，
平面 D1EC 平面 ABCE EC , D1E EC, D1E 平面 D1EC ， 所以 D1E 平面 ABCE 又因为 AB 平面 ABCE 所以 D1E AB 又 AB 2, BE 2, AE 2 ，满足 AE2 AB2 BE2 ， 所以 BE AB 又 BE D1E E 所以 AB 平面 D1EB （Ⅲ） CE D1E,CE AE ， AE D1E E
又因为 BF EC ， EC 平面 D1EC ， BF 平面 D1EC 所以 BF 平面 D1EC
又因为 GF BF F 所以平面 BFG 平面 D1EC 又因为 BG 面GFB ，所以 BG 平面 D1EC 方法 3： 在图 1 的等腰梯形 ABCD 内，过 B作 AE 的垂线，垂足为 F ， 因为 CE AD ，所以 BF EC
an1 an2 2 3n2 an2 an3 2 3n3
2 / 13
a3 a2 2 32
a2 a1 2 31 把上面 n 1 个等式叠加，得到
2011年北京市各区二模试题分类解析(6)：数列
六、数列1、（2011昌平二模理6）. 已知等差数列{}n a 的公差为3，若431,,a a a 成等比数列，则2a 等于（D ）A ．9B ．3C ． -3D ．-92、（2011东城二模理5）已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（ D ）（A ）16 （B ）8 （C ）22 （D ）4 3、（2011顺义二模理4）.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则9876a a a a ++等于（D ）A 21+B 21-C 223+D 223-4、（2011西城二模理7）．已知数列{}n a 的通项公式为13n a n =-，那么满足119102k k k a a a +++++= 的整数k （ B ）（A ）有3个（B ）有2个（C ）有1个（D ）不存在 5、（2011西城二模理14）.数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ， 12n = ，，．①当0λ=时，20a =_120____； ②若存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，则λ的取值范围是__(21,2),k k k -∈*N ___. 6、（2011昌平二模文3）数列{}n a 对任意*N n ∈ ，满足13n n a a +=+，且38a =，则10S 等于（ A ）A ．155B ． 160C ．172D ．240 7、（2011丰台二模文4）已知数列{}n a 中，135a =，111(2)n n a n a -=-≥，则2011a =(C) (A) 12-(B) 23-(C)35(D)528、（2011顺义二模文4）已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则7698a a a a ++等于(C)A 21+B 21-C 223+D 223- 9、1(2011朝阳二模理12)已知数列{}n a 满足12a =，且*1120,n n n n a a a a n +++-=∈N ，则2a =43 ；并归纳出数列{}n a 的通项公式n a = 221n n - 2、（2011海淀二模理13）已知数列{}n a 满足1,a t =，120n n a a +-+= (,)t n ∈∈**N N ，记数列{}n a 的前n 项和的最大值为()f t ，则()f t = 222, (4(1), (4t tt t t ⎧+⎪⎪⎨+⎪⎪⎩为偶数)为奇数) .3、（2011东城二模文14）已知等差数列{}n a 首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 首项为b ，公比为a ，其中,a b 都是大于1的正整数，且1123,a b b a <<，那么a = 2 ；若对于任意的*N n ∈，总存在*N m ∈，使得 3n m b a =+成立，则n a = 5n-34、（2011海淀二模文13）已知数列}{n a 满足，11=a 且)(1n n n a a n a -=+（*n ∈N ），则2a ；n a =__n_.5、（2011西城二模文9） 已知}{n a 为等差数列，341a a +=，则其前6项之和为__3___.6、（2011西城二模文14）数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ，12n = ，，．给出下列命题：①λ∃∈R ，对于任意i ∈*N ，0i a >；②λ∃∈R ，对于任意2()i i ≥∈*N ，10i i a a +<；③λ∃∈R ，m ∈*N ，当i m >（i ∈*N ）时总有0i a <.其中正确的命题是__①③____.（写出所有正确命题的序号） 解答1（2011昌平二模理20）. (本小题满分13分)已知数列{}n a 满足125a =，且对任意n *∈N ，都有11422n n n n a a a a +++=+． (Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；(Ⅱ）试问数列{}n a 中()1k k a a k *+⋅∈N 是否仍是{}n a 中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由． （Ⅲ）令21(5),3n nb a =+证明：对任意2*,2n b n n N b ∈>都有不等式成立.解: （Ⅰ）111242n n n n n n a a a a a a ++++=+，即11223n n n n a a a a ++-=， ……1分所以11132n n a a +-=， ……. 2分 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以52为首项，公差为32的等差数列． ……3分 （II ）由（Ⅰ）可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为1322n n a +=，所以232n a n =+．…… 4分 ()122243231292110k k a a k k k k +⋅=⋅=+++++ …….5分22921622k k =+++22372322k k =++⋅+． …… 7分因为()2213723122k k k k k k +++=+++， …… 8分当k *∈N 时，()12k k +一定是正整数，所以23722k k ++是正整数．(也可以从k 的奇偶性来分析)所以1k k a a +⋅是数列{}n a 中的项，是第23722k k ++项． …… 9分(Ⅲ)证明：由（2）知：232n a n =+，21232(5)(5)4332n n n b n a +=+=+=+…..10分下面用数学归纳法证明：422(4)n n +>+对任意*n N ∈都成立。
海淀高三数学文科二模试题及答案
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（文） 2015.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数2i (1i)-对应的点位于（ ） （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2）已知命题1:0,2p x x x∀>+≥，则p ⌝为（ ） （A ）10,2x x x ∀>+< （B ）10,2x x x ∀≤+< （C ）10,2x x x∃≤+< （D ）10,2x x x∃>+< （3）圆22:4230C x y x y ++-+=的圆心坐标及半径分别是（ ） （A）(-（B）（C ）(2,1),2- （D ）(2,1),2-（4）右图表示的是求首项为41-，公差为2的等差数列{}n a 前n 项和的最小值的程序框图.则①处可填写（ ）（A ）0S > （B ）0S < （C ）0a >（D ）0a =（5）已知点(,)(0)A a a a ≠，(1,0)B ，O 为坐标原点.若点C 在直线OA 上，且BC 与OA 垂直，则点C 的坐标是（ ） （A ）11(,)22-（B ）(,)22a a -（C ）(,)22a a（D ）11(,)22（6）在ABC ∆中，若3,3a c A π==∠=，则b =（ ） （A ）4（B ）6（C）（D（7）设320.30.2,log 0.3,log 2a b c ===，则（ ）（A ）b a c << （B ）b c a <<（C ）c b a << （D ）a b c <<（8）已知不等式组4,2,2x y x y x +≥⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域为D ，点(0,0),(1,0)O A .若点M 是D 上的动点，则OA OMOM⋅uu r uuu r uuu r 的最小值是（ ）（A（B（C（D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
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海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （文科） 2011.5选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 在复平面上，复数2i z =-对应的点在A ．第一象限B . 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2．已知全集,U =R 集合{1,2,3,4,5}A =,{|2}B x x =∈≥R ，则右图中阴影部分所表示的集合为A.{1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}3．函数21()log f x x x=-的零点所在区间为 A ．1(0,)2 B. 1(,1)2C. (1,2)D. (2,3)4．若函数sin()3y x π=+的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的图象所对应的函数解析式为A ．1sin()26y x π=+B. 1sin()23y x π=+ C. 2sin(2)3y x π=+D. s i n (2)3y x π=+ 5.某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4 根据上图对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是 A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B ．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 C ．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定6. 圆2220x y ax +-+=与直线l 相切于点(3,1)A ，则直线l 的方程为A. 250x y --=B. 210x y --=C. 20x y --=D. 40x y +-=7. 已知正方体1111ABCD A BC D -中，点M 为线段11D B 上的动点，点N 为线段AC 上的动点，则与线段1DB 相交且互相平分的线段MN 有 A ．0条 B.1条C. 2条D.3条8. 若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点 ② 22212221b b a a -=- ③1122a b a b > ④1212a a b b -<- 其中，所有正确结论的序号是A ．②③④ B. ①③④ C ．①②④ D. ①②③非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9．双曲线C ：22122x y -=的渐近线方程为 ；若双曲线C 的右焦点和抛物线22y px =的焦点相同，则抛物线的准线方程为 .10．点(,)P x y 在不等式组22y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域内，则z x y =+的最大值为_______.11. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积 为____________.12. 已知ABC ∆的面积3=S ，3A π∠=，则=⋅AC AB _________.13.已知数列}{n a 满足，11=a 且)(1n n n a a n a -=+（*n ∈N ），则2_____a =；n a =________.A 1D 1A 1C 1B DCBNM正视图俯视图左视图14.已知函数'()f x 、'()g x 分别是二次函数()f x 和三次函数()g x 的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示:①若(1)1f =，则(1)f -= ；② 设函数()()(),h x f x g x =-则(1),(0),(1)h h h -的 大小关系为 .（用“<”连接）三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）已知函数x x x x f 2sin cos sin )(+=.（Ⅰ）求()4f π的值；（II ）若[0,]2x π∈，求)(x f 的最大值及相应的x 值.16. （本小题共13分）已知直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，且F E D ,,分别为11,,AA BB BC 的中点.(I) 求证：平面//1FC B 平面EAD ； （II ）求证：⊥1BC 平面EAD .17.（本小题共14分）)x D1C FEBAC1A 1B某学校餐厅新推出A B C D 、、、四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下.为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：（Ⅰ）若同学甲选择的是A 款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面谈，求这两人中至少有一人选择的是D 款套餐的概率.18. （本小题共14分） 已知函数321().3f x x ax bx =-+ (,)a b ∈R （I ）若'(0)'(2)1f f ==，求函数()f x 的解析式；（II ）若2b a =+，且()f x 在区间(0,1)上单调递增，求实数a 的取值范围.19．（本小题共14分）已知椭圆C :2222 1 (0)x y a b a b +=>>两个焦点之间的距离为2，且其离心率为2. (Ⅰ) 求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ) 若F 为椭圆C 的右焦点，经过椭圆的上顶点B 的直线与椭圆另一个交点为A ，且满足=2BA BF ⋅，求ABF ∆外接圆的方程.20. （本小题共13分）对于数列12n A a a a ：，，，，若满足{}0,1(1,2,3,,)i a i n ∈=⋅⋅⋅，则称数列A 为“0-1数列”.定义变换T ，T 将“0-1数列”A 中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如A :1,0,1，则():0,1,1,0,0,1.T A 设0A 是“0-1数列”，令1(),k k A T A -=12k = ，，3,.(Ⅰ) 若数列2A ：1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1. 求数列10,A A ；(Ⅱ) 若数列0A 共有10项，则数列2A 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由； (Ⅲ)若0A 为0，1，记数列k A 中连续两项都是0的数对个数为k l ，1,2,3,k =⋅⋅⋅.求k l 关于k 的表达式.海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（文）答案及评分参考 2011．5选择题 （共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题 （共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9. y x =±，2x =- 10. 6 11. 1π+12. 2 13. 2，n 14. 1 ，(0)(1)(1)h h h <<- 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （共13分）解：（Ⅰ） x x x x f 2sin cos sin )(+=，∴4sin 4cos4sin)4(2ππππ+=f …………………1分22=+ …………………4分 1= . …………………6分（Ⅱ）x x x x f 2sin cos sin )(+= 22cos 12sin 21x x -+=…………………8分 21)2cos 2(sin 21+-=x x21)42sin(22+-=πx ， …………………9分 由]2,0[π∈x 得]43,4[42πππ-∈-x ， …………………11分所以，当242ππ=-x ，即π83=x 时，)(x f 取到最大值为212+. ……………13分 16. （共13分）证明：（Ⅰ）由已知可得1//AF B E ，1AF B E =，∴四边形E AFB 1是平行四边形，∴1//FB AE ， ……………1分AE ⊄ 平面FC B 1，1FB ⊂平面FC B 1， //AE ∴平面FC B 1； ……………2分又 E D ,分别是1,BB BC 的中点，∴C B DE 1//， ……………3分 ED ⊄ 平面FC B 1，1B C ⊂平面FC B 1，//ED ∴平面FC B 1； ……………4分,AE DE E AE =⊂ 平面EAD ，ED ⊂平面EAD ， ……………5分∴平面FC B 1∥平面EAD . ……………6分 (Ⅱ) 三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱， ∴⊥C C 1面ABC ，又 ⊂AD 面ABC ，∴⊥C C 1AD . ……………7分D1C FEBAC1A 1B又 直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，D 是BC 边中点， ∴ABC ∆是正三角形，∴BC AD ⊥， ……………8分 而1C C BC C = ， 1CC ⊂面11B BCC ，BC ⊂面11B BCC ，⊥∴AD 面11B BCC ， ……………9分故 1AD BC ⊥ . ……………10分四边形11BCC B 是菱形，∴C B BC 11⊥， ……………11分而C B DE 1//，故 1DE BC ⊥ , ……………12分由D DE AD = AD ⊂，面EAD ，ED ⊂面EAD ，得 ⊥1BC 面EAD . ……………13分17. （共13分）解：（Ⅰ）由条形图可得，选择A ，B ，C ，D 四款套餐的学生共有200人， ……………1分 其中选A 款套餐的学生为40人， ……………2分 由分层抽样可得从A 款套餐问卷中抽取了 42004020=⨯份. ……………4分 设事件M =“同学甲被选中进行问卷调查”， ……………5分 则.10404)(==M P . ……………6分 答：若甲选择的是A 款套餐，甲被选中调查的概率是0.1.(II) 由图表可知，选A ，B ，C ，D 四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5. 其中不满意的人数分别为1，1，0，2个 . ……………7分 记对A 款套餐不满意的学生是a ；对B 款套餐不满意的学生是b ；对D 款套餐不满意的学生是c ，d. ……………8分设事件N=“从填写不满意的学生中选出2人，至少有一人选择的是D 款套餐” ……………9分 从填写不满意的学生中选出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6个基本事件，……10分 而事件N 有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5个基本事件， ……………11分 则 65)(=N P . ……………13分 答：这两人中至少有一人选择的是D 款套餐的概率是65.18. （共14分）解：（Ⅰ）因为2'()2f x x ax b =-+ ， …………………2分由'(0)'(2)1f f ==即1441b a b =⎧⎨-+=⎩得11a b =⎧⎨=⎩， …………………4分所以()f x 的解析式为321()3f x x x x =-+. …………………5分(Ⅱ)若2b a =+，则2'()22f x x ax a =-++，244(2)a a ∆=-+ ， …………………6分 （1）当0∆≤，即12a -≤≤时，'()0f x ≥恒成立，那么()f x 在R 上单调递增， 所以，当12a -≤≤时，()f x 在区间(0,1)上单调递增； …………………8分 （2）解法1：当0∆>，即2a >或1a <-时，令2'()220f x x ax a =-++=解得1x a =-2x a =+ …………………9分 列表分析函数()f x 的单调性如下：…………………10分要使函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，只需210'(0)0a a a f ><-⎧⎪<⎨⎪≥⎩或或211'(1)0a a a f ><-⎧⎪>⎨⎪≥⎩或，解得21a -≤<-或23a <≤. …………………13分解法2：当0∆>，即2a >或1a <-时，因为2'()22f x x ax a =-++的对称轴方程为x a = …………………9分 要使函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，需1'(0)0a f <-⎧⎨≥⎩或2'(1)0a f >⎧⎨≥⎩ 解得21a -≤<-或23a <≤. …………………13分 综上：当[2,3]a ∈-时，函数()f x 在区间(0,1)上单调递增. …………………14分19. （共14分） 解：(Ⅰ)22,22===a c e c ， ……………1分 2,1==∴a c ，122=-=∴c a b ， …………4分椭圆C 的标准方程是 1222=+y x . ………………5分 (Ⅱ)由已知可得)0,1(),1,0(F B ， …………………6分 设),(00y x A ，则)1,1(),1,(00-=-=y x ， 2=⋅BF BA ，2)1(00=--∴y x ，即001y x += ， …………………8分代入122020=+y x ，得：⎩⎨⎧-==1000y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==313400y x ， 即)1,0(-A 或)31,34(A . ………………10分 当A 为)1,0(-时，1===OF OB OA ,ABF ∆的外接圆是以O 为圆心，以1为半径的圆，该外接圆的方程为122=+y x ； ………………12分 当A 为)31,34(时，1,1=-=AF BF k k ，所以ABF ∆是直角三角形，其外接圆是以线段BA 为直径的圆.由线段BA 的中点)32,32(以及352=BA 可得ABF ∆的外接圆的方程为95)32()32(22=-+-y x . ………………14分 综上所述，ABF ∆的外接圆的方程为122=+y x 或95)32()32(22=-+-y x .20. （共13分）解：(Ⅰ)由变换T 的定义可得1:0,1,1,0,0,1A ………………2分 0:1,0,1A ………………4分(Ⅱ) 数列0A 中连续两项相等的数对至少有10对 ………………5分 证明：对于任意一个“0-1数列”0A ，0A 中每一个1在2A 中对应连续四项1,0,0,1，在0A 中每一个0在2A 中对应的连续四项为0,1,1,0，因此，共有10项的“0-1数列”0A 中的每一个项在2A 中都会对应一个连续相等的数对， 所以2A 中至少有10对连续相等的数对. ………………8分 (Ⅲ) 设k A 中有k b 个01数对，1k A +中的00数对只能由k A 中的01数对得到，所以1k k l b +=，1k A +中的01数对有两个产生途径：①由k A 中的1得到； ②由k A 中00得到，由变换T 的定义及0:0,1A 可得k A 中0和1的个数总相等，且共有12k +个，所以12k k k b l +=+， 所以22k k k l l +=+，由0:0,1A 可得1:1,0,0,1A ，2:0,1,1,0,1,0,0,1A 所以121,1l l ==， 当3k ≥时，若k 为偶数，222k k k l l --=+,4242k k k l l ---=+,2422l l =+.上述各式相加可得122421(14)11222(21)143k k kk l ---=++++==-- ，经检验，2k =时，也满足1(21)3k k l =-.若k 为奇数，222k k k l l --=+ 4242k k k l l ---=+。