2020年高考一轮复习数学(理)教学课件第二章 函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第一节 函数及其表示
高考数学一轮复习第二章函数的概念基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用2.6函数与方程习题理
§2.6函数与方程1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的________．(2)函数有零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴⇔函数y＝f(x) ．由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的________．一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈，使得，这个c 也就是方程f(x)＝0的根．3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)自查自纠1．(1)f(x)＝0 实数根交点的横坐标(2)有交点有零点零点函数y＝f(x)2．f(a)·f(b)＜0 (a，b) (a，b) f(c)＝0(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1解：y＝cos x是偶函数且有无数多个零点，y＝sin x为奇函数，y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点．故选A.函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：易知函数f (x )＝2x＋x 3－2单调递增，∵f (0)＝1－2＝－1＜0，f (1)＝2＋1－2＝1＞0，∴函数f (x )在区间(0，1)内零点的个数为1.故选B .(2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象．如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，等价于两个函数的图象有两个不同的交点．结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12＜k ＜1.故选B .方程ln x ＝8－2x 的实数根x ∈(k ，k＋1)，k ∈Z ，则k ＝________.解：构造函数f (x )＝ln x ＋2x －8，∴f ′(x )＝1x＋2＞0(x ＞0)，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝－6＜0，f (2)＝ln2－4＜0，f (3)＝ln3－2＜0，f (4)＝ln4＞0，∴f (x )的唯一零点在(3，4)内，因此k ＝3.故填3.(2014·苏锡模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (x 2)＋f (k －x )只有一个零点，则实数k 的值是________．解：由f (x 2)＋f (k －x )＝0得f (x 2)＝－f (k －x )，因为f (x )是奇函数，有－f (k －x )＝f (x －k )，故有f (x 2)＝f (x －k )，又f (x )是R 上的单调函数，所以方程x 2＝x －k 即x 2－x ＋k＝0有唯一解，由Δ＝0解得k ＝14，故填14.类型一 判断函数零点所在的区间(2014·北京)已知函数f (x )＝6x－log 2x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)解：f (x )在(0，＋∞)为减函数，又f (1)＝6＞0，f (2)＝2＞0，f (4)＝32－2＝－12＜0.故选C .【点拨】要判断在给定区间连续的函数是否存在零点，只需计算区间端点的函数值是否满足零点存在性定理的条件；如果题目没有给出具体区间，则需要估算函数值并利用函数的单调性等性质来求．但应注意到：不满足f (a )·f (b )<0的函数也可能有零点，此时，应结合函数性质分析判断．(2013·北京朝阳检测)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(1，e)和(3，4)D ．(e ，＋∞)解：∵f ′(x )＝1x ＋2x 2＞0(x ＞0)，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (3)＝ln3－23＞0，f (2)＝ln2－1＜0，∴f (2)·f (3)＜0，∴f (x )唯一的零点在区间(2，3)内．故选B .类型二 零点个数的判断(2015·江苏)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．解：由题意知，方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数即为函数y ＝f (x )与y ＝1－g (x )交点个数及函数y ＝f (x )与y ＝－1－g (x )交点个数之和，而y ＝1－g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 0＜x ≤1，7－x 2，x ≥2，x 2－1，1＜x ＜2，作图易知函数y ＝f (x )与y ＝1－g (x )有两个交点，又y ＝－1－g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， 0＜x ＜1，5－x 2，x ≥2，x 2－3，1＜x ＜2，作图易知函数y ＝f (x )与y ＝－1－g (x )有两个交点，因此共有4个交点．故填4.【点拨】(1)连续函数在区间[a ，b ]上满足f (a )·f (b )＜0时，函数在(a ，b )内的零点至少有一个，但不能确定究竟有多少个．要更准确地判断函数在(a ，b )内零点的个数，还得结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断；(2)对于解析式较复杂的函数，可根据解析式特征化为f (x )＝g (x )的形式，通过考察两个函数图象的交点个数来求原函数的零点个数；(3)有时求两函数图象交点的个数，不仅要研究其走势(单调性、极值点、渐近线等)，而且要明确其变化速度快慢．(2014·福建)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2， x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________． 解：当x ≤0时，f (x )＝x 2－2，令x 2－2＝0，得x ＝2(舍)或x ＝－2， 即在区间(－∞，0]上，函数只有一个零点． 当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x ，解法一：令2x －6＋ln x ＝0，得ln x ＝6－2x .作出函数y ＝ln x 与y ＝6－2x 在区间(0，＋∞)上的图象，易得两函数图象只有一个交点，即函数f (x )＝2x －6＋ln x (x >0)只有一个零点．解法二：f ′(x )＝2＋1x，由x ＞0知f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 而f (1)＝－4＜0，f (e)＝2e －5＞0，f (1)f (e)＜0，从而f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．综上可知，函数f (x )的零点个数是2.故填2.类型三 已知零点情况求参数范围(2014·江苏)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解：函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3，4]与y ＝a 的图象有10个不同交点．在坐标系中作出函数f (x )在一个周期[0，3)上的图象如图，可知当0＜a ＜12时满足题意．故填⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 【点拨】(1)解答本题的关键在于依据函数的对称性、周期性等知识作出函数图象，将函数的零点个数问题转化为求两个函数的交点个数问题；(2)对于含参数的函数零点问题，一般先分离参数，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合要求的参数值或范围，但讨论要注意全面及数形结合．(2015·河南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，1)B ．[0，2]C ．[－2，2)D ．[－1，2)解：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，∴g (x )＝f (x )－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2， x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a .方程－x ＋2＝0的解为x ＝2，方程x 2＋3x ＋2＝0的解为x ＝－1或－2.若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，－1≤a ，－2≤a ，解得－1≤a ＜2，即实数a的取值范围是[－1，2)．故选D .1．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标，注意它是数而不是点．2．判断函数在给定区间零点的步骤(1)确定函数的图象在闭区间[a，b]上连续；(2)计算f(a)，f(b)的值并判断f(a)·f(b)的符号；(3)若f(a)·f(b)＜0，则有实数解．除了用上面的零点存在性定理判断外，有时还需结合相应函数的图象来作出判断．3．确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．1．函数y ＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解：在同一坐标系内分别做出y 1＝x ，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，根据图象可以看出交点的个数为1.故选B .2．(2015·青岛模拟)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1解：由题可知函数f (x )的图象是一条直线，所以f (x )在区间(－1，1)上存在一个零点等价于f (－1)f (1)＜0，即(1－5a )(a ＋1)＜0.解得a ＞15或a ＜－1.故选B .3．(2013·天津)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：判断函数f (x )的零点个数可转化为判断方程f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0的根的个数，由此得到|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，设y 1＝|log 0.5x |，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则两个函数y 1与y 2的交点个数即为所求，如图所示，可知交点有两个．故选B .4．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x的一个零点，若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解：由于函数g (x )＝11－x ＝－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，函数h (x )＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x )＝h (x )＋g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以函数在(1，＋∞)上只有唯一的零点x 0，且在(1，x 0)上，f (x 1)<f (x 0)＝0；在(x 0，＋∞)上，f (x 2)>f (x 0)＝0.故选B .5．(2014·黄冈九月质检)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －x 22＋x 33cos2x 在区间[－3，3]上零点的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解：令g (x )＝1＋x －x22＋x33， 则g ′(x )＝1－x ＋x 2＞0，故g (x )在R 上单调递增，而g (－3)g (3)＜0，故g (x )在(－3，3)上仅有1个零点．作图易知y ＝cos2x 在[－3，3]上有4个零点，且易判断这5个零点互不相同．故选C .6．(2015·浙江模拟)函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．8B ．6C ．4D ．2解：作出两函数的大致图象如图所示．两函数图象都关于直线x ＝1对称，且共有6个交点， 故所有交点的横坐标之和为6.故选B .7．设f (x )＝2x－x －4，x 0是函数f (x )的一个正数零点，且x 0∈(a ，a ＋1)，其中a ∈N ，则a ＝ .解：∵x 0是函数f (x )的一个正数零点，即f (x 0)＝2x 0－x 0－4＝0，知f (2)＝22－2－4＜0，f (3)＝23－3－4＞0，∴x 0∈(2，3)，再由y ＝2x与y ＝x ＋4在(0，＋∞)上只有一个交点知a 值惟一．又∵a ∈N ，∴a ＝2.故填2.8．(2014·安庆六校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |， x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0， 若函数g (x )＝f (x )＋2m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．解：作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0 的图象如图所示，令g (x )＝f (x )＋2m ＝0，则f (x )＝－2m ，由图象知，当1≤－2m ＜2，即－1＜m ≤－12时，直线y ＝－2m 与y ＝f (x )的图象有三个交点．故填⎝⎛⎦⎥⎤－1，－12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，求函数y ＝f (f (x ))＋1的所有零点构成的集合．解：先解方程f (t )＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤0，t ＋1＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧t >0，log 2t ＝－1. 得t ＝－2或t ＝12.再解方程f (x )＝－2和f (x )＝12.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＝－2和⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＝12. 得x ＝－3或x ＝14和x ＝－12或x ＝ 2.故所求为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2.10．若函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0，1)上恰有一个零点，求实数a 的取值范围． 解：f (x )在(0，1)上恰有一个零点，显然a ≠0. ∴有两种情形：①f (0)f (1)＜0，得(－1)·(2a －2)＜0⇒a ＞1；②Δ＝0且方程f (x )＝0的根在(0，1)内，令Δ＝0⇒1＋8a ＝0⇒a ＝－18，得f (x )＝－14(x 2＋4x ＋4)，此时f (x )＝0的根x 0＝－2∉(0，1)．综上知a ＞1，即实数a 的取值范围为(1，＋∞)． 11．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (1)若f (－1)＝0，试判断函数f (x )的零点个数；(2)若对任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，试证明存在x 0∈(x 1，x 2)，使f (x 0)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]成立． 解：(1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋c ＝0，b ＝a ＋c . ∵Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2， 当a ＝c 时，Δ＝0，函数f (x )有一个零点； 当a ≠c 时，Δ>0，函数f (x )有两个零点．(2)证明：令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f （x 1）－f （x 2）2，g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f （x 2）－f （x 1）2，∴g (x 1)·g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2.∵f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)·g (x 2)<0，即g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一个实根．即存在x 0∈(x 1，x 2)，使f (x 0)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]成立．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝||x cos （πx ），则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为( ) A ．5B ．6C ．7D ．8解：原问题可转化为函数f (x )与g (x )的图象在[－12，32]上的交点个数问题．由题意知函数f (x )为偶函数，且周期为2.当x ＝32，12，0，－12时，g (x )＝0，当x ＝1时，g (x )＝1，且g (x )是偶函数，g (x )≥0，由此可画出函数y ＝g (x )和函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，由图可知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上两函数图象有6个交点，故选B .。
高考数学一轮总复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第二节 函数的基本性质课件(理)
奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 偶函数 都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)是偶 关于
y轴
对
称
函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)是奇 关于
原点
对
称
函数
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使 得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那么就 称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最 小的正数，那么这个 最小 正数就叫做f(x)的最小正周期.
数f(x)在区间D上是减函数
(2)单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或 减函数 ，则称函数f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间. 2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有 f(x)≤M ；
2
减函数，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1).故选 C.
答案 C [点评] 判断函数的单调性，应首先求出函数的定义域，在定
义域内求解.
函数的奇偶性解题方略 奇偶性的判断 (1)定义法
答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
(2)[函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示，：可
以 用 逗 号 或 “ 和 ”] 函 数
f(x)
＝xBiblioteka ＋1 x的
单
调
递
增
高考理科数学一轮总复习课标通用版课件：第2章函数2-4
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[强化训练 1.1] 已知 y＝f(x)是二次函数，且 f(－32＋x)＝f(－23－x)对 x∈R 恒成立，f(－ 32)＝49，方程 f(x)＝0 的两实根之差的绝对值等于 7.求此二次函数的解析式．
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答案
1．(1)ax2＋bx＋c (2)a(x－h)2＋k
(3)a(x－x1)(x－x2) 2．(1)－2ba (2)(－2ba，4ac4－a b2) (3)向上 向下 (4)[4ac4－a b2，＋∞) (－∞，4ac4－a b2]
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02 函数的概念、基本初等函数 (Ⅰ)及函数的应用
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2．(教材改编)若函数 f(x)＝4x2－kx－8 在区间[5，20]上是单调函数，则实数 k 的取 值范围是________．
解析：二次函数的对称轴方程是 x＝8k，
故只需8k≤5 或8k≥20，即 k≤40 或 k≥160. 故所求 k 的取值范围是(－∞，40]∪[160，＋∞) 答案：(－∞，40]∪[160，＋∞)
2020届高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数2.6函数与方程课件
t2 et
,易得h(t)为偶函数,
又由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图象与直线y=a有唯一交点,则此交点的横坐标为0,
所以a= 1 0 = 1 ,故选C.
22
4.(2018天津,14,5分)已知a>0,函数f(x)=
x2 2ax a, x 0, x2 2ax 2a, x
4
x4
相对复杂的运算过程.利用数形结合时,容易在区间的端点处出现误判.
2.(2018课标全国Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)=
e
x
,
x
0,
g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取
ln x, x 0,
值范围是 ( )
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
∴包含f(x)零点的区间是(2,4),故选C.
2.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=
2x
a,
x
1,
4(x a)(x 2a), x 1.
①若a=1,则f(x)的最小值为
;
②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是
.
答案
①-1
②
1 2
,1
9
,又
x∈[0,π],所以满足要求的零点有3个.
5.(2015湖北,13,5分)函数f(x)=2sin
xsin x
2
-x2的零点个数为
.
答案 2
解析 易知f(x)=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2,函数f(x)的零点个数可转化为函数y1=sin 2x与y2=x2图象 的交点个数,在同一坐标系中画出y1=sin 2x与y2=x2的图象如图所示:
高考数学大一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第1讲函数及其表示课件理
理科数学 第二章：函数的概念与基本初等函数Ⅰ
C方法帮∙素养大提升
方法 分类讨论思想在函数中的应用
方法 分类讨论思想在函数中的应用
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
素养提升 当自变量不确定时,要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论.
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作值域. 定义域、对应关系、值域是构成函数的三要素.
说明 若两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数 是相同函数.
理科数学 第二章：函数的概念与基本初等函数Ⅰ
3.函数的表示法 函数的表示法有三种,分别为解析法、列表法和图象法.
注意 函数图象的特征:与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用 这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象.
注意 (1)函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围,而不是g(x)的取值 范围; (2)求函数的定义域时,对函数解析式先不要化简; (3)求出函数的定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式;
归纳总结 y=f(x)的定义域的类型及方法
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
注意 (1)分式中,分母不为0; (2)偶次方根中,被开方数非负;
示例3 已知二次函数f(2x+1)=4x2-6x+5,则f(x)=
.
思维导引 已知复合函数f(g(x))求f(x),可用换元法或配凑法求解.由于f(x)
是二次函数,也可采用待定系数法求解.
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
方法总结
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
考点2 分段函数（重点）
全国版高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3讲二次函数与幂函数课件理
一看符号 看二次项系数的符号,它的正负决定二次函数图象的开口方向.
二看对称轴 看对称轴和最值,它们决定二次函数图象的具体位置.
三看特殊点
看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y轴的交点、与轴
的交点,函数图象的最高点或最低点等.
从“三看”入手,能准确判断出二次函数的图象.反之,也能从图象中得到如
调递增.
上单调递.
在(-∞,0)和
(0,+∞)
上单调递减.
图象
过定点
(0,0),(1,1)
(1,1)
考点2 幂函数
规律总结 (1)幂函数在(0,+∞)上都有定义,且图象过定点(1,1).
(2)当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增.当
α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
考情解读
考点内容
课标
要求
考题取样
情境
载体
对应
考法
预测
热度
核心
素养
逻辑推理
1.二次函数
掌握
2017浙江,T5 探索创新 考法1,2 ★★★ 数学运算
直观想象
2.幂函数
了解
2020江苏,T7 课程学习 考法3
★☆☆
逻辑推理
直观想象
考情解读
本讲在高考中很少单独命题,常与其他函数、不等式、方程
命题分
等知识综合考查,命题热点为二次函数的图象和性质,对幂函数
单调性
考点1 二次函数
奇偶性
当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数.
顶点
数学(理)一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应用 第讲 函数的图象
第7讲函数的图象1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象（1）平移变换（2)对称变换①y＝f（x)错误!y＝－f(x)；关于y轴对称y＝f(－x）；②y＝f（x）――→③y＝f（x)错误!y＝－f（－x)；④y＝a x(a＞0且a≠1）错误!y＝log a x（x＞0）．（3）翻折变换①y＝f(x)错误!y＝｜f(x)｜．②y＝f(x）错误!y＝f（｜x｜）．（4)伸缩变换①y＝f（x）错误!→y＝f（ax)．②y＝f(x）错误!→y＝af（x）．1．辨明三个易误点(1)图象左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身,利用“左加右减"进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．(2）图象上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y 本身,利用“上加下减”进行操作．但平时我们是对y＝f（x）中的f （x）进行操作，满足“上加下减”．(3)要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别．2．会用两种数学思想(1)数形结合思想借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质;利用函数的图象，还可以判断方程f（x）＝g(x)的解的个数、求不等式的解集等．(2）分类讨论思想画函数图象时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论,分别画出其图象．1．函数y＝｜x－1|，则图象关于________对称( )A．（1，0）B．（－1，0）C．直线x＝1 D．直线x＝－1C y＝|x－1｜＝错误!其图象如图所示．故选C。
2．已知函数f(x)＝错误!则f(x)的图象为( ）A 由题意知函数f(x)在R上是增函数,当x＝1时，f（x)＝1，当x＝0时,f（x）＝0，故选A。
高考数学一轮复习第二章基本初等函数导数的应用第2讲函数的定义域与值域课件文
(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意 义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集． (2)已知 f(x)的定义域是[a，b]，求 f[g(x)]的定义域，是指满足 a≤g(x)≤b 的 x 的取值范围，而已知 f[g(x)]的定义域是 [a，b]，指的是 x∈[a，b]．
2．已知函数 f(x)的定义域是[0，2]，则函数 g(x)＝fx＋12＋ fx－12的定义域是__12_，__32___．
[解析] 因为函数 f(x)的定义域是[0，2]，
所以函数 g(x)＝fx＋12＋fx－12中的自变量 x 需要满足
0≤x＋12≤2， 0≤x－12≤2，
F(x)＝f(x)＋f（1x）的
[解析] 令 t＝f(x)，则12≤t≤3.
易知函数 g(t)＝t＋1t 在区间12，1上是减函数，在(1，3]上是
增函数．
又因为 g12＝52，g(1)＝2，g(3)＝130.
可知函数 F(x)＝f(x)＋f（1x）的值域为2，130.
3．已知函数 f( x＋2)＝x＋ 2 x，则函数 f(x)的值域为 _[0_，__＋__∞__)__． [解析] 令 2＋ x＝t，则 x＝(t－2)2(t≥2)． 所以 f(t)＝(t－2)2＋2(t－2)＝t2－2t(t≥2)． 所以 f(x)＝x2－2x(x≥2)． 所以 f(x)＝(x－1)2－1≥(2－1)2－1＝0， 即 f(x)的值域为[0，＋∞)．
2．已知等腰△ABC 的周长为 10，底边长 y 关于腰长 x 的函 数关系为 y＝10－2x，则函数的定义域为___x_|_52_<_x_<_5_______．
[解析] 由题意知x21>x0－ >0，120x－>20， x，即52<x<5.
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量，x的取值范围A叫做函数的定义域❶；与x的值相对应的y
值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域❷.显
然，值域是集合B的子集．
值域是一个数集，由 函数的定义域和对应 关系共同确定．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，
[解题技法]
求函数解析式的3种方法及口诀记忆
待定系 当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法 数法 来确定函数解析式
换元法
如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析 式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出 外函数的解析式
解方程 如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代 组法 换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式
(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
[解] (解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，
①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，
②
①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝2x＋1－3 2－x.
故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋1－3 2－x，x∈R.
①
把①中的x换成1x，得2f1x＋f(x)＝3x.
②
联立①②可得2fx＋f1x＝3x， 2f1x＋fx＝3x，
解此方程组可得f(x)＝2x－1x(x≠0)．
考点二 函数的定义域[全析考法过关]
[考法全析]
考法(一) 已知函数解析式求定义域
[例1] 求下列函数的定义域：
考法(一)是根据具体的函数解析式求定义域，已知解 析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的 取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满 足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可． 看 考法(二)是求抽象函数的定义域，有如下解法： 个 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 性 f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义 域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 考法(三)是考法(一)的逆运用，通常是转化为含参数的 不等式求解
[熟记常用结论] (1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R； (2)若f(x)为分式，则要求分母不为0； (3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0； (4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负； (5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义． 如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价 于解不等式(组)．
2020年高考一轮复习 数学（理）教学课件
第二章 函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)
全国卷5年考情图解
高考命题规律把握
1.高考对本章的考查一般为1～3道小题． 2.从考查内容上看主要涉及函数的图象，多为给出具体函数解
析式判断函数的图象；函数的性质及函数性质的综合问题； 指数、对数、幂函数的图象与性质；分段函数，既有求函数 值，也有解不等式，常与指数、对数函数，零点相结合． 3.本章一般不单独涉及解答题，在解答题中多与导数、不等式 结合命题，试题难度较大.
于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.
3．函数f(x)＝ 2x－1＋x－1 2的定义域为__[_0_,2_)_∪__(2_，__＋__∞__)_． 解析：由题意得2xx－－21≠≥00，， 解得x≥0且x≠2.
4．若函数f(x)＝e5x－－1x，2，x≤x>11，， 则f(f(2))＝____1____. 解析：由题意知，f(2)＝5－4＝1，f(1)＝e0＝1， 所以f(f(2))＝1.
即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)． 答案：C
2．[口诀第1句]已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－ 3 ， 3 ]， 则函数y＝f(x)的定义域为_[_－__1_,2_]__．
[解] (待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx， 又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， 即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1， 所以2aa＋＋bb＝＝1b，＋1， 解得a＝b＝12. 所以f(x)＝12x2＋12x，x∈R.
考点一 求函数的解析式 [师生共研过关]
[题组练透]
(1)已知f2x＋1＝lg x，求f(x)的解析式． [解] (换元法)令2x＋1＝t，得x＝t－2 1， 代入得f(t)＝lgt－2 1，又x>0，所以t>1， 故f(x)的解析式是f(x)＝lgx－2 1，x∈(1，＋∞)．
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 求f(x)的解析式．
5．已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则f(2)＝__－__2_0_. 解析：∵函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4) ∴4＝－a＋2，∴a＝－2，即f(x)＝－2x3－2x， ∴f(2)＝－2×23－2×2＝－20.
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
[过关训练]
1．[口诀第1、2、3、4句]y＝
x2－x1－log2(4－x2)的定义域是
()
A．(－2,0)∪(1,2)
B．(－2,0]∪(1,2)
C．(－2,0)∪[1,2)
D．[－2,0]∪[1,2]
解析：要使函数有意义，则xx－ 2≠x10≥，0，
4－x2>0，
解得x∈(－2,0)∪[1,2)，
∴aa＋ －bb＋ ＋cc＝ ＝15， ， c＝0，
解得ab＝ ＝3－，2， c＝0，
∴g(x)＝3x2－2x.
3．[口诀第4句]已知f(x)满足2f(x)＋f1x＝3x，则f(x)＝2_x_－__1x_(_x_≠__0_).
解析：∵2f(x)＋f1x＝3x，
mx－1 mx2＋4mx＋3
的定义域为R，则实数
m的取值范围是
(D)
A.0，34
B.0，34
C.0，34
D.0，34
[解析] ∵函数y＝mx2m＋x4－m1x＋3的定义域为R，
∴mx2＋4mx＋3≠0，∴m＝0或mΔ＝≠106，m2－12m＜0， 即m＝0或0＜m＜34，∴实数m的取值范围是0，34.
对应关 系f： A→B
应关系f，使对于集合A 应关系f，使对于集合A
中的任意一个数x，在 中的任意一个元素x，在
集合B中都有唯一确定 集合B中都有唯一确定的
的数f(x)和它对应
元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A 称对应f：A→B为从集合 到集合B的一个函数 A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段 值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交.
3．分段函数❸ 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有 着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
(2)若函数f(x)＝ ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}， 则a＋b的值为___－__92___．
[解析]∵函数f(x)＝ ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，
a＜0， ∴f1＝0，
f2＝0，
解得a＝－32， b＝－3，
∴a＋b＝－92.
[规律探求]
对应f：A→B是一个映射
(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发． (2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域． (3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的 x的集合即为定义域.
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变
口诀记忆
解析式，如何定，待定换元解方程； 已知函数有特征，待定系数来确定； 复合函数问根源，内函数，先换元； 两个函数有关系，方程组中破玄机.
[过关训练]
1．[口诀第3句]已知函数f(x－1)＝x＋x 1，则函数f(x)的解析式为
A．f(x)＝xx＋＋21
B．f(x)＝x＋x 1
(A)
C．f(x)＝x－x 1
D.－12，0
[解析]
由题意得－1＜x2＜1， －1＜x－1＜1，
∴－0＜2＜x＜x＜2，2，
∴0＜x＜2，∴函数g(x)＝fx2＋f(x－1)的定义域为(0,2)，故选C. [答案] C
考法(三) 已知函数的定义域求参数的值(范围)
[例3]
(1)若函数y＝
即xx>＋－41，x－1＜0， 解不等式组得－1＜x＜1. 因此函数f(x)的定义域为(－1,1)．
考法(二) 求抽象函数的定义域
[例2] 已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝
fx2＋f(x－1)的定义域为 A．(－2,0)
B．(－2,2)
()
C．(0,2)
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.
( ×)
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等
函数．
(× )
(3)函数是一种特殊的映射．
Hale Waihona Puke (√ )(4)若A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝|x|，则对应f可看作从A
到B的映射． (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．
D．f(x)＝x＋1 2
解析：令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝tt＋ ＋12，
即f(x)＝xx＋ ＋12.故选A.