2.2.1对数与对数运算(第一课时——对数及对数的性质)
教学：高中数学 2.2.1 对数与对数运算教案 新人教A版必修1
2.2.1 对数与对数运算第一课时 对数的概念 三维目标定向 〖知识与技能〗理解对数的概念，掌握对数恒等式及常用对数的概念，领会对数与指数的关系。
〖过程与方法〗 从指数函数入手，引出对数的概念及指数式与对数式的关系，得到对数的三条性质及对数恒等式。
〖情感、态度与价值观〗增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力，体会对数的价值，形成正确的价值观。
教学重难点：指、对数式的互化。
教学过程设计 一、问题情境设疑引例1：已知2524,232==，如果226x =，则x = ？ 引例2、改革开放以来，我国经济保持了持续调整的增长，假设2006年我国国内生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国内生产总值比2006年翻两番？分析：设经过x 年国内生产总值比2006年翻两番，则有a a x4%)81(=+，即1.08 x = 4。
这是已知底数和幂的值，求指数的问题，即指数式ba N =中，求b 的问题。
能否且一个式子表示出来？可以，下面我们来学习一种新的函数，他可以把x 表示出来。
二、核心内容整合1、对数：如果)10(≠>=a a N a x且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作Nx a log =。
其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当 a > 0且1a ≠时，Nx N a a x log =⇔=（符号功能）——熟练转化如：1318log 131801.101.1=⇔=x x ，4 2 = 16 ⇔ 2 = log 4 162、常用对数：以10为底10log N写成lg N ；自然对数：以e 为底log e N写成ln N （e = 2.71828…）3、对数的性质：（1）在对数式中N = a x > 0（负数和零没有对数）；（2）log a 1 = 0 , log a a = 1（1的对数等于0，底数的对数等于1）；（3）如果把b a N =中b 的写成log a N ，则有N a N a =log （对数恒等式）。
(人教a版)必修一同步课件：2.2.1(第1课时)对数
2.从“三角度”看对数式的意义 角度一：对数式logaN可看作一种记号，只有在 a>0,a≠1,N>0时才有意义. 角度二：对数式logaN也可以看作一种运算，是在已知ab=N 求b的前提下提出的. 角度三：logaN是一个数,是一种取对数的运算,结果仍是一个 数,不可分开书写,也不可认为是loga与N的乘积. 3.loga1=0和logaa=1(a＞0且a≠1)的应用 主要应用于求真数为1的对数值和真数与底数相等的对数值.
(2) l＝og－1 9 2.
3
(4)( )－12=3.
3
(5)10－1.299=b. (6)e0.693=2.
【拓展提升】 1.对数中底数和真数的取值范围 (1)底数的取值范围：根据指数式与对数式的互化可知对数中的 底数也要大于0且不等于1. (2)真数的取值范围：根据指数式与对数式的互化可知:对数式 中的真数实际上是指数式中的幂，由于已经规定底数大于0且 不等于1，所以幂(即真数)为正数.因此，在解决含有对数式的 问题时，一定要注意真数的取值范围，保证真数大于0.
【知识点拨】
1.对数logaN中规定a＞0且a≠1的原因
(1)a＜0时，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算
性质可知，不存在实数x使( )1x=2成立，所以
2
log不(1)存2 在，
2
所以a不能小于0.
(2)a=0时，N≠0时，不存在实数x使ax=N,无法定义logaN;N=0 时，任意非零实数x,有ax=N成立，logaN不确定. (3)a=1时，N≠1,logaN不存在;N=1,loga1有无数个值，不能 确定.
【解析】1.选B.由对数的概念可知使对数loga(－2a＋1)有意义
a 0，
2.2.1 对数与对数运算
一般地，函数y=ax (a>0,且a≠1）叫做指数函数， 其中x是自变量，函数的定义域是R。
y
y ax
(a>1)
ya
x
y (0,1) O
y=1 x
(0<a<1)
(0,1) O
y=1 x
定义域：R 值域：（0，+∞）
问题导入
1.截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人 口年平均增长率控制在1%，那么我国人口数y与经过的年 数x之间的关系如下：
＝logaN
对数的性质（x＝logaN ）
须大于零；
问题2： 你能写出下列对数的值吗？
新知探究
(1)在指数式中 a > 0，故零和负数没有对数，即式子logaN中N必
log2 1
lg 1 log 2 2 lg10
1 1
0 0
log3 1
log3 3
ax＝N x＝logaN
底数 底数
常用对数与自然对数
常用对数：通常把以10为底的对数叫常用对数，
新知探究
并把 log10 N ,
简记作
lg N .
例如： 10 5 简记作lg5； log10 3.5 简记作lg3.5. log 自然对数：以无理数e=2.71828……为底的对数叫自然对数， 为了简便，N的自然对数 log e N 简记作 lnN。 例如：loge 3 简记作ln3 ; loge 10 简记作ln10
人教版高中数学必修一
2.2.1 对数与对数运算
第一课时 对数
学习目标
对数如何定义？
什么是常用对数？什么是自然对数？
对数有哪些性质？
第一课时 对 数
x
【质疑探究 1】对数 logaN 中,a 与 N 有什么 要求,为什么? (对数 logaN 只有在 a>0,a≠1 且 N>0 时才有 意义,这是因为: (1)若 a<0,则 N 取某些数值时,logaN 不存在, 为此规定 a 不能小于 0. (2)若 a=0,则当 N≠0 时,logaN 不存在;当 N=0 时,则 logaN 有无数个值,与函数定义不 符;因此,规定 a≠0.
k k
k2
.
∵b>0,且 b≠1, ∴k =1,即 k=±1.
2
1 当 k=-1 时,a= ; b
当 k=1 时,a=b.
1 ∴a=b 或 a= . b
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6
(4)log464=3.
1 (5)log =-2. 9 (6) log 1 16 =-2.
3
4
对数的简单性质
【例 2】 求下列各式中 x 的值.
(1)log5(log3x)=0; (2)log3(lg x)=1; (3)ln[log2(lg x)]=0.
名师导引:对数的真数分别是谁? (log3x,lg x,log2(lg x)) 解:(1)设 t=log3x,则 log5t=0, ∴t=1, 即 log3 x=1,∴x=3. (2)∵log3(lg x)=1, ∴lg x=3, 3 ∴x=10 =1000.
对数与指数的关系
3:由对数概念可知,对数来源于 指数,所以两者存在什么关系?
3:对数与指数间的关系:当 a>0, a≠1 时,a =N⇔x=logaN.
x
【质疑探究 2】 形式的变化是否意味着字 母含义的变化? (字母的本质含义并没有发生变化,只是 名称有所不同,其对应关系如下表所示:
2.2.1对数与对数运算 第一课时
要点突破
典例精析
演练广场
考题赏析
2．2 2．2.1
对数函数 对数与对数运算
第 1 课时
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想一想： 1． 一般地， 如果 ax＝N(a>0， a≠1)， 且 那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数， 记作 x＝logaN， 其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数 loga N(a＞0，且 a≠1)具有下列简单性质： (1)零和负数没有对数，即 N＞0； (2)1 的对数为零，即 loga1＝0； (3)底的对数等于 1，即 logaa＝1. 3．常用对数：通常我们将以 10 为底的对数叫做常用对数．记作 lg_N. 4．自然对数：以 e 为底的对数称为自然对数．记作 ln_N. 5．对数与指数间的关系：当 a＞0，a≠1 时，ax＝N⇔x＝logaN. 6．对数恒等式：alogaN＝N.
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变式训练 11：已知 loga2＝m，loga3＝n，求 a2m
解：∵loga2＝m，loga3＝n ∴am＝2，an＝3 ＋ ∴a2m 3n＝a2m·3n＝22×33＝108. a
＋ 3n
的值．
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对数的性质 【例 2】 求下列各式中 x 的值． (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； 1 (3)log( 2－1) ＝x. 3＋2 2
教学课件第1课时对数的定义与性质
[例 4] 对数式 loga－2(5－a)＝b 中，实数 a 的取值范围是
()
A．(－∞，5)
B．(2,5)
C．(2，＋∞)
D．(2,3)∪(3,5)
[错解] A
由题意，得 5－a>0，∴a<5.
[错因分析] 该解法忽视了对数的底数和真数都有范围
限制，只考虑了真数而忽视了底数．
[正解]
5－a>0， D 由题意，得a－2>0，
请同学们结合本节课的学习，说出你有什么收获？ 1．对数的定义
一般地,如果a(a>0,且a≠1)的 x 次幂等于N, 即ax=N, 那么数x叫做以a为底N的对数, 记作
logaN=x (式中的a叫做对数的底数,N叫做真数). 2．掌握指数式与对数式的互化
loga N x ax N (a>0,且a≠1)
3．掌握对数的性质.
③∵log1
2
8＝－3，∴(12)－3＝8.
④∵log3217＝－3，∴3－3＝217.
[点评] 互化时，首先指数式与对数式的底数相同，其次 将对数式的对数换为指数式的指数(或将指数式的指数换为对 数式的对数)．
探究二 对数与指数的关系
ab N 叫做指数式, loga N b 叫做对数式.
当 a 0, a 1, N 0 时，
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
第二章
2．2 对 数 函 数
第二章
2.2.1 对数与对数运算
第二章
第 1 课时 对数的定义与性质
1.理解对数的概念；（重点） 2.能够说明对数与指数的关系； 3.掌握对数式与指数式的相互转化．（难点） 4.掌握对数的性质.(重点）
温故知新 1．在指数 ab＝N 中，a 称为 底数，b 称为 指数 ，N 称为 幂值，在引入了分数指数幂与无理数指数幂之后，b 的取值范 围由初中时的限定为整数扩充到了实数 ． 2．若 a>0 且 a≠1，则 a0＝ 1 ；a1＝ a ；对于任意 x∈R， ax>0.
对数与对数运算第一课时教师
2.2.1对数与对数运算（第一课时）2016-11-6教学目标： 理解对数的概念，了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质。
教学重点： 对数的概念；对数式与指数式的相互转化。
教学难点： 对数概念的理解；对数性质的理解。
教学过程：一、复习回顾，新课引入：引例1：一尺之锤，日取其半，万世不竭。
（1）取5次，还有多长？（答：1/32）（2）取多少次，还有0.125x=?引例2：2002年我国GDP 为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年GDP 是2002年的2倍？略解：08.1x=2，则x=?象上面的式子，都是已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）. 二、师生互动，新课讲解： 1．对数定义一般地，如果N a x =（0>a ，且1≠a ），那么数x 叫做以a 为底N 的对数（logarithm ），记作N x a log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．解答引例：引例1 125.0log 21=x 读作x 是以21为底，0.125的对数引例2 2log08.1=x 读作x 是以08.1为底，2的对数提问：你们还能找到哪些对数的例子举例： 如：1144-=，则 411log 4=- 读作-1-是以4为底，41的对数.1242=，则41log 22=， 读作12是以4为底 ，2的对数. 2．两个重要的对数（常用对数和自然对数）通常我们将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并且把N 10log 记作N lg ．如2lg 2log 10= ππlg log 10=在科学技术中常使用以无理数 597182818284.2=e 为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数（natural logarithm ），并且把N elog记作N ln ．如2ln 2log=eππln log =e3．对数式与指数式的互化当0>a ，且1≠a 时，如果N a x =，那么N x a log =；如果N x a log =，那么N a x=．即N a x =⇔N x a log =，指数式⇔对数式 幂底数←a →对数底数 指 数←x →对数 幂 ←N →真数例1：将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式（1）62554=；（2）()64126=--；（3）01.0102=-；（4）2=em（5（6）303.210ln =；（7）a =27log 3；（8）31000lg =解： （1）4625log 5=；()66412log2-=；()201.0lg 3-=；()m =2ln 4 ()165214=⎪⎭⎫⎝⎛- ()61003.2=e()2773=a()10008103=例2：求下列各式中x 的值。
对数与对数运算第一课时(公开课精品课件).
(1) lg36
1.5562
81 (2)lg 32
0.4034
例6
解法一：
7 计算 ：lg14 2 lg lg 7 lg18 3
解法二：
7 lg 14 2 lg lg 7 lg 18 3 7 lg(2 7) 2 lg 3 lg 7 lg(2 32 )
1.计算下列各式的值.
1 32 4 1 —— (1). lg lg 8 lg 245 2 2 49 3 2 2 2 (2).lg 5 lg 8 lg 5. lg 20 lg 2 3 3 lg 2 lg 3 lg 10 1 —— (3). 2 lg1.8
1.对数的概念、表示.
• 3、数学思想小结 • 从特殊到一般——归纳法；
普通高中课程标准实验教科书数学必修一 2.2.1 对数
• 4、重点难点小结；
重点 ：（1）对数的概念； （2）对数式与指数式的相 互转化。 难点 ：对数概念的理解。
普通高中课程标准实验教科书数学必修一 2.2.1 对数
（一）必做 1、复习本节课的内容（明天提问） ； 2、课本 P74 习题 2.2 A 组 第 1、 2 题 （写在作业本上明天上交） ； 3、 《创新方案》 53 页变式之作 3， 《创新方案》 54 页课堂强化。
7 lg 14 2 lg lg 7 lg 18 3 7 2 lg14 lg( ) lg 7 lg18 3 14 7 lg 7 2 ( ) 18 3 lg1 0
lg 2 lg 7 2(lg 7 lg 3) lg 7 (lg 2 2 lg 3)
loga 1 0 “1”的对数等于零，即
等价
a 1
0
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3
1 6
求对数
x -2.
例题讲解 例4 求值 ：
解：设
(1) log 9 27 x 则 x log 9 27 9 27,
求对数 求对数
3
解：设 即 ∴
2x
5
3
4
3
(2) log 3
625
54
3 ∴ x 2
x log 3
x3
625
4
则 ∴
x
3
5
4
625,
5
4 x 3
625 5 ,
log0.5 1 0 log9 81 2 log25 625 2
log3 243 5
lg4 64 3
（5）
（6）
log 2 2 2
归纳小结
思考：各位同学在这节课上有什么收 获 ？
1、对数的定义
一般地, ax=N(a>0,a≠1),那么数x叫做以a为底 N的对数, 记作logaN=x。(式中的a叫做对数的底 数,N叫做真数.)
; 7
log7 0.6
; 0.4
.
思考：你发现了什么？
讲授新课 4.对数的性质 探究活动
loga a b.
b
5
8
（4）、求下列各式的值：
log3 3 ; log0.9 0.9 ; ln e .
思考：你发现了什么？
课堂练习：P64，练习3、4
4
讲授新课 4.对数的性质 (a 0, 且a 1) 结论： （1）负数和零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ） ． 0 log 1 即：1的对数是0 （ 2） a log a 1 即：底数的对数是1 （ 3） a
2.2.1 对数与对数的运算
(第一课时)
知识引入
1、如果我国GDP平均每年增长8%，则经过多少年我国 的GDP是现在的两倍？
解：设经过x年国民生产总值是现在的两倍,令 现在的国民生产总值为a.
依题意得：
a(1 8%) 2a
x
即：(1 8%)x 2 如何计算式子中的 x
知识引入 2、求下列各式中x的值
(2) 2 128
7
(3) 10 0.01
(4) e
2.303
-2
10
(练习：课本P64 2)
例题分析
3、运用指数运算求值 例3 求下列各式中的x的值
2 (1) log 64 x ( 2) log x 8 6 3 2 (3) lg 100 x (4) - ln e x
例题讲解
2、指数式和对数式的互换；
x log a N x a N (a 0, 且a 1)
归纳小结
3、运用指数运算求值 4、对数的性质 (a 0, 且a 1)
（1）负数和零没有对数
（2）log a 1 0 （3）loga a 1
即：1的对数是0
即：底数的对数是1
n
log a N （4）对数恒等式： a N
3
m 1 (4) ( ) 5.73 3
b
(4) log 1 5.73 m (练习：课本P64 1)
例题分析 例2．将下列对数式写成指数式：
(1)log 1 16 -4 2 (3)lg 0.01 -2
(2)log 2 128 7
(4)ln10 2.303
-4
1 解： (1) 16 2
思考：你发现了什么？
讲授新课 4.对数的性质 探究活动
loga a 1.
（3）、求下列各式的值：
log3 3; lg10; log0.5 0.5; ln e.
思考：你发现了什么？
讲授新课 4.对数的性质 探究活动
a
log a N
N.
log0.4 89
（4）、求下列各式的值：
2
log2 3
1 log 4 2 2
4 2
10 0.01
-2
1 2
化为对数式 化为指数式
log 10 0.01 -2
例题分析
例1．将下列指数式写成对数式：
(1) 5 625
4
(2) e
-6Leabharlann 1(3) 10 27
a
解：(1)log5 625 4 1 1 (2) log e ln -6 b b (3)log10 27 lg 27 a
a N log N x
名称
式子
a
底数 底数
x
指数
N
指数式 a N
x
幂
真数
对数式log a N x
对数
讲授新课 2. 指数和对数的相互转化
指数 幂 真数
对数
a N log a N b
b
底数
讲授新课 3.两个重要的对数： (1)常用对数：以10为底的对数 log10 N 。 简记作 lgN 。如 (2)自然对数：
log10 3.5 简记为 lg 3.5.
以无理数e = 2.71828…为底的对数 log e N 。
简记作 lnN 。如 log 简记为 ln 9. 9 e
对数式与指数式的互换，并由此求某些特殊 的对数
4 16
2
化为对数式
log 4 16 2
10 100
2
化为指数式
log 10 100 2
2
(2)
log2 log3 log4 x 0
课堂练习
5 、 求下列各式的值 （1 ） （2 ） （3 ） （4）
log5 25 2 log25 25 1
lg10
1
lg 0.01 -2
（5）
（6）
lg 1000 3 lg 0.001 -3
课堂练习
6 求下列各式的值 （1 ） （2 ） （3 ） （4）
1 {x | x 1} 中x的取值范围是______ 2
(2 x -1)
1- x
巩固练习 3.求下列各式的值
（ 1） （ 2）
log5 5
1
1 log 1 16 16
1
（ 3） （ 4）
lg1000 3
ln 1 0
巩固练习 4、求 x 的值： (1)
2
log2x -1 3x 2x -1 1
讲授新课
练习1：将下列指数式写成对数式：
①
5 25
2
以5为底25的对数是2， 记作
log 5 25 2
log 2 64 -6
②
2
-6
1 64
1 以2为底 的对数是-6， 64 1
记作
③
2 7
x
以2为底7的对数是x，
记作
log2 7 x
讲授新课
思考：对数与指数有什么区别与联系? x ( a 0, 且 a 1) a
（5）对数恒等式： loga a n
布置作业
作业：P74 习题A组 1、2
4 x4 3
讲授新课 4.对数的性质 探究活动 (1)、试求下列各式的值：
log3 0, loga 0; lg(-5), log a (-1);
结论：零和负数没有对数
讲授新课 4.对数的性质 探究活动
loga 1 0.
（2）、求下列各式的值：
log3 1; lg1; log 0.5 1; ln1.
log a N （4）对数恒等式： a N
（5）对数恒等式： loga a n
n
巩固练习
1、指数式b 2 a(b 0, 且b 1)相应的对数式是（D） A log 2 a b B log 2 b a C log a b=2 D log b a 2
2
2、 对数式 log
x 1 x ( 2)( ) 16. (3) 2 7. 4
(1) 2 32.
x
x 5
x2
x
讲授新课
1.对数的定义：
一般地，如果ax=N ( a > 0 , 且a ≠ 1 ) 那么数x叫做以a为底N的对数， 记作: x = loga N 其中a叫做对数的底数, N叫做真数.
注意：限制条件是a > 0 , 且a ≠ 1
①
2 log 64 x 3
求真数
2 3
解：∵
∴
2 log 64 x 3
x 64
(4 )
3
2 3
4
-2
1 16
例题讲解
②
log x 8 6
6
解： ∵ log 8 6, x x
∴
1 6
8
又∵ x 0
x 8 (2 ) 2 2 ③ - ln e 2x 解： ∵ - ln x e 2 2 -x ∴ ln e - x, e e