第一节空间几何体的结构及其三视图和直观图
1 第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图
第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形矩形一边所在的直线或对边中点连线所在直线圆锥直角三角形或等腰三角形一直角边所在的直线或等腰三角形底边上的高所在直线圆台直角梯形或等腰梯形直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点连线所在直线球半圆或圆直径所在的直线(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．3．直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直；②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．导师提醒1．记准一组关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．2．记住旋转体的一些常见结论(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．3．会作正方体的截面正方体的截面情况：三角形、四边形(有菱形、矩形、梯形等)、五边形、六边形．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．()(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．()(6)菱形的直观图仍是菱形．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是()A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．简单组合体答案：C某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱解析：选A.由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选A.(教材习题改编)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()解析：选B．该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()解析：选B.根据选项A，B，C，D中的直观图，画出其三视图，只有B项正确．在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为________，面积为________cm2.解析：由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.答案：矩形8空间几何体的几何特征(自主练透)1．下列说法正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D.由图知，A不正确．两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．侧棱长与底面多边形的边长相等的棱锥一定不是六棱锥，故C错误．由定义知，D正确．2．给出下列几个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：选B.①不一定，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．3．给出以下命题：①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.由圆台的定义可知①错误．②正确．对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确．4．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形．答案：②③④空间几何体概念辨析问题的常用方法空间几何体的三视图(多维探究)角度一已知几何体，识别三视图(2018·高考全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()【解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.【答案】 A角度二已知三视图，判断几何体(1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱(2)(2018·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】(1)由题三视图得直观图如图所示，为三棱柱，故选B.(2)将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示．易知，BC∥AD，BC＝1，AD＝AB＝P A＝2，AB⊥AD，P A⊥平面ABCD，故△P AD，△P AB为直角三角形，因为P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以P A⊥BC，又BC⊥AB，且P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB，又PB⊂平面P AB，所以BC⊥PB，所以△PBC为直角三角形，容易求得PC＝3，CD＝5，PD＝22，故△PCD不是直角三角形，故选C.【答案】(1)B(2)C[迁移探究1](变问法)在本例(2)条件下，求该四棱锥的所有棱中，最长棱的棱长是多少？解：由三视图可知，P A＝AB＝AD＝2，BC＝1，经计算可知，PB＝PD＝22，PC＝3，CD＝5，故最长棱为PC，且|PC|＝3.[迁移探究2](变问法)在本例(2)条件下，求该四棱锥的五个面中，最小面的面积．解：面积最小的面为PBC，且S△PBC＝12BC·PB＝12×1×22＝2，即最小面的面积为 2.角度三已知几何体的某些视图，判断其他视图(1)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为()(2)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为()【解析】(1)由几何体的直观图(如图)知选B.(2)由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故选D.【答案】(1)B(2)D三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图．先根据已知的一部分视图，还原、推测其直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为直观图．1．将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为()解析：选B.侧视图中能够看到线段AD1，应画为实线，而看不到B1C，应画为虚线．由于AD1与B1C不平行，投影为相交线，故应选B.2．(2019·唐山五校联考)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为()解析：选A.由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A.3．(2018·高考全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217 B．2 5C．3 D．2解析：选B.由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N 的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝2 5.故选B.空间几何体的直观图(自主练透)1．如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD 为()A ．平行四边形B ．梯形C ．菱形D ．矩形解析：选D.由斜二测画法可知在原四边形ABCD 中DA ⊥AB ，并且AD ∥BC ，AB ∥CD ，故四边形ABCD 为矩形．2.一平面四边形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′如图所示，其中O ′C ′⊥x ′，A ′B ′⊥x ′，B ′C ′∥y ′，则四边形OABC 的面积为 ( )A.322B ．3 2C ．3D.32解析：选B.平面四边形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′是直角梯形，其面积为12×(1＋2)×1＝32； 根据平面图形与它的直观图面积比为1∶24， 计算四边形OABC 的面积为3224＝3 2.故选B.3．已知等边三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( ) A.34a 2B.38a 2C.68a 2 D.616a 2解析：选D.如图①②所示的实际图形和直观图，由②可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C′＝12OC ＝34a ，在图②中作C′D ′⊥A′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.故选D. 4．在等腰梯形ABCD 中，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________．解析：因为OE ＝（2）2－12＝1，所以O ′E ′＝12，E ′F ′＝24.所以直观图A ′B ′C ′D ′的面积为 S ′＝12×(1＋3)×24＝22.答案：22(1)斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.(2)平面图形直观图与原图形面积间的关系对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S 与直观图面积S ′之间的关系S ′＝24S ，能更快捷地进行相关问题的计算． 三视图的识别已知以下三视图中有三个同时表示某一个棱锥，则下列不是该三棱锥的三视图的是()【解析】四个选项中，因为观察的位置不同，得到的三个视图也不同．可从俯视图入手，以A选项中的正方向作为标准．则A中的方向如图所示B中的方向C中的方向【答案】 D直观想象即通过几何直观和空间想象感知几何体的形状与变化．本例通过几何体的三视图直观感知几何体的形状与相关度量，想象几何体的结构特征．1．(2019·河南开封一模)如图，，O2，这两个球外切，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是()解析：选B.由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C，D.由于两球不等，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住一部分，所以排除A.B正确．2．一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是()A．①②B．①③C．③④D．②④解析：选D.由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展开到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正视图为②；若把平面ABCD 和平面CDD1C1展开到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现．故选D.[基础题组练]1.如图所示是水平放置的三角形的直观图，点D是△ABC的BC边的中点，AB，BC分别与y′轴，x′轴平行，则在原图中三条线段AB，AD，AC中() A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AC，最短的是AD解析：选B.由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB<AD<AC.2．如图所示，上面的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是()A．①②B．②③C．③④D．①⑤解析：选D.圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件；故截面图形可能是①⑤.3．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边长为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()解析：选C.当正视图为等腰三角形时，则高应为2，且应为虚线，排除A，D；当正视图是直角三角形，由条件得一个直观图如图所示，中间的线是看不见的线P A形成的投影，应为虚线，故答案为C.4．如图，一个三棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为()解析：选D.由正视图和侧视图可知，这是一个水平放置的正三棱柱．故选D.5．(2019·福建漳州调研)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为()A. 5 B．2 2C．3 D．2 3解析：选C.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AD的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D1MB1C.故通过计算可得D1C＝D1B1＝B1C＝22，D1M＝MC＝5，MB1＝3，故最长棱的长度为3，故选C.6.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为________．解析：由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为（2＋4）×22×2＝12.答案：127．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm 和8 cm ，若两底面圆心的连线长为12 cm ，则这个圆台的母线长为______cm.解析：如图，过点A 作AC ⊥OB ，交OB 于点C .在Rt △ABC 中，AC ＝12(cm)，BC ＝8－3＝5(cm)． 所以AB ＝122＋52＝13(cm)．答案：138．已知正四棱锥V -ABCD 中，底面面积为16，一条侧棱的长为211，则该棱锥的高为________．解析：如图，取正方形ABCD 的中心O ，连接VO ，AO ，则VO 就是正四棱锥V -ABCD 的高．因为底面面积为16，所以AO ＝2 2.因为一条侧棱长为211， 所以VO ＝VA 2AO 2＝44－8＝6.所以正四棱锥V -ABCD 的高为6. 答案：69．如图所示的三个图中，上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图如图所示(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．解：(1)如图．(2)所求多面体的体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥 ＝4×4×6－13×(12×2×2)×2＝2843(cm 3)．10．已知正三棱锥V -ABC 的正视图和俯视图如图所示． (1)画出该三棱锥的直观图和侧视图． (2)求出侧视图的面积．解：(1)如图．(2)侧视图中VA ＝42－⎝⎛⎭⎫23×32×232＝12＝2 3. 则S △VBC ＝12×23×23＝6.[综合题组练]1．(创新型)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是( )A ．圆弧B ．抛物线的一部分C ．椭圆的一部分D ．双曲线的一部分解析：选D.根据几何体的三视图可得，侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.2．(创新型)某几何体的正视图和侧视图如图(1)，它的俯视图的直观图是矩形O 1A 1B 1C 1，如图(2)，其中O 1A 1＝6，O 1C 1＝2，则该几何体的侧面积为( )A ．48B ．64C ．96D ．128解析：选C.由题图(2)及斜二测画法可知原俯视图为如图所示的平行四边形OABC ，设CB 与y 轴的交点为D ，则易知CD ＝2，OD ＝2×22＝42，所以CO ＝CD 2＋OD 2＝6＝OA ，所以俯视图是以6为边长的菱形，由三视图知几何体为一个直四棱柱，其高为4，所以该几何体的侧面积为4×6×4＝96.故选C.3.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段A 1C 1上的动点，则三棱锥P -BCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选D.正视图，底面B ，C ，D 三点，其中D 与C 重合，随着点P 的变化，其正视图均是三角形且点P 在正视图中的位置在边B 1C 1上移动，由此可知，设正方体的棱长为a ，则S 正视图＝12×a 2；设A 1C 1的中点为O ，随着点P 的移动，在俯视图中，易知当点P 在OC 1上移动时，S 俯视图就是底面三角形BCD 的面积，当点P 在OA 1上移动时，点P 越靠近A 1，俯视图的面积越大，当到达A 1的位置时，俯视图为正方形，此时俯视图的面积最大，S 俯视图＝a 2，所以S 俯视图S 正视图的最大值为a 212a 2＝2，故选D.4．(应用型)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为1，点M 在线段BC 上(点M 异于B ，C 两点)，点N 为线段CC 1的中点，若平面AMN 截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1所得的截面为四边形，则线段BM 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，13B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎭⎫12，1D.⎣⎡⎦⎤12，23解析：选B.由题意，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图所示，当点M 为线段BC 的中点时，截面为四边形AMND 1，当0＜BM ≤12时，截面为四边形，当BM ＞12时，截面为五边形，故选B.5．(2019·株洲模拟)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA 1，BB 1，CC 1，分别交于三点M ，N ，Q ，若△MNQ 为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为( )A ．2 2B ．3C ．2 3D ．4解析：选C.如图，不妨设N 在B 处，AM ＝h ，CQ ＝m ，则MB 2＝h 2＋4，BQ 2＝m 2＋4，MQ 2＝(h －m )2＋4，由MB 2＝BQ 2＋MQ 2，得m 2－hm ＋2＝0.Δ＝h 2－8≥0即h 2≥8，该直角三角形斜边MB ＝4＋h 2≥2 3.故选C.6．如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P 处．若该小虫爬行的最短路程为4 3 m ，则圆锥底面圆的半径等于________ m.解析：把圆锥侧面沿过点P 的母线展开成如图所示的扇形， 由题意OP ＝4，PP ′＝43，则cos ∠POP ′＝42＋42－（43）22×4×4＝－12，所以∠POP ′＝2π3.设底面圆的半径为r ，则2πr ＝2π3×4，所以r ＝43.答案：43。
第1讲空间几何体的结构三视图和直观图.ppt
视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为
()
解析：正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B、D，侧视 图中小长方形在右上方，排除A. 答案：C
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
5．从如右图所示的圆柱中挖去一个以圆柱的上 底面为底面，下底面的圆心为顶点的圆锥得 到一个几何体，现用一个平面去截这个几何体， 若这个平面垂直于圆柱的底面所在的平面，那么 所截得的图形可能是下图中的________(把所有可 能的图形的序号都填上)．
S′＝ 2S，能进行相关问题的计算． 4
迁移发散
3．如图，矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的
直观图，其中 O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形
是
()
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．一般的平行四边形
解析：将直观图还原得▱OABC，则
∵O′D′＝ 2O′C′＝2 2(cm)，
OD＝2O′D′＝4 2(cm)， C′D′＝O′C′＝2(cm)，∴CD＝2(cm)，
2．旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转生成的，一定要弄清圆柱、圆锥、圆台 和球分别是由哪一种平面图形旋转形成的，从而可掌握旋转体中各元素的关系， 也就掌握了它们各自的性质．
3．三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几何体的三视图可以使我 们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三 视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化．
第1讲 空间几何体的结构、三视图和直观图
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生 活中简单物体的结构．
2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图， 能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．
第七章 第一节 空间几何体的结构及三视图和直观图
解：①错误，因为棱柱的底面不 错误， 一定是正多边形； 错误， 一定是正多边形；②错误，必须 用平行于底面的平面去截棱锥， 用平行于底面的平面去截棱锥， 才能得到棱台；③正确，因为三 才能得到棱台； 正确， 个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角； 正确， 个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；④正确， 因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱， 因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直 于底面； 正确，正方体 中的四棱锥C 于底面；⑤正确，正方体AC1中的四棱锥 1－ABC，四个 ， 面都是直角三角形； 正确，由棱台的概念可知． 面都是直角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知．
答案： 答案：C
2． 如图 ， 几何体的正 主 )视图和侧 左 )视图都正确的是 ． 如图， 几何体的正(主 视图和侧 视图和侧(左 视图都正确的是 ( )
答案： 答案：B
3．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( ．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是
)
A．三棱锥 ． C．四棱台 ．
B．四棱锥 ． D．三棱台 ．
解析： 解析：由所给三视图与直观图的关 系，可以判定对应的几何体为如图 所示的四棱锥，且PA⊥面ABCD， 所示的四棱锥， ⊥ ， AB⊥BC，BC∥AD. ⊥ ， ∥ 答案： 答案：B
4．(2010·北京高考 一个长方体去掉一个小长方体，所得 ． 北京高考)一个长方体去掉一个小长方体 北京高考 一个长方体去掉一个小长方体， 几何体的正(主 视图与侧 视图与侧(左 视图分别如图所示 视图分别如图所示， 几何体的正 主)视图与侧 左)视图分别如图所示，则该 几何体的俯视图为 ( 主)视图 、 侧(左)视图 、 俯视图 ，分别是从几何体的正前方 、正左方 、 正上方 观察几何体画出的轮廓线． 观察几何体画出的轮廓线．
立体几何第1讲_空间几何体的结构、三视图和直观图)
三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见 的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何 体举特例解决．
【训练1】 以下命题： ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为( )． A．0 B．1 C．2 D．3
位置：正视图 侧视图 俯视图 大小：长对正 高平齐 宽相等
几种基本几何体的三视图
几何体
主视图
左视图
俯视图
空间几何体的直观图
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于o点．画
直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使 xOy=45o 或135o
它确定的平面表示水平平面。
（2）原图形中平行于x或y轴的线段，在直观图中分别画成平行
于x′或y′轴的线段．
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；
平行于y轴F的线段M ，E长度为原来的一半．
A
A
Dx
B
O
BN C
F M E y
O N C
D x
考向二 空间几何体的三视图 【例2】►(2011·新课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图 和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )．
2．(2012·杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体，各个截面 都是圆面，则这个几何体一定是( )． A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体 解析 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和 三角形，只有球满足任意截面都是圆面． 答案 C
4．(2011·浙江)若某几何体的三视图 如图所示，则这个几何体的直观 图可以是( )．
数学课件第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图
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(2)(2015·陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的 表面积为( )
A．3π B．4π C．2π ＋4 D．3π ＋4
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解析：(1)将三视图还原成几何体，如图所示，几何体为三棱柱．
(2)由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所 示．
面之间的位置关系及相关数据． 提醒：对于简单组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视
的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，
特别应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同．
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(1)(2014·课标全国Ⅰ卷)如图所示，网格纸的各小格都是正方形， 粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
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1．关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体 的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错 误的，只需举一个反例即可．
2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要 注意用好轴截面中各元素的关系．
3．既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题 时，要注意“还台为锥”的解题策略．
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A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②
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(2)(2015·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱 的棱长为( )
A．1 B. 2 C. 3 D．2
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解析：(1)由三视图可知，该几何体的正视图是一个直角三角形(三 个顶点的坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2)且内有一虚线(一 顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图即在底面的 射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)， (1，2，0)，故俯视图是②.
第1节 空间几何体的结构特征及其三视图和直观图
命题方向
已知几何体，识别 三视图
已知三视图，判断 几何体
命题视角
主要考查根据几何体识别相应的三视图， 属容易题
主要考查根据三视图，判断几何体的特点 或还原几何体等
返回
方向 1 已知几何体，识别三视图 (2017·惠州市第三次调研考试)如图所示，将图(1)中的正
方体截去两个三棱锥，得到图(2)中的几何体，则该几何体的侧视 图为( )
答案： B
返回
1．根据几何体确认三视图的技巧 由实物图画三视图或判断选择三视图，按照“正侧一样高，正 俯一样长，俯侧一样宽”的特点确认．
返回
2．已知三视图，判断几何体的技巧 (1)一般情况下，根据正视图、侧视图确定是柱体、锥体还是组 合体． (2)根据俯视图确定是否为旋转体，确定柱体、锥体类型、确定 几何体摆放位置． (3)综合三个视图特别是在俯视图的基础上想象判断几何体．
空间几何体的结构特征 及其三视图和直观图
栏目一 考点·分类整合 栏目二 考向·分层突破
栏目导引 返回
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些
特征描述现实生活中简单物体的结构．
2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组
合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画
根据 三视 图还原出几 何体
解析： 由三视图可知，正三棱柱的高为 2，底面正三角形的高为 2 3， 故底面边长为 4.故选 D.
答案： D
返回
4．如图，E，F 分别为正方体的面 ADD1A1，面 BCC1B1 的中心，则 四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是________．
如何作 出在各 个面上 的射影？
第七章第一节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图 文 湘教版课件
2．已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图 △A′B′C′的面积为________． 解析：如图，图①、图②所示的分别是实际图形和直观图． 从图②可知，A′B′＝AB＝2，
O′C′＝12OC＝ 23，C′D′＝O′C′sin 45°＝ 23× 22＝ 46.所
以
S△A′B′C′12A′B′·C′D′＝12×2×
()
解析：给几何体的各顶点标上字母，如图1.A，E在侧投影面上 的投影重合，C，G在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影 面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图2所示，故正确选项 为B(而不是A)． 答案：B
2．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下 底面的面积之比为 1∶16，截去的圆锥的母线长是 3 cm，则 圆台的母线长为________ cm. 解析：抓住轴截面，利用相似比，由底面 积之比为 1∶16，设半径分别为 r,4r. 设圆台的母线长为 l，截得圆台的上、下底 面半径分别为 r、4r.根据相似三角形的性质 得3＋3 l＝4rr，解得 l＝9. 所以，圆台的母线长为 9 cm. 答案：9
相对位置不改变.
3．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图
形的面积的关系
S
＝ 直观图
2 4S
原图形，S
原图形＝2
2S 直观图．
4．转化与化归思想
利用转化与化归思想解决棱台、圆台的有关问题 由棱台和圆台的定义可知棱台和圆台是分别用平行于棱锥和
圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台
4．三视图 (1)几何体的三视图包括 正(主) 视图、 侧(左)视图、 俯 视 图，分别是从几何体的 正前 方、 正左 方、 正上 方观察几
何体画出的轮廓线． (2)三视图的画法 ①基本要求：长对正 ，高平齐 ， 宽相等 ． ②画法规则：正侧 一样高， 正俯 一样长， 侧俯 一样
第1节空间几何体的结构特征及三视图和直观图PPT课件
已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，
由正弦定理得
，
所以OC′＝
a＝ a，
所以原三角形ABC的高OC＝ ，
所以S△ABC＝ ×a× a＝ a2.
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若△ABC是边长为a的正三角形，则其直观图 △A′B′C′的面积是多少？
解：法一：由于直观图的面积S′与原图形的面积S
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已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形， 求原三角形ABC的面积. [思路点拨]
第32页/共63页
[课堂笔记] 建立如图所示的xOy 坐标系，△ABC的顶点C在y轴上， AB边在x轴上，OC为△ABC的高. 把y轴绕原点顺时针旋转45°得y′ 轴，则点C变为点C′，且OC＝2OC′， A、B点即为A′、B′点，长度不变.
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[自主体验] 一个多面体的直观图及正视图、侧视图、俯视 图如图所示，M、N分别为A1B、B1C1的中点. (1)求证：MN∥平面ACC1A1； (2)求证：MN⊥平面A1BC.
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证明：由题意可知，这个几何体是直三 棱柱，且AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝a. (1)连结AC1、AB1. 由直三棱柱的性质得AA1⊥平面A1B1C1， 所以AA1⊥A1B1，则四边形ABB1A1为矩 形.
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4.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长
为a的正方形，则原平面四边形的面积等于
.
解析：如图所示.
原平面四边形面积为a×2 ＝2 . 答案：2
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5.如图所示，图①、②、③是图④表示的几何体的三视
图，其中图①是
，图②是
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第九单元第一节
一、选择题
1．一个几何体的某一方向的视图是圆，则它不可能是()
A．长方体B．圆锥C．圆柱D．球体
【解析】长方体任何方向的视图都不可能是圆．
【答案】 A
2．下列几种说法正确的个数是()
①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；
②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；
③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行；
④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．
A．1 B．2 C. 3 D．4
【解析】相等的角和相等的线段，在直观图中未必相等．平行的线段在直观图中仍然平行，线段的中点在直观图中仍然是所在线段的中点．故③④正确．
【答案】 B
3．下列命题正确的是()
A．直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱
C．棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台
D．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
【解析】A中，若绕斜边所在直线旋转，得到的几何体不是圆锥；B、C两项中，若截面不平行于底面，则得不到相应的几何体．只有D正确．
【答案】 D
4．如图所示，该直观图表示的平面图形为()
A．钝角三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．正三角形
【解析】直观图中，三角形的两边与坐标系的横、纵轴平行，则原平面图形的两边与直角坐标系的两坐标轴平行，故为直角三角形．
【答案】 C
5．关于球的几何结构特征，错误的是()
A．球心到球面上任一点的距离相等
B．同一球体的正视图与俯视图不同
C．过球心的任意直线都是球的轴
D．任一平面截球都能产生一个圆面
【解析】球体的三视图相同，由此可知B项错误．
【答案】 B
6．(精选考题·福建高考)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于()
A. 3 B．2
C．2 3 D．6
【解析】由正视图可知，此三棱柱是一个底面正三角形边长为2、侧棱为1的直三棱柱，则此棱柱的侧面积为2×1×3＝6.
【答案】 D
7．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是()
A．8 B．7 C．6 D．5
【解析】由正视图和侧视图可知，该几何体有两层小正方体拼接成；由俯视图可知，最下层有5个小正方体；由侧视图可知，上层仅有一个正方体，则共有6个小正方体．【答案】 C
二、填空题
8．两条直角边分别为3 cm和4 cm的直角三角形绕一边旋转而形成圆锥，则所得圆锥的底面积为________cm2，母线长为________cm.
【解析】直角三角形旋转成圆锥，有两种方式，所以圆锥的底面积有两种可能，即9π或16π，母线长相同，为5.
【答案】9π或16π 5
9．给出下列命题：
①圆柱的底面是圆；
②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；
③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；
④圆柱的任意两条母线互相平行．
其中真命题为________．(把所有正确的序号都填上)
【解析】③中，连线不符合母线的定义，母线是生成圆柱的矩形的一边．
【答案】①②④
10．如图所示，是水平放置的△ABC(AD为BC边上的中线)的直观图，试按此图判定原△ABC中的四条线段AB，BC，AC，AD，其中最长的线段是________，最短的线段是________．【解析】依据规则可以判定，原△ABC为直角三角形，其中AC为斜边，故AC最长．由图可以看到A′B′>B′D′，∴AB>BC，∴最短的线段为BC.
【答案】AC BC
三、解答题
11．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，从两个角度观察得到的图形如图，则搭
成该几何体最少需要的小正方体的块数是多少块？
【解析】搭成该几何体最少需要的小正方体6块，如图所示摆放．
12．已知正三角形ABC 的边长为a ，求△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积．
【解析】 如图①、②所示分别是实际图形和直观图．
由图②可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34
a ， 在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，
∵∠x ′O ′y ′＝45°，∴C ′D ′＝22O ′C ′＝68a ， ∴△A ′B ′C ′ 的面积S ＝12×A ′B ′×C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.。