2010年江苏东海高级中学高一数学暑假作业(5)二倍角的正弦、余弦、正切
高一数学同步测试(5)—二倍角的正弦、余弦、正切
高中学生学科素质训练高一数学同步测试（5）—二倍角的正弦、余弦、正切一、选择题（每小题5分，共60分，请将正确答案填在题后的括号内） 1．οοοο15cos 75cos 15cos 75cos 22⋅++的值是（ ）A ．45 B ．26 C ．23 D ．431+ 2． 如果ααααcos sin ,21cos 1sin +=+那么的值是（ ）A ．57B ．58 C ．1D ．15293．已知Q 为第Ⅲ象限象，则θcos 21212121++等于（ ）A ．4sinθ B ．4cos θ C ．4sin θ-D ．4cos θ-4．函数xxx y cos cos 3cos -=的值域是（ ）A ．)0,4[-B ．)4,4[-C ．]0,4(-D ．[－4，0] 5．ππππ133cos 135cos 13cos 139cos 2++的值是 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．2 6．οοοο80sin 60sin 40sin 20sin ⋅⋅⋅的值为（ ）A ．161 B ．161-C ．163 D ．163- 7．οοοο48cos 78sin 24cos 6sin ⋅的值为（ ）A ．161 B ．161-C ．321 D ．818．αααcos 1sin 2tan +=成立的条件是（ ）A ．2α是第I 第限角B ．))(2,2(Z k k k ∈+∈πππαC ．0cos sin >⋅ααD ．以上都不对9．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247B ．－247C ．724D ．－72410．已知θ为第Ⅲ象限角，θθθ2sin ,95cos sin 44那么=+等于（ ）A ．232-B ．232C ．32D ．32- 11．已知θ为第Ⅱ象限角，2cos ,024sin sin252θθθ那么=-+的值为（ ）A ．53-B ．53±C ．22 D ．54±12．设xxx x x x x tan 12sin cos 2,0)3cos )(sin sin cos 2(2++=++-则的值为（ ）A ．58 B ．85 C ．52 D ．25 二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13．οοοο100cos 60cos 40cos 20cos ++-的值等于 .14．已知31cos cos ,41sin sin =+=+βαβα，那么)tan(βα+的值为 .15．已知θπθθθcot ),,0(,51cos sin 则∈=+的值是 . 16．化简οοο100sin 15cos 100cos -⋅的结果是 .三、解答题（本大题74分，17—21题每题12分，22题14分）17．已知)cos(,20,0,32)2sin(,91)2cos(βαπβπαβαβα+<<<<=--=-求的值.18．设)6sin(2)32cos(],3,0[πππ-+-=∈x x y x 求函数的最值.19．求证：x x x x x 2cos cos 3cos sin 3sin 333=⋅+⋅20．不查表求值 οοοοοο40cos 160cos 160cos 80cos 80cos 40cos ⋅+⋅+⋅21．已知函数)()0(2sin225sin 21)(θπθθθθf f 将<<+-=表示成关于θcos 的多项式22．已知xx xx x x x x x f cos sin 1sin cos 1cos sin 1sin cos 1)(+---+---+=①化简f （x ）②是否存在x ，使得xxx f xsin 2tan 1)(2tan2+⋅与相等？若存在，求x 的值，若不存在，请说明理由.参考答案一、1．A 2．A 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．D 9．D 10．B 11．B 12．C二、13．21 14．73 15．43- 16．2- 三、17．由已知954)2sin(91)2cos(,24=--=-<-<βαβαπβαπ故又 同理2757)]2()2cos[(2cos ,531)2cos(=---=+=-βαβαβαβα故 故72923912cos 2)cos(2-=-+=+βαβα 18．212323]21)6[sin(2min max 2-==∴+---=y y x y π19．==⋅=+⋅=x x x x x x 2cos 2cos 22cos 212cos 212cos 4cos 2132左右 20．原式=43)20cos 20cos 60cos 2(2143-=-+-οοο 21．1cos cos 221cos 4cos 221)(22-+=-++-=θθθθθf 22．（1）)(22,csc 2)(Z k k x x x f ∈+≠-=ππ且（2）存在，此时)(232Z k k x ∈+=ππ。
高一数学二倍角的正弦余弦正切目标测试题高一数学下学期目标测试题三[整理三]
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高一数学二倍角的正弦、余弦、正切目的测试题一、选择题：1．Sin 415º-cos 415º的值是 〔 〕A ．31 B ．21C ．23D ．-232．sin θ= -53 θ为第四象限角，那么sin 2θ的值是〔 〕 A ．1010 B ．-1010 C ．1010± D ．10103±3．α为锐角，sin2α=a ,那么sin α+cos α的值是〔 〕 A ．1-a B ．1+a C ．1-±a D ．1+±a4．cos20ºcos40ºcos60ºcos80º的值是． 〔 〕A ．161 B ．163 C ．83 D ．815．函数y=sin2x-2cos 2x 的最大值是 ( ) A ． 1 B ． 0 C ． 2-1 D ．2+1 二、填空题：6．sin15ºcos15º=________． 7．1cos 2cos sin 2sin +++θθϑθ=__________．8．sin αα2cos = (),2(ππα∈).那么tan α=_______．9． 51cos sin =+θθ ),0(πθ∈ 那么sin2θ的值是______． 10．函数f(x)=x x +-11，假设),2(ππ∈x ，那么f(cosx)+f(-cosx)可化为__________________．三、解答题：11．计算sin50º(1+3tan10º).12．求函数y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最小值，并求使y 取最小值时x 的集合．参考答案一、二、填空题：6：41 7：θtan 8：33- 9：2524- 10： 2csc α三、解答题：11．解：原式= Sin50º〔1+10cos 10sin 3〕=Sin50º(10cos 10sin 310cos +)=2sin50º 10cos 50cos =10cos 100sin =10cos 80sin =10cos 10cos =112:．解：由y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x得：y=2sinxcosx+2cos 2x+1 =sin2x+cos2x +2=)2cos 222sin 22(2x x ++2 =)42sin(2π+x +2当42π+x =ππk 223+ 即x=ππk +85 时，1)42sin(-=+πx y=2-2所以当{)(85|z k k x x ∈+=ππ}时，函数获得最小值，最小值为2-2.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高中数学 二倍角的正弦、余弦、正切 A必修2 试题
二倍角的正弦、余弦、正切倍角公式：sin2 cos2αα== tan2α=半角公式：sin2cos2tan2ααα===例1：〔公式的直接运用〕5sin,(,).132πααπ=∈求sin2,cos2,tan2ααα的值例2：化简以下各式：(1)cos72cos36(2)cos20cos40cos60cos80例3：化简1cos sin1cos sin 1cos sin1cos sinx x x xx x x x +---+--+-例4: 化简sin 20(1)(tan5cot5)1cos201cos21cos (2).sin2cosx xx x-+++22(3)sin20cos50sin20cos50++例5：〔1〕3(,),sin(),4245x xπππ∈-=-求cos2x的值。
〔2〕假设3177cos(),,45124x x πππ+=<< 求2sin 22sin 1tan x x x +-的值例6：证明以下各式：2cos sin 2(1)4cot tan22sin 2(2)(1tan .tan )tan 2cos 2x x x x x x x x x =-+= 21sin 211(3)tan .2cos sin 222αααα+=++例7: (1)已知函数()sin()sin()cos 1.66f x x x x a ππ=++-++的最大值为.0)()2(;)1(的取值集合成立的求使的值求常数x x f a ≥(2) 函数y=21cos 2x+23sinxcosx+1,x∈R .(1)求它的振幅、周期和初相；(2)求出它的最大值及取最大值时x 的值，并求出它的单调区间；(3)该函数的图象是由y=sinx(x∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的？练习一：1.cos 24cos36cos66cos54︒︒︒︒-的值是 ( 〕A 0 B1212-2.3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13β=-，β是第三象限角，那么=-)cos(αβ〔 〕A 3365-B 6365C 5665D 1665- 1tan 2,1tan xx+=-那么sin 2x 的值是 ( )A 35B 34-C 34D 1- 4. ()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，那么()tan 2α的值是 〔 〕A 47-B 47C 18D 18- 5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，那么βsin 的值是 〔 〕A 3365B 1665C 5665D 63656. )4,43(ππ-∈x 且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭那么cos2x 的值是 〔 〕A 725-B 2425-C 2425D 725cos 23x x a +=-中，a 的取值域范围是 ( )A 2521≤≤aB 21≤aC 25>aD 2125-≤≤-a 8. 等腰三角形顶角的余弦值等于54,那么这个三角形底角的正弦值为 〔 〕A1010 B 1010- C 10103 D 10103- 2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像 〔 〕A 、向右平移6π个单位B 、向右平移12π个单位C 、向左平移6π个单位D 、向左平移12π个单位10. 函数sin22x xy =+的图像的一条对称轴方程是 〔 〕 A 、x =113π B 、x =53π C 、53x π=- D 、3x π=- x 是一个三角形的最小内角，那么函数sin cos y x x =-的值域是 ( )A [B (-C [-D (- ABC ∆中，tan tan tan A B A B ++=，那么C 等于 ( )A3π B 23π C 6π D 4π二、填空题:βαtan ,tan 是方程04332=++x x 的两根，且),2,2(,ππβα-∈那么βα+等于14. .在ABC ∆中，tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，那么tan C = 15. tan 2x =，那么3sin 22cos 2cos 23sin 2x xx x+-的值是16. 关于函数()cos2cos f x x x x =-，以下命题： ①假设存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立； ②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增；③函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图像；④将函数()f x 的图像向左平移512π个单位后将与2sin 2y x =的图像重合．其中正确的命题序号17. (1)化简000020cos 1)]10tan 31(10sin 50sin 2[+++(2) 求)212cos 4(12sin 312tan 30200--的值．18.312tan ,cos()413ααβ=+=-，且,(0,)2παβ∈，(1)求22cos sin 12)4ααπα--+的值； (2)求cos β的值 ．19. α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值.22sin sin 23cos y x x x =++，求〔1〕函数的最小值及此时的x 的集合。
高中数学：第三章 3.1 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 Word版含答案
两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式预习课本P132～134，思考并完成以下问题(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式是什么？公式如何推导？(2)S2α，C2α，T2α中角α的取值范围分别是什么？[新知初探]二倍角公式[点睛](1)二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二倍，α是α2的二倍等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想．(2)对于S 2α和C 2α，α∈R ，但是在使用T 2α时，要保证分母1－tan 2α≠0且tan α有意义，即α≠k π＋π4且α≠k π－π4且α≠k π＋π2(k ∈Z)．当α＝k π＋π4及α＝k π－π4(k ∈Z)时，tan 2α的值不存在；当α＝k π＋π2(k ∈Z)时，tan α的值不存在，故不能用二倍角公式求tan 2α，此时可以利用诱导公式直接求tan 2α.(3)倍角公式的逆用更能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用，如sin 3αcos 3α＝12sin6α.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (3)对任意角α，总有tan 2α＝2tan α1－tan 2α.( )★答案★：(1)× (2)√ (3)×2．已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于( )A.75 B.125 C.1225 D.2425★答案★：D3．计算cos 215°－sin 215°结果等于( ) A.12 B.22 C.33D.32 ★答案★：D 4．已知cos α＝－1213，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin 2α＝________，cos 2α＝________，tan 2α＝________.★答案★：120169 119169 120119[典例](1)sin π12cosπ12；(2)1－2sin2750°；(3)2tan 150°1－tan2150°；(4)cos 20°cos 40°cos 80°.[解](1)原式＝2sinπ12cosπ122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝1 2.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.(4)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝1 8.此类题型(1)(2)(3)小题直接利用公式或逆用公式较为简单．而(4)小题通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)，逆用正弦二倍角公式，使得问题中可连用正弦二倍角公式，所以在解题过程中要注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活运用公式及其变形，从而使问题迎刃而解．[活学活用]求下列各式的值．(1)sin π8sin3π8；(2)cos215°－cos275°；(3)2cos25π12－1；(4)tan 30°1－tan230°.解：(1)∵sin 3π8＝sin⎝⎛⎭⎫π2－π8＝cosπ8，∴sin π8sin3π8＝sinπ8cosπ8＝12·2sinπ8cosπ8＝12sinπ4＝24.(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝3 2.(3)2cos25π12－1＝cos5π6＝－32.(4)tan 30°1－tan 230°＝12×2tan 30°1－tan 230°＝12tan 60°＝32.[典例] 化简：(1)11－tan θ－11＋tan θ；(2)2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.[解] (1)原式＝(1＋tan θ)－(1－tan θ)(1－tan θ)(1＋tan θ)＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ.(2)原式＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π2－π4－α＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫2×π4－2α＝cos 2αcos 2α＝1.(1)化简三角函数式的常用方法：①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次． (2)化简三角函数式的常用技巧： ①特殊角的三角函数与特殊值的互化；②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；③对于二次根式，注意倍角公式的逆用； ④利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等；⑤利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin 2α＋cos 2α＝1等． [活学活用]化简：(1)1＋sin 20°＋1－sin 20°； (2)1＋sin 4α＋cos 4α1＋sin 4α－cos 4α. 解：(1)原式＝sin 210°＋cos 210°＋2sin 10°cos 10°＋ sin 210°＋cos 210°－2sin 10°cos 10° ＝(sin 10°＋cos 10°)2＋(sin 10°－cos 10°)2 ＝|sin 10°＋cos 10°|＋|sin 10°－cos 10°| ＝sin 10°＋cos 10°＋cos 10°－sin 10° ＝2cos 10°.(2)原式＝1＋2sin 2αcos 2α＋2cos 22α－11＋2sin 2αcos 2α＋2sin 22α－1＝2cos 22α＋2cos 2αsin 2α2sin 22α＋2sin 2αcos 2α＝2cos 2α(cos 2α＋sin 2α)2sin 2α(sin 2α＋cos 2α)＝1tan 2α.[典例] 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值． [解] ∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725.∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725 ＝－31250.[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，求cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值．解：原式＝cos 2α－sin 2αsin π4cos α＋cos π4sin α＝2(cos α－sin α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝65. 2．[变条件，变设问]若本例条件变为：若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝35，求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的值．解：由sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝35， 得sin x cos π6－cos x sin π6＝35，两边平方，得12sin 2x ＋14－34sin 2x ＝925， ∴12·1－cos 2x 2＋14－34sin 2x ＝925， 即sin 2x ·32＋cos 2x ·12＝725，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝725.解决给值求值问题的方法给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．层级一 学业水平达标1．若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C.13D.23解析：选C 因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13.2．化简tan 14°1－tan 214°·cos 28°的结果为( )A.sin 28°2B ．sin 28°C ．2sin 28°D ．sin 14°cos 28° 解析：选A tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12×2tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12tan 28°·cos 28°＝sin 28°2，故选A.3．已知α为第三象限角，且cos α＝－55，则tan 2α的值为( ) A ．－43B.43 C ．－34D ．－2解析：选A 由题意可得，sin α＝－1－cos 2 α＝－255，∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，故选A.4．已知cos x ＝－14，x 为第二象限角，那么sin 2x ＝( )A ．－154B ．±158C ．－158D.158解析：选C 因为cos x ＝－14，x 为第二象限角，所以sin x ＝154，所以sin 2x ＝2sin x cosx ＝2×154×⎝⎛⎭⎫－14＝－158，故选C. 5．设sin α＝13，2π<α<3π，则sin α2＋cos α2＝( )A ．－233B.233C.43D ．－33解析：选A ∵sin α＝13，∴⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＝1＋sin α＝43. 又2π<α<3π，∴π<α2<3π2，∴sin α2＋cos α2＝－233.6．已知tan x ＝2，则tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝________. 解析：∵tan x ＝2， ∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x＝－43. tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x ＝34.★答案★：347．已知sin α－2cos α＝0，则sin 2α＝________. 解析：由sin α－2cos α＝0，得tan α＝sin αcos α＝2，则sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45.★答案★：458．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ＝________. 解析：由已知，得1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12.所以sin 2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝2×12－2⎝⎛⎭⎫122＋1＝－45.★答案★：－459．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos α－23，－1，n ＝(sin α，1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0. (1)求sin α＋cos α的值． (2)求sin 2αsin α－cos α的值．解：(1)因为m 与n 为共线向量， 所以⎝⎛⎭⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23. (2)因为1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2＝29，所以sin 2α＝－79，因为(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2， 所以(sin α－cos α)2＝2－⎝⎛⎭⎫232＝169. 又因为α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0， 所以sin α－cos α<0，sin α－cos α＝－43.因此，sin 2αsin α－cos α＝712.10．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝255，求α＋2β的值． 解：∵β为锐角，且cos β＝255，∴sin β＝55. ∴tan β＝12，tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. ∴0<2β<π2，0<α＋2β<π，又tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝7＋431－7×43＝－1，∴α＋2β＝3π4. 层级二 应试能力达标1．已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于( ) A ．30°或60° B ．45° C ．60°D ．30°解析：选D 因为cos 2α＝1－2sin 2α，故由题意，知2sin 2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝12，所以α＝30°.2．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α的值为( ) A.78 B ．－78C ．－47D.47解析：选A 因为cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，所以cos 2α－sin 2α22sin α＋22cos α＝12，所以cos α－sin α＝24， 平方得1－2cos αsin α＝18，所以sin 2α＝78，所以cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2α＝78.3．已知函数f (x )＝cos 2x －1cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2⎝⎛⎭⎫0<x ≤π3，则( )A ．函数f (x )的最大值为3，无最小值B ．函数f (x )的最小值为－3，最大值为0C ．函数f (x )的最大值为33，无最小值 D ．函数f (x )的最小值为－3，无最大值解析：选D 因为f (x )＝cos 2x －1cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos 2x －1sin 2x ＝－2sin 2x 2sin x cos x ＝－tan x,0<x ≤π3，所以函数f (x )的最小值为－3，无最大值，故选D. 4．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13D ．－79解析：选D ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝79， ∴cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－79. 5．等腰三角形一个底角的余弦为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53.所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. ★答案★：4596．已知角α，β为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan(β－α)＝13，则β＝________.解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－(1－2sin 2α)＝sin αcos α，即2sin 2α＝sin αcos α. ∵α为锐角，∴sin α≠0，∴2sin α＝cos α，即tan α＝12.法一：由tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan β tan α＝tan β－121＋12tan β＝13， 得tan β＝1.∵β为锐角，∴β＝π4.法二：tan β＝tan(β－α＋α)＝tan (β－α)＋tan α1－tan (β－α)tan α＝13＋121－13×12＝1.∵β为锐角，∴β＝π4.★答案★：π47．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R. (1)求f (π)的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求f (2α)的值． 解：(1)f (π)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－2cos π6＝－2×32＝－ 3. (2)因为f ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－2sin α＝65，所以sin α＝－35. 又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝45， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35×45＝－2425， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725. 所以f (2α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝2cos 2αcos π6＋2sin 2αsin π6＝2×725×32＋2×⎝⎛⎭⎫－2425×12＝73－2425.8．已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值； (2)求cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )的值．解：(1)由sin x 2－2cos x2＝0，知cos x2≠0，∴tan x2＝2，∴tan x ＝2tanx 21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)，知tan x ＝－43，∴cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )＝cos 2x－cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x (－sin x )＝cos 2x －sin 2x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x＝(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )22(cos x －sin x )sin x＝2×cos x ＋sin xsin x＝2×1＋tan xtan x＝24.。
高中数学 二倍角的正弦、余弦、正切 A必修2 试题
卜人入州八九几市潮王学校二倍角的正弦、余弦、正切倍角公式：sin 2cos 2αα==半角公式：sin2cos 2tan 2ααα===例1：〔公式的直接运用〕5sin ,(,).132πααπ=∈求sin 2,cos 2,tan 2ααα的值 例2：化简以下各式：例3：化简1cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin x x x x x x x x+---+--+- 例4:化简sin 20(1)(tan5cot 5)1cos 201cos 21cos (2).sin 2cos x x x x -+++ 例5：〔1〕3(,),sin(),4245x x πππ∈-=-求cos2x 的值。
〔2〕假设3177cos(),,45124x x πππ+=<< 求2sin 22sin 1tan x x x +-的值 例6：证明以下各式：例7:(1)已知函数()sin()sin()cos 1.66f x x x x a ππ=++-++的最大值为 (2)函数y=21cos 2x+23sinxcosx+1,x∈R . (1)求它的振幅、周期和初相；(2)求出它的最大值及取最大值时x 的值，并求出它的单调区间；(3)该函数的图象是由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的？练习一： 1.cos 24cos36cos66cos54︒︒︒︒-的值是(〕A0B 12C 2D 12-2.3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13β=-，β是第三象限角，那么=-)cos(αβ〔〕 A 3365-B 6365C 5665D 1665- 1tan 2,1tan x x+=-那么sin 2x 的值是() A 35B 34-C 34D 1- 4.()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，那么()tan 2α的值是〔〕 A 47-B 47C 18D 18- 5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，那么βsin 的值是〔〕 A 3365B 1665C 5665D 63656.)4,43(ππ-∈x 且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭那么cos2x 的值是〔〕 A 725-B 2425-C 2425D 725cos 23x x a +=-中，a 的取值域范围是() A2521≤≤a B 21≤a C 25>a D 2125-≤≤-a 8.等腰三角形顶角的余弦值等于54,那么这个三角形底角的正弦值为〔〕 A 1010B 1010-C 10103D 10103- 2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像〔〕A 、向右平移6π个单位B 、向右平移12π个单位C 、向左平移6π个单位D 、向左平移12π个单位10.函数sin 22x x y =的图像的一条对称轴方程是〔〕 A 、x =113πB 、x =53πC 、53x π=-D 、3x π=- x 是一个三角形的最小内角，那么函数sin cos y x x =-的值域是()A [B (-C [-D (-ABC ∆中，tan tan tan A B A B +=，那么C 等于() A 3πB 23πC 6πD 4π 二、填空题:βαtan ,tan 是方程04332=++x x 的两根，且),2,2(,ππβα-∈那么βα+等于 14..在ABC ∆中，tanA,tanB 是方程23720xx -+=的两个实根，那么tan C = 15.tan 2x =，那么3sin 22cos 2cos 23sin 2x x x x +-的值是 16.关于函数()cos2cos f x x x x =-①假设存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增；③函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移512π个单位后将与2sin 2y x = 17.(1)化简000020cos 1)]10tan 31(10sin 50sin 2[+++(2)求)212cos 4(12sin 312tan 30200--的值． 18.312tan ,cos()413ααβ=+=-，且,(0,)2παβ∈， (1)求22cos sin 12)4ααπα--+的值；(2)求cos β的值． 19.α为第二象限角，且sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 22sin sin 23cos y x x x =++，求〔1〕函数的最小值及此时的x 的集合。
二倍角的正弦、余弦、正切的习题精选
二倍角的正弦、余弦、正切的习题精选一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 若ABC ∆的内角A 满足322sin =A ，则=+A A cos sin ( ) （A ）315 （B ）315- （C ）35 （D ）35-2. 若412sin =α，且⎪⎭⎫⎝⎛∈2,4ππα，则=-ααsin cos （ ） A.23 B. 23- C. 23± D.433. 设π20≤≤x ,且x x x cos sin 2sin 1-=-,则( ) A. π≤≤x 0 B.474ππ≤≤x C. 454ππ≤≤x D. 232ππ≤≤x 4.=⋅+αααα2cos cos 2cos 12sin 22 ( ) A. αtan B. α2tan C. 1 D.215. 若等腰三角形的顶角正弦为2524，则底角的余弦是（ ） A. 53 B. 54 C. 53或54 D.53±6. 若α是锐角，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. ααcos 2sin >B. ααsin 2sin >C. αα2cos 2cos >D. αα2cos 2cos <7. 若⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈ππα23,2，则()2cos 1πα--的值是（ ）A. 2sinαB. 2cosαC. 2sinα- D.2cosα-8. 设⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα2,23，则化简α2cos 21212121++的结果是（ ） A. 2sinαB. 2sinα- C. 2cosαD.2cosα-9. 设⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πα，()2tan 2cot 2cos 1αααα-+=f ，则()αf 取得最大值时α的值是（ ）A.2πB.3πC.4πD.6π10. 已知⎪⎭⎫⎝⎛∈-=ππθθ2,23,54sin ，则2tan θ的值是（ ）A.21 B. 21- C. 32- D.2- 11. 设()02tan ≠=mn nmA ，则A n A m sin cos -的值是（ ）A. nB. n -C. mD.m -12. 已知32tan =α，则=αcos （ ）（A ）54（B ） 54- （C ）154 （D ）53-二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 求值=178cos 174cos 172cos17cosππππ.14. 在等腰三角形ABC 中，若C B =，且53sin =B ，则=A cos .15. 设5:82sin :sin =xx ，则=x 2cos .16. 若322cos =θ，则=+θθ44cos sin .三.解答题（本大题共6小题，满分74分） 17. (12分) 已知51cos sin ,02=+<<-x x x π，求x x cos sin -的值.18. (12分) 已知22tan =α，求（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα的值； （2）ααααcos 2sin 3cos sin 6-+的值．19. (12分) 求证：2tan 2cos cos 2cos cos 12sin cos θθθθθθθ=+++.20. (12分) 已知()πβα,0,∈,212tan =α,且()135sin =+βα,求βcos 的值.21. (12分) 已知⎪⎭⎫⎝⎛∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,0,1354sin πααπ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+απα4cos 2cos 的值.22. (14分)已知324cos 1cos 1+=+-θθ,且141sin >⎪⎭⎫⎝⎛θ,求2tanθ的值.答案： 一．选择题1．C 2．B 3．C 4．B 5．C 6．D 7．D 8．D 9．C 10. B 11. D 12. B 二．填空题 13.161 14. 257- 15. 25716. 1811三．解答题.17. 解:由()251cos sin 21cos sin 2=+=+x x x x 知2524cos sin 2-=x x ,所以 ()2549cos sin 21cos sin 2=-=-x x x x ,而由02<<-x π知0cos ,0sin ><x x ,故0cos sin <-x x ,即57cos sin -=-x x .18. 解: (1)342tan 12tan2tan 2-=-=ααα,故71tan 1tan 14tan -=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ααπα. (2)672tan 31tan 6cos 2sin 3cos sin 6=-+=-+αααααα.19. 证明:()()()θθθθθθθθθ2cos 2cos 1cos sin 2cos 2cos 1cos 12sin cos ⋅+⋅=++=左边右边===+=2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin 2θθθθθθ. 20. 解: 由万能置换公式知,542tan 12tan2sin 2=+=ααα,532tan 12tan 1cos 22=+-=ααα,所以α为锐角.又由()0sin sin >+>βαα知βα+是钝角,所以()1312cos -=+βα,因此 ()[]()()6516sin sin cos cos cos cos -=+++=-+=αβααβααβαβ.21. 解:⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-4,04παπ,故13124cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ, 1691204cos 4sin 242sin 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=απαπαπα,而1354sin 4cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απαπ,所以原式=1324.22. 解:3242tan 2cos22sin 2cos 1cos 1222+===+-θθθθθ,故()132tan +±=θ而由141s i n >⎪⎭⎫ ⎝⎛θ知0sin <θ,即Z k k k ∈<<-,22πθππ,所以Z k k k ∈<<-,22πθππ,即2θ在第二、四象限，因此有132tan --=θ.。
高中数学：第三章 三角恒等变换 第1节 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 Word版含答案
第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P132～P134的内容，回答下列问题．(1)在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？提示：成立．(2)在上述公式中，若α＝β，你能得到什么结论？提示：cos 2α＝cos2α－sin2α，sin 2α＝2sin αcos α，tan 2α＝2tan α1－tan2α. 2．归纳总结，核心必记[问题思考](1)S 2α，C 2α，T 2α中角α的取值范围分别是什么？ 提示：S 2α，C 2α中α∈R ，T 2α中α≠k π＋π2且α≠k π2±π4.(2)能应用tan α表示sin 2α，cos 2α吗？提示：sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin α＋cos α＝2tan α1＋tan α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin α＋cos α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[课前反思](1)二倍角的正弦公式： ；(2)二倍角的余弦公式： ；(3)二倍角的正切公式： .知识点1化简求值讲一讲1．求下列各式的值：(1)sin π12cos π12；(2)1－2sin 2750°；(3)2tan 150°1－tan 2150°；(4)1sin 10°－3cos 10°；(5)cos 20°cos 40°cos 80°.[尝试解答] (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.(5)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.类题·通法化简求值的四个方向三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．练一练1．化简：(1)11－tan θ－11＋tan θ；(2)2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.解：(1)原式＝(1＋tan θ)－(1－tan θ)(1－tan θ)(1＋tan θ)＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ.(2)原式＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π2－π4－α＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫2×π4－2α＝cos 2αcos 2α＝1.知识点2条件求值讲一讲2．(1)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos2α＋π4的值； (2)已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4，求α. [尝试解答] (1)∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725.∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725＝－31250.(2)∵sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4－1， sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α，∴原式可化为1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 解得cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1或cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴α＋π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，3π4， 故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3，即α＝－π4或α＝5π12.类题·通法解决条件求值问题的方法解决条件求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．练一练2．(1)已知cos α＝13，则cos 2α等于( )A.13B.23 C ．－79 D.79(2)设α是第四象限角，已知sin α＝－35，则sin 2α，cos 2α和tan 2α的值分别为( )A ．－2425，725，－247 B.2425，725，247C ．－2425，－725，247 D.2425，－725，－247(3)已知tan α＋1tan α＝52，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，求cos 2α和sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值． 解析：(1)cos 2α＝2cos 2α－1＝29－1＝－79.(2)因为α是第四象限角，且sin α＝－35，所以cos α＝45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725，tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－247.(3)由tan α＋1tan α＝52，得sin αcos α＋cos αsin α＝52， 则2sin 2α＝52，即sin 2α＝45. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以2α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝sin 2α·cos π4＋cos 2α·sin π4＝45×22－35×22＝210. ★答案★：(1)C (2)A知识点3倍角公式的综合应用讲一讲3．已知向量a ＝(sin A ，cos A )，b ＝(3，－1)，a ·b ＝1，且A 为锐角． (1)求角A 的大小；(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R )的值域． [尝试解答] (1)由题意得a ·b ＝3sin A －cos A ＝1， 2sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝1，sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 由A 为锐角得A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)由(1)知cos A ＝12，所以f (x )＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32. 因为x ∈R ，所以sin x ∈[－1,1]， 因此，当sin x ＝12时，f (x )有最大值32.当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－3， 所以所求函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－3，32.类题·通法二倍角公式的灵活运用(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有： 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α.(2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的的活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2， 1＋cos 2α＝2cos 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. 练一练3．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值； (2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值． 解：(1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x ) ＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f (α)＝22， 所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4， 即4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式，难点是公式的应用． 2．要掌握二倍角公式的三个应用 (1)解决化简求值问题，见讲1； (2)解决条件求值问题，见讲2； (3)倍角公式的综合应用，见讲3. 3．要牢记二倍角公式的几种变形 (1)sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ； (2)cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ；(3)cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x .课下能力提升(二十四)[学业水平达标练]题组1 化简求值 1．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215° D ．sin 215°＋cos 215° 解析：选B cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32. 2．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°＝( ) A.62 B.32 C.54 D ．1＋34解析：选C 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15°＝1＋12sin 30°＝1＋14＝54.3．求值：sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°.解：∵sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°2sin 40°cos 10°＝1，cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°，∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20° ＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2. 题组2 条件求值4．若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6解析：选D sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. 5．已知sin 2α＝23，则sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.16 B.12 C.23 D.56解析：选D sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π42＝1＋sin 2α2＝56. 6．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝55，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝( ) A ．－43 B.34 C ．7 D ．－17解析：选D 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝55，所以cos α＝－255，所以tan α＝－12，由二倍角公式得tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝tan 2α＋11－tan 2α＝－17. 7．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A.25 B.75 C.145 D ．－25解析：选C 因为cos α＝35且α在第一象限，所以sin α＝45.所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，原式＝1＋2⎝⎛⎭⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 8．已知π2<α<π，cos α＝－45. (1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋cos 2α的值．解：(1)因为cos α＝－45，π2<α<π，所以sin α＝35， 所以tan α＝sin αcos α＝－34. (2)sin 2α＝2sin αcos α＝－2425. cos 2α＝2cos 2α－1＝725， 所以sin 2α＋cos 2α＝－2425＋725＝－1725. 题组3 倍角公式的综合应用9．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．解析：f (x )＝1＋cos 2x ＋sin 2x＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f (x )的最小值为1－ 2.★答案★：1－ 210．已知0<x <π2，sin 2 x 2＋3sin x 2cos ⎝⎛⎭⎫π＋x 2＝－110，求tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． 解：∵sin 2 x 2＋3sin x 2cos ⎝⎛⎭⎫π＋x 2 ＝1－cos x 2－3sin x 2cos x 2＝12－⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝12－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， ∴由已知得12－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－110， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35. ∵0<x <π2， 结合sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35易知π6<x ＋π6<π2. ∴cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝45，∴tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝34. ∴tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π61－tan 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2×341－916＝247. [能力提升综合练]1.sin 65°cos 25°＋cos 65°sin 25°－tan 222.5°2tan 22.5°＝( ) A.12B ．1 C. 3 D ．2 解析：选B 原式＝sin 90°－tan 222.5°2tan 22.5°＝1－tan 222.5°2tan 22.5°＝1tan 45°＝1. 2．已知sin 2α＝23，则tan α＋1tan α等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．3解析：选D tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝112sin 2α＝3. 3．已知cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15，则sin 2x ＝( ) A ．－2425 B ．－45 C.2425 D.255解析：选A ∵cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15，∴cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝15，∴cos x ＋sin x ＝15，∴1＋sin 2x ＝125，∴sin 2x ＝－2425. 4．设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2－x 满足f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)，当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，11π24时，f (x )的值域为( )A ．[1,2]B ．[2， 3 ]C ．[3，2]D ．[2，2]解析：选D f (x )＝a 2sin 2x －1＋cos 2x 2＋1－cos 2x 2＝a 2sin 2x －cos 2x ， 因为f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)，所以a ＝23， 所以f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， x ∈⎣⎡⎦⎤π4，11π24时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，3π4，f (x )∈[2，2]．故选D. 5．等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________． 解析：设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23，sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－⎝⎛⎭⎫232＝53.所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. ★答案★：459 6．已知cos 2α＝13，π<2α<2π，求1＋sin α－2cos 2 α23sin α＋cos α的值． 解：原式＝sin α－cos α3sin α＋cos α， 又∵cos 2α＝13，∴2cos 2α－1＝13， ∴cos 2α＝23，3π2<2α<2π， ∴3π4<α<π，∴⎩⎨⎧ cos α＝－63，sin α＝33， ∴原式＝5＋427. 7．设函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π12；(2)若f (α)＝53，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求角α. 解：f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x＝53cos 2x ＋53sin 2x －2sin 2x －43sin 2x＝53－2sin 2x －23(1－cos 2x )＝33－2sin 2x ＋23cos 2x＝33－4⎝⎛⎭⎫sin 2x ×12－cos 2x ×32 ＝33－4⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3 ＝33－4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (1)f ⎝⎛⎭⎫5π12＝33－4sin ⎝⎛⎭⎫5π6－π3 ＝33－4sin π2＝33－4.(2)由f (α)＝53，得sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝－32， 由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得2α－π3∈⎝⎛⎭⎫2π3，5π3， ∴2α－π3＝4π3，α＝5π6.。
苏教版二倍角的正弦余弦正切7.doc
第九课时二倍角的正弦、余弦、正切教学目标：灵活应用和、差、倍角公式，掌握和差化积与积化和差的方法；培养学生联系变化的观点，提高学生的思维能力. 教学重点：和角化归的二倍角公式的变形式的理解与应用. 教学难点：二倍角公式的变形式的灵活应用. 教学过程： Ⅰ.课题导入现在我们进一步探讨和角、差角、倍角公式的应用.先看本章开始所提问题，在章头图中，令∠AOB ＝θ，则AB ＝a sin θ，OA ＝a cos θ，所以矩形ABCD 的面积S ＝a sin θ·2a cos θ＝a 2·2sin θcos θ＝a 2sin2θ≤a 2 当sin2θ＝1，即2θ＝90°，θ＝45°时，a 2sin2θ＝a 2＝S不难看出，这时A 、D 两点与O 点的距离都是22a ，矩形的面积最大，于是问题得到解决. Ⅱ.讲授新课［例1］求证sin 2α2 ＝1－cos α2分析：此等式中的α可作为α2的2倍.证明：在倍角公式cos2α＝1－2sin 2α中以α代替2α，以α2 代替α，即得cos α＝1－2sin 2α2 ∴sin 2α2 ＝1－cos α2请同学们试证以下两式:(1)cos 2α2 ＝1＋cos α2 (2)tan 2α2 ＝1－cos α1＋cos α证明：(1)在倍角公式cos2α＝2cos 2α－1中以α代替2α、以α2 代替α，即得cos α＝2cos 2α2 －1， ∴cos 2α2 ＝1＋cos α2(2)由tan 2α2 ＝sin 2α2 cos 2α2sin 2α2 ＝1－cos α2 cos 2α2 ＝1＋cos α2得tan 2α2 ＝1－cos α1＋cos α这是我们刚才所推证的三式，不难看出这三式有两个共同特点：(1)用单角的三角函数表示它们的一半即半角的三角函数；(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).这一组式子也可称为半角公式，但不要求大家记忆，只要理解并掌握这种推证方法. 另外，在这三式中，如果知道cos α的值和α2 角的终边所在象限，就可以将右边开方，从而求得sin α2 、cos α2 与tan α2.下面，再来看一例子.［例2］求证：sin α·cos β＝12 ［sin(α＋β)－sin(α－β)］分析：只要将S (α＋β)、S (α－β)公式相加，即可推证. 证明：由sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ① sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ② ①＋②得：sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β即：sin α·cos β＝12 ［sin(α＋β)＋sin(α－β)］请同学们试证下面三式：(1)cos α·sin β＝12 ［sin(α＋β)－sin(α－β)］(2)cos α·cos β＝12 ［cos(α＋β)＋cos(α－β)］(3)sin α·sin β＝－12［cos(α＋β)－cos(α－β)］证明：(1)由sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ① sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ② ①－②得：sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cos αsin β 即：cos αsin β＝12 ［sin(α＋β)－sin(α－β)］(2)由cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ②①＋②得：cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cos αcos β 即：cos αcos β＝12 ［cos(α＋β)＋cos(α－β)］(3)由cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ② ①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β 即：sin αsin β＝－12［cos(α＋β)－cos(α－β)］不难看出，这一组式子也有一共同特点，即，左式均是乘积形式，右式均为和差形式，利用这一式可将乘积形式转化为和差形式，也可称为积化和差公式.和差形式是否可以化为乘积的形式呢?看这一例子.［例3］求证sin θ＋sin ϕ＝2sin θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2 分析：θ可有θ＋ϕ2 ＋θ－ϕ2 代替，ϕ＝θ＋ϕ2 －θ－ϕ2证明：左式＝sin θ＋sin ϕ＝sin ［θ＋ϕ2 ＋θ－ϕ2 ］＋sin ［θ＋ϕ2 －θ－ϕ2 ］＝sinθ＋ϕ2 cos θ－ϕ2 ＋cos θ＋ϕ2 sin θ－ϕ2 ＋sin θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2 －cos θ＋ϕ2 sin θ－ϕ2＝2sin θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2＝右边请同学们再证下面三式.(1)sin θ－sin ϕ＝2cos θ＋ϕ2 ·sin θ－ϕ2 ；(2)cos θ＋cos ϕ＝2cos θ＋ϕ2 ·cos θ－ϕ2 ；(3)cos θ－cos ϕ＝－2sin θ＋ϕ2 ·sin θ－ϕ2.证明：(1)令θ＝θ＋ϕ2 ＋θ－ϕ2 ，ϕ＝θ＋ϕ2 －θ－ϕ2则左边＝sin θ－sin ϕ＝sin ［θ＋ϕ2 ＋θ－ϕ2 ］－sin ［θ＋ϕ2 －θ－ϕ2］＝sin θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2 ＋cos θ＋ϕ2 sin θ－ϕ2 －sin θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2 ＋cos θ＋ϕ2 sin θ－ϕ2＝2cos θ＋ϕ2 sin θ－ϕ2＝右边(2)左边＝cos θ＋cos ϕ＝cos ［θ＋ϕ2 ＋θ－ϕ2 ］＋cos ［θ＋ϕ2 －θ－ϕ2］＝cos θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2 －sin θ＋ϕ2 sin θ－ϕ2 ＋cos θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2 ＋sin θ＋ϕ2 sin θ－ϕ2＝2cos θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2＝右边(3)左边＝cos θ－cos ϕ＝cos ［θ＋ϕ2 ＋θ－ϕ2 ］－cos ［θ＋ϕ2 －θ－ϕ2］＝cos θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2 －sin θ＋ϕ2 sin θ－ϕ2 －cos θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2 －sin θ＋ϕ2 sin θ－ϕ2＝－2sin θ＋ϕ2 sin θ－ϕ2＝右边.这组式子的特点是左式为和差形式，右式为积的形式，所以这组式子也可称为和差化积公式，只要求掌握这种推导方法，不要求记忆. Ⅲ.课堂练习1.已知α、β为锐角，且3sin 2α＋2sin 2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0.求证：α＋2β＝π2证法一：由已知得3sin 2α＝cos2β ① 3sin2α＝2sin2β ② ①÷②得tan α＝cos2βsin2β ＝sin （π2 －2β）cos （π2 －2β）＝tan （π2－2β）∵α、β为锐角，∴0＜β＜π2 ，0＜2β＜π，－π＜－2β＜0，∴－π2 ＜π2 －2β＜π2∴α＝π2 －2β，α＋2β＝π2证法二：由已知可得：3sin 2α＝cos2β，3sin2α＝2sin2β ∴cos(α＋2β)＝cos α·cos2β－sin α·sin2β＝cos α·3sin 2α－sin α·32 sin2α＝3sin 2αcos α－sin α·3sin αcos α＝0又由α＋2β∈(0，3π2 )∴α＋2β＝π2证法三：由已知可得⎩⎨⎧==βαβα2sin 22sin 32cos sin 32 ∴sin(α＋2β)＝sin αcos2β＋cos αsin2β＝sin α·3sin 2α＋32 cos α·sin2α＝3sin α(sin 2α＋cos 2α)＝3sin α又由②，得3sin α·cos α＝sin2β ③ ①2＋③2，得9sin 4α＋9sin 2αcos 2α＝1 ∴sin α＝13，即sin(α＋2β)＝1①②又0＜α＋2β＜3π2 ，∴α＋2β＝π2评述：一般地，若所求角在(0，π)上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在(－π2 ，π2)上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较密切，也可考虑取此角的正切.2.在△ABC 中，sin A 是cos(B ＋C )与cos(B －C )的等差中项，试求(1)tan B ＋tan C 的值. (2)证明tan B ＝(1＋tan C )·cot(45°＋C ) (1)解：△ABC 中，sin A ＝sin(B ＋C ) ∴2sin(B ＋C )＝cos(B ＋C )＋cos(B －C ) ∴2sin B cos C ＋2cos B sin C ＝2cos B cos C ∵cos B cos C ≠0 ∴tan B ＋tan C ＝1 (2)证明：又由上：tan β＝1－tan C＝(1＋tan C )·1－tan C1＋tan C＝(1＋tan C )·tan(45°－C )＝(1＋tan C )·cot(45°＋C )Ⅳ.课时小结通过这节课的学习，要掌握推导积化和差、和差化积公式的方法，虽不要求记忆，但要知道它们的互化关系.另外，要注意半角公式的推导与正确使用.当然，这些都是在熟练掌握二倍角公式的基础上完成的. Ⅴ.课后作业课本P 111习题 7、8、10.二倍角的正弦、余弦、正切1．已知sin α＝13 ，2π＜α＜3π，那么sin α2 ＋cos α2等于 （ ）A.63B.－63 C. 233D.－2332．sin10°sin30°sin50°sin70°的值是 （ ）A. 116B. 18C. 14D.3163．已知f (sin x )＝cos2x ，则f (x )等于 （ ）A.2x 2－1B.1－2x 2C.2xD.－2x 4．设sin α∶sin α2＝8∶5，则cos α等于 （ ）A. 45B.725 C. 1213D.15．（sin π12 ＋cos π12 )(sin π12 －cos π12 )＝ .6．化简cos(π4 －α)·cos （π4 ＋α)＝ .7．sin 2π12 －12＝ . 8．3tan67.501＋tan 267.50＝ . 9．已知cos2α＝725 ，α∈(0， π2 )，sin β＝－513 ，β∈(π， 3π2 )，求cos(α＋β).10．已知sin α＋sin β＝12 ，cos α＋cos β＝13 ，求cos α－β2 的值.11．已知sin(α＋3π4 )＝513 ，cos(π4 －β)＝35 ，且－π4 ＜α＜π4 ，π4 ＜β＜3π4 ，求cos(α－β).二倍角的正弦、余弦、正切答案1．D 2．A 3．B 4．B 5．－32 6．12 cos2α 7．－34 8．3249．已知cos2α＝725 ，α∈(0， π2 )，sin β＝－513 ，β∈(π， 3π2)，求cos(α＋β).解：由α∈(0， π2 )得sin α＝1－cos2α2 ＝35 ，cos α＝45∵β∈(π，3π2)， ∴cos β＝－1－sin 2β ＝－1213代入cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝45 ×(－1213 )－35 ×(－513 )＝－336510．已知sin α＋sin β＝12 ，cos α＋cos β＝13 ，求cos α－β2的值.两式平方相加，得1＋1＋2（cos α·cos β＋sin αsin β)＝14 ＋19 ＝1326∴cos(α－β)＝－5972 ，cos 2α－β2 ＝1＋cos(α－β)2 ＝1－5972 2 ＝13144∴cos α－β2 ＝±131211．已知sin(α＋3π4 )＝513 ，cos(π4 －β)＝35 ，且－π4 ＜α＜π4 ，π4 ＜β＜3π4，求cos(α－β).∵－π4 ＜α＜π4 ，∴2＜α＋3π4 ＜π∴cos(α＋3π4)＝－1－sin 2(α＋3π4 ) ＝－1213∵π4 ＜β＜3π4 ，∴－π2 ＜π4 －β＜0 ∴sin(π4－β)＝－1－cos 2(π4 －β) ＝－45∴cos(α－β)＝－cos ［(α＋3π4 )＋(π4－β)］＝sin(α＋3π4 )sin(π4 －β)－cos(α＋3π4 )·cos(π4 －β)＝513 ×(－45 )－(－1213 )×35 ＝1665.。
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2010年江苏东海高级中学高一数学暑假作业（5）—二倍角的正弦、余弦、正切一、选择题（每小题5分，共60分，请将正确答案填在题后的括号内） 1．tan15°+cot15°的值是 （ ）A ．2B ．2+3C ．4D ．3342．若sin θcos θ＞0，则θ在 （ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限3．4cos 2sin 22+-的值等于（ ）A ．sin2B ．－cos2C ．3cos2D ．－3cos2 4．函数xxx y cos cos 3cos -=的值域是（ ）A ．)0,4[-B ．)4,4[-C ．]0,4(-D ．[－4，0]5．若tan θ=3,则sin2θ－cos2θ的值是（ ） A ．57 B ．21C ．－57 D ．236．已知等腰三角形顶角的正弦为2524，则底角的余弦为（ ）A ．54 B ．53 C ．54或53D ．以上答案都不对 7． 48cos 78sin 24cos 6sin ⋅的值为（ ）A ．161B ．161-C ．321 D ．818．cos 48sin84ππ-等于（ ）A ．0B ．22 C ．1 D ．－229．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247B ．－247 C ．724 D ．－72410．cos5πcos52π的值等于（ ）A ．41 B ．21 C ．2 D ．411．已知θ为第Ⅱ象限角，225sin sin 240,θθ+-= 则cos2θ的值为（ ）A ．53- B ．53± C ．22 D ．54±12．设xxx x x x x tan 12sin cos2,0)3cos )(sin sin cos 2(2++=++-则的值为（ ）A ．58 B ．85 C ．52D ．25二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上） 13．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 .14．已知31cos cos ,41sin sin =+=+βαβα，则)t a n (βα+的值为 .15．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝95，则sin2θ等于____ _______.16．化简sin(x +60°)+2sin(x －60°)－3cos(120°－x )的结果是 . 三、解答题（本大题74分，17—21题每题12分，22题14分）17．已知)cos(,20,0,32)2sin(,91)2cos(βαπβπαβαβα+<<<<=--=-求的值.18．求函数f ( x ) = xxx x x 2sin 2cossincossin2244-++的最小正周期、最大值和最小值.19．已知8sin α＋10cos β＝5，8cos α＋10sin β＝53,求证：sin （α＋β）＝－sin(3π＋α).20．已知),2,4(,41)24sin()24sin(ππααπαπ∈=-⋅+1cot tan sin 22--+ααα求的值.21．已知21)4tan(=+απ．（1）求αtan 的值；（2）求αα2cos 1cos 2sin 2+-a 的值．22．已知)32sin(],,2[,0cos 2cos sin sin 622παππααααα+∈=-+求的值．参考答案一、选择题1．C2．B 3．D4．C 5．A6．C7．A 8．B9．D 10．A11．B 12．C 二、填空题 13．43 14．73 15．322 16．0三、解答题17．解析：由已知954)2sin(91)2cos(,24=--=-<-<βαβαπβαπ故又，同理2757)]2()2cos[(2cos,531)2cos(=---=+=-βαβαβαβα故，故72923912cos 2)cos(2-=-+=+βαβα．18．解析：f ( x ) =xx xx x x cos sin 22cossin )cos (sin22222--+=)cos sin 1(2cossin122x x xx --=21( 1 + sinxcosx )=212sin 41+x .所以函数f ( x )的最小正周期是π, 最大值是43,最小值是41.．19．证明：8sin α＋10cos β＝5与8cos α＋10sin β＝53两式平方相加得164＋160sin （α＋β）＝100，即sin （α＋β）＝－52由8sin α＋10cos β＝5得10cos β＝5－8sin α 由8cos α＋10sin β＝53得10sin β＝53－8cos α 两式平方相加得100＝164－80sin α－803cos α 即21sin α＋23cos α＝52， ∴sin （α＋3π）＝52因此sin （α＋β）＝－sin （α＋3π）20．解析：由)24cos()24sin()24sin()24sin(απαπαπαπ+⋅+=-⋅+,414c o s 21)42s i n (21==+=ααπ 得 .214c o s =α 又.125),2,4(παππα=∈所以 于是 ααααααααααα2s i n 2c o s 22c o s c o s s i n c o s s i n 2c o s 1c o t t a n s i n 2222-+-=-+-=--+.325)3223()65c o t 265(c o s)2c o t 22(c o s =---=+-=+-=ππαα21．（1）解析：αααπαπαπtan 1tan 1tan 4tan1tan 4tan)4tan(-+=-+=+由21)4tan(=+απ，有21tan 1tan 1=-+αα， 解得31tan -=α（2）解法一：1cos 21cos cos sin 22cos 1cos 2sin 222-+-=+-ααααααα65213121tan cos 2cos sin 2-=--=-=-=αααα解法二：由（1），31t a n -=α，得ααcos 31sin -=∴αα22cos 91sin =αα22c o s 91c o s 1=- ∴109cos 2=α于是541cos 22cos 2=-=αα，53cos 32cos sin 22sin 2-=-==αααα代入得65541109532cos 1cos 2sin 2-=+--=+-ααα 22．解法一：由已知得：0)cos sin 2)(cos 2sin 3(=-+αααα0c o s s i n 20c o s 2s i n 3=-=+⇔αααα或由已知条件可知).,2(,2,0cos ππαπαα∈≠≠即所以.32tan ,0tan -=∴<αα于是3sin2cos 3cos2sin )32sin(παπαπα+=+.t a n 1t a n 123t a n 1t a n s i n c o s s i n c o s 23s i n c o s c o s s i n )s i n (c o s 23c o s s i n 22222222222αααααααααααααααα+-⨯++=+-⨯++=-+=代入上式得将32tan -=α即为所求.3265136)32(1)32(123)32(1)32()32sin(222+-=-+--⨯+-+--=+πα解法二：由已知条件可知所以原式可化为则,2,0cos παα≠≠..32tan .0tan ),,2(.0)1tan 2)(2tan 3(.02tan tan 62下同解法一又即-=∴<∴∈=-+=-+ααππααααα。