参数估计和假设检验(单总体)

性组合，由正态分布的性质， 服从正态分布。 性组合，由正态分布的性质，X 服从正态分布。又由前述 可知： 可知： 2
x ~ N(µ,
由于X 设总体 X~N(µ, σ² ),由于 是独立正态变量 1,X2…Xn 的线 由于 是独立正态变量X
σ)
n
（5-1-1）
对于有限总体不放回抽样时
σ x ~ N(µ,
四 P 的抽样分布 ˆ
总体中具有某一特征的单位数与总体单位总数的比例称 总体比例。记为P。从总体中抽取容量为n的样本 的样本， 为总体比例。记为 。从总体中抽取容量为 的样本，样本 中具有某一特征的单位数所占比例称为样本比例 样本比例， 中具有某一特征的单位数所占比例称为样本比例，记为 P ˆ 是来自总体的一个样本，Xi即有 即有0 设X1, X2, … Xn是来自总体的一个样本，Xi即有0-1分 n 布（1，P）,则
二 统计量与抽样分布
•统计量：根据样本数据计算的指标，是样本的函数， 统计量：根据样本数据计算的指标，是样本的函数， 统计量 且不依赖于任何未知参数 是来自总体X的一个样本 则以下统计量： 的一个样本， 若 X1,X2…Xn是来自总体 的一个样本，则以下统计量：
ΣX X = n
i
1 S = Σ(Xi - X)2 n -1
X 的数学期望为： 的数学期望为：
Ε(X ) = µ
的方差为： X 的方差为：
D(X ) =
σ
n
2
当从无限总体抽样时 当从有限总体不放回抽样时
σ
n 或σ
X
σ
N −n ( ) n N −1
2
X 的标准差通常记为：
σ
X
=
=
σ
n
N −n N −1
3
X 的抽样分布形式
分布的形式与原总体的分布形式及样本容量大小有关 从正态分布的总体中抽样
x ~ N(µ,
σ ) _____ 5 -1 -1
n
2
有限总体不放回抽样，样本均值抽样分布近似服从: 有限总体不放回抽样，样本均值抽样分布近似服从
σ x ~ N(µ,
N-n ( )) _____ 5 - 1 - 2 n N -1
2
总体分布越偏离正态，所需要的样本单位数越多。 总体分布越偏离正态，所需要的样本单位数越多。 例5-3 见书
Y=∑ i X
1
就是样本中具有某一特征的单位数之和。 B（ 就是样本中具有某一特征的单位数之和。Y~ B（n，P） 样本比例 样本比例的数学期望和方差分别为
i
∑X
ˆ p =
1
n
（5-7）
ˆ Ε(P) = P P (1 - P ) ˆ D (P) = n 标准差
n
（5-8）
P (1 - P ) n
σ
P
ˆ θ L ,θ ˆU
ˆ θ L
∞
, ∞
,θ ˆU
3）、仅关心上限的单侧置信区间： ）、仅关心上限的单侧置信区间： ）、仅关心上限的单侧置信区间
四 总体均值的置信区间
（一）正态总体且方差已知 总体X~N(µ ,σ2), σ已知，X1,X2 … X n是来自总体的一个样 已知， 设 总体 已知 本。则样本均值
N-n ( )) n N -1
2
（5-1-2）
不论样本容量大小， 不论样本容量大小，两式都成立
书例P127 书例 假定， 为正态分布， 假定，袋装茶叶的重量 X 为正态分布，即 X~N（100，152） （ ， 某日随机抽取容量为25袋的一个样本， 某日随机抽取容量为 袋的一个样本，确定样本的平均袋 袋的一个样本 装重量低于97克的概率是多少 克的概率是多少？ 装重量低于 克的概率是多少？ 解：样本是简单随机样本，袋装重量X1,X2…X25与总体同 样本是简单随机样本，袋装重量 分布，所以样本均值亦服从正态分布。 分布，所以样本均值亦服从正态分布。
n
若总体是无限总体， 若总体是无限总体，抽样没有放回与不放回的区分
简单随机样本的性质
是来自无限总体X的一个简单随机样本 的一个简单随机样本， 设X1,X2…Xn是来自无限总体 的一个简单随机样本，则 简单随机样本具有性质： 简单随机样本具有性质： （1）同一性 与总体X具有相同的概率分布 ）同一性——与总体 具有相同的概率分布 与总体 （2）独立性 ）独立性——各Xi 相互独立 各 来自有限总体，并且抽样是放回的简单随机样本，也具 来自有限总体，并且抽样是放回的简单随机样本， 有上述性质。若抽样是不放回的， 有上述性质。若抽样是不放回的，则简单随机样本只具 有同一性。 有同一性。
x = i=1 25 所以，
∑x
25
i
x ~ N ( 100 ,
15
25
2
)
P （ X < 97 ） = Φ (
97 - 100 -3 ) = Φ( ) = 0 . 1587 15 3 25
从非正态分布的总体中抽样 的一个样本， 设 X1,X2…Xn 是来自无限总体 X 的一个样本，且E(X) =µ, Var(X)= σ² ，根据中心极限定理，随着样本容量 的无限增 根据中心极限定理，随着样本容量n的无限增 大（通常n>30） ，样本均值的分布，近似服从正态分布： 通常 ） 样本均值的分布，近似服从正态分布：
ɵ µ= X =
∑X
i =1
n
i
n
1 σ =S = X −X n −1 i=1 i ɵ2
2
∑(
n
)
2
点估计优良性评价准则 评价准则 无偏性
ˆ
ˆ θ ⇒θ
有效性
一致性
充分性
ˆ 估计量 θ 当 θ 为 θ 的无 ˆ 的数学期望 偏估计时， 偏估计时， 方 θ 等于总体参 ˆ ˆ =θ 差 E(θ −θ)2 越小 数，即 Eθ 该估计量称 ，无偏估计越 为无偏估计。 有效。 为无偏估计。 有效。
第五章 参数估计和假设检验
1
抽样分布 参数估计 假设检验的基本原理 的假设检验 分
主 要 内 容
2 3 4 5
第一节
问题: 问题
抽样分布
总体参数的值是一个未知的常数。但样本统计量的值则随 总体参数的值是一个未知的常数。 样本的不同而变化。因此， 样本的不同而变化。因此，根据样本统计量推断总体参数 必然具有某种不确定性。那么，如何判断推断的可靠性呢？ 必然具有某种不确定性。那么，如何判断推断的可靠性呢？ 概率论和数理统计的理论证明， 概率论和数理统计的理论证明，样本统计量的分布具有 某种确定的性质。这些性质反映在统计量的抽样分布中。 某种确定的性质。这些性质反映在统计量的抽样分布中。 抽样分布提供了有关统计量的整体稳定的信息， 抽样分布提供了有关统计量的整体稳定的信息，是推断 总体参数的理论基础。 总体参数的理论基础。
n i 1
所以， 的线性组合， 所以，样本比例作为 ΣX 的线性组合，其抽样分布也近似服 从正态分布： 从正态分布：
n 有限总体不放回
ˆ p =
∑X
1 n
n
i
~ N (P,
Pq ) n , 校正系数不可忽略时： Pq N - n ( )) n N -1
ˆ p =
∑X
1
i
n
~ N (P,
有：
Z=
ˆ P-P P (1 - P ) n
θˆ θˆ
满足
L
( (
U
X X
L
1
, ,
1
X X
U
2
,⋯ ,⋯
2
X X
n
), )
n
P (θ ˆ
L
〈 θ 〈θˆ
U
) = 1 − α
则称随机区间 则称随机区间
[θ , θ ] ˆ ˆ
置信度为 的置信区间。 是 θ 的置信度为1-α的置信区间。
置信 区间
置信 概率
事先确定 的概率值
评价准则 置信度 随机区间 ˆ 包含
第一节
抽样分布
一 简单随机抽样和简单随机样本的性质 二 统计量与抽样分布 三 X 的抽样分布
ˆ 四 P 的抽样分布
五
S
2
的抽样分布
一 简单随机抽样和简单随机样本的性质
从容量为N的有限总体中抽取n个总体单位 从容量为 的有限总体中抽取 个总体单位，使得 CN 抽取 个总体单位， n 1 CN 个不同的样本每一个被抽中的概率相同， 个不同的样本每一个被抽中的概率相同，都是 这种抽样方法称为简单随机抽样， 这种抽样方法称为简单随机抽样，抽得的样本称为来 简单随机抽样 简单随机样本。 自有限总体的简单随机样本 自有限总体的简单随机样本。 若将每次将被抽到的总体单位放回， 若将每次将被抽到的总体单位放回，并且在每次抽取时不论 以前是否抽中，所有N个单位被抽到的概率相等 个单位被抽到的概率相等（ ）， 以前是否抽中，所有 个单位被抽到的概率相等（1/N）， 则称为放回的简单随机抽样 放回的简单随机抽样； 则称为放回的简单随机抽样； 如果每次被抽到的总体单位不放回， 如果每次被抽到的总体单位不放回，则必须保证总体中未被 每次被抽到的总体单位不放回 抽到的任一个体被抽中的机会相等。称为不放回的简单随机 抽到的任一个体被抽中的机会相等。称为不放回的简单随机 抽样。 抽样。
一 参数估计的基本原理 点估计(数字特征法 数字特征法) 二 点估计 数字特征法 三 区间估计 四 五
X 的置信区间
ˆ P
的置信区间
2
六 正态总体 S
的区间估计
七 样本容量 n 的确定
一 参数估计的基本原理
点估计
估计未知参数。 用一个样本的具体指标 估计未知参数。 θˆ = θˆ( X 1 , X 2 , ⋯ X n) 点估计量 点估计值
θˆ = θˆ( x1 , x2 , ⋯ xn)