2018-2019学年高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算3课后习题新人教A版必修4
2018-2019学年高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
2.2.1 向量加法运算及其几何意义 2.2.2 向量减法运算及其几何意义[A 级 基础巩固]一、选择题1．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.MP → B.NP → C ．0D.MN →解析：PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝0.答案：C2．在平行四边形ABCD 中，AB →＋CA →＋BD →＝( )A.AB →B.BD →C.BC →D.CD → 解析：AB →＋CA →＋BD →＝(AB →＋BD →)＋CA →＝AD →＋CA →＝CA →＋AD →＝CD →.答案：D3．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c解析：DC →＝AC →－AD →＝AB →＋BC →－AD →＝a ＋c －b ＝a －b ＋c .答案：A4．在边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3 解析：作菱形ABCD ，则|AB →－BC →|＝|AB →－AD →|＝|DB →|＝ 3. 答案：D5.如图所示，已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0解析：因为D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点， 所以AD →＝DB →，CF →＝ED →，FC →＝DE →，FE →＝DB →， 所以AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋ED →＝0，故A 成立． BD →－CF →＋DF →＝BD →＋DF →－CF →＝BF →＋FC →＝BC →≠0，故B 不成立． AD →＋CE →－CF →＝AD →＋FE →＝AD →＋DB →＝AB →≠0，故C 不成立． BD →－BE →－FC →＝ED →－DE →＝ED →＋ED →≠0，故D 不成立． 答案：A 二、填空题6．化简(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝________．解析：(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →)＋(PC →＋CQ →)＝0＋PQ →＝PQ →.答案：PQ →7．设|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最大值与最小值分别为________．解析：当a 与b 共线同向时，|a ＋b |max ＝20；当a 与b 共线反向时，|a ＋b |min ＝4. 答案：20，48．如图所示，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c, 则OD →＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：在平行四边形ABCD 中，因为OA →＝a ，OB →＝b ，所以BA →＝OA →－OB →＝a －b ， 所以CD →＝BA →＝a －b ， 所以OD →＝OC →＋CD →＝a －b ＋c . 答案：a －b ＋c 三、解答题9．如图所示，已知a ，b ，求作a －b .解：10．如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →.解：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ， 故BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .[B 级 能力提升] 1．在平行四边形ABCD 中，|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则有( )A.AD →＝0B.AB →＝0或AD →＝0 C ．四边形ABCD 是矩形D ．四边形ABCD 是菱形解析：AB →＋AD →与AB →－AD →分别是平行四边形ABCD 的两条对角线，且|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，所以四边形ABCD 是矩形．答案：C2．对于非零向量a ，b ，当且仅当________时，有|a －b |＝||a |－|b ||.解析：当a ，b 不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a －b |＞||a |－|b ||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a －b |＝||a |－|b ||.答案：a 与b 同向3．如图所示，▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b .(1)用a 、b 表示AC →、DB →；(2)当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直？ (3)当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |? (4)a ＋b 与a －b 有可能为相等向量吗？为什么？ 解：(1)AC →＝AD →＋AB →＝b ＋a ，DB →＝AB →－AD →＝a －b . (2)由(1)知a ＋b ＝AC →，a －b ＝DB →. 因为a ＋b 与a －b 所在直线垂直，所以AC ⊥BD .又因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以四边形ABCD 为菱形，所以|a |＝|b |.所以当|a |＝|b |时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直． (3)假设|a ＋b |＝|a －b |， 即|AC →|＝|BD →|.因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以四边形ABCD 是矩形，所以a ⊥b ， 所以当a 与b 垂直时，|a ＋b |＝|a －b |.(4)不可能．因为▱ABCD 的两条对角线不可能平行，所以a ＋b 与a －b 不可能为共线向量，也就不可能为相等向量了．。
2018_2019学年高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算3课后习题新人教A版必修420180828425
∴������������=-������������. ∴������������,������������共线,又������������与������������有公共点 A. ∴M,A,N 三点共线.
10.(1)已知 a=3i+2j,b=2i-j,求 3������ - ������ ― ������ - 3������ +(2b-a); (2)已知向量 a,b,且 5x+2y=a,3x-y=b,求 x,y. 解(1)原式=3a-b-a+3b+2b-a= 3 - 1 - 1 a+ -1 + 3 + 2 b=-3a+3b.
-3 5 2 1 1 2 2 1 1 5 5 1 1 2 2 1
答案-1 或 3 8. 导学号 68254069 在△ABC 中,点 M 为边 AB 的中点,若������������ ∥ ������������,且������������=x������������+y������������
∴������������ = ������������ + ������������. ∴������������ = ������������ ― ������������ = ������������.
同理可证明������������ = ������������ ― ������������ = ������������.
①0·a=0;②0·a=0;③a·0=0;④a·0=0.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析本题考查数乘向量运算的理解,由于数乘向量的结果是一个向量而不是一个数,因此本题所给 的四种说法中只有②与③的结果是一个向量,因此选 B. 答案 B 3.在△ABC 中,D 是线段 BC 的中点,且������������ + ������������=4������������,则( ) A.������������=2������������ C.������������=2������������ B.������������=4������������ D.������������=4������������
高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向
则
则．对于零向量与任一向量 a 的和有 a＋0
＝ 0＋a ＝量 平行 作A→B＝a，A→D＝b，则 A、B、D 求和 四边 三点不共线，以 AB ， AD 为邻边 的法 形法 作 平行四边形 ABCD .
则 则 则对角线上的向量A→C＝a＋b，如图，这种作两个向量 和的方法叫作两个向量加法的 平行四边形 法则.
课时作业
一、向量加法的定义 求两个向量 和的运算
[自主梳理] ，叫作向量的加法．
二、向量加法的运算法则
已知非零向量 a，b，在平面上任取一点 A，作
向量
A→B＝a.B→C＝b，则向量A→C 叫作 a 与 b 的和，
求和 三角形 记作 a＋b，即 a＋b＝A→B＋B→C＝A→C . 的法 法则 这种求两个向量和的方法，称为向量加法的三角形 法
探究三 向量加法的应用 [典例 3] 在某地抗震救灾中，一架飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km 到达 B 地接到受伤人员，然后又从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km 送往 C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和． [解析] 如图所示，设A→B，B→C分别表示飞机从 A 地 按北偏东 35°的方向飞行 800 km，从 B 地按南偏东 55° 的方向飞行 800 km. 则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|；两次飞行的位移 的和指的是A→B＋B→C＝A→C.
依题意，有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600(km)． 又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°. 所以|A→C|＝ |A→B|2＋|B→C|2＝ 8002＋8002＝800 2(km)． 其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东 35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为 800 2 km，方向 为北偏东 80°.
高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件新人教A版必修
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2．本例(1)中，若点F为边AB的中点，设a＝D→E，b＝D→F，用a，b表示D→B. [解] 由题意ab＝＝A12→A→BB－－12AA→→DD，， 解得 AA→→BD＝＝4323aa－－2343bb，， 所以D→B＝A→B－A→D＝23a＋23b.
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A，B，D三点共线．
(2)先用共线向量定理引入参数λ得
→ AP
＝λ
→ AB
，再用向量减法的几何意义向
O→P＝xO→A＋yO→B变形，最后对比求x＋y.
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(1)A，B，D
[(1)∵
→ AB
＝e1＋2e2，
B→D＝
B→C＋
→ CD
＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝
2(e1＋2e2)＝2A→B.
A [对于①，b＝－a，有a∥b； 对于②，b＝－2a，有a∥b； 对于③，a＝4b，有a∥b； 对于④，a与b不共线．]
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4．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b. 【导学号：84352202】
－57 [由题意知a＝－57b.]
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2．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是( )
A.A→B＝3B→C
B.A→C＝2B→C
C.A→C＝12B→C
D.A→C＝2C→B
D [由题意可知：A→B＝－3B→C；A→C＝－2B→C＝2C→B.故只有D正确．]
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3．如图2-2-27，在平行四边形ABCD中，对角线AC 与BD交于点O，A→B＋A→D＝λA→O，则λFra bibliotek________.
高中数学：第二章 平面向量232_233 Word版含答案
2．3.2平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3平面向量的坐标运算学习目标1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一平面向量的正交分解思考如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？★答案★互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底．梳理把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．知识点二平面向量的坐标表示思考1如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?★答案★a＝23i＋2j.思考2在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1,1)，则A点位置确定了吗？给定向量a 的坐标为a＝(1,1)，则向量a的位置确定了吗？★答案★对于A点，若给定坐标为A(1,1)，则A点位置确定．对于向量a，给定a的坐标为a ＝(1,1)，此时给出了a 的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a 的位置不确定．思考3 设向量BC →＝(1,1)，O 为坐标原点，若将向量BC →平移到OA →，则OA →的坐标是多少？A 点坐标是多少？★答案★ 向量OA →的坐标为OA →＝(1,1)，A 点坐标为A (1,1)． 梳理 (1)平面向量的坐标①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )．②在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)． (2)点的坐标与向量坐标的区别和联系知识点三 平面向量的坐标运算思考 设i ，j 是分别与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa (λ∈R )如何分别用基底i ，j 表示？★答案★ a ＋b ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ， a －b ＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ，λa ＝λx 1i ＋λy 1j . 梳理 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．1．相等向量的坐标相等．( √ )2．在平面直角坐标系内，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则向量AB →＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．( × ) 提示 AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．3．与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量分别为：i ＝(1,0)，j ＝(0,1)．( √ )类型一 平面向量的坐标表示例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形． (1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标．考点 平向向量的正交分解及坐标表示 题点 利用平面向量的正交分解求向量的坐标 解 (1)作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝OA ·cos 45° ＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45° ＝4×22＝2 2.∴A (22，22)，故a ＝(22，22)． ∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°. 又∵OC ＝AB ＝3，∴C ⎝⎛⎭⎫－32，332，∴AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，332，即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332.(2)BA →＝－AB →＝⎝⎛⎭⎫32，－332.(3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋⎝⎛⎭⎫－32，332＝⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.反思与感悟 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标．跟踪训练1 在平面直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别计算出它们的坐标．考点 平向向量的正交分解及坐标表示 题点 利用平面向量的正交分解求向量的坐标 解 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)， 则a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝ 2. a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2，b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝⎛⎭⎫－12＝－32， b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332， c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝⎛⎭⎫－12＝－2. 因此a ＝(2，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332，c ＝(23，－2)．类型二 平面向量的坐标运算 例2 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 解 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23. 反思与感悟 向量坐标运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．跟踪训练2 已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →等于( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 ★答案★ A解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)， 即x ＝－4，y ＝－2，故C (－4，－2)，则BC →＝(－7，－4)， 故选A.类型三 平面向量坐标运算的应用例3 已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)．若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，试求λ为何值时： (1)点P 在第一、三象限的角平分线上； (2)点P 在第三象限内．考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数 解 设点P 的坐标为(x ，y )， 则AP →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)， AB →＋λAC →＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)] ＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∵AP →＝AB →＋λAC →，且AB →与AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ. (1)若点P 在第一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ， ∴λ＝12.(2)若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，∴λ<－1.反思与感悟 (1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．跟踪训练3 已知平面上三点的坐标分别为A (－2,1)，B (－1,3)，C (3,4)，求点D 的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点． 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 解 当平行四边形为ABCD 时，设D (x ，y )， 由AB →＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y )， 且AB →＝DC →，得D (2,2)．当平行四边形为ACDB 时，设D (x ，y )， 由AB →＝(1,2)，CD →＝(x －3，y －4)，且AB →＝CD →， 得D (4,6)．当平行四边形为ACBD 时，设D (x ，y )， 由AC →＝(5,3)，DB →＝(－1－x,3－y )，且AC →＝DB →， 得D (－6,0)，故D 点坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0).1．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则12a －32b 等于( )A ．(－1,2)B ．(1，－2)C ．(－1，－2)D ．(1,2)考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 ★答案★ A解析 12a －32b ＝12(1,1)－32(1，－1)＝⎝⎛⎭⎫12－32，12＋32＝(－1,2)．2．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－4，12B.⎝⎛⎭⎫4，－12 C ．(－8,1)D ．(8,1) 考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算★答案★ A解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(－8,1)，∴12AB →＝⎝⎛⎭⎫－4，12. 3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫2，72 B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2)D ．(1,3)考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 ★答案★ A解析 设D 点坐标为(x ，y )，则BC →＝(4,3)， AD →＝(x ，y －2)，由BC →＝2AD →，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2(y －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝72，∴D ⎝⎛⎭⎫2，72. 4．(2017·金华模拟)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(3,4)，c ＝(1，m )，若实数λ满足a ＋b ＝λc ，则λ＋m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数 ★答案★ B解析 由平面向量的坐标运算法则可得a ＋b ＝(5,5)，λc ＝(λ，λm )，据此有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝5，λm ＝5，解得λ＝5，m ＝1，∴λ＋m ＝6.5．已知点A (2,1)，B (－2,3)，且AC →＝12AB →，则点C 的坐标为________．考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 ★答案★ (0,2)解析 设C (x ，y )，则(x －2，y －1)＝12(－4,2)＝(－2,1)，∴x ＝0，y ＝2.1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．2．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则AB →＝(x B －x A ，y B －y A )．3．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.一、选择题1．已知M (2,3)，N (3,1)，则NM →的坐标是( ) A ．(2，－1) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(1，－2)考点 平面向量的坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 ★答案★ B解析 NM →＝(2,3)－(3,1)＝(－1,2)．2．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( )A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)考点 平面向量的坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 ★答案★ D3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c 等于( ) A ．3a －b B ．3a ＋b C ．－a ＋3bD ．a ＋3b考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 用坐标形式下的基底表示向量 ★答案★ A 解析 设c ＝x a ＋y b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝4，x ＋y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，∴c ＝3a －b .4．已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与向量AB →同向的单位向量是( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫－35，45 C.⎝⎛⎭⎫－45，35 D.⎝⎛⎭⎫45，－35 考点 平面向量的坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 ★答案★ A解析 因为与AB →同向的单位向量为AB →|AB →|，AB →＝(7，－3)－(4,1)＝(3，－4)， |AB →|＝32＋(－4)2＝5，所以AB →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 5．如果将OA →＝⎝⎛⎭⎫32，12绕原点O 逆时针方向旋转120°得到OB →，则OB →的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫32，－12C ．(－1，3)D.⎝⎛⎭⎫－32，12 考点 平面向量的坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 ★答案★ D解析 因为OA →＝⎝⎛⎭⎫32，12所在直线的倾斜角为30°，绕原点O 逆时针方向旋转120°得到OB →所在直线的倾斜角为150°，所以A ，B 两点关于y 轴对称，由此可知B 点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，12，故OB →的坐标是⎝⎛⎭⎫－32，12，故选D.6．已知M (－2,7)，N (10，－2)，点P 是线段MN 上的点，且PN →＝－2PM →，则P 点的坐标为( ) A ．(－14,16) B ．(22，－11) C ．(6,1)D ．(2,4)考点 平面向量坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 ★答案★ D7．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(0，－2) C ．(－2,0)D ．(0,2)考点 平面向量坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 ★答案★ D解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)， ∴a ＝－2p ＋2q ＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)． 令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)． 二、填空题8．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →的坐标是________．考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 ★答案★ (－3,6)9．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，则MN →的坐标为________． 考点 平面向量的坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 ★答案★ (9，－18) 解析 CM →＝3(1,8)＝(3,24)， CN →＝2(6,3)＝(12,6)，MN →＝CN →－CM →＝(12,6)－(3,24)＝(9，－18)．10.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ的值为________．考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数 ★答案★ 4解析 以向量a 和b 的交点为原点建立平面直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb 得(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2且μ＝－12，故λμ＝4.11．已知A (2,3)，B (1,4)，且12AB →＝(sin α，cos β)，α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝________. 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数 ★答案★ π6或－π2解析 因为12AB →＝12(－1,1)＝⎝⎛⎭⎫－12，12＝(sin α，cos β)， 所以sin α＝－12且cos β＝12，∵α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝－π6，β＝π3或－π3， 所以α＋β＝π6或－π2.三、解答题12．已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 和CD →的坐标．考点 平面向量的坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 解 设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由题意可得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． ∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)， ∴CD →＝(－2，－4)．13．已知a ＝(2,1)，b ＝(－1,3)，c ＝(1,2)，求p ＝2a ＋3b ＋c ，并用基底a ，b 表示p . 考点 平面向量的坐标运算的应用题点 用坐标形式下的基底表示向量 解 p ＝2a ＋3b ＋c ＝2(2,1)＋3(－1,3)＋(1,2) ＝(4,2)＋(－3,9)＋(1,2)＝(2,13)．设p ＝x a ＋y b ＝x (2,1)＋y (－1,3)＝(2x －y ，x ＋3y )， a 与b 不共线，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，x ＋3y ＝13，解得⎩⎨⎧x ＝197，y ＝247.∴p ＝197a ＋247b .四、探究与拓展14．已知点A (3，－4)与B (－1,2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标． 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 解 设P 点坐标为(x ，y )，|AP →|＝2|PB →|. 当P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →. ∴(x －3，y ＋4)＝2(－1－x,2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0.∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫13，0.当P 在线段AB 延长线时，AP →＝－2PB →. ∴(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x,2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8. 综上所述，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，0或(－5,8)．15．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋tAB →.(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？ (2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求t 值；若不能，说明理由． 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3) ＝(1＋3t,2＋3t )，若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0， ∴t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0， ∴t ＝－13，若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，∴－23<t <－13.(2)OA →＝(1,2)，PB →＝OB →－OP →＝(3－3t,3－3t )． 若四边形OABP 为平行四边形， 则OA →＝PB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解． 故四边形OABP 不能成为平行四边形．。
高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.2向量减法运算及其几何意义习题课件新人教A版必修4
题型三 用已知向量表示其他向量 例 3 (1)若A→C＝a＋b，D→B＝a－b(a 与 b 不共线)． ①当 a、b 满足什么条件时，a＋b 与 a－b 垂直？ ②当 a、b 满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|? ③当 a、b 满足什么条件时，a＋b 平分 a 与 b 所夹的角？ ④a＋b 与 a－b 可能是相等向量吗？
A.A→B
B.A→C
C.A→D
D.B→D
【解析】 (1)由向量的加减法法则，
得A→B＋C→A＝C→B，选 C.
(2)在平行四边形 ABCD 中，可得
B→A－C→B－C→D＝C→D＋B→C－C→D＝B→C＝A→D，选 B.
(3)A→B－A→D＋B→D－B→C－C→A＝A→B＋D→A＋B→D＋C→B＋A→C＝A→C
思考题 3 (1)已知两定点 A、B，点 M 是 AB 的中点，点
O 为任意一定点，求证：O→M＝12(O→A＋O→B)． (2)已知 O 是△ABC 的重心，求证：O→A＋O→B＋O→C＝0.
【解析】 (1)证明 ∵O→M＝O→A＋A→M， 又A→M＝12A→B＝12(O→B－O→A)， ∴O→M＝O→A＋12(O→B－O→A)＝12(O→A＋O→B)． (2)设 O 是△ABC 的重心，P、Q、R 是 BC、CA、AB 的中 点 在△AOR 中，O→A＝O→R＋R→A.
【讲评】 灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分 体现．由此我们可以想到在解决向量问题时，可以利用向量的几 何意义构造几何图形，转化为平面几何问题，这就是数形结合解 题的威力与魅力，教师引导学生注意领悟．
秋高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义学案新人教A版必
2018年秋高中数学第二章平面向量2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义学案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋高中数学第二章平面向量2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.2。
1 向量加法运算及其几何意义学习目标：1.理解并掌握向量加法的概念,了解向量加法的几何意义及其运算律．(难点）2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行加法运算．（重点)3。
数的加法与向量的加法的联系与区别．（易混点）[自主预习·探新知]1．向量加法的定义定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法．对于零向量与任一向量a，规定0错误!错误!＝a＋0＝a.2．向量求和的法则三角形法则已知非零向量a,b，在平面内任取一点A，作错误!＝a，错误!＝b，则向量A错误!叫做a与b的和,记作a＋b，即a＋b ＝错误!＋错误!＝错误!平行四边形法则已知两个不共线向量a,b，作错误!＝a，错误!＝b，以错误!,错误!为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量A错误!＝a＋b。
3(1)交换律:a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．[基础自测]1．思考辨析(1)a＋（b＋c)＝(a＋b）＋c.( ）(2)错误!＋错误!＝0。
（）（3)求任意两个非零向量的和都可以用平行四边形法则．（）[解析]（1）正确．（2）正确．(3)错误．平行四边形法则只适用于求两个不共线的向量的和．［答案］(1)√(2)√（3)×2.错误!＋错误!＋错误!等于（）A.错误!B。
2018-2019学年高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义 2.2.2 向
3．向量加法的三角形法则可以推广到多边形法则， 即 n 个首尾相连的向量的和所对应的向量就是从第一个 向量的起点指向第 n 个向量的终点的向量．
4.在△ABC 中，A→B＋B→C＋C→A＝0.
[变式训练] 如图，O 为正六边形 ABCDEF 的中心， 求：
(1)O→A＋O→E； (2)A→O＋A→B； (3)A→E＋A→B.
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的 加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．
3．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反 向量的定义，－A→B＝B→A就可以把减法转化为加法，即： 减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，如：a－b ＝a＋(－b)．
4．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量 连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结 合图形，准确判断，防止混淆．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两向量相加，就是将它们的模相加．( ) (2)两向量首尾相连，和向量由第一个向量的始点指 向第二个向量的终点．( ) (3)两个向量的差仍是一个向量．( ) (4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
[变式训练] 在△ABC 中，D 是 BC 的中点，设A→B＝ c，A→C＝b，B→D＝a；A→D＝d，则 d－a＝________，d＋a ＝________．
解：根据题意画出图形，如下图所示，d－a＝A→D－B→D ＝A→D＋D→B＝A→B＝c；
d＋a＝A→D＋B→D＝A→D＋D→C＝A→C＝b. 答案：c b
法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如 下图所示，
(1)在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b；(2)作平 行四边形 AOBC，则O→C＝a＋b；(3)再作向量O→D＝c；(4) 作▱CODE，则O→E＝ O→C＋c＝a＋b＋c.
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2.2.3向量数乘运算及其几何意义
课后篇巩固探究
A组基础巩固
1.等于()
A.2a-b
B.2b-a
C.b-a
D.a-b
解析原式=(2a+8b)-(4a-2b)=a+b-a+b=-a+2b=2b-a.
答案B
2.下列说法正确的个数为()
①0·a=0;②0·a=0;③a·0=0;④a·0=0.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析本题考查数乘向量运算的理解,由于数乘向量的结果是一个向量而不是一个数,因此本题所给的四种说法中只有②与③的结果是一个向量,因此选B.
答案B
3.在△ABC中,D是线段BC的中点,且=4,则()
A.=2
B.=4
C.=2
D.=4
解析由已知得=2,所以=2.
答案A
4.已知=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),则()
A.A,C,D三点共线
B.B,C,D三点共线
C.A,B,C三点共线
D.A,B,D三点共线
解析因为=(-2a+8b)+3(a-b)=a+5b,所以.
又有公共点B,
所以A,B,D三点共线.
答案D
5.
在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3DC,E为BC的中点,则等于()
A.
B.
C.
D.
解析=-)=.答案A
6.若=5e,=-7e,且||=||,则四边形ABCD的形状是.
解析由已知得=-,因此,且||≠||,所以四边形ABCD是梯形.
答案梯形
7.已知向量a,b是两个不共线的向量,且向量m a-3b与a+(2-m)b共线,则实数m的值
为.
解析因为向量m a-3b与a+(2-m)b共线且向量a,b是两个不共线的向量,所以m=,解得m=-1或m=3.
答案-1或3
8.导学号68254069在△ABC中,点M为边AB的中点,若,且
=x+y(x≠0),则=.
解析∵M为AB的中点,∴).
又,∴存在实数λ,使=λ,
∴)=,
∴x=y=,
∴=1.
答案1
9.
如图,已知D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点,延长CD到M使DM=CD,延长BE至N使BE=EN,求证:M,A,N三点共线.
证明∵D为MC的中点,且D为AB的中点,
∴.
∴.
同理可证明.
∴=-.。