2013年4月惠州市高三理科数学第四次调研考试试题
惠州市2013届高三考试数学(理科) 答案
惠州市2013届高三第二次调研考试数学（理科）参考答案与评分标准一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分1．【解析】1.提示:因为(1)1z i i i =+=-+,所以(1)1z i i i =+=-+对应的点在复平面的第二象限. 故选B ． 2．【解析】由MN ≠∅可知39m -=-或33m -=,故选A ．3．【解析】31336()2s a a ==+且312a a d =+，14a =，2d ∴=.故选C 4．【解析】由//a b ，得cos 2sin 0αα+=，即1tan 2α=-，所以tan()34πα-=-，故选B5．【解析】注意,a b 的正负号.故选D ． 6.【解析】椭圆的右焦点为(2,0)F ，22p∴=，即4p=，故选D 7．【解析】前四年年产量的增长速度越来越慢， 知图象的斜率随x 的变大而变小，后四年年产量的增长速度保持不变，知图象的斜率不变，,故选B ．8.【解析】由题可知()11xf x e =->-，22()43(2)11g x x x x =-+-=--+≤，若有()()f a g b =，则()(1,1]g b ∈-，即2431b b -+->-，解得22b <<A ．二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只选做一题． 9．(10．12 11．3512．9 13． ()∞+,1 14．159．【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得12660000112log 0log 62x xx x x x x >⎧>⎧>⎧⎪⎪⇒⇒<≤⎨⎨⎨-≥≤⎩⎪⎪≤=⎩⎩。
10．【解析】232()x x -的展开式中的常数项即223222132()()T C x x-+=-。
11．【解析】连接1,DF D F ，则//DF AE ,所以DF 与1D F 所成的角即为异面直线所成的角，设边长为2，则1DF D F =1DD F 中13cos 5D FD ==.12．【解析】2222,2(),2x x x x h x x x⎧>=⎨≤⎩，由数形结合可知，当24x <<时, ()2h x x =所以有(3)9h =13．【解析】目标函数ax y z -=可变为直线y ax z =+，斜率为a ，仅在点()3,5处取得最小值,只须1a >14．【解析】直线的普通方程为y x =，曲线的普通方程()22(1)24x y -+-=AB ∴=15．【解析】先用切割线定理求出BC 的长度,然后距离d =三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）解：（1）由题意得3sin cos 1m n A A =-=………2分2sin()16A π-= ， 1sin()62A π-= ………4分由A 为锐角 ， 得(,)663A πππ-∈-,,663A A πππ-== ………6分（2）由（1）可得1cos 2A = ………7分 所以()cos 22sin f x x x =+ 212sin 2sin x x =-+ 2132(sin )22x =--+ ………9分因为x R ∈，则sin [1,1]x ∈-，当1sin 2x =时，()f x 有最大值32. 当sin 1x =-时，()f x 有最小值3-， ………11分故所求函数()f x 的值域是3[3,]2-. ………12分17．（本小题满分12分）解：（1）从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品，一共有39C 种不同的选法，选出的3种商品中，没有日用商品的选法有35C 种，……2分 所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为 3539537114242C P C =-=-=……4分 （2）顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量ξ，其所有可能的取值为0，100，200，300。
【解析版】广东省惠州市2013年高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
22
=2
4．（5分）（2013•惠州一模）如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（）
6
∴半个圆锥的体积是6=36
，∴三棱锥的体积是××6，
36=36
5．（5分）（2013•惠州一模）已知向量，，，则m=（）
由题意求出，通过共线，列出关系式，求出
解：因为向量，所以
，
6．（5分）（2013•惠州一模）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a ．．
a=
x
﹣，﹣﹣，[，][，]
）＜）＞[，]
（=﹣）+
））＜[，]
8．（5分）（2008•辽宁）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是
，则点P横坐标的取值范围是（）
．。
2013届高三4月调考题(理科定稿)
武汉市2013届毕业生四月调研测试理 科 数 学2013.4.23一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数7＋b i3＋4i（b ∈R ）的实部与虚部互为相反数，则b ＝A ．－7B ．－1C ．1D ．7 2．命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”的否命题是A ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 中至少有一个不为0B ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0C ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 都不为0D ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 都不为03．对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 A ．46，45，56 B ．46，45，53 C ．47，45，56 D ．45，47，534．已知a ＝21.2，b ＝(12)－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a 5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．64B ．72C ．80D ．1126．已知tan α＝2，则4sin 3α－2cos α5cos α＋3sin α＝A ．25B ．511C ．35D ．7117．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23，满足S n ＋1S n＋2＝a n （n ≥2），则S 2013＝A ．－20112012B ．－20122013C ．－20132014D ．－201420158．如右下图，正三角形P AD 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直，O 为正方形ABCD 的中心，M 为正方形ABCD 内一点，且满足MP ＝MB ，则点M 的轨迹为9．⎠⎛01(2x －x 2－x )d x 等于A ．π－24B ．π－22C ．π－12D ．π－1410．已知抛物线M ：y 2＝4x ，圆N ：(x －1)2＋y 2＝r 2（其中r 为常数，r ＞0）．过点(1，0)的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足|AC |＝|BD |的直线l 有三条,则A ．r ∈(0，1]B ．r ∈(1，23] C ．r ∈(32，2] D ．r ∈(2，＋∞)二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对．．．．应题号．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题） 11．(2x ＋a x)6的展开式中1x 2的系数为－12，则实数a 的值为 ．12．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ．A .B .C .D .C13．已知函数f (x )＝ax sin x －32（a ∈R ），若对x ∈[0，π2]，都有f (x )的最大值为π－32．则（Ⅰ）a 的值为 ；（Ⅱ）函数f (x )在(0，π)内的零点个数为 ．14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若△ABC 所在平面内的一点P 满足→P A ＋→PB ＋λ→PC ＝0，则（Ⅰ）当λ＝1时，|P A |2＋|PB |2|PC |2＝ ；（Ⅱ）|P A |2＋|PB |2|PC |2的最小值为 ．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，⊙O 的割线P AB 交⊙O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心．若P A ＝5，AB ＝8，PO ＝310，则⊙O 的半径等于 ．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－2t ，y ＝－1－4t （t 为参数）与曲线ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝16相交于A ，B 两点，则|AB |＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a cos B －b sin B ＝c ． （Ⅰ）若B ＝π6，求A ；（Ⅱ）求sin A ＋sin B 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知数列{a n }是公比大于1的等比数列，对∀n ∈N *，有a n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋52a n＋12． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足：b n ＝1n (log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＋log 3t )（n ∈N *），若{b n }为等差数列，求实数t 的值及数列{b n }的通项公式．19．（本小题满分12分）如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2． （Ⅰ）求证：A 1C ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）试在线段A 1D 上确定一点M ，使得CM 与平面A 1BE 所成的角为45°．20．（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种电子产品，甲产品的正品率为80%，次品率为20%；乙产品的正品率为90%，次品率为10%．生产1件甲产品，若是正品则可盈利4万元，若是次品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是正品则可盈利6万元，若是次品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．（Ⅰ）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．21．（本小题满分13分）过椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）右焦点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，F 1为其左焦点，已知△AF 1B 的周长为8，椭圆的离心率为32． （Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P ，Q ，且→OP ⊥→OQ ？若存在，写出该圆的方程；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数f (x )＝(1＋x )α－αx （x ＞－1，0＜α＜1），求f (x )的最大值； （Ⅱ）证明：ab ≤1p a p ＋1q b q ，其中a ＞0，b ＞0，且p ＞1，1p ＋1q＝1；（Ⅲ）证明：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤(a p 1＋a p 2＋…＋a p n )p1(b q 1＋b q 2＋…＋b q n )q1，其中a i ，b i ＞0（i ＝1，2，…，n ），p ＞0，q ＞0，且1p ＋1q ＝1．武汉市2013届高中毕业生四月调研测试 理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题（A 卷）1．C 2．B 3．A 4．A 5．C 6．A 7．D 8．C 9．A 10．D 二、填空题11．－1 12．1120 13．（Ⅰ）1；（Ⅱ）2 14．（Ⅰ）5；（Ⅱ）115．5 16．253三、解答题17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知条件及正弦定理，得sin A cos B －sin 2B ＝sin C ，∵sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －sin 2B ＝sin(A ＋B )，即sin A cos B －sin 2B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴cos A sin B ＝－sin 2B ，∵sin B ≠0，∴cos A ＝－sin B ＝－sin π6＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝2π3． ……………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ），得cos A ＝－sin B ，∴sin A ＋sin B ＝sin A －cos A ＝2sin(A －π4)．又由cos A ＝－sin B ＝cos(π2＋B )，得A ＝π2＋B ，∵A ＋B ＜π，∴π2＜A ＜3π4，∴π4＜A －π4＜π2，∴22＜sin(A －π4)＜1， ∴1＜2sin(A －π4)＜2．故sin A ＋sin B 的取值范围为(1，2)． …………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）法（一）：设{a n }的公比为q ，则由题设，得⎩⎨⎧a 2＝52a 1＋12，a 3＝a 1＋52a 2＋12．即⎩⎨⎧a 1q ＝52a 1＋12， ①a 1q 2＝a 1＋52a 1q ＋12． ②由②－①，得a 1q 2－a 1q ＝－32a 1＋52a 1q ，即2a 1q 2－7a 1q ＋3a 1＝0，∵a 1≠0，∴2q 2－7q ＋3＝0，解得q ＝12（舍去），或q ＝3，将q ＝3代入①，得a 1＝1．∴a n ＝3n －1． ……………………………（6分）法（二）：设{a n }的公比为q ，则由已知，得 a 1q n＝a 1(1－q n )1－q＋32a 1q n －1＋12，即a 1q n ＝(a 1q －1＋3a 12q )q n －a 1q －1＋12，比较系数，得⎩⎨⎧a 1＝a 1q －1＋3a 12q，－a 1q －1＋12＝0．解得⎩⎨⎧a 1＝－14，q ＝12．（舍去），或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3．∴a n ＝3n －1． ……………………………（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ），得b n ＝1n (log 330＋log 331＋…＋log 33n －1＋log 3t )＝1n [1＋2＋…＋(n －1)＋log 3t ] ＝1n [n (n －1)2＋log 3t ] ＝n －12＋1nlog 3t ． ∵{b n }为等差数列，∴b n ＋1－b n 等于一个与n 无关的常数，而b n ＋1－b n ＝(n 2＋1n ＋1log 3t )－(n －12＋1n log 3t )＝12－1n (n ＋1)log 3t ，∴log 3t ＝0，∴t ＝1，此时b n ＝n －12． ……………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）折起前BC ⊥AC ，DE ∥BC ，∴DE ⊥AC ．折起后，仍有DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ． ∴DE ⊥平面A 1DC ，∴DE ⊥A 1C ． 又∵A 1C ⊥CD ，∴A 1C ⊥平面BCDE ． ……………………………（4分） （Ⅱ）如图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C-xyz ，则C (0，0，0)，A 1(0，0，23)，D (0，2，0)，B (3，0，0)，E (2，2，0)． ∴→A 1B ＝(3，0，－23)，→BE ＝(－1，2，0)，设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 由n ·→A 1B ＝n ·→BE ＝0，得⎩⎨⎧3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0．令x ＝2，则y ＝1，z ＝3． ∴n ＝(2，1，3)．依题意设→DM ＝t →DA 1，又→DA 1＝(0，－2，23)， ∴→DM ＝(0，－2t ，23t )，∴→CM ＝→CD ＋→DM ＝(0，2，0)＋(0，－2t ，23t )＝(0，2－2t ，23t )． ∵CM 与平面A 1BE 所成的角为45°，∴sin45°＝|cos ＜n ，→CM ＞|＝|n ·→CM |n ||→CM ||＝|2－2t ＋6t |8×(2－2t )2＋(23t )2＝22， 解得t ＝12，即→DM ＝12→DA 1．故当M 为线段A 1D 的中点时，CM 与平面A 1BE 所成的角为45°．……（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，－3，且P (X ＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P (X ＝5)＝0.2×0.9＝0.18， P (X ＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P (X ＝－3)＝0.2×0.1＝0.02． ∴X 的分布列为：∴E (X )＝－3×0.02＋2×0.08＋5×0.18＋10×0.72＝8.2．……………（6分） （Ⅱ）设生产的4件甲产品中正品有n 件，则次品有4－n 件．由题意知4n －(4－n )≥10，解得n ≥145，又n ∈N *，得n ＝3，或n ＝4．所以P ＝C 34·0.83·0.2＋C 44·0.84＝0.8192．故所求概率为0.8192． ……………………………（12分）21．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝8，c a ＝32．解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3． ∴b 2＝a 2－c 2＝1．故椭圆Γ的方程为x 24＋y 2＝1． ……………………………（5分）（Ⅱ）假设满足条件的圆存在，其方程为x 2＋y 2＝r 2（0＜r ＜1）．当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 2＝1．消去y 并整理，得(1＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－4＝0． 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8kt 1＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－41＋4k 2． ①∵→OP ⊥→OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， 又y 1＝kx 1＋t ，y 2＝kx 2＋t ， ∴x 1x 2＋(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝0． ② 将①代入②，得(1＋k 2)(4t 2－4)1＋4k 2－8k 2t 21＋4k 2＋t 2＝0，即t 2＝45(1＋k 2)． ∵直线PQ 与圆x 2＋y 2＝r 2相切，∴r ＝|t |1＋k 2＝45(1＋k 2)1＋k 2＝255∈(0，1)，∴存在圆x 2＋y 2＝45满足条件．当直线PQ 的斜率不存在时，易得x 21＝x 22＝45， 代入椭圆Γ的方程，得y 21＝y 22＝45，显然→OP ⊥→OQ ． 综上，存在圆x 2＋y 2＝45满足条件．当直线PQ 的斜率存在时，|PQ |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·(－8kt 1＋4k 2)2－4×4t 2－41＋4k 2 ＝1＋k 2·16(4k 2－t 2＋1)(1＋4k 2)2＝1＋k 2·16[4k 2－45(1＋k 2)＋1](1＋4k 2)2＝1＋k 2·16(16k 2＋1)5(1＋4k 2)2＝165·16k 4＋17k 2＋116k 4＋8k 2＋1＝165(1＋9k 216k 4＋8k 2＋1)． ∵9k 216k 4＋8k 2＋1≤9k 28k 2＋8k 2＝916，当且仅当16k 4＝1，即k ＝±12时，等号成立． ∴|PQ |≤165(1＋916)＝5，此时|PQ |max ＝5． 当直线PQ 的斜率不存在时，两个交点为(255，±255)或(－255，±255)，此时|PQ |＝455＜5．∴|PQ |max ＝5．综上所述，存在圆心在原点的圆x 2＋y 2＝45满足条件，且|PQ |的最大值为5．……………………………（13分）22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）求导数，得f ′(x )＝α(1＋x )α－1－α＝α[(1＋x )α－1－1]，令f ′(x )＝0，解得x ＝0．当－1＜x ＜0时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(－1，0)上是增函数； 当x ＞0时，f ′(x )＜0，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．故f (x )在x ＝0处取得最大值f (0)＝1． ……………………………（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ），知(1＋x )α－αx ≤1．令1＋x ＝a p b q ，α＝1p （0＜1p ＜1），有(a p b q )p 1－1p (a pbq －1)≤1，数学（理科）试卷 第11页（共11页）∵1p ＋1q ＝1，∴a bp q ≤1p ·a p b q ＋1q ，∴ab p qq≤1p a p ＋1qb q ， 又∵q －q p ＝q (1－1p )＝q ·1q ＝1，∴ab ≤1p a p ＋1q b q ．……………………………（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ），知ab ≤1p a p ＋1qb q ．令a ＝a k(a p 1＋a p 2＋…＋a p n )p1，b ＝b k(b q 1＋b q 2＋…＋b q n )q 1（k ＝1，2，…，n ），则a kb k(a p 1＋a p 2＋…＋a p n )p1(b q 1＋b q 2＋…＋b q n )q 1≤1p ·a p k a p 1＋a p 2＋…＋a p n ＋1q ·b q kb q 1＋b q 2＋…＋b q n（k ＝1，2，…，n ），将上述n 个不等式依次相加，得a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n(a p 1＋a p 2＋…＋a p n )p1(b q 1＋b q 2＋…＋b q n )q1≤1p ＋1q＝1， ∴a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤(a p 1＋a p 2＋…＋a p n )p1(b q 1＋b q 2＋…＋b q n )q 1．……………………………（14分）。
广东省惠州市2013年高三4月高考模拟考试理科综合试题
2013年惠州市4月高三模拟考试理科综合试题说明：本试卷共36小题，满分300分，考试用时150分钟，答案须做在答题卷和答题卡上；须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答主观题，答题卡的填涂须用2B铅笔；考试结束后只交答题卷和答题卡。
第一部分选择题（共118分）一、单项选择题：（本大题共16小题，每小题4分，共64分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项最符合要求，选对得4分，错选或不答得0分）1．下列叙述，正确的是 ( )A．脂质分子中只有磷脂参与细胞膜的构成B．核酸分子由两条脱氧核苷酸链构成C．葡萄糖可存在于叶绿体，但不存在于线粒体D．蛋白质功能多样性的根本原因是其结构具有多样性2．有关细胞生命历程的说法，不合理．．．的是A．细胞生长，体积增大，细胞膜面积增加，物质运输效率提高B．细胞分化，mRNA的种类有变化，细胞功能趋向专门化C．细胞衰老，代谢减弱；细胞癌变，代谢增强D．细胞凋亡，有利于个体的生长发育3.下列叙述中，正确的是A．DNA聚合酶可催化DNA转录为RNAB．遗传信息只能从DNA传递到RNAC．不同生物基因表达的最终场所都在核糖体D．tRNA上的反密码子是由mRNA转录而来的4．下列措施在实践中不．可行的是A．大棚栽培中，适量的多施有机肥可增加大棚中的CO2浓度而增产B．在玉米生产过程中，可人工去雄，然后涂抹上一定浓度生长素溶液，得到无籽果实C．研究鱼类种群数量变化的规律来确定合理的捕捞量D．在水稻田中，放养青蛙可达到防治害虫而增产的目的5. 将记录仪的两个电极分别放置在神经纤维膜外的a、c两点，c点所在部位的膜已被损伤，其余部位均正常。
下图是刺激前后的电位变化，以下说法不．正确的是A. 兴奋的产生与膜对Na+的通透性改变有关B. 被损伤部位c点的膜外电位为负电位C. 兴奋传到b点时记录仪的指针将向左侧偏转D. 结果表明兴奋在神经纤维上以电信号形式传导6．一块退耕的农田因未及时补种树木，若干年后逐渐演变成了一片杂草丛生的灌木林，成为了一个相对稳定的生态系统。
13年广东高考理科数学试题及答案OK
正视图 俯视图侧视图图1绝密★启用前 试卷类型：A2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5、考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：台体的体积公式121(3V S S h =++,其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设集合{}R x x x x M ∈=+=,022 {}R x x x x N ∈=-=,022，则M N = （ ）A 、{}0B 、{}2,0C 、{}0,2-D 、{}2,0,2-2、定义域为R 的四个函数3x y =，x y 2=，12+=x y ，x y sin 2=中，奇函数的个数是（ ）A 、4B 、3C 、2D 、1 3、若复数z 满足i iz 42+=，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）A 、)4,2(B 、)4,2(-C 、)2,4(-D 、)2,4( 4、已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望=)(X E （ ）5 ）A 、4B 、314 C 、316D 、6D6、设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A 、若m n αβαβ⊥⊂⊂，，， 则m n ⊥ B 、若m n αβαβ⊂⊂∥，，，则m n ∥ C 、若m n m n αβ⊥⊂⊂，，， 则αβ⊥ D 、若m m n n αβ⊥，∥，∥，则αβ⊥7、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为)0,3(F 离心率等于23，则C 的方程是（ ） A 、15422=-y x B 、15422=-y x C 、15222=-y x D 、15222=-y x 8、设整数4≥n ，集合{}n X ,,3,2,1 =令集合{}(,,),,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立，若),,(),,(x w z z y x 和都在S中，则下列选项正确的是（ ）A 、S w y x S w z y ∉∈),,(,),,(B 、 S w y x S w z y ∈∈),,(,),,(C 、S w y x S w z y ∈∉),,(,),,(D 、 w y x S w z y ∉∉),,(,),,(二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20（一）必做题（9-13题）9、不等式022<-+x x 的解集为 ．10、若曲线x kx y ln +=在点),1(k 处的切线平行于x 轴，则=k ．11、执行图2所示的流程框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为 ． 12．在等差数列{}n a 中，已知1083=+a a ，则=+753a a ．13、给定区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+0444:x y x y x D ，令点集{}000000(,),,(,)D T x y D x y Z x y z x y =∈∈=+是在上取得最大值或最小值的点，则T 中的点共确定条不同的直线；（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14、（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==)(sin 2cos 2为参数t ty t x ，C 在点)1,1(处的切线为l ,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 ． 15、（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D ，使BC =CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E ，若AB =6，DE =2，则BC = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、（本小题满分12分）已知函数()),12f x x π=-x R ∈，（1）求()6f π-的值；（2）若33cos ,(,2)52πθθπ=∈，求(2)3f πθ+17、（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？ （3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．图4BC图6O18、（本小题满分14分）如图5，在等腰直角三角形ABC中，∠A 90=︒，6BC=，D，E分别是AC，AB上的点，CD BE== O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图6所示的四棱椎'A BCDE-，其中'A O=（1）证明：'A O⊥平面BCDE；（2）求二面角'A CD B--平面角的余弦值．19、（本小题满分14分）设数列{}na的前n项和为nS，已知11a=，2*1212,33nnSa n n n Nn+=---∈，（1）求2a的值；（2）求数列{}na的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有1211174na a a++⋅⋅⋅+<．20、（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)(0)F c c >到直线:20l x y --=，设P 为直线l 上的点，过点P 做抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点；（1）求抛物线C 的方程；（2）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB ；（3）当点P 在直线l 上移动时，求||||AF BF ⋅的最小值21、（本小题满分14分）设函数2()(1)()x f x x e kx k R =--∈，（1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间； （2）当1(,1]2k ∈时，求函数()f x 在[0,]k 上的最大值M2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)答案数学（理科）一、选择题1-5：D 、C 、C 、A 、B ； 6-8：D 、B 、B ；二、填空题9、(-2,1) 10、-1 11、7 12、20 13、6 14、2)4(sin =+πθρ 15、32三、解答题16、（1）由题意1222)4cos(2)126cos(2)6(=⨯=-=--=-ππππf （2）∵)2,23(,53cos ππθθ∈=，∴54-sin =θ．∴252453)54(2cos sin 22sin ,2571)53(21-cos 22cos 22-=⨯-⨯==-=-⨯==θθθθθ∴)4sin 2sin 4cos 2(cos 2)42cos(2)1232cos(2)32(πθπθπθππθπθ-=+=-+=+f2517)2524(2572sin 2cos )2sin 222cos 22(2=---=-=-=θθθθ． 17、（1）样本均值为226302521201917=+++++=x ． （2）根据题意，抽取的6名员工中优秀员工有2人，优秀员工所占比例为3162=，故12名员工中优秀员工人数为41231=⨯（人）．（3）记事件A 为“抽取的工人中恰有一名为优秀员工”，由于优秀员工4人，非优秀员工为8人，故事件A 发生的概率为33166684)(2121814=⨯==C C C A P ，即抽取的工人中恰有一名为优秀员工的概率为3316．18、（1）折叠前连接OA 交DE 于F ，∵折叠前△ABC 为等腰直角三角形，且斜边BC =6， 所以OA ⊥BC ，OA=3，AC =BC =23 又2==BE CD∴BC ∥DE ，22==AE AD∴OA ⊥DE ，22==AE AD ∴AF =2，OF =1 折叠后DE ⊥OF ，DE ⊥A ′F ，OF ∩A ′F =F∴DE ⊥面A ′OF ，又OF A O A '⊂'面 ∴DE ⊥A ′O又A ′F =2，OF =1，A ′O =3∴△A ′OF 为直角三角形，且∠A ′OF =90° ∴A ′O ⊥OF ， 又BCDE DE 面⊂，BCDE OF 面⊂，且DE ∩OF =F ， ∴A ′O ⊥面BCDE ．（2）过O 做OH ⊥交CD 的延长线于H ，连接H A '，∴OH =22AO =223，230)3()223(2222=+=+'='OH O A H A ∵∠A ′HO 即为二面角B CD A --'的平面角，故cos ∠A ′HO=5153023=='H A OH ． 19、（1）令*21,32312N n n n a n S n n ∈---=+中n =1得,32131221---=a a ∴42212=+=a a（2）由*21,32312N n n n a n S n n ∈---=+；得)2)(1(612326121231++-=---=++n n n na n n n na S n n n∴)3)(2)(1(612)1(21+++-+=++n n n a n S n n两式相减得)2)(1(2122)1(121++--+=-+++n n na a n S S n n n n∴)2)(1(2122)1(121++--+=+++n n na a n a n n n∴)2)(1(212)2(2)1(12++++=+++n n a n a n n n∴11212++=+++n an a n n ，∴11212=+-+++n a n a n n又由（1）知112,22,111221=-==aa a a∴为公差的等差数列，为首相，是以11⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n ∴n na n =．∴)(*2N n n a n ∈=．（3）∵)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<n n n n n n∴)1111(21)4121(21)311(2111312111111222321+--++-+-+<++++=++++n n na a a a n 47)111(2147)111211(211<++-=+--++=n n n n 20、（1）依题意得0,22322>=--c c ，∴1=c ．∴抛物线焦点坐标为（0,1），抛物线解析式为x 2=4y（2）设A （x 1，421x ），B （x 2，422x ），∴可设A 、B 中点坐标为M )82(222121x x x x ++， 所以直线PA ：424)(22112111x x x x x x x y -=+-=，直线PB ：424)(22222222x x x x x x x y -=+-=两式相减得)2(244202121212221x x x x x x x x x x +--=-+-= ∵21x x ≠，∴0221≠-x x ，0221=+-x x x∴2210x x x +=， ∴0212x x x =+将P （0x ，0x -2）带入PA ：42211x x x y -=得4422221212110x x x x x x x =-+=-∴84021-=x x x∴2428168482)(8020020212212221+-=+-=-+=+x x x x x x x x x x ∴A 、B 中点坐标为M （0x ，242020+-x x ）∴直线AB 的斜率24)(4021122122x x x x x x x k AB =+=--= 故直线AB 的方程为22242)(20002000+-=+-+-=x x x x x x x x y ． （3）由于A 点到焦点F 的距离等于A 点到准线y =-1的距离，∴|AF |=1421+x ，|BF |=1422+x 29)23(2962142)2(14)4()14)(14(200200202022212212221+-=+-=++-+-=+++=++=⋅x x x x x x x x x x x x BF AF∴当230=x 时，BF AF ⋅取最小值29．21、（1）k =1时2)1()(x e x x f x --=∴)2(2)1()(-=--+='x x x e x x e x e x f当x <0时02<-x e ，故0)2()(>-='x e x x f ,)(x f 单调递增；0< x <ln2时02>-x e ，故0)2()(<-='x e x x f ，)(x f 单调递减； x>ln2时02>-x e ，故0)2()(>-='x e x x f ，)(x f 单调递增；综上，)(x f 的单调增区间为)0,(-∞和),2(ln +∞，单调减区间为)2ln ,0(． （2）)2(2)1()(k e x kx e x e x f x x x -=--+='∵121≤<k ，∴221≤<k 由（1）可知)(x f 的在（0，ln2k ）上单调递减，在（ln2k ，+∞）上单调递增设)121(，2ln )(≤<-=x x x x g ，则xx x g 11221)(-=-=' ∵121≤<x ，∴211<≤x ，∴0111≤-<-x∴x x x g 2ln )(-=在⎥⎦⎤⎝⎛121，上单调递减．∵121≤<k ， ∴02ln 1)1()(>-=>g k g ∴02ln >-k k 即k k 2ln > ∴)(x f 的在（0，ln2k ）上单调递减，在（ln2k ，k ）上单调递增． ∴)(x f 的在[0，k ]上的最大值应在端点处取得． 而1)0(-=f ，1)1(2)1()(3-=<--=f k e k k f k ∴当x =0时)(x f 取最大值1-．。
四调数学理科试题答案
高三数学期中考试理科试题 第1页(共6页) 高三数学期中考试理科试题 第2页(共6页)2013～2014学年度上学期四调考试高三年级数学（理科）答案一、选择题1-5 DCBA B 6-10 DBADB 11-12 AC 11.试题分析：2()02m nf x x mx +'=++=的两根为12,x x ，且1(0,1)x ∈， 2(1,)x ∈+∞，故有(0)0,(1)0f f '>⎧⎨'<⎩ 0,210,2m nm n m +⎧>⎪⎪⇔⎨+⎪++<⎪⎩ 即0,320,m n m n +>⎧⎨++<⎩作出区域D ，如图阴影部分，可得log (14)1a -+>，∴13a <<，故选B ．12．试题分析：无论01a <<，还是1a >，都有()g x 是增函数， 故()g a a =，()g b b =，所以方程()g x x =有两个根，即2xxa at =+有两个根，设x m a =，则直线y t =与函数2(0)y m m m =-+>有两个交点，画出这两个图象可以看出t 的取值范围是1(0,)4，显然此时函数定义域为R ，选C.二、填空题13、30 14、(2,3] 15、①②④ 16. 6π三、解答题17、解：（1）由已知⎪⎭⎫ ⎝⎛+π⎪⎭⎫⎝⎛-π=-A A B A 6cos 6cos 22cos 2cos 得 =-A B 22sin 2sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-A A 22sin 41cos 432，----------4分化简得23sin =B ，故323ππ=或B ．----------6分（2）由正弦定理2sin sin sin ===BbC c A a ，得C c A a sin 2,sin 2==， 故A A A A C A c a cos 23sin 2332sin sin 2sin sin 221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-π-=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=6sin 3A ----------8分因为a b ≤，所以323π<≤πA ，266π<π-≤πA ，----------10分 所以⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=-3,236sin 321A c a ． ----------12分 18 解：（I ）∵a 1=20，a 2=7，a n+2﹣a n =﹣2 ∴a 3=18，a 4=5由题意可得数列{a n }奇数项、偶数项分布是以﹣2为公差的等差数列 当n 为奇数时，=21﹣n 当n 为偶数时，=9﹣n∴a n =---------------------------------------------6分（II ）s 2n =a 1+a 2+…+a 2n=（a 1+a 3+…+a 2n ﹣1）+（a 2+…+a 2n ）==﹣2n 2+29n结合二次函数的性质可知，当n=7时最大----------------------------------12分 19. 试题解析：（Ⅰ）以DA DC DE 、、分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系 则(2,0,0),(2,2,0),(0,4,0),(0,0,2),(0,2,1)A B C E M(2,0,1),BM ADEF ∴=- 面的一个法向量(0,4,0)DC =0BM DC ⋅= ，BM DC ∴⊥。
广东省惠州市2013届高三数学4月模拟考试试题 理 新人教A版
惠州市2013届高三第一次模拟考试数学试题(理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{}2|450 A x x x =--=，{}2| 1 B x x ==，则AB =（ ）A ．{} 1B ．{} 1 , 1 , 5 -C ． {} 1 -D ．{} 1 , 1 , 5 -- 2. 已知复数(1)z i i =+ (为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为-2,x =则抛物线的方程是( ) A.28y x = B. 28y x =- C. 24y x =- D. 24y x =4.如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为 （ ）A. 363(2)πB. 363(2)π+C. 1083πD. 32)π+5.已知向量(1,1)a =-，(3,)b m =，//()a a b +，则m =（ ）A ．2B ．2-C ．3-D ．36.设随机变量ξ服从正态分布(3,4)N ，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则a =（ ）A ．3B ．53 C ．5 D ．737.已知函数()39xf x x =+-的零点为0x ， 则0x 所在区间为（ ）A.3122⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B. 1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C.1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D. 3522⎡⎤⎢⎥⎣⎦，8．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点P 横坐标的取值范围为 ( ) A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．[]1,0-C ．[]0,1D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．在等差数列{}n a 中，有67812a a a ++=，则此数列的前13项之和为 . 10．62)x-展开式中，常数项是 . 11．执行如图的程序框图，那么输出S 的值是 .12.已知集合A B C 、、，A ={直线}，B ={平面}，C A B =． 若,,a A b B c C ∈∈∈，给出下列四个命题：①//////a b a c c b ⎧⇒⎨⎩ ②//a b a c c b ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ③//a ba c cb ⎧⇒⊥⎨⊥⎩④//a ba c c b⊥⎧⇒⊥⎨⎩ 其中所有正确命题的序号是 .13．设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数32z x y =-的最小值为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）若直线的极坐标方程为cos()324πρθ-=，曲线C ：1ρ=上的点到直线的距离为d ，则d 的最大值为 .15.(几何证明选讲选做题) 如图圆O 的直径6AB =,P 是AB 的延长线上一点,过点P 作圆O 的切线,切点为C ,连接AC ,若30CPA ∠=︒,则PC = .三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分） 已知()sin()1f x A x ωϕ=++ ，（x R ∈，其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图像上一个最低点为2(,1)3M π- （1）求()f x 的解析式；（2）当[0,]12x π∈时，求()f x 的值域．17．(本小题满分12分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。
【解析版】广东省惠州市2013年高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
22
=2
4．（5分）（2013•惠州一模）如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（）
6
∴半个圆锥的体积是6=36
，∴三棱锥的体积是××6，
36=36
5．（5分）（2013•惠州一模）已知向量，，，则m=（）
由题意求出，通过共线，列出关系式，求出
解：因为向量，所以
，
6．（5分）（2013•惠州一模）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a ．．
a=
x
﹣，﹣﹣，[，][，]
）＜）＞[，]
（=﹣）+
））＜[，]
8．（5分）（2008•辽宁）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是
，则点P横坐标的取值范围是（）
．。
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7 8 994 4 6 4 7 32013年4月惠州市高三理科数学第四次调研考试试题第Ⅰ卷（选择题，共40分）一．选择题：本大题共8小题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题5分，满分40分．1．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）.A ．1B ．3C ．4D ．82．如果复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为（ ）.A ．－2B ．1C ．2D ．1或 －23．计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一”，如2(1101)表示二进制数，将它转换成十进制形式是321012120212⨯+⨯+⨯+⨯= 13，那么将二进制数211611111）（个转换成十进制形式是（ ）.A ．1722-B ．1622-C ．1621-D ．1521-4．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ）. A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.55．下图是2007年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）. A ．84，4.84 B ．84，1.6 C ．85，1.6D ．85，46．定义运算a ⊕b=⎩⎨⎧>≤)()(b a b b a a ，则函数f(x)=1⊕2x 的图象是（ ）.ABCx7．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：191622=+yx，点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过的最短路程是（ ）.A ．20B ．18C ．16D ．以上均有可能8．已知函数①x x f ln 3)(=；②x e x f co s 3)(=；③x e x f 3)(=；④x x f cos 3)(=.其中对于)(x f 定义域内的任意一个自变量1x 都存在唯一个自变量)()(,212x f x f x 使=3成立的函数是（ ）.A ．③B ．②③C ．①②④D ．④第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共7小题，其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．每小题5分，满分30分．9．已知向量(4,0),(2,2),AB AC ==则BC AC 与的夹角的大小为 .10．按下列程序框图运算：规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算，若x =5，则运算进行 次才停止。
11．下图的矩形，长为5，宽为2. 在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗.则我们可以估计出阴影部分的面积为 .12．已知点P (x ,y)满足条件3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥x z k k y x x y x 若为常数y 的最大值为8，则k = . 13．(坐标系与参数方程选做题) 曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标方程为 . 14．(不等式选讲选做题) 函数46y x x =-+-的最小值为 .15．(几何证明选讲选做题) 如图，⊙O 的直径A B =6cm ，P 是A B 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接A C ， 若C PA ∠=30°，PC三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）将A 、B 两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问： （I ）共有多少种不同的结果？（II ）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？ (III ）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率为多少？17．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知角A 为锐角，且A A A A A A A f 222cos)2(sin )22(sin )22sin()2sin(]1)2[cos()(+----+--=πππππ.（I ）求f (A )的最大值； （II ）若2,1)(,127===+BC A f B A π，求△ABC 的三个内角和AC 边的长.18．（本小题满分14分） 如图，P —ABCD 是正四棱锥，1111ABC D A B C D -是正方体，其中2,A B P A ==（1）求证：11PA B D ⊥；（2）求平面PAD 与平面11BD D B 所成的锐二面角θ的余弦值； （3）求1B 到平面PAD 的距离19．（本小题满分14分）已知圆C ：224x y +=.（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B两点，若||AB =，求直线l 的方程;（2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量O Q O M O N =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.20．（本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项为和S n ，点),(nS n n 在直线21121+=x y 上.数列{b n }满足11),(023*12=∈=+-++b N n b b b n n n 且，前9项和为153. （Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式； （Ⅱ）设)12)(112(3--=n n n b a c ，数列{c n }的前n 和为T n ，求使不等式57k T n >对一切*N n ∈都成立的最大正整数k 的值.（Ⅲ）设**(21,)()(2,)n n a n l l N f n b n l l N ⎧=-∈⎪=⎨=∈⎪⎩，问是否存在*N m ∈，使得)(5)15(m f m f =+成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数)()0,1(),0()(x f y P t xt x x f =>+=作曲线过点的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N .（I ）当2=t 时，求函数)(x f 的单调递增区间； （II ）设|MN |=)(t g ，试求函数)(t g 的表达式；（III ）在（II ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64,2[nn +内，总存在m ＋1个数,,,,,121+m m a a a a 使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值.2013年4月惠州市高三理科数学第四次调研考试试题参考答案一、选择题1. 解析：{1,2}A =，{1,2,3}A B ⋃=，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合{1,2}A =的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个。
故选择答案C 。
2．解析： ⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=-+0230222a a a a即 2-=a ，故选择答案A3．解析：15141016216(1111)1212121221=⨯+⨯+⨯+⨯=-，答案：C 4. 解析：f (1.40625)=－0.054< 0，f (1.4375)=0.162> 0 且都接近0，由二分法可知其根近似于1.4。
答案：C5．解析：5个有效分为84，84，86，84，87；其平均数为85。
利用方差公式可得方差为1.6．答案：C 6. 解析：信息迁移题是近几年来出现的一种新题型，主要考查学生的阅读理解能力．本题综合考查了分段函数的概念、函数的性质、函数图像，以及数学阅读理解能力和信息迁移能力． 当x ＜0时,2x ＜1, f(x) =2x ； x ＞0时,2x ＞1, f(x) =1． 答案：A7．解析：由椭圆定义可知小球经过路程为4a ，所以最短路程为16，答案：C8．解析：②④是周期函数不唯一，排除；①式当1x =1时，ln 10=不存在2x 使得成立，排除；答案：A二、填空题：9．解析：．(2,2),cos ,0,,90AC BCBC AC BC AC BC AC BC=-<>==∴<>=︒10．解析：第一次运算得13，第二次运算得37，第三次运算得109，第四次运算得325。
11．解析：利用几何概型52325300138=⨯⨯。
12．解析：画图，联立方程20y x x y k =⎧⎨++=⎩得33k x ky ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入3()8,633k k k -+⨯-=∴=-13．解析：由24sin ρρθ=，得22222,(2)4x y y x y +=∴+-=14．解析：4y 2102x x <=-+>时，；46y 2x ≤≤=时，；6y 2102x x >=->时，；所以函数的最小值为215．解析：连接O C ，PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP=Rt ∠．∵C P A ∠=30°，OC=2A B =3，∴03tan 30P C=，即PC=三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤． 16.解: （I ） 共有3666=⨯种结果 ………………4分（II ）若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数，则点数之和是3的倍数的结果有:（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），（3,3），（4,5），（5,4）， （3,6），（6,3），（6,6）共12种 ………………8分（III ）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是：P ＝313612=…………12分 17、解：（I ）A AA A A A A A A A A A f 22222coscos 2cos2sincos 2cos2sin2cos2cos 2sin)12(cos )(+=+-+=.21)42sin(22)12cos 2(sin 21cos2sin 212++=++=+=πA A A A A …………3分∵角A 为锐角，.45424,20ππππ<+<<<∴A A …………………………………4分)(,242A f A 时当ππ=+∴取值最大值，其最大值为.212+……………………6分（II ）由.22)42sin(,121)42sin(221)(=+∴=++=ππA A A f 得………………8分 .125.3,127.4,4342ππππππ=∴=∴=+==+∴C B B A A A 又………………10分 在△ABC 中，由正弦定理得：.6sin sin .sin sin ===∴=AB BC AC BACABC ……12分18、解法一：以11B A 为x 轴，11D A 为y 轴，A A 1为z 轴建立空间直角坐标系…………1分 （1）设E 是BD 的中点， P —ABCD 是正四棱锥，∴ABCD PE ⊥…………2分又2,A B P A ==∴2=PE ∴)4,1,1(P ……………………………3分∴ 11(2,2,0),(1,1,2)B D AP =-=………………………………………………4分∴ 110B D AP ⋅=即11PA B D ⊥………………………………………5分（2）设平面PAD 的法向量是(,,)m x y z =，…………………………………………6分(0,2,0),(1,1,2)A D A P ==……………………………………………………7分∴ 02,0=+=z x y 取1=z 得(2,0,1)m =-，………………………………8分又平面11BD D B 的法向量是(1,1,0)n =…………………………………………9分∴cos ,5m nm n m n⋅<>==-∴cos 5θ=…………………10分（3）1(2,0,2)B A =-…………………………………………………………………11分∴1B 到平面PAD的距离1B A m d m⋅==14分解法二：（1）设AC 与BD 交点为O ，连PO ；∵P —ABCD 是正四棱锥，∴PO ⊥面ABCD ，……1分∴AO 为P A 在平面ABCD 上的射影， 又ABCD 为正方形，∴AO ⊥BD ，…………3分 由三垂线定理知PA ⊥BD ，而BD ∥B 1D 1；∴11PA B D ⊥…………………………5分 （2）由题意知平面PAD 与平面11BD D B 所成的锐二面角为二面角A-PD-B ；……6分∵AO ⊥面PBD ，过O 作OE 垂直PD 于E ，连AE ，则由三垂线定理知∠AEO 为二面角A-PD-B 的平面角； ……………………8分可以计算得，cos 5θ=…………………………………………………………10分（3）设B 1C 1与BC 的中点分别为M 、N ；则1B 到平面PAD 的距离为M 到平面PAD 的距离；由V M-PAD =V P-ADM 求得556=d 。