2021届高三数学第一轮复习 函数的概念及表示教案 文
高三数学一轮复习函数及其表示1教案(1)
高三数学一轮复习函数及其表示1教案教材分析：以函数的概念与表示，分断函数及应用为重点，并注意新型概念与思维创新，高考以选择题、填空题为主出现。
学情分析：学生以C类为主，教学中注意基础知识的回顾与巩固。
教学目标：1.了解函数、映射的概念，会求一些简单的函数定义域和值域。
2.理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法。
3.了解简单的分断函数，并能简单应用。
教学重点、难点：会求一些简单的函数定义域和值域，了解简单的分断函数，并能简单应用。
教学流程：一、课堂提问——知识回顾1.映射的概念与判定方法C设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射，记作f:A→B。
2.函数的三要素及其表示法B①函数的三要素是定义域，值域，对应法则。
判断两个函数是否为相等函数只需判定两点: 定义域是否相同和对应法则是否相同。
函数的定义域：使f（x）有意义的自变量x的取值范围。
函数的值域：函数值的取值范围。
②函数的三种表示方法有解析法、图象法和列表法。
3.区间的概念C4.分段函数与复合函数B/A①如果一个函数在定义域的不同子集中因对应关系不同而用几个不同的式子来表示，这样的函数叫做分段函数.分段函数的求法是分别求出解析式再组合在一起，但要注意各区间之间的点不重复、无遗漏。
②如果y=f(u)，u=g(x)，那么函数y=f［g(x)］叫做复合函数，其中f(u)叫做外层函数，g(x)叫做内层函数。
二、课堂练习——习题讲练例1.判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射：C(1)A=R,B={x|x>0}，f:x→|x|；(2)A=N,B=N f:x→|x-2|；(3)A={x|x>0},B=R，f:x→x2.[分析](1)0∈A，在法则f下，0→|0|=0B，故该对应不是从集合A到集合B的映射；(2)2∈A，在法则f下，2→|2-2|=0B，故该对应不是从集合A到集合B的映射；(3)对于任意x∈A，依法则f:x→x2∈B，故该对应是从集合A到集合B的映射.[小结]函数是特殊的映射，即从非空数集到非空数集的映射.练习1.下列从M到N的各对应法则中，哪些是映射？哪些是函数？哪些不是映射？为什么？B(1)M={直线A x+B y+C=0}，N=R，f1:求直线A x+B y+C=0的斜率;(2)M={直线A x+B y+C=0}，N={α|0≤α＜π}，f2:求直线A x+B y+C=0的倾斜角;(3)当M=N=R，f3:求M中每个元素的正切；(4)M=N={x|x≥0}，f4:求M中每个元素的算术平方根.解：(1)当B=0时，直线Ax+C=0的斜率不存在，此时N中不存在与之对应的元素，故f1不是从M到N的映射，也就不是函数了.(2)对于M 中任一元素Ax +By +C=0，该直线恒有唯一确定的倾斜角α，且α∈［0，π)，故f 2是从M 到N 的映射.但由于M 不是数集，从而f 2不是从M 到N 的函数.(3)由于M 中元素2k ππ+ (k ∈Z )的正切无意义，即它在N 中没有象，故f 3不是从M 到N 的映射，自然也不是函数.(4)对于M 中任一非负数，其算术平方根唯一且确定，故f 4是从M 到N 的映射，又M 、N 均为非空数集，所以f 4是从M 到N 的函数.例2.求下列函数的定义域C/B (1)2121y x =+ (2) 1y x x =-(3) 12y x =-(4) ()211x y x +=-+练习2.(1)已知函数()f x 的定义域是[]1,1-，求函数(21)f x -的定义域.C(2)已知函数(23)f x +的定义域是[)4,5-，求函数(23)f x -的定义域.B/A(3) 已知函数1()1f x x =+，求函数[]()f f x 的定义域.B/A例3.试判断以下各组函数是否表示相等函数？C/B(1) 1,y x x R =-∈与1,y x x N =-∈(2) y =与y =(3) 1y x =+与1y t =+练习3. 试判断以下各组函数是否表示相等函数？C/B (1) ()0()1,()1f x x g x =-=(2) ()1,()f x x g x =-=(3) ()22(),()1f x x g x x ==+(4) 22()1,()1f x x g u u =-=-例4.已知二次函数2()y a x b x c x R =++∈的部分对应值如下表:C/B(1) 求函数的解析式；(2) 求(3),(4)f f -；(3)求函数的定义域和值域；(4) 求不等式20a x b x c ++≤的解集.练习4.求例4中二次函数[)2,3,2y a x b x c x =++∈--的值域.C三、作业布置1.求函数y =的定义域.C2. 求函数2ln (2)x x y x x +-=-的定义域.C3. 若函数(1)f x +的定义域为[]0,1,求函数(22)x f -及函数0(2)(1)f x x -的定义域.B4.已知函数22()1x f x x =+,求111(1)(2)()(3)((4)()234f f f f f f f ++++++的值.C 5.函数()f x 的定义域是R,值域是[]1,2,求函数(21)f x -的定义域和值域. A四、板书设计。
(新人教)高三数学第一轮复习教案2.2.1函数(1)函数概念
一．课题：函数（1）——函数概念二．教学目的：1. 能用映射的概念理解函数的概念，掌握函数符号“()y f x =”，掌握区间的概念；2. 培养学生理解抽象概念的能力。
三．教学重点、难点：函数的概念 四．教学过程： （一）复习：（提问）1．什么映射？一一映射？2．下列对应是不是从A 到B 的映射？（1）A R =，{|0}B x R x =∈>，f ：||x y x →=； （不是） （2）A B N ==，f ：|3|x y x →=-； （是）（3）{|0}A x R x =∈>，B R =，f ：x y →= （不是） （4）{|06}A x x =≤≤，{|03}B y y =≤≤，f ：12x y x →=f ：13x y x →= f ：x y x →= f ：16x y x →= （是） （是） （不是） （是） （二）新课讲解： 1．函数的定义：（1）传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的一个值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数，自变量x 的取值的集合叫做定义域，自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）近代定义：（从映射的观点定义函数）如果,A B 都是非空的数集，那么A 到B 的映射f ：A B →就叫做A 到B 的函数，记作()y f x =，其中x A ∈，y B ∈，原象的集合叫做函数()y f x =的定义域，象的集合C （C B ⊆）叫做函数()y f x =的值域。
说明：①映射f ：A B →，,A B 都是非空的数集；②函数的三要素：定义域、值域、对应法则；③函数符号()y f x =表示“y 是x 的函数”，可简记为函数()f x ，有时也用(),()g x F x 。
④()f a 的意义：自变量x 取确定的值a 时，对应的函数值用符号()f a 表示； ⑤定义域：自变量x 的取值的集合， 值域：函数值y 的集合； ⑥两个函数相同：当且仅当函数的三要素全相同。
高考数学一轮复习教学案函数及其表示(含解析)
第一节函数及其表示[知识能否忆起]1．函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A 到集合B的一个映射．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[小题能否全取]1．(教材习题改编)设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于()A．－2x＋1B．2x－1C．2x－3 D．2x＋7解析：选D f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7.2．(·江西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23D.139解析：选D f (3)＝23，f (f (3))＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139. 3．已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12xD ．f ：x →y ＝x解析：选D 按照对应关系f ：x →y ＝x ，对A 中某些元素(如x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．4．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝____________. 解析：令t ＝1x ，则x ＝1t .所以f (t )＝1t 2＋5t .故f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)．答案：5x ＋1x2(x ≠0)5．(教材习题改编)若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.即f (x )＝x 2－4x ＋3.所以f (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8. 答案：81.函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射．(2)映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数y ＝sin x 与y ＝cos x ，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同．3．求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．函数的基本概念典题导入[例1] 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；(4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．[自主解答] 对于(1)，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于(4)，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是(2)(3)． [答案] (2)(3)由题悟法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．以题试法1．试判断以下各组函数是否表示同一函数．(1)y＝1，y＝x0；(2)y＝x－2·x＋2，y＝x2－4；(3)y＝x，y＝3t3；(4)y＝|x|，y＝(x)2.解：(1)y＝1的定义域为R，y＝x0的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，故它们不是同一函数．(2)y＝x－2·x＋2的定义域为{x|x≥2}．y＝x2－4的定义域为{x|x≥2，或x≤－2}，故它们不是同一函数．(3)y＝x，y＝3t3＝t，它们的定义域和对应关系都相同，故它们是同一函数．(4)y＝|x|的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，故它们不是同一函数．求函数的解析式典题导入[例2] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． [自主解答] (1)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．由题悟法函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式(如例(1))；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))；(4)方程思想：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )(如A 级T6)．以题试法2．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：(1)法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.分 段 函 数典题导入[例3] (·广州调研考试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞)，若f (x )>4，则x 的取值范围是______．[自主解答] 当x <1时，由f (x )>4，得2－x >4，即x <－2；当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2， 由于x ≥1，所以x >2. 综上可得x <－2或x >2.[答案] (－∞，－2)∪(2，＋∞)若本例条件不变，试求f (f (－2))的值． 解：∵f (－2)＝22＝4， ∴f (f (－2))＝f (4)＝16.由题悟法求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．以题试法3.(·衡水模拟)已知f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为________． 解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝⎛⎭⎫1，32和⎝⎛⎭⎫1，32，(2,0)分别代入， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎨⎧32x ，0≤x ≤1，3－32x ，1≤x ≤21．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2 B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100答案：D2．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：选D 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}．3．(·安徽高考)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C 对于选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于选项B ，f (x )＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥0，2x ，x ＜0，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于选项D ，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )；对于选项C ，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos (πx )，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．1 C ．2D ．3解析：选D f ⎝⎛⎭⎫43＝12，f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＋2＝52，f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝3. 5．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是( )解析：选C 从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．6．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：选B 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.① 将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， 即f (x )＝x ＋1.7．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 解析：由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋p ＋q ＝0，22＋2p ＋q ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3，q ＝2.故f (x )＝x 2－3x ＋2.所以f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6. 答案：68．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________．解析：由函数的定义，对定义域内的每一个x 对应着唯一一个y ，据此排除①④，③中值域为{y |0≤y ≤3}不合题意．答案：②10．若函数f (x )＝xax ＋b (a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．解：由f (2)＝1得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ，又因方程有唯一解，故1－ba ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以f (x )＝2x x ＋2. 11.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是 2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解：当x ∈[0,30]时，设y ＝k 1x ＋b 1， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝115，b 1＝0.即y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2； 当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝110，b 2＝－2.即y ＝110x －2.综上，f (x )＝⎩⎨⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈(30，40)，110x －2，x ∈[40，60].12．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：(1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价． (3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．1．(·北京高考)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D 因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以cA＝15，① 所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.2．(·江西红色六校联考)具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.3．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有 a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x . ∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1>2x ＋5，即x 2－3x －4>0， 解得x >4或x <－1.故原不等式解集为{x |x >4，或x <－1}．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.解析：∵f (0)＝3×0＋2＝2，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a＝2.答案：22．若函数的定义域为{x|－3≤x≤6，且x≠4}，值域为{y|－2≤y≤4，且y≠0}，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象．解：本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示．3．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x.(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析式．解：(1)因为对任意x∈R有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2，又f(2)＝3，从而f(1)＝1.若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.(2)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，故对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.在上式中令x＝x0，有f(x0)－x20＋x0＝x0.又因为f(x0)＝x0，所以x0－x20＝0，故x0＝0或x0＝1.若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易证该函数满足题设条件．综上，所求函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.。
高三数学总复习 函数及其表示教案
城东蜊市阳光实验学校2021届高三数学总复习函数及其表示教案A版1.(必修1P24练习5改编)假设f(x)＝x－x2，那么f＝________，f(n＋1)－f(n)＝________．答案：－2n2.(必修1P29习题8改编)假设函数f(x)和g(x)分别由下表给出：那么f(g(1))＝____________，满足g(f(x))＝1的x值是________．答案：31解析：f(g(1))＝f(2)＝3；由g(f(x))＝1，知f(x)＝2，所以x＝1.3.(必修1P31练习4)以下列图象表示函数关系y＝f(x)的有________．(填序号)答案：①④解析：根据函数定义，定义域内任意的一个自变量x的值都有唯一一个y与之对应．4.(必修1P31练习3改编)用长为30cm的铁丝围成矩形，假设将矩形面积S(cm2)表示为矩形一边长x(cm)的函数，那么函数解析式为____________，其函数定义域为______________.答案：S＝x(15－x)x∈(0，15)解析：矩形的另一条边长为15－x，且x>0，15－x>0.5.(必修1P32习题7改编)函数f(x)＝假设f(a)＝a，那么实数a＝________．答案：或者者－1解析：假设a≥0，那么1－a＝a，得a＝；假设a<0，那么＝a，得a＝－1.1.函数的定义一般地，设A、B是两个非空的数集，假设按照某种对应法那么f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的一个元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A．2.函数的三要素函数的构成三要素为定义域、值域、对应法那么．由于值域是由定义域和对应法那么决定的，所以假设两个函数的定义域和对应法那么完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．3.函数的表示方法表示函数的常用方法有列表法、解析法、图象法．4.分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集．5.映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，假设按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．[备课札记]题型1函数的概念例1判断以下对应是否是从集合A到集合B的函数．(1)A＝B＝N*，对应法那么f：x→y＝|x－3|，x∈A，y∈B；(2)A＝[0，＋∞)，B＝R，对应法那么f：x→y，这里y2＝x，x∈A，y∈B；(3)A＝[1，8]，B＝[1，3]，对应法那么f：x→y，这里y3＝x，x∈A，y∈B；(4)A＝{(x，y)|x、y∈R}，B＝R，对应法那么：对任意(x，y)∈A，(x，y)→z＝x＋3y，z∈B.解：(1)对于A中的元素3，在f的作用下得到0，但0不属于B，即3在B中没有元素与之对应，所以不是函数．(2)集合A中的一个正数在集合B中有两个元素与之对应，所以不是函数．(3)由y3＝x，即y＝，因为A＝[1，8]，B＝[1，3]，对应法那么f：x→y，符合函数对应．(4)由于集合A不是数集，所以此对应法那么不是函数．以下说法正确的选项是______________．(填序号)①函数是其定义域到值域的映射；②设A＝B＝R，对应法那么f：x→y＝＋，x∈A，y∈B，满足条件的对应法那么f构成从集合A到集合B的函数；③函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点有且只有1个；④映射f：{1，2，3}→{1，2，3，4}满足f(x)＝x，那么这样的映射f一一共有1个．答案：①④解析：②中满足y＝＋的x值不存在，故对应法那么f不能构成从集合A到集合B的函数；③中函数y ＝f(x)的定义域中假设不含x＝1的值，那么其图象与直线x＝1没有交点．题型2函数的解析式例2求以下各题中的函数f(x)的解析式．(1)f(＋2)＝x＋4，求f(x)；(2)f＝lgx，求f(x)；(3)函数y＝f(x)满足2f(x)＋f＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)；(4)f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求f(x)．解：(1)(解法1)设t＝＋2，那么＝t－2，即x＝(t－2)2，∴f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＝t2－4，∴f(x)＝x2－4(x≥2)．(解法2)∵f(＋2)＝(＋2)2－4，∴f(x)＝x2－4(x≥2)．(2)设t＝＋1，那么x＝，∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1)．(3)由2f(x)＋f＝2x，①将x换成，那么换成x，得2f＋f＝，②①×2－②，得3f(x)＝4x－，得f(x)＝x－.(4)∵f(x)是二次函数，∴设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c＝1.由f(x＋1)＝f(x)＋2x，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝(ax2＋bx＋1)＋2x，整理，得(2a－2)x＋(a＋b)＝0，由恒等式原理，知∴f(x)＝x2－x＋1.求以下函数f(x)的解析式．(1)f(1－x)＝2x2－x＋1，求f(x)；(2)f＝x2＋，求f(x)；(3)一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x－1，求f(x)；(4)定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)．解：(1)(换元法)设t＝1－x，那么x＝1－t，∴f(t)＝2(1－t)2－(1－t)＋1＝2t2－3t＋2，∴f(x)＝2x2－3x＋2.(2)(配凑法)∵f＝x2＋＝2＋2，∴f(x)＝x2＋2.(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，那么f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.∵f(f(x))＝4x－1，∴解得或者者∴f(x)＝2x－或者者f(x)＝－2x＋1.(4)(消去法)当x∈(－1，1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，①以－x代替x得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)，②由①②消去f(－x)得，f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1，1)．题型3分段函数例3实数a≠0，函数f(x)＝(1)假设a＝－3，求f(10)，f(f(10))的值；(2)假设f(1－a)＝f(1＋a)，求a的值．解：(1)假设a＝－3，那么f(x)＝所以f(10)＝－4，f(f(10))＝f(－4)＝－11.(2)当a>0时，1－a<1，1＋a>1，所以2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－，不合，舍去；当a<0时，1－a>1，1＋a<1，所以－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－，符合．综上可知，a＝－.如下列图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)画出y＝f(x)的图象．解：(1)y＝(2)y＝f的图象如图．1.(2021·期末)假设函数f(x)＝那么f(f(0))＝________．答案：0解析：f(0)＝30＝1，f(f(0))＝f(1)＝log21＝0.2.(2021·一模)定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，当x∈(－2，0)时，f(x)＝4x，那么f(2013)＝________．答案：解析：由，f(x)是以2为周期的周期函数，故f(2013)＝f(－1)＝4－1＝.3.(2021·期末)函数f(x)＝那么使f(f(x))＝2成立的实数x的集合为________．答案：{x|0≤x≤1或者者x＝2}解析：当x∈[0，1]时，f(f(x))＝f(2)＝2成立；当x[0，1]时，f(f(x))＝f(x)＝x，要使f(f(x))＝2成立，只需x＝2.综上，实数x的集合为{x|0≤x≤1或者者x＝2}．4.(2021·苏南四一模)函数f(x)＝＋＋＋，那么f＋f＝________．答案：8解析：因为f(x)＝＋＋＋＝4－.设g(x)＝＋＋＋，那么g(－5－x)＝－，所以g(x)＋g(－5－x)＝0，从而f(x)＋f(－5－x)＝8，故f＋f＝8.1.函数f(x)＝alog2x－blog3x＋2，假设f＝4，那么f(2014)的值是________．答案：0解析：∵f＝alog2－blog3＋2＝－(alog22014－blog32014)＋2＝4，∴f(2014)＝alog22014－blog32014＋2＝(－2)＋2＝0.2.函数f(x)＝那么满足不等式f(f(x))>1的x的取值范围是________．答案：(4，＋∞)解析：当x≤0时，2x∈(0，1]，f(f(x))＝log22x＝x>1，不符合；当0<x≤1时，log2x≤0，f(f(x))＝2log2x＝x>1，不符合；当x>1时，log2x>0，f(f(x))＝log2(log2x)>1，解得x>4.3.集合M＝{f(x)|存在实数t使得函数f(x)满足f(t＋1)＝f(t)＋f(1)}，那么以下函数(a、b、c、k都是常数)：①y＝kx＋b(k≠0，b≠0)；②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；③y＝ax(0<a<1)；④y＝(k≠0)；⑤y＝sinx.其中属于集合M的函数是________．(填序号)答案：②⑤解析：对于①，由k(t＋1)＋b＝kt＋b＋k＋b，得b＝0，矛盾，不符合；对于②，由a(t＋1)2＋b(t ＋1)＋c＝at2＋bt＋c＋a＋b＋c，得t＝，符合题意；对于③，由at＋1＝at＋a1，所以at＝，由于0<a<1，at＝<0，无解；对于④，由＝＋k，无解；对于⑤，由sin(t＋1)＝sint＋sin1，取t＝2kπ，k∈Z，符合题意．综上，属于集合M的函数是②⑤.4.f(x)为二次函数，不等式f(x)＋2＜0的解集是，且对任意α、β∈R恒有f(sinα)≤0，f(2＋cosβ)≥0，求函数f(x)的解析式．解：设f(x)＝a(x＋1)－2(a＞0)，∵函数f(x)对任意α、β∈R恒有f(sinα)≤0，f(2＋cosβ)≥0，取sinα＝1，cosβ＝－1，那么f(1)≤0与f(1)≥0同时成立，∴f(1)＝0，∴a＝，∴f(x)＝x2＋x－.1.函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B 的映射；而映射不一定是函数从A到B的一个映射，A、B假设不是数集，那么这个映射不是函数．2.函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应法那么是否给出；②根据给出的对应法那么，自变量在定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．3.函数解析式的求解方法通常有：配凑法，换元法，待定系数法及消去法．用换元法求解时要特别注意新元的范围，即所求函数的定义域；而消去法表达的方程思想，即根据条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．[备课札记]。
届数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第7节函数的图象教学案含解析
第7节函数的图象考试要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.知识梳理1。
利用描点法作函数的图象步骤：(1）确定函数的定义域；(2）化简函数解析式；（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线。
2.利用图象变换法作函数的图象（1)平移变换（2)对称变换y＝f（x)的图象错误!y＝－f（x）的图象;y＝f（x）的图象错误!y＝f（－x)的图象；y＝f（x）的图象错误!y＝－f（－x)的图象；y＝a x（a>0，且a≠1）的图象错误!y＝log a x(a〉0,且a≠1)的图象. (3)伸缩变换y＝f（x)错误!y＝f（ax).y＝f（x)错误!y＝Af(x)。
（4）翻折变换y＝f(x)的图象错误!y＝|f（x)｜的图象；y＝f(x)的图象错误!y＝f（|x|)的图象.[常用结论与微点提醒］1.记住几个重要结论(1）函数y＝f(x）与y＝f（2a－x)的图象关于直线x＝a对称。
（2）函数y＝f(x)与y＝2b－f（2a－x）的图象关于点(a，b）中心对称.（3)若函数y＝f（x）对定义域内任意自变量x满足：f（a＋x）＝f(a－x),则函数y＝f（x)的图象关于直线x＝a对称.2.图象的左右平移仅仅是相对于．．．x．而言,如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.3。
图象的上下平移仅仅是相对于．．．y．而言的，利用“上减下加”进行。
诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√"或“×”）(1）当x∈（0，＋∞）时，函数y＝｜f(x）｜与y＝f（|x｜)的图象相同.（）（2)函数y＝af(x)与y＝f(ax）（a〉0且a≠1）的图象相同.（）(3)函数y＝f(x)与y＝－f（x)的图象关于原点对称.(）（4)若函数y＝f(x）满足f(1＋x)＝f（1－x)，则函数f（x)的图象关于直线x＝1对称。
高中一轮复习教案数学
高中一轮复习教案数学第一课：函数及其性质
1.1 函数的定义和性质
概念：函数的定义和表示方法
性质：单调性、奇偶性、周期性等
1.2 函数的基本变换
平移、翻转、缩放等基本函数的变换方法
例题：给出函数图像，要求根据变换规律求新函数的图像1.3 复合函数
概念：复合函数的定义和计算方法
例题：计算复合函数的值，并分析其性质
1.4 反函数
概念：反函数的存在条件及求解方法
例题：给定函数，求其反函数，并验证是否合理
第二课：三角函数及其应用
2.1 三角函数的概念与性质
正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质
例题：解三角函数方程，证明恒等式等
2.2 三角函数的图像与变换
三角函数的图像特征及平移、翻转、缩放等变换规律
例题：给定函数图像，要求根据变换规律求新函数的图像2.3 三角函数的应用
三角函数在几何、物理等领域的应用
例题：实际问题中的三角函数应用
第三课：导数与微分
3.1 导数的概念与性质
导数的定义、导数与函数图像的关系等基本性质
例题：求函数的导数，研究导数的性质
3.2 导数的计算
常见函数的导数计算方法
例题：计算给定函数的导数，并分析其变化规律
3.3 微分的应用
微分的定义及在近似计算、最值问题等方面的应用
例题：利用微分求函数的极值点，解几何问题等
以上是高中数学一轮复习的教案范本，希望对你的备考有所帮助。
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2021高考数学一轮复习第1讲函数及其表示学案含解析.doc
第二章函数、导数及其应用第1讲函数及其表示[考纲解读] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．(重点)3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2021年会考查函数的解析式与分段函数的应用，可能涉及函数的求值、函数图象的判断及最值的求解.1．函数及有关概念(1)函数的概念设A，B是□01非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的□02任意一个数x，在集合B中都有□03唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作□04y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的□05定义域；与x的值相对应的y值叫做□06函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的□07值域．(3)函数的三要素：□08定义域、□09对应关系和□10值域．(4)相等函数：如果两个函数的□11定义域和□12对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有□01解析法、□02图象法和□03列表法．3．分段函数(1)定义：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的□01对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．(2)分段函数的相关结论①分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．②分段函数的定义域等于各段函数的定义域的□02并集，值域等于各段函数的值域的□03并集．1．概念辨析(1)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .( ) (2)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( ) (4)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．小题热身 (1)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)答案 C解析 由⎩⎨⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3，所以已知函数的定义域为⎣⎡⎭⎫32，3∪(3，＋∞)． (2)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x ＋1D ．y ＝x 2＋1答案 B解析 对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．(3)若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋2，x ≤0，2x －4，x >0，则f [f (1)]的值为( )A ．－10B ．10C ．－2D ．2 答案 C解析 f (1)＝21－4＝－2，f [f (1)]＝f (－2)＝2×(－2)＋2＝－2.(4)函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________，值域是________，其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．(图中，曲线l 与直线m 无限接近，但永不相交)答案 [－3,0]∪[1,4) [1，＋∞) [1,2)∪(5，＋∞)解析 观察函数y ＝f (x )的图象可知，f (x )的定义域为[－3,0]∪[1,4)，值域是[1，＋∞)，当y ∈[1,2)∪(5，＋∞)时，只有唯一的x 值与之对应．(5)已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________. 答案5x ＋1x 2(x ≠0) 解析 令t ＝1x ，则t ≠0，x ＝1t ，f (t )＝⎝⎛⎭⎫1t 2＋5·1t ＝5t ＋1t 2.所以f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)．题型一 函数的定义域1．函数y ＝lg (2－x )12＋x －x 2＋(x －1)0的定义域是( )A ．{x |－3＜x ＜1}B ．{x |－3＜x ＜2且x ≠1}C ．{x |0＜x ＜2}D ．{x |1＜x ＜2}答案 B解析要使函数解析式有意义，须有⎩⎨⎧2－x ＞0，12＋x －x 2＞0，x －1≠0，解得⎩⎨⎧x ＜2，－3＜x ＜4，x ≠1，所以－3＜x ＜2且x ≠1.故已知函数的定义域为{x |－3＜x ＜2且x ≠1}．2．函数f (x )的定义域是[2，＋∞)，则函数y ＝f (2x )x －2的定义域是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 依题意得⎩⎨⎧2x ≥2，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2，所以函数y ＝f (2x )x －2的定义域是[1,2)∪(2，＋∞)．3．(2020·安阳三校联考)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4]答案 D解析 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立．当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎨⎧m ＞0，m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上可得，0≤m ≤4.1.函数y ＝f (x )的定义域2.抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．如举例说明2中f (x )的定义域是[2，＋∞)，f (2x )中x 应满足2x ≥2.(2)若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域. 3.已知函数的定义域求参数问题的解题步骤(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题．如举例说明3.(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围.1.函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln (x －1)的定义域为( )A.[1,10] B ．[1,2)∪(2,10] C.(1,10] D ．(1,2)∪(2,10]答案 D解析要使原函数有意义，则⎩⎨⎧－x 2＋9x ＋10≥0，x －1＞0，x －1≠1，解得1＜x ≤10且x ≠2，所以函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln (x －1)的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选D.2.(2020·东北师大附中摸底)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎫x －12的定义域是( )A.⎣⎡⎦⎤12，1 B.⎣⎡⎦⎤12，2 C.⎣⎡⎦⎤12，32 D.⎣⎡⎦⎤1，32 答案 C解析由题意得⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，解得12≤x ≤32，所以函数g (x )的定义域是⎣⎡⎦⎤12，32. 3.已知函数y ＝1kx 2＋2kx ＋3的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________.答案 [0,3)解析 当k ＝0时，y ＝13，满足条件；当k ≠0时，由⎩⎨⎧ k ＞0，4k 2－12k ＜0，得0＜k ＜3.⎩⎨⎧k <0，4k 2－12k <0，无解.综上，0≤k ＜3.题型二 求函数的解析式1.已知f ⎝⎛⎭⎫2x －1＝lg x ，则f (x )＝________. 答案 lg2x ＋1(x >－1) 解析 令t ＝2x －1，则由x >0知2x －1>－1，x ＝2t ＋1，所以由f ⎝⎛⎭⎫2x －1＝lg x ，得f (t )＝lg 2t ＋1(t >－1)，所以f (x )＝lg2x ＋1(x >－1). 2.已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋x －2，则f (x )＝________. 答案 x 2－2(x ≥2或x ≤－2)解析 因为f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋x －2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 且当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，x ＋1x ≤－2，所以f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2).3.已知f (x )是二次函数且f (0)＝5，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 答案12x 2－32x ＋5 解析 因为f (x )是二次函数且f (0)＝5， 所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋5(a ≠0). 又因为f (x ＋1)－f (x )＝x －1，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋5－(ax 2＋bx ＋5)＝x －1，整理得(2a －1)x ＋a ＋b ＋1＝0，所以⎩⎨⎧2a －1＝0，a ＋b ＋1＝0，解得a ＝12，b ＝－32，所以f (x )＝12x 2－32x ＋5.4.已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 答案 2x －1x(x ≠0)解析 因为2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①所以将x 用1x 替换，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x ，② 由①②解得f (x )＝2x －1x (x ≠0)，即f (x )的解析式是f (x )＝2x －1x (x ≠0).求函数解析式的四种方法1.若函数f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝4x ＋3，则函数f (x )的解析式为________. 答案 f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝af (x )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋3，∴⎩⎨⎧a 2＝4，ab ＋b ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－3，∴f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3.2.已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则函数f (x )的解析式为________. 答案 f (x )＝x 2－1(x ≥1)解析 解法一：∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1，且x ＋1≥1.∴f (x )＝x 2－1(x ≥1).解法二：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)．代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1(x ≥1).题型三 分段函数角度1 求分段函数的函数值1.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 5x ，x ＞0，2x ，x ≤0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫125等于( ) A.4 B.14 C ．－4 D ．－14答案 B解析 f ⎝⎛⎭⎫125＝log 5125＝－2，f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫125＝f (－2)＝14. 角度2 分段函数与方程、不等式的综合问题2.设函数f (x )＝⎩⎨⎧4x ＋a ，x <1，2x ，x ≥1，若f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫23＝4，则实数a ＝( ) A.－23B ．－43C.－43或－23D ．－2或－23答案 A解析 因为23<1，所以f ⎝⎛⎭⎫23＝4×23＋a ＝a ＋83. 若a ＋83≥1，即a ≥－53时，2a ＋83 ＝4，即a ＋83＝2⇒a ＝－23>－53(成立)；若a ＋83<1，即a <－53时，则4a ＋323＋a ＝4，即a ＝－43>－53(舍去)，综上a ＝－23.3.(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1] B ．(0，＋∞) C.(－1,0) D ．(－∞，0)答案 D解析 将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知⎩⎨⎧2x <0，2x <x ＋1，解得x <0，所以满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是(－∞，0)．故选D.1.求分段函数的函数值 (1)基本步骤①确定要求值的自变量属于哪一区间. ②代入该区间对应的解析式求值. (2)两种特殊情况①当出现f [f (a )]的形式时，应从内到外依次求值．如举例说明1.②当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．如举例说明2，求出f ⎝⎛⎭⎫23后再求f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫23要分类讨论. 2.解分段函数与方程或不等式综合问题的策略求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式．应根据每一段的解析式分别求解．若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解．解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围.1.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x －2，x ≤1，－lg x ，x >1，则f [f (－4)]＝________.答案 －1解析 f [f (－4)]＝f (16－4－2)＝f (10)＝－1.2.函数f (x )＝⎩⎨⎧12x －1，x ≥0，1x ，x <0，若f (a )≤a ，则实数a 的取值范围是________.答案 [－1，＋∞)解析 当a ≥0时，由f (a )＝12a －1≤a ，解得a ≥－2，所以a ≥0；当a <0时，由f (a )＝1a ≤a ，解得－1≤a ≤1且a ≠0，所以－1≤a <0.综上所述，实数a 的取值范围是[－1，＋∞).3.已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________.答案 －34解析 当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－32，不符合题意．当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )，可得－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，解得a ＝－34，符合题意.。
2021-2022年高考数学一轮复习函数的定义与表示教案(无答案)
2021年高考数学一轮复习函数的定义与表示教案（无答案）一、考纲要求：函数的概念(B 级要求)二、复习目标：理解函数的概念，会判断同一函数；会选择恰当的方法表示函数且能求常见函数的函数值；能写出简单情境中的分段函数；会画函数的图象．三、重点难点：会判断同一函数、选择恰当的方法表示函数、求常见函数的函数值．四、要点梳理：(1)函数的定义域、值域：在函数中，所有的输入值组成的集合叫做函数的；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的 ，函数的值域是集合B 的 ．（2）函数的三要素：___________,__________,___________.(3) 相等函数：________________________________________________________．3．函数的表示方法：___________,__________,___________.4．分段函数：________________________________________________________．五、基础自测：1．设集合{}{}|12,|14A x x B x x =≤≤=≤≤，有以下四个对应法则：①；②；③；④，其中不能构成从到的函数的是2．以下给出的对应法则是从集合到B 的映射的有 (填序号)．①集合{}A P P =是数轴上的点，集合，对应法则数轴上的点与它所代表的实数对应；②集合{}A P P =是平面直角坐标系中的点，集合，对应法则平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；③集合{},A x x =是三角形集合，对应法则每一个三角形都对应它的内切圆；④集合，集合{}B x x =是致远中学的学生，对应法则每一个班级都对应班里的学生.则((1))__________;(())(())f g f g x g f x =>的．4．下列函数中：22lg (1);(2);(3)10;(4)lg10,x x x y y y y x====与函数表示同一函数的是 5．若()()()()11f a b f a f b f +==且，()()()()()()232014122013f f f f f f +++= ． 六、典例精讲:例1:求函数的解析式及函数值（1）已知求；（2）已知是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求；（3）定义在上的函数满足2(2000)(),((6))(2000)n n f n f f n n +≤⎧=⎨->⎩求的值．变式：（1）设则；(2) 已知2211()1(0),f x x x x x +=++>则 ； （3）设，则 ． 例2： 已知函数()21, 01 , 0, <0x x f x x x x -⎧>⎪==⎨⎪-⎩．（1）画出函数的图象；（2）求的值．例3:如图，在边长为4的正方形上有一点，沿着折线由点（起点）向点（终点）移动，设点移动的路程为，的面积为．（1）求的面积与点移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并由图象求的最大值．例4：已知定义域为的函数满足22(())()f f x x x f x x x -+=-+（1）若，求； （2）若，求；（3）设有且仅有一个实数，使得，求的解析式．A D七、千思百练1．若，则(23)________________f x -=．2．有以下判断：①()()()()1010x xf xg x x x ≥⎧⎪==⎨-<⎪⎩与表示同一个函数；②函数的图象与直线的交点最多有1个；③()()2221,21f x x x g t t t =-+=-+与是同一个函数；④若()11,02f x x x f f ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则．其中正确的是 (填序号). 3．已知若，则．4．已知，则()________________f x =5．函数对于任意实数满足条件，若，则．6．设函数，若，则实数的取值范围是 ．7．设集合()()()()(){}11M f x t f x f t f t f =+=+存在实数使得函数满足，则下列函数(都是常数)：①； ②；③； ④．其中属于集合的函数是 (填序号)．8．已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3,,,,,A k B a a a a k x A y B *==+∈∈∈N 是从定义域到值域的一个函数，求的值．9.已知二次函数满足条件：①对任意，均有；②函数的图象与直线相切．(1)求的解析式；(2)当且仅当时，恒成立，试求的值．10．函数对一切实数均有()()()21f x y f y x x y +-=++成立，且．(1)求的值；(2)试确定函数的解析式八、学后反思。
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函数的概念与表示
一、 知识梳理：（阅读教材必修1第15页—第26页） 1、 函数 （1）、函数的定义：
（2）、构成函数的三要素：函数的定义含有三个要素，即定义域A ，值域C ，对应法则f ，当定义域A ，对应法则f 相同时，两个函数表示是同一个函数，解决一切函数问题必须认真确定函数的定义域，函数的定义域包含四种形式： 自然型；限制型；实际型；抽象型；
（3）函数的表示方法：解析式法，图象法，列表法 2、 映射
映射的定义： 函数与映射的关系：函数是特殊的映射 3、分段函数
分段函数的理解：函数在它的定义域中对于自变量x 的不同取值上的对应关系不同，则可以用多个不同的解析式来表示该函数，这种形式的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是多个函数。
4、函数解析式求法
求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等． 二、题型探究
探究一：求函数的定义域 例1：
1. 【15年新课标2文科改编】如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B ，本题在解题时，突破点可以抓住定义域。
2、函数y=
25
3
x x --的值域是{y|y≤0或y≥4},则此函数的定义域为________.解析:∵y≤0或y≥4,∴
253x x --≤0或253x x --≥4.∴52≤x<3或3<x≤72.答案: 52≤x<3或3<x≤7
2
. 探究二：求函数的解析式 例2．
（1）.（15年新课标2文科）已知函数()3
2f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ．
【答案】-2 【解析】
试题分析：由()3
2f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .
考点：函数解析式
（2）.已知2(1)lg f x x
+=，求()f x ；
（3）.已知是定义在实数R 上的奇函数，当，,的解析式。
解：（1）令
21t x +=（1t >），则21x t =-，∴2()lg 1f t t =-，∴2()lg (1)1
f x x x =>-． 注：第（1）用换元法；（2）充分利用函数的奇偶性
三、方法提升
1、判断是否为函数“一看是否为映射，二看A ，B 是否为非空的数集”
2、函数是中学最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数的三要素基本内容与方法，由给定的函数的解析式求其定义域是这类问题的代表，实际上是求使函数有意义的x 有取值范围；
3.求函数定义域一般有三类问题：
（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；
（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义
4.求函数解析式： （1）待定系数法； （2）换元法、配凑法；
（3）函数法； 四、 反思感悟
五、课时作业
函数的概念及表示
【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟. 一、选择题
1. 【15年福建文科改编】已知函数(
)2cos 10cos 222
x x x f x =+． 则函数的解析式为：【A 】 A. +5 B.+5 C.+5 D.+4
2. 函数y=322
--x x 的定义域为（ ）
A.（-∞,-1）∪(3,+∞)
B. [-1,3]
C.(-1,3]
D. (-∞,-1]∪［3,+∞) 答案：D
解析：由 ，得(-∞,-1]∪［3,+∞)，所以选D.
3.g(x)=1-2x,f ［g(x)］=2
2
1x x -(x ≠0),则f(21)等于（ ）
A.1
B.3
C.15
D.30
答案：C
解析：令g(x)=21,则x=41,∴f(2
1)=
22
)4
1()41(1-=15. 4.今年有一组实验数据如下：
把上表反映的数据关系，用一个函数来近似地表达出，其中数据最接近的一个是（ ） A.S=1+2
t-3
B.S=
23log 2t C.S=2
1(t 2
-1) D.S=-2t+5.5 答案：B
解析：分别取近似数对（2，1.5）,(3,2),(4,3),(8,4.5)代入验证即可选B. 5.已知函数y=f(x)的图象如下图,那么f(x)等于（ ）
A.122
+-x x B.1||22+-x x C.|x 2
-1| D.x 2
-2|x|+1
答案：B
解析：C 、D 表示二次函数故首先排除.又∵f(-1)=0,故排除A ，故选B. 二、填空题
6.函数f(x)=x
x -+
+21
1的定义域为_______________. 答案：［-1，2）∪（2，+∞） 解析：∵⎩⎨
⎧≠-≥+.
02,
01x x ∴x ≥-1且x ≠2.
7. 设函数3,(10)
()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨
+<⎩
，则(5)f ＝ ．
8. 函数33log y x =-的定义域为 ． 9. 函数1
y x x
=+
的值域是 ． 10. 已知函数(21)32f x x +=+，且()4f a =，则a =________________.三、解答题
11.已知函数f(x+a)=|x-2|-|x+2|,且f ［f(a)］=3,求a 的值.
解析：令x=0，f(a)=|-2|-|2|=0.∴f ［f(a)］=f(0)=|-a-2|-|-a+2|=3.∴|a+2|-|a-2|=3. 当a>2时，有a+2-(a-2)=3无解；当-2≤a ≤2时，有a+2+(a-2)=3⇒a=2
3
；当a ≤-2时，有-(a+2)+(a-2)=3无解. ∴a=
2
3. 12.已知函数f(x)=
3
47
23
++-ax ax x 的定义域为R ,求a 的取值范围.
解析：当a=0时，函数定义域为R .
当a ≠0时，要使ax 2+4ax+3≠0对一切x ∈R 恒成立，其充要条件是Δ<0,即16a 2
-12a<0,∴0<a<
43.因此a 的取值范围为［0，4
3
）.
13.如下图，用长为l 的木条围成上部分是半圆下部分是矩形的窗框，中间有2根横档，要使透光效果最好，应如何设计
?
解析：设半圆的半径为x,则窗户的面积y=
21πx 2
+2x ·
)2
6(26ππ+-=--x x l x 2+l x, 由⎪⎩
⎪
⎨⎧>-->,026,
0x x l x π解得0<x<π+6l .∴y=-(6+2π)x 2+lx(0<x<π+6l ).
当x=
π+12l 时y 有最大值.这时半圆的直径为π+122l ,大矩形的另一边长为π
+123l
.
14.已知函数f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t)(t 为参数). （1）写出函数f(x)的定义域和值域；
（2）当x ∈［0，1］时，求函数g(x)解析式中参数t 的取值范围; （3）当x ∈［0，1］时，如果f(x)≤g(x),求参数t 的取值范围. 解析：（1）函数f(x)的定义域为（-1，+∞），值域为R . （2）∵2x+t>0,x ∈［0，1］,∴t>0. （3）当0≤x ≤1时，
f(x)≤g(x)⇔⎩⎨⎧+≤+>+⇔,
21,
02t x x t x t ≥1+x -2x(0≤x ≤1)t ≥(1+x -2x)max .
设
U=
-
+1x 2x,m=
1
+x ,则1≤m ≤
2
,x=m 2
-1,
∴
U=m-2(m 2
-1)=-2m 2
+m+2=-2(m-41)2+8
1
+2.∴当m=1(x=0)时，U max =1.∴t ≥1.
附加题：[实验班]
1．已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则(2)x
f 的定义域为(,0]-∞． 2．函数y=ln(1-x)的定义域为[D]
A.(0,1)
B.[0,1)
C.(0,1]
D.[0,1] 3、已知函数()f x 的定义域为()1,0-,则函数()21f x -的定义域为(B) (A)()1,1- (B)11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)()-1,0 (D)1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
4.函数1
)(log 1)(2
2-=
x x f 的定义域为（ C ）
A. )21,0(
B. ),2(+∞
C. ),2()21,0(+∞
D. ),2[]2
1,0(+∞。