必修五基础知识总结

必修五基础知识总结
第一章、解三角形
1、三角形的性质： ①.A+B+C=π,
222
A B C
π+=- ⇒sin()sin A B C +=, cos()cos A B C +=-,sin
cos 22
A B C
+= ②.在ABC ∆中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ⇔sin A ＞sin B ,
A ＞
B ⇔cosA ＜cosB, a ＞b ⇔ A ＞B
③.若ABC ∆为锐角∆，则A B +＞
2π,B+C ＞2π,A+C ＞2
π
; 2
2
a b +＞2
c ，2
2
b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2
b 2、正弦定理与余弦定理：
①.正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C
=== (2R 为ABC ∆外接圆的直径) 111
sin sin sin 222
ABC S ab C bc A ac B ∆===
②.余弦定理：2
2
2
2cos a b c bc A =+- 222
c o s 2b c a A bc
+-=
2
2
2
2cos b a c ac B =+- 222c o s 2a c b B ac
+-=
2
2
2
2cos c a b ab C =+- 222
c o s 2a b c C ab
+-=
第二章、数列
1、数列的定义及数列的通项公式：
①. ()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值。

②. n a 的求法：
i.归纳法。

ii. 11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 若00S =，则n a 不分段；若00S ≠，则n a 分段。

iii. 若1n n a pa q +=+，则可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +。

iv. 若()n n S f a =，则先求1a ，再构造方程组：11()
()
n n n n s f a s f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的
递推关系式. 2.等差数列：
① 定义：1n n a a +-=d （常数）,证明数列是等差数列的重要工具。

② 通项: 1(1)n a a n d =+-,0d ≠时，n a 为关于n 的一次函数；d ＞0时，n a 为单调递
增数列；d ＜0时，n a 为单调递减数列。

③ 前n 项和：11()(1)
22
n n n a a n n s na d +-=
=+，0d ≠时，n s 是关于n 的不含常数项的一元二次函数，反之也成立。

④ 性质：i. m n p q a a a a +=+ （m+n=p+q ）
ii. 若{}n a 为等差数列，则m a ，m k a +，2m k a +，…仍为等差数列。

iii. 若{}n a 为等差数列，则n s ，2n n s s -，32n n s s -，…仍为等差数列。

iv 若A 为a,b 的等差中项，则有2
a b
A +=。

3.等比数列： ① 定义：
1
n n
a q a +=（常数）
，是证明数列是等比数列的重要工具。

② 通项: 11n n a a q -= (q=1时为常数列)。

③.前n 项和, ()111,11,111n n n na q S a q a a q q q
q =⎧⎪
=-⎨-=≠⎪
--⎩,需特别注意,公比为字母时要讨论.
④.性质：i. ()q p n m a a a a q p n m +=+∙=∙。

ii.{}仍为等比数列则为等比数列 ,,,,2k m k m m n a a a a ++，公比为k
q 。

iii.{}仍为等比数列则为等比数列 ,,,,232n n n n n n s s s s s a --，公比为n
q 。

iv.G 为a,b 的等比中项,ab G ±=
4.数列求和的常用方法: ①.公式法:如1
3
,32+=+=n n n a n a
②.分组求和法:如52231-++=+n a n n n ，可分别求出{}3n ，{}
1
2n +和{}25n -的和，然
后把三部分加起来即可。

③.错位相减法:如()n
n n a ⎪⎭⎫
⎝⎛⨯+=2123，
()2
3
1
11111579(31)3222222n n
n s n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=++++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
1
2
n s = 2
3
4
111579222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
＋()()1
11313222n
n n n +⎛⎫⎛⎫
-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
两式相减得：()2
3
1
111111522232222222n
n n s n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，以下略。

④.裂项相消法:如()n n n
n a n n n n a n n -+=++=
+-=+=
111;1
1
111，
()()1
111212122121n a n n n n ⎛⎫=
=- ⎪-+-+⎝⎭
等。

⑤.倒序相加法.例：在1与2之间插入n 个数12,3,,,n a a a a ，使这n+2个数成等差数列， 求：12n n s a a a =+++ ，
（答案：3
2
n s n =） 第三章 不等式
1.不等式的性质:
① 不等式的传递性:c a c b b a >⇒>>,
② 不等式的可加性:,,c b c a R c b a +>+⇒∈>推论:
d b c a d c b a +>+⇒⎭
⎬⎫
>> ③ 不等式的可乘性:
000;0;0>>⇒⎭
⎬⎫
>>>><⇒⎭⎬⎫<>>⇒⎭⎬⎫>>bd ac d c b a bc ac c b a bc ac c b a ④ 不等式的可乘方性:00;00>>⇒>>>>⇒>>n n n n b a b a b a b a 2.一元二次不等式及其解法:
①.()c bx ax x f c bx ax c bx ax ++==++>++2
2
2
,0,0注重三者之间的密切联系。

如：2ax bx c ++＞0的解为：α＜x ＜β, 则2
ax bx c ++＝0的解为12,x x αβ==； 函数()2
f x ax bx c =++的图像开口向下，且与x 轴交于点(),0α，(),0β。

对于函数()c bx ax x f ++=2，一看开口方向,二看对称轴，从而确定其单调区间等。

②.注意二次函数根的分布及其应用.
如：若方程2
280x ax -+=的一个根在（0，1）上，另一个根在（4,5）上，则有
()()()()0010
4050
f f
f f ⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
③.会用波浪线法解分式不等式及高次不等式. 3.不等式的应用 ①基本不等式：
()()
00222
0221.0,0,
2
2.2.
3.2a b
a b a b ab a b a b +>>≥+≥+≥+
当a ＞0,b ＞0且ab 是定值时，a+b 有最小值； 当a ＞0,b ＞0且a+b 为定值时，ab 有最大值。

②简单的线形规划:
()00>>++A C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的右方区域. ()00><++A C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的左方区域
解决简单的线性规划问题的基本步骤是： ①.找出所有的线性约束条件。

②.确立目标函数。

③.画可行域，找最优点，得最优解。

需要注意的是，在目标函数中，x 的系数的符号，
当A ＞0时，越向右移，函数值越大，当A ＜0时，越向左移，函数值越大。