第二章_MATLAB的数值运算

0.4057 0.9355 0.9169
0.4103 0.8936 0.0579
0.3529 0.8132 0.0099
2.2.1 矩阵变量赋值方法
已知控制系统的3个特征根 构造系统的伴随矩阵。 个特征根， 例2.9 已知控制系统的 个特征根，构造系统的伴随矩阵。 sysroot=[-1 –2 –3];%3个特征根 个特征根 a=poly(sysroot); %得到特征方程的系数向量 得到特征方程的系数向量 b=[a(4),a(3),a(2)]; comp=[zeros(2,1),eye(2);-b]; comp = %控制系统的伴随矩阵为 控制系统的伴随矩阵为 0 1 0 % |0 1 | 0 0 1 % |: …. | -6 -11 -6 % |0 ………. 1 | % |-a(n) –a(n-1)… -a(2)|
2.1 基本语法结构
2.1.2 函数语句 MATLAB中除赋值语句外的其他语句 中除赋值语句外的其他语句 a=[1 2 3];b=[4 ；5 ；6]; %赋值语句 赋值语句 c=a*b %乘运算 乘运算 x=0.9; y=sin(x); 2.1.3 结构变量 1.结构变量的创建 1）直接创建 ='hello‘； patient.bill=50； patient.home='jinan‘；
u= 4.0000 0 0 6.0000 7.0000
1.0000 -2.5000 0 2.5000
2.2.4 矩阵分解运算
3.QR分解 分解 [Q,R]=qr(A) 做矩阵的正交三角形分解 >>a=[1 1 1;2 -1 -1;2 -4 5]; >>[q,r]=qr(a) q= -0.3333 -0.6667 -0.6667 r= -3 0 0 3 -3 0 -0.6667 -0.6667 -0.3333 0.6667 0.6667 -0.3333
2.1.5 永久变量
matlab中预定义的一些特殊的量。 中预定义的一些特殊的量。 中预定义的一些特殊的量 i,j 虚数单位 Realmin 最小的正浮点数， 最小的正浮点数， pi 圆周率 Realmax 最大的浮点数， 最大的浮点数， eps 浮点运算的相对精度 Inf 无穷大 NaN not a number ，不定值
2.2.4 矩阵分解运算
2.LU分解 分解 [L,U]=lu(A) 又称三角分解，目的是分解成一个下三角阵 和 又称三角分解，目的是分解成一个下三角阵L和 一个上三角阵U的乘积 的乘积， 一个上三角阵 的乘积，即A＝L×U ＝ × >> a=[1 2 3;2 4 1;4 6 7]; >> [l,u]=lu(a) l= 0.2500 0.5000 1.0000 0.5000 1.0000 0 1.0000 0 0
第二章 MATLAB的数值运算 的数值运算
MATLAB具有强大的数值运算能力，它是基于矩阵的 具有强大的数值运算能力， 具有强大的数值运算能力 运算工具。 运算工具。 2.1 基本语法结构 MATLAB语言的所有运算都是基于矩阵运算来完成的 语言的所有运算都是基于矩阵 语言的所有运算都是基于矩阵运算来完成的 所有变量都定义为矩阵 所有变量都定义为矩阵 所有的运算都是关于矩阵的运算。 矩阵的运算 所有的运算都是关于矩阵的运算。 对于传统的标量运算， 中单独定义了点运算。 对于传统的标量运算，在MATLAB中单独定义了点运算。 中单独定义了点运算 2.1.1变量与赋值语句 变量与赋值语句 （1）变量名称：字母+数字，以字母开头，长度最大为63个 ）变量名称：字母 数字，以字母开头，长度最大为 个 数字 字母， 字母，区分大小写 函数。 （2）变量性质：全为矩阵，size()函数。 ）变量性质：全为矩阵， 函数
>> a=[1 2;3 4] >> b=[2 3]; >> c=a/b c = 0.6154 1.3846
2.2.3 矩阵特征运算
特征值函数 eig() 奇异值函数 svd（） （） Ax || A || = max | x | 范数函数 norm（） （） ∀ x 秩函数 rank 迹函数：矩阵所有对角线上元素的和称为矩阵的迹。 迹函数：矩阵所有对角线上元素的和称为矩阵的迹。trace（） （） 条件数函数：判断矩阵的“病态”程度。 条件数函数：判断矩阵的“病态”程度。 cond（） || A−1 || • || A || （） K= 矩阵的行列式运算函数 det（） （） 例：计算矩阵的特征值与奇异值 >> svd(a) ans = >> a=[1 2;3 4] ans = -0.3723 >> eig(a) 5.4650 5.3723 0.3660
2.1 基本语法结构
（3）变量赋值 ） 常数赋值：如上例中矩阵A的赋值 的赋值， 常数赋值：如上例中矩阵 的赋值，x=9; 字符串赋值： 字符串赋值：f1=‘This is a string’; 表达式赋值： 表达式赋值：f2=‘exp(-2*x)*sin(x/5)’; (4)变量查询 变量查询 (A) 变量值的查询：直接键入变量名 变量值的查询： （B）变量信息：who,whos命令 ）变量信息： 命令 >> whos A Name Size Bytes Class A 3x2 48 double array Grand total is 6 elements using 48 bytes
-3 3 -3
将矩阵A做正交 化分解，使得 Q*R=A ， 其 中 Q 为正交矩阵（其 范数为1，指令 norm(Q)=1) ， R 为对角化的上三 角矩阵。
2.3 基本数学函数
MATLAB的基本数学函数十分丰富，包括： 的基本数学函数十分丰富，包括： 的基本数学函数十分丰富 三角函数： 双曲正弦）， 反正弦）， 三角函数：sin,sinh(双曲正弦）， 双曲正弦），asin(反正弦）， 反正弦），asinh, cos,cosh,acos,acosh， atan2( 四象限反正切） …… 四象限反正切） ， 指数函数： 平方根） 指数函数：exp,log,log10,sqrt(平方根） 平方根 复数函数： 共轭复数）， 复数函数：abs,angle,congj(共轭复数）， 共轭复数），image,real 数值运算： （ 取整）， 向负无穷取整）， 数值运算：fix（向0取整）， 取整），floor(向负无穷取整）， 向负无穷取整 ceil(向正无穷取整）， 向正无穷取整）， 向最近整数圆整） 向正无穷取整），round(向最近整数圆整） 向最近整数圆整 rem(求余）， 求余）， 根据符号取值） 求余），sign(根据符号取值） 根据符号取值 矩阵函数： 矩阵函数：expm,logm,… >> log(8) 例：>> sin(2) ans = ans = 2.0794 0.9093
2.1 基本语法结构
>> A=[1 2;3 4;5 6]; >> size(A) ans = 3 2 矩阵用“ 作为标识符 作为标识符， 矩阵可省略“ 。 矩阵用“[]”作为标识符，1*1矩阵可省略“[]”。矩阵 矩阵可省略 的 行元素之间用空格或“ 分隔，各行之间用“ 分隔。 行元素之间用空格或“，”分隔，各行之间用“；”分隔。 如： >> A=[1 2;3 4;5 6] %或A=[1,2;3,4;5,6] 或 A= 1 3 5 2 4 6
>>1/0 Warning: Divide by zero. ans = Inf >>0/0 Warning: Divide by zero. ans = NaN
2.2 矩阵运算
2.2.1 矩阵变量赋值方法 1.直接赋值 直接赋值 >> a=[1 1+2i;2+i exp(1)] a= 1.0000 1.0000 + 2.0000i 2.0000 + 1.0000i 2.7183 2.增量赋值 增量赋值 格式： 初值 增值： 初值： 格式：x=初值：增值：终值 >> x=1:0.1:1.2 x= 1.0000 1.1000 1.2000 增量缺省时默认赋值 初等矩阵赋值 zeros(m,n) ones(m,n) eyes(m,n) rand(m,n) randn(m,n) rand(3,4) ans = 0.9218 0.7382 0.1763
m*n全0矩阵 全 矩阵 m*n全1矩阵 全 矩阵 m*n单位矩阵 单位矩阵 m*n随机矩阵，0~1之间均匀分布 随机矩阵， 随机矩阵 之间均匀分布 m*n随机矩阵，正态分布，期望值 随机矩阵， 随机矩阵 正态分布，期望值0
2.2.2 矩阵常规运算
矩阵的常规运算应符合矩阵维数的要求，其常规运算符有： 矩阵的常规运算应符合矩阵维数的要求，其常规运算符有： +； - ； *； .*； ^; .^; \; / ; ./ ； ； ； a’ ； inv(a) 矩阵翻转 矩阵翻转fliplr,flipud,rot90 关于除法
左除“ 相当于Ax=B的解，x=A-1B。 的解， 左除“\”: 相当于 的解 。 右除“ ：相当于xA=B的解，x=BA-1 的解， 右除“/”：相当于 的解
2.2.4 矩阵分解运算
1.奇异值分解 对任意矩阵 ，存在酉阵 、V，使得 奇异值分解:对任意矩阵 奇异值分解 对任意矩阵A，存在酉阵U、 ， U*S*V=A,其中 其中S=diag(s1,s2,…sp),si非负，且 非负， 其中 非负 s 1 ≥ s 2 ≥ ... ≥ s p ≥ 0 为矩阵A的第 称si为矩阵 的第 个奇异值 为矩阵 的第i个奇异值 [U,S,V]=svd(X) 其中 ＝U×S×V’ 其中X＝ × × >>a=[1;1]; >>[U,S,V]=svd(a) U = -0.7071 -0.7071 -0.7071 0.7071 S = 1.4142 0 V = -1