考研数学辅导数字特征
考研数学一(随机变量的数字特征)模拟试卷7(题后含答案及解析)
考研数学一（随机变量的数字特征）模拟试卷7(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ，σ2，σ2，0)，则E(XY2)=___________，E[(X+Y)2]=____________正确答案：μσ2+μ3，2σ2+4μ2解析：考查二维正态分布的性质和数学期望的性质．由于(X，Y)服从正态分布N(μ，μ，σ2，σ2，0)，所以X服从N(μ，σ2)，Y也服从N(μ，σ2)，而ρ=0，所以X与Y是相互独立的．因此知识模块：随机变量的数字特征解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，记U=max(X，Y)，V=min(X，Y)．2．求V的概率密度fV(v)；正确答案：由于X和Y相互独立，都服从参数为1的指数分布，所以E(X)=E(Y)=1，且X的分布函数为设V的分布函数为Fmin(v)，则Fmin(v)=1-[1-F(v)]2=1-e-2v，v＞0．故解析：本题考查独立同分布条件下最大值和最小值的分布．先写出V的分布函数，再求导得到其概率密度．注意到U+V=X+Y，UV=XY，利用性质和指数分布期望的结果得到E(U+V)，E(UV)．知识模块：随机变量的数字特征3．E(U+V)，E(UV)．正确答案：E(U+V)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2．E(UV)=E(X)E(Y)=1×1=1．涉及知识点：随机变量的数字特征设(X，Y)在区域D={(x，y)｜1≤x≤3，1≤y≤3}上服从均匀分布，事件A={x ≤a}，B={Y＞a}．4．若P(A∪B)=3/4，求a；正确答案：由已知条件可知，X和Y的联合概率密度为关于X和Y的边缘概率密度为由于对任意的x，y，有f(x，y)=fX(x)fY(y)，所以X和Y相互独立．显然P(B)=P{Y＞a}=1-P{X≤a}=1-P(A)，于是有3/4=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+1-P(A)+P(A)(1-P(A))，解得P(A)=1/2．即解析：本题考查将问题提炼为几何型概率和伯努利概率模型的能力．首先利用加法公式求出常数a，而D0为事件A∪B所占的区域，随机地向D投点4次，因此该试验是4次伯努利试验，由于Z为落入D0内的次数，因此意识到Z服从B(4，P(A∪B))，进而可利用方差的计算公式求出E(Z2)．知识模块：随机变量的数字特征5．设D0为事件A∪B所占的区域，随机地向D投点4次，Z为落入D0内的次数，求E(Z2)．正确答案：由题意Z服从B(4，P(A∪B))，即Z服从B(4，3/4)，所以涉及知识点：随机变量的数字特征6．随机变量X的概率密度为对X独立重复地观察4次，用Y表示观察值大于π/3的次数，求E(Y2)．正确答案：于是E(Y2)=D(Y)+(EY)2=5．解析：本题仍然是考查常用分布之二项分布的数字特征．对X独立重复地观察4次，用Y表示观察值大于π/3的次数，则Y服从B(4，P{X＞π/3})．知识模块：随机变量的数字特征7．设X服从N(1，4)，Y服从N(2，9)，且X与Y相互独立，如果服从N(0，1)，求常数a，b．正确答案：由已知，E(X)=1，D(X)=4，E(Y)=2，D(Y)=9．由于X与Y相互独立，所以解得a=-2，b=±5．解析：考查正态分布的数字特征．根据期望和方差的运算性质或独立条件下正态分布的性质求出a，b．知识模块：随机变量的数字特征8．设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从N(0，4)，X3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X1-2X2+3X3，求D(Y)．正确答案：由已知条件，又X1，X2，X3相互独立，从而D(Y)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+4×4+9×3=46．涉及知识点：随机变量的数字特征设Ф(x)表示标准正态分布函数，随机变量X的分布函数F(x)=aФ(x)+bФ(x-1)，求9．a、b应满足的关系式；正确答案：F(+∞)=1，有a+b=1．解析：考查分布函数的性质和计算数学期望的方法．由于X的分布已知，可以利用公式结合分布的性质求出E(X)．知识模块：随机变量的数字特征10．E(X)．正确答案：以φ(x)表示标准正态分布的概率密度，则涉及知识点：随机变量的数字特征11．设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，cov(X，Y)=12，求(X，Y)的概率密度．正确答案：由于所以解析：本题考查二维正态分布的参数含义和概率密度的形式，将参数代入到概率密度表达式可得到概率密度的具体形式．知识模块：随机变量的数字特征已知随机变量X和Y分别服从正态分布N(1，32)和N(0，42)，且X与Y 的相关系数ρXY=-1/2，设12．求E(Z)和D(Z)；正确答案：解析：综合考查正态分布，二维正态分布的关系和数字特征．利用数字特征的性质直接求出E(Z)，D(Z)和ρXZ．判断X与Z是否相互独立则需要利用正态分布的性质．知识模块：随机变量的数字特征13．求X与Z的相关系数ρXZ；正确答案：涉及知识点：随机变量的数字特征14．问X与Z是否相互独立，为什么?正确答案：X与Z不一定相互独立．因为Z未必服从正态分布，(X，Z)也未必服从二维正态分布，X与Z不相关，但X与Z不一定是独立的．涉及知识点：随机变量的数字特征15．设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)相互独立同分布，且期望均为μ，方差均为σ2(σ2＞0)，令，求的相关系数ρ．正确答案：涉及知识点：随机变量的数字特征设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞2)相互独立，且均服从N(0，1)，记求16．D(Yi)；正确答案：涉及知识点：随机变量的数字特征17．cov(Y1，Yn)．正确答案：涉及知识点：随机变量的数字特征18．设随机变量X1，X2，…，X2n(n＞2)的期望都为0，方差都为1，且任意两个的相关系数都为ρ，设U=X1+X2+…+Xn，V=Xn+1+Vn+2+…+X2n，求U 和V的相关系数ρUV正确答案：由于E(Xi)=0，D(Xi)=1，且ρXiXj=ρ，i≠j 涉及知识点：随机变量的数字特征已知X与Y服从相同的分布，且P{｜X｜=｜Y｜}=0，X的概率分布为19．求X与Y的联合概率分布；正确答案：根据已知条件，知(X，Y)的概率分布为涉及知识点：随机变量的数字特征20．问X与Y是否不相关?正确答案：涉及知识点：随机变量的数字特征对于任意二事件A，B，0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，定义A与B的相关系数为21．证明事件A，B相互独立的充分必要条件是其相关系数为零；正确答案：由ρAB的定义，可见解析：本题考查建立事件与随机变量联系的能力，题中给出事件相关系数的定义式，要求利用随机变量相关系数的性质证｜ρAB｜≤1，因此引入(0-1)分布，将事件A，B与随机变量建立起关系式．知识模块：随机变量的数字特征22．利用随机变量相关系数的基本性质，证明｜ρAB｜≤1．正确答案：引入随机变量则有E(X)=P(A)，E(Y)=P(B)，而｜ρXY｜≤1，从而｜ρAB｜≤1 涉及知识点：随机变量的数字特征设X的概率密度为，23．求E(x)和D(x)；正确答案：从而D(X)=E(X2)-(EX)2=2．解析：本题考查二个随机变量的协方差及相关性的概念，相关性与独立性的关系．由于分布已知，可以利用公式计算数字特征．知识模块：随机变量的数字特征24．求X与｜X｜的协方差，判断X与｜X｜是否不相关；正确答案：从而X与｜X｜不相关．涉及知识点：随机变量的数字特征25．判断X与｜X｜是否相互独立．正确答案：对于给定的实数a＞0，显然事件，于是P{X≤a，｜X｜≤a}=P{｜X｜≤a}＞P{X≤a}P{｜X｜≤a}，因此X与｜X｜不相互独立．涉及知识点：随机变量的数字特征26．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0．2，机器发生故障时全天停止工作．若一周5个工作日无故障，可获利10万元；发生一次故障仍可获利5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少?正确答案：设X表示一周5天内机器发生故障的天数，Y表示利润，则由已知X服从B(5，0．2)．涉及知识点：随机变量的数字特征。
考研数学基础复习资料
考研数学基础复习资料### 考研数学基础复习资料#### 一、高等数学基础1. 函数与极限- 函数的概念与性质- 极限的定义与性质- 无穷小的比较2. 导数与微分- 导数的定义与几何意义- 基本导数公式- 高阶导数- 微分的概念与应用3. 中值定理与导数的应用- 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理 - 泰勒公式- 导数在几何、物理中的应用4. 不定积分- 基本积分公式- 换元积分法- 分部积分法5. 定积分与定积分的应用- 定积分的定义与性质- 定积分的计算方法- 定积分在几何、物理中的应用6. 级数- 级数的概念与性质- 正项级数的判别法- 幂级数与泰勒级数7. 多元函数微分学- 偏导数与全微分- 多元函数的极值问题8. 重积分与曲线积分- 二重积分与三重积分- 对坐标的曲线积分- 格林公式与斯托克斯定理#### 二、线性代数基础1. 向量空间- 向量空间的定义与性质- 基、维数与坐标变换2. 线性变换- 线性变换的定义与矩阵表示 - 特征值与特征向量3. 矩阵理论- 矩阵的运算- 矩阵的秩与逆- 矩阵的分解4. 线性方程组- 高斯消元法- 克拉默法则- 线性方程组解的结构5. 二次型- 二次型的定义与标准形- 正定二次型6. 特征值问题与矩阵的对角化- 特征多项式与最小多项式- 矩阵的对角化条件与方法#### 三、概率论与数理统计基础1. 随机事件与概率- 事件的概率定义- 概率的加法公式与乘法公式2. 随机变量及其分布- 离散型随机变量与连续型随机变量- 常见分布：二项分布、泊松分布、正态分布3. 多维随机变量及其分布- 联合分布与边缘分布- 条件概率与独立性4. 随机变量的数字特征- 数学期望、方差、协方差与相关系数5. 大数定律与中心极限定理- 切比雪夫不等式- 几种大数定律- 中心极限定理6. 数理统计基础- 抽样分布- 参数估计：点估计与区间估计- 假设检验#### 四、复习策略与方法- 理解概念：深入理解数学概念和定理，掌握其内涵和外延。
考研314数学(农)大纲
数学（农）大纲一、函数、极限、连续函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系.2。
了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3。
理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
5。
了解数列极限和函数极限(包括左极限和右极限)的概念.6了解极限的性质与极限存在的两个准则,掌握极限的四则运算法则,掌握利用两个重要极限求极限的方法。
7理解无穷小量的概念和基本性质,掌握无穷小量的比较方法,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
8。
理解函数连续性的概念（含左连续与右连续）,会判断函数间断点的类型。
9。
了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）,并会应用这些性质。
二、一元函数微分学导数和微分的概念导数的几何意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数和隐函数的微分法高阶导数微分中值定理洛必达(L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数的最大值与最小值1。
理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程。
2。
掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会求分段函数的导数，会求隐函数的导数。
3。
了解高阶导数的概念,掌握二阶导数的求法。
考研数学一全部知识点总结
考研数学一全部知识点总结考研数学一是考研数学中难度较大的一门科目，涵盖了众多的知识点。
以下是对考研数学一全部知识点的总结：一、高等数学1、函数、极限、连续函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限。
无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较。
极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则。
两个重要极限：sin x/x → 1（x → 0），（1 ＋ 1/x)＾x → e（x → ∞）。
函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）。
2、一元函数微分学导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系。
导数的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法。
高阶导数的概念，某些简单函数的 n 阶导数。
微分中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。
洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线。
3、一元函数积分学原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式。
定积分的概念和基本性质，定积分中值定理。
积分上限的函数及其导数，牛顿莱布尼茨公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法。
反常积分的概念和计算，定积分的应用（平面图形的面积、旋转体的体积、功、引力、压力等）。
4、向量代数和空间解析几何向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向量积，向量的混合积。
两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角。
向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向余弦，向量的模。
平面方程和直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件，点到平面和点到直线的距离。
曲面方程和空间曲线方程，常见的曲面（如球面、柱面、旋转曲面）和空间曲线（如空间曲线在坐标面上的投影曲线）。
考研数学备考各个阶段的复习建议及资料
考研数学备考各个阶段的复习建议及资料考研数学备考各个阶段的复习建议及资料推荐数学是一个比较抽象的学科，复习起来并不容易，所以基础差的同学一定要早早地开始复习。
店铺为大家精心准备了考研数学备考阶段复习意见和资料指导，欢迎大家前来阅读。
考研数学备考阶段复习意见和资料基础阶段(现在——20xx.6)基础阶段的主要任务是复习基础知识，掌握基本解题能力。
主要工作是把课本上的重要公式、定理、定义概念等熟练掌握，将课本例题和习题研究透彻。
复习完基础知识之后要做课后习题，进行知识巩固，确保能够准确、深刻地理解每一个知识点。
【切忌】1.先做题再看书。
2.做难题。
这一阶段不易做难题。
难的题目往往会打击考生基础阶段复习的信心，即使答案弄懂了也达不到复习的效果。
【复习建议】1.以教材中的例题和习题为主，不适宜做综合性较强的题目。
做习题时一定要把题目中的考点与对应的基础知识结合起来，达到巩固基础知识的目的，切忌为了做题而做题。
2.在18考研大纲出来之前，不要轻易放弃任何一个知识点。
在基础复习阶段放弃的知识点，非常有可能成为后期备考的盲点，到最后往往需要花更多的时间来弥补。
3.准备一个笔记本，用来整理复习当中遇到过的不懂的知识点。
弄懂后，写上自己的理解，并且将一些易出错、易混淆的概念、公式、定理内容记录在笔记本上，定期拿出来看一下，避免遗忘出错。
4.对于基本知识、基本定理和基本方法，关键在理解，并且存在理解程度的问题。
所以不能仅仅停留在“看懂了”的层次上。
对一些易推导的定理，有时间一定要动手推一推;对一些基本问题的描述，特别是微积分中的一些术语的描述，一定要自己动手写一写。
这些基本功都很重要，到临场考试时就可以发挥作用了。
PS：复习不下去的时候建议看看数学视频。
【基础阶段复习教材】数学考试大纲：可先对照17考研大纲复习，一般变动不大。
高数：同济版，讲解比较细致，例题难度适中，涉及内容广泛，是现在高校中采用比较广泛的教材，配套的辅导教材也很多。
数字特征
4 数字特征基本要求1．理解数学期望与方差的概念，熟练掌握它们的性质与计算。
2．会计算随机变量函数的数学期望。
3．熟练掌握二项分布、泊松分布、正态分布的数学期望与方差。
了解均匀分布、指数分布等分布的数学期望与方差。
熟记一些常用的结果，并能灵活运用。
4．理解随机变量的独立性与不相关性之间关系，了解矩、协方差、相关系数等的概念与性质，熟练掌握其计算公式及应用。
疑难解答1、为什么要研究随机变量的数字特征？答：从前面的讨论中知道，随机变量的分布函数(分布律或概率密度)全面描述了随机变量的统计规律性。
但是，一方面要求出随机变量的分布函数有时并不容易，另一方面，在许多实际问题中，这种全面描述有时并不方便。
举例来说，要比较两个班级学生的学习情况，如果仅考察考试的成绩分布，有高有低、参差不齐，难以看出哪个班的成绩更好一些。
通常是比σ（方差），一般较平均成绩μ（期望）以及该班每个学生的成绩与平均成绩的偏离程度2总是认为平均成绩高、偏离程度小的班级当然学习情况好些。
这种“平均成绩”、“偏离程度”显然不是对考试成绩这个随机变量的全面描述，但它们确实反映了考试成绩这个随机变量的某些特征。
这样的例子还可以举出很多：比较不同品种农作物的产量，通常只需比较平均亩产量μ；比较两种钢材的抗拉强度，只需比较它们的平均抗拉强度μ；检查一批棉花的质量，只需了解这批棉花的平均纤维长度μ及这批绵花的纤维长度与平均纤维长度的偏离程σ等等。
由这些例子可以看到，某些与随机变量有关的数值，虽然不能完整地描述随机度2变量，但比较集中地概括了人们所关心的某些特征，我们把描述随机变量某些特征的数字，称为随机变量的数字特征。
这些数字特征在理论上和实践上都具有重要意义。
2、如何理解数学期望和方差？它有什么作用？答：数学期望和方差是描述随机变量ξ的两个最重要的数字特征，数学期望的实际意义就是在随机试验中可能取值的理想（或期望）平均值，因此数学期望有时也称为数学理想，它是概率意义上的平均值，这和通常数值意义上平均值不同，否则就无所谓期望或理想了。
考研数一概率论大纲
考研数一概率论大纲摘要：一、考研数学一概率论大纲概述1.考试要求和内容2.考试形式和试卷结构3.概率论在考研数学一中的重要性二、随机事件及其概率1.随机试验和样本空间2.事件和概率3.概率公理体系4.条件概率和独立性三、随机变量及其分布1.随机变量的概念和性质2.离散型随机变量及其分布律3.连续型随机变量及其概率密度4.随机变量的函数及其分布四、多维随机变量及其分布1.多维随机变量的联合分布2.边缘分布和条件分布3.随机变量的独立性4.多维随机变量的函数及其分布五、随机变量的数字特征1.数学期望2.方差和标准差3.协方差和相关系数4.大数定律和中心极限定理六、极限定理和收敛性1.极限定理的概念和分类2.收敛性的定义和性质3.常见随机序列的收敛性4.收敛速度和稳定性正文：考研数学一概率论大纲主要包括随机事件及其概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征以及极限定理和收敛性等内容。
首先，随机事件及其概率部分主要涉及随机试验和样本空间、事件和概率、概率公理体系以及条件概率和独立性等内容，这些内容是概率论的基础知识，对于理解后续内容至关重要。
其次，随机变量及其分布部分包括随机变量的概念和性质、离散型随机变量及其分布律、连续型随机变量及其概率密度以及随机变量的函数及其分布等内容，这部分内容是概率论的核心，需要深入理解和掌握。
再次，多维随机变量及其分布部分主要涉及多维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布、随机变量的独立性以及多维随机变量的函数及其分布等内容，这部分内容对于理解和分析复杂随机现象具有重要意义。
接下来，随机变量的数字特征部分包括数学期望、方差和标准差、协方差和相关系数以及大数定律和中心极限定理等内容，这些内容是概率论的重要应用，对于解决实际问题具有重要意义。
最后，极限定理和收敛性部分主要涉及极限定理的概念和分类、收敛性的定义和性质、常见随机序列的收敛性以及收敛速度和稳定性等内容，这部分内容是概率论的深入研究，对于理论研究和实际应用具有重要意义。
陈文灯解析考研数学大纲及备考指导
陈文灯解析2010年考研数学大纲及备考指导主持人：各位网友大家好，欢迎来到中国教育在线嘉宾聊天室。
2010年考研数学大纲已正式公布，今天我们非常荣幸邀请到全国考研数学辅导专家陈文灯老师作客我们嘉宾聊天室，陈老师您好。
陈文灯：主持人好，广大的考研朋友，大家下午好。
主持人：2010年考研大纲相比于2009年来说，主要有哪些方面的调整，请您跟我们谈一下这方面的情况。
陈文灯：我昨天晚上花了一个多钟头看了看，仔细比较了一下，基本上没有什么变化。
虽然没有变化，但是我还是要说一下如何利用我们的《大纲》。
我们的《大纲》对于概念、定义、定理、公式要求有两个层次，一个层次是了解、理解，了解当然是低层次的，理解是高层次的，对于计算也有两个层次的要求，低档次就是会，高档次就是掌握。
我们考研朋友千万不要受到《大纲》文字上的影响，认为只有"理解"、"掌握"的才会考，最低层次的"了解"、"会"就不看了，不是这样的，我个人理解《大纲》提出哪个考点和知识点，我们就应该花功夫把这部分内容复习到。
千万不要只复习那些高层次要求的，如果是这样的话，将来我们会后悔的。
所以《大纲》要求的内容要系统的、不遗漏的进行复习。
主持人：针对今年数学大纲没有任何变化，下阶段离考试只剩下几个月的时间了，考生应该怎样来合理和有效的安排自己的复习呢？在这方面，陈老师有什么宝贵的建议？陈文灯：咱们广大考生，我认为现在如果说还没有动手，那应该说稍微晚了，因为数学和其他的课程不一样，其他的课程比方说政治，他是要我们把有些东西牢牢的记一记，侧重面主要是考我们记忆方面的，而我们数学不光是考记忆，主要是考我们理解能力，所以数学相对来说讲，复习起来比较难。
我认为，从现在开始，我们应该找一本比较合适的辅导书，然后如果有条件可以参加一个辅导班，没有条件自己好好的看，也是可以成功的。
06年6月底我到杭州做讲座，在电子科技大学去讲座，开始的时候，见到了一个个子不高的小男孩，见了我深深鞠了一躬，我当时很吃惊，说这是干什么呢？这个小男孩说，我感谢你帮我考好了数学，我说你考多少，他说我考了150分，我说你考的数学几啊，他说数三，我马上问他，你什么时候听我的课，这个小伙子说，我没有听过你的课，我当时心里很沉重，觉得是不是上了别人的课考好了，然后过来奚落我的，这个小伙子可能看出来了，说陈老师我谁的课也没有听，我就看书了，我说你看谁的书，他说我只看你的书，我说我的书你都看了，很多书呢？我说你看的哪本？他说看的《复习指南》，我说你看了几遍，这个小伙子说看了6遍，说着就把身后的手中的书拿出来，我看到书都破了，里面红笔、蓝笔、铅笔都画乱了，我开玩笑说，你可不要把这本书借给你的师弟师妹看，这个小伙子说我才不让他们看呢，我要珍藏起来。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
离散 P X xi pi , 连续 X ~ f ( x ) ,
E( X ) xi pi
i
E( X )
xf ( x )dx
2
方差： D( X ) E( X E( X ))2 E( X 2 ) E( X ) 标准差： D( X ) ,
1°
Cov ( X , Y ) Cov (Y , X )
2° Cov(aX , bY ) abCov( X , Y ) 3° Cov( X 1 X 2 , Y ) Cov( X 1 , Y ) Cov( X 2 , Y ) 4°
求 Z 3 X 2 的数学期望.
例3、 设有超几何分布
i n i CM CN M P( X i ) , (i 0,1,2,, n N , i M ) ， n CN
求随机变量 X 的数学期望.
例 4、 （03）已知甲、乙两箱中装有同种产 品。其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次 品；乙箱中仅装有 3 件合格品。从甲箱中 任取 3 件产品放入乙箱后， 求： （1）乙箱中次品件数 X 的数学期望； （2） 从乙箱中任取一件产品是次品的 概率.
D( X ) D(Y ) 2 D( X ) D(Y )
5° D( X ) E ( X C ) ,
2
C E( X )
4、常见分布的期望与方差 （1）两点分布： X ~ (0 1) ， 0 p 1 ，
E( X ) p ， D( X ) p(1 p) ；
2 2
的数学期望与方差.
例 9、假设公共汽车起点站于每时的10 分， 30 分， 50 分发车， 某乘客不知发车的时间， 在每小时内任一时刻到达车站是随机的， 求乘客到车站后等车时间的数学期望.
例 10、设 X ～ N (1,2) ，Y ～ P ( 3) 且它们相互独 立，求 D( XY ) .
三、协方差，相关系数与随机变量的矩 1、重要公式与概念：
相关系数 XY
协方差 Cov( X,Y ) E ( X E ( X )(Y E (Y ))
Cov( X,Y ) D( X ) D(Y )
k
k阶原点矩
E( X )
k
k阶中心矩 E ( X E ( X ))
2 性质：
，
2
；
（8）正态分布： X ~ N ( , 2 ) ，
E( X ) ，
D( X ) 2 ；
例1、 从学校乘汽车到火车站的途中有三个 交通岗，设在各个交通岗遇到红灯的事
2 件是相互独立的，其概率均为 ，求途 5
中遇到红灯次数的数学期望.
例 2、设
k 0,1,2,
2k 2 X ~ P ( 2) ， 即 ： PX k e ， k!
（2）二项分布： X ~ B(n, p) ，
E ( X ) np ， D( X ) np(1 p) ；
（3）Poisson 分布： X ~ P ( ) ，
E( X ) ， D( X ) ；
（4）超几何分布：
k n k CM CN M X ~ H ( N , M , n) ， pk PX k ， n CN
二、随机变量函数的期望（或方差）
1、一维的情形
Y g( X )
离散型： P{ X xi } pi ， 连续型： X ~
f ( x)
E (Y ) g( xi ) pi
i
E (Y )
g( x ) f ( x )dx
2、二维的情形
Z g( X , Y )
离散型 ( X ,Y ) ~ PX xi ,Y yi pij ,
3. 方差的性质：
1° 2° 3°
D(C ) 0, D( E ( X )) 0, D( D( X )) 0 X与Y相互独立，则 D( X Y ) D( X ) D(Y )
D(C1 X C2 ) C D( X )
2 1
4° 一般有 D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2Cov(X , Y )
1 p ； 2 p
（6）均匀分布： X ~ U (a, b) ，
ab E( X ) ， 2
(b a ) 2 D( X ) ； 12
（7）指数分布： X ~ E ( ) ，
e x f ( x) 0
E( X ) 1 x0 ， x0 D( X ) 1
M M M N n E( X ) n ， D( X ) n (1 ) ； (n M ) N N N N 1
（5）几何分布： X ~ G( p) ，
pk PX k (1 p) k 1 p ， k 1,2, ，.
E( X ) 1 ， p
D( X )
2. 期望的性质：
1° E (C ) C , E ( E ( X )) E ( X ) 2° E(C1 X C2Y ) C1 E( X ) C2 E(Y ) 3° 若X与Y独立， 则E ( XY ) E( X ) E(Y ) 4° E( XY )2 ≤E( X 2 ) E (Y 2 )
例5、 n 片钥匙中只有一片能打开房门, 现从 中任取一片去试开房门, 直到打开为止. 试在下列两种情况下分别求试开次数的 数学期望与方差: (1) 试开过的钥匙即被除去; (2) 试开过的钥匙重新放回.
例 6、 设有 20 人在某 11 层楼的底层 乘电梯上楼 , 电梯在中途只下不上 , 每个乘客在哪一层 (2-11 层 ) 下是等 可能的, 且乘客之间相互独立, 试求 电梯须停次数的数学期望.
E( Z )
i
g( x , y ) p
i j j
ij)
f ( x, y ) ,
g( x, y ) f ( x, y )dxdy
例 7、对圆的直径作近似测量，其值均匀 地分布在 [a, b] 内，求圆面积的数学期望.
例 8、 设 X 与 Y 独立且均服从 N (0，1)， 求 Z＝ X Y