5.1.2 垂线(二)同步作业(含答案)

5.1.2 垂线(二)
◆典型例题
【例1】(山东)如图5-29，107国道a上有一出口M，现想在附近公路b旁建一个加油站，欲使通道长最短，应沿怎样的线路施工?
图5-29 图5-30
【解析】由垂线段最短知，可过点M作b的垂线，垂足为N，则MN即为所求.
【答案】如图5-30，过点M作MN⊥b，垂足为N，欲使通道最短应沿线路MN施工.
【例2】如图5-31，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，小明、小颖、小涵三人各抒己见，你认为哪个说法正确?
图5-31
小明说:BD、DC、AD分别表示点A到BC、点D到AC、AB的距离.
小颖说:DA、DE、DF分别表示点A到BC、点D到AC、AB的距离.
小涵说:DA、DE、DF的长度分别表示点A到BC，点D到AC、AB的距离.
【解析】要判断三人说法是否正确，深刻理解点到直线的距离的含义是解题的关键.
线段BD、DC的长度是点D分别到点B、C的距离，是两点间的距离，AD的长才是点A到BC的距离，因此小明的说法是错误的.DA、DE、DF指的是垂线段,是几何图形。

而不是距离，因此小颖的说法是错误的.根据点到直线的距离的概念，小涵的说法是正确的.
【答案】小涵的说法是正确的.
【例3】如图5-32，在河岸l的同侧有一村庄A和自来水厂B.现要在河岸l上建立一抽水站D，将河中的水输送到自来水厂后，再送往A村，为了节省资金，所铺设的水管应尽可能的短.问抽水站D应建在何处，应沿怎样的路线来铺设水管?在图中画出来.
图5-32
【解析】要使水管最短，则抽水站与自来水厂间的路程应最短，自来水厂与A村的路程应最短.需要运用“垂线段最短”和“两点间线段最短”的数学原理.
【答案】如图5-32所示，过点B画l的垂线，则垂足D为抽水站的位置.连接AB.沿D-B-A的路线铺设水管，可使所用的水管最短.
◆课前热身
1.直线外________与直线上各点连接的所有线段中，垂线段________.
2.定点P在直线外，动点O在直线AB上运动，当线段PO最短时，∠POA=________度.这时，点P到直线AB的距离是线段________的长度.
◆课上作业
3.如图5-33，计划把池中的水引到C处，可过点C作CD⊥AB于D，然后沿CD开渠，可使所开的渠道最短.这种设计的依据是________.
4.如图5-34，OD⊥BC，垂足为D，BD=6 cm，OD=8 cm，OB=10 cm，那么点B到OD的距离是________，点O到BC的距离是________.O、B两点之间的距离是________.
图5-33 图5-34 图5-35
5.如图5-35，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，则AB、AC、CD之间的大小关系是________(用“＜”号连接起来).
6.直线l上有A、B、C三点，直线l外有点P，若PA=5 cm，PB=3 cm，PC=2 cm,那么点P 到直线l的距离________.
◆课下作业
一、填空题(每题5分，共50分)
7.如图5-36，点P是直线l外一点，过点P画直线PA、PB、PC、…交l于点A、B、C、…，请你用量角器量∠1，∠2，∠3的度数，并量PA，PB，PC的长度.你发现的规律是:__________
图5-36 图5-37 图5-38
8.如图5-37，已知直线AD、BE、CF相交于O，OG⊥AD，且∠BOC=35°，∠FOG=30°，则∠DOE=___________.
9.如图5-38，O为直线AB上一点，∠BOC=3∠AOC，OC平分∠AOD.则∠AOC=_________，OD与AB的位置关系是____________.
10.将一张长方形的白纸，按如图5-39所示的折叠，使D到D′，E到E′处，并且BD′与BE′在同一条直线上，那么AB与BC的位置关系是_________.
图5-39 图5-40 图5-41
二、选择题(每题5分，共10分)
11.我们知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直段最短”.在此基础上，人们定义了点到点的距离、点到直线的距离，类似地，若点P是O 外一点(如图5-40)，则点P与O的距离应定义为( )
A.线段PO的长度
B.线段PA的长度
C.线段PB的长度
D.线段PC的长度
12.在图5-41所示的长方体中，和平面AC垂直的棱有( )
A.2条
B.4条
C.6条
D.8条
三、解答题(每题20分，共40分)
13.如图5-42，∠α与∠β有公共顶点，且∠α两边与∠β的两边互相垂直，∠α=7
5∠β.试求∠α，∠β的度数.
图5-42
14.一辆汽车在直线形的公路上由A 向B 行驶，M 、N 分别是位于公路AB 两侧的两个学校，如图5-43.
(1)汽车行驶时，会对公路两旁的学校都造成一定的影响，当汽车行驶到何处时，分别对两个学校影响最大?在图中标出来；
(2)当汽车从A 向B 行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大?越来越小?对M 学校影响逐渐减小而对N 学校影响逐渐增大?
图5-43
参考答案
◆课上作业
3.如图5-33，计划把池中的水引到C处，可过点C作CD⊥AB于D，然后沿CD开渠，可使所开的渠道最短.这种设计的依据是________.
答案：垂线段最短
4.如图5-34，OD⊥BC，垂足为D，BD=6 cm，OD=8 cm，OB=10 cm，那么点B到OD的距离是________，点O到BC的距离是________.O、B两点之间的距离是________.
图5-33 图5-34
答案：6 cm；8 cm；10 cm
5.如图5-35，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，则AB、AC、CD之间的大小关系是________(用“＜”号连接起来).
图5-35
答案：CD＜AC＜AB
6.直线l上有A、B、C三点，直线l外有点P，若PA=5 cm，PB=3 cm，PC=2 cm,那么点P 到直线l的距离________.
答案：小于或等于2cm
◆课下作业
一、填空题(每题5分，共50分)
7.如图5-36，点P是直线l外一点，过点P画直线PA、PB、PC、…交l于点A、B、C、…，请你用量角器量∠1，∠2，∠3的度数，并量PA，PB，PC的长度.你发现的规律是:__________
图5-36
答案：角度越大，线段长度越小
8.如图5-37，已知直线AD、BE、CF相交于O，OG⊥AD，且∠BOC=35°，∠FOG=30°，则∠DOE=___________.
图5-37 图5-38
答案：25°
9.如图5-38，O为直线AB上一点，∠BOC=3∠AOC，OC平分∠AOD.则∠AOC=_________，OD与AB的位置关系是____________.
答案：45°；OD⊥AB
10.将一张长方形的白纸，按如图5-39所示的折叠，使D到D′，E到E′处，并且BD′与BE′在同一条直线上，那么AB与BC的位置关系是_________.
图5-39
答案：垂直
二、选择题(每题5分，共10分)
11.我们知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直段最短”.在此基础上，人们定义了点到点的距离、点到直线的距离，类似地，若点P是O 外一点(如图5-40)，则点P与O的距离应定义为( )
图5-40
A.线段PO 的长度
B.线段PA 的长度
C.线段PB 的长度
D.线段PC 的长度 答案：B
12.在图5-41所示的长方体中，和平面AC 垂直的棱有( )
A.2条
B.4条
C.6条
D.8条
图5-41
答案：B
三、解答题(每题20分，共40分)
13.如图5-42，∠α与∠β有公共顶点，且∠α两边与∠β的两边互相垂直，∠α=7
5∠β.试求∠α，∠β的度数.
图5-42
答案：75°；105°
14.一辆汽车在直线形的公路上由A 向B 行驶，M 、N 分别是位于公路AB 两侧的两个学校，如图5-43.
(1)汽车行驶时，会对公路两旁的学校都造成一定的影响，当汽车行驶到何处时，分别对两个学校影响最大?在图中标出来；
(2)当汽车从A向B行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大?越来越小?对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大?
图5-43
答案：(1)作MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，所以在C处对M学校的影响最大，在D 处对N学校影响最大；(2)由A向C行驶时，对两学校影响逐渐增大；由D向B行驶时，对两学校的影响逐渐减小；由C向D行驶时，对M学校的影响减小，对N学校的影响增大.。