06 第六讲 平面 下
六年级下册数学- 平面图形的认识复习丨苏教版ppt优秀课件
（2）从直线外一点到这条直线可以画（无数）条线段， 其中（ 垂直线段）最短。
（3）判断： 不相交的两条直线互相平行
（× ）
钟面上分针走3圈， 时针转动的角度是180°
（× ）
练习与实践
综合练习
（4）A点到已知直线的距离是（1.5）厘米
A
B
测量点A到直线的垂直线段的长度
A、B两点间的距离是（ 2 ）厘米
练习与实践
基本练习
以O为顶点，OA为边画出120°的角
A
O
把量角器的中心与角的O点重合 0°刻度线与射线OA重合 （注意0°刻度线在内圈还是外圈） 找到并标出指定度数所对应的点，从O点画出射线
练习与实践
综合练习
（1）在同一平面内，如果直线a 、直线b都与直线c互相 垂直，那么直线a、直线b一定（互相平行）。
测量线段AB的长度
过A点画已知直线的平行线，
过B点画已知直线的垂线。
1.弯弓射鸿、麻衣冲风、饮酒高歌都 是诗人 排解心 头苦闷 与抑郁 的方式 。 2.诗人虽不得不接受生活贫穷的命运 ，但意 志并未 消沉， 气概仍 然豪迈 。 3.诗中形容春柳的方式与韩愈《早春 呈水部 张十八 员外》 相同， 较为常 见。 4.本诗前半描写场景，后半感事抒怀 ，描写 与抒情 紧密关 联，脉 络清晰 。 5．诗人亲自参与田间劳作，不仅快乐 地拿起 农具耕 种，还 面带笑 容鼓励 农人们 积极从 事劳动 。 6．这首诗融说理、叙事、写景、抒情 于一体 ，意境 清淡悠 远，语 言平白 如话， 富有表 现力。 7.词的开头四句，先写对方行程，再 写自己 的多病 与离愁 ，暗含 蹉跎失 志的惆 怅。
练习与实践
基本练习
在天然气主管道两侧的A、B 两个小区各接一条管道与主 管道连通，怎样接管道最节 省？在图中画出来。
06第六讲 Z变换的性质
Y(z)的收敛域为X(z)、H(z)收敛域的公共部分。 若有极点被
抵消，收敛域可扩大。
证 Y ( z ) Z [ x( n) h(n)]
n
[ x(n) h(h)]z n
n
n m
x ( m) h ( n m) z
第2章 Z变换 2. 序列的移位
Z[ x(n m)] z m X ( z)
Rx | z | Rx
(1-80)
位移m可以为正（右移）也可以为负（左移）。 证
Z [ x(n m)]
n
x(n m) z n z m
k
x( k ) z k z m X ( z )
证
Z [ x (n)]
*
n
x ( n) z
*
n
n *
[ x(n)(z )
* n *
]
* n * * x(n)(z ) X ( z ) n
Rx | z | Rx
第2章 Z变换 6. 翻褶序列
1 Z[ x(n)] X z
9. 序列卷积（卷积定理）
若
y ( n ) x ( n ) h ( n)
则
m
x(m)h(n m)
Y ( z ) Z [ y(n)] X ( z ) H ( z ) max[Rx , Rh ] | z | min[Rx , Rh ]
(1-88)
第2章 Z变换
V平面收敛域为
(1-90)
|z| |z| max Rx , | v | min Rx , Ry Ry
【数学】平面课件 2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
又 A ∈ l ， B ∈ l ，所以 l ⊂ α .
则 a ， b ， l 都在平面 α 内，即 b 在 a ， l确定的平面内.
同理可证c 在 a ， l确定的平面内.
因为过a 与 l 只能确定一个平面，
所以 a ， b ， c ， l 共面于 a ， l 确定的平面.
反思感悟
方法总结
证明点、线共面的方法
所以由基本事实3可得 P ∈ BD .
新知运用
跟踪训练4 (2)已知△在平面外，∩=，∩=，∩=，如图.求证：，
， 三点共线.
【解析】∵ AB ∩ α = P ，
∴ P ∈ AB ， P ∈ 平面 α .
又 AB ⊂ 平面 ABC ， ∴ P ∈ 平面 ABC .
第八章 立体几何初步
8.4空间点、直线、平面之间的位置关系
课时1 平面
探究一：平面
新知探究
情境设置
思考：点和线我们在小学初中阶段已经有了一定的研究，那么类比线的定义，
你能知道什么是平面吗?
平整的路面
平静的海面
桌面、黑板面
平面的形象
面和点、直线一样是不
加定义的最基本、最原
始的几何概念.那么你能
否抽象出平面的特征呢?
新知生成
知识点一 平面
1.平面的概念
几何里所说的“平面”是从课桌面、黑板面、平静的湖面这样的一些物体中抽
象出来的.几何里的平面是无线延伸的，是没有宽度和厚度的.
平面的特征：
①平；②无厚薄、无大小；
③无限延展的、没有边界；
④平面是由空间的点、线组成的无限集合；
新知生成
知识点一 平面
2.平面的画法
(1)常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.如图①.
小学数学竞赛第六讲 简单几何体的表面积与体积的计算
第六讲简单几何体的表面积与体积的计算一、四种常见几何体的平面展开图1.正方体沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，见图6—1。
图6─l只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。
2.长方体沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。
这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，见图6—2。
图6—2只是长方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。
3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图。
它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱体的高。
这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。
图6—3就是圆柱的平面展开图。
4.（直）圆锥体沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。
它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。
具体图形见图6—4。
二、四种常见几何体表面积与体积公式1.长方体长方体的表面积=2×（a×b+b×c+c×a）长方体的体积=a×b×c（这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。
2.正方体正方体的表面积=6×a2正方体的体积=a3（这里a为正方体的棱长）。
3.圆柱体圆柱体的侧面积=2πRh圆柱体的全面积=2πRh+2πR2=2πR（h+R）圆柱体的体积=πR2h（这里R表示圆柱体底面圆的半径，h表示圆柱的高）。
4.圆锥体圆锥体的侧面积=πRl圆锥体的全面积=πRl+πR2母线长与高）。
三、例题选讲例1 图6—5中的几何体是一个正方体，图6—6是这个正方体的一个平面展开图，图6—7（a）、（b）、（c）也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。
8.4.1平面课件高一下学期数学人教A版必修第二册第八章
素养 提升
(1)点共线与线共点的证明方法 ①证明多点共线通常用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性. 通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上， 也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上. ②证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的 两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外 还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与 另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.
文字语言 A在l上
符号语言 A∈l
图形语言
A在l外
A∉l
A在α内
A∈α
A在α外
A∉α
l在α内 l在α外 l，m相交于A l，α相交于A α，β相交于l
_l_⊂_α__ l⊄α
l∩m＝A __l∩__α_＝__A__ __α_∩__β_＝__l _
知识点三 平面的基本性质及作用
1.三个基本事实
基本事实
4.(多选)下图中图形的画法正确的是
√
√
√
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则
√A.l⊂α
C.l∩α＝M
B.l⊄α D.l∩α＝N
解析 ∵M∈a，a⊂α，∴M∈α， 又∵N∈b，b⊂α，∴N∈α， 又M，N∈l，∴l⊂α.
知识点一 平面
1.平面的概念 几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等这 样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中 的平面是向四周 无限延展 的.
2.平面的画法
我们常用矩形的直观图，即 平行四边形 表示平面
画法
暑假提高班讲义……第六讲 平面向量(二)(解析版)
第六讲 平面向量（二）1知识梳理————————————1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]． 2．3.设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .(4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ； (2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离AB ＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 21y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 6．向量在平面几何中的应用(1)(2)平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题． 7．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ(θ为F 与s 的夹角)．8．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题． 【知识拓展】1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b >0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b <0且a ，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2.3．若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.4．若直线l 的方程为：Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”(1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ ) (2)向量b 在向量a 方向上的投影是向量．( × ) (3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．( × )(4)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ )(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( √ )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × )(5)两个向量的夹角的范围是[0，π2]．( × )2考点自测————————————1．(教材改编)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k 等于( ) A ．－12 B ．6 C ．－6 D ．12 答案 D解析 ∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )， 由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0，∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12. 2．(2017·南宁质检)已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝1，|2a －b |＝1，则|b |等于( ) A. 6 B. 5 C. 3 D. 2 答案 C解析 由题意可得a·b ＝|b |cos 30°＝32|b |,4a 2－4a·b ＋b 2＝1，即4－23|b |＋b 2＝1，由此求得|b |＝3，故选C.3．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →等于( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 A解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)． ∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5. 4．(2016·北京)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________．答案 π6解析 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a ||b |＝1×3＋1×312＋(3)2·12＋(3)2＝234＝32， 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π6.5．(2016·厦门模拟)设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝________. 答案 10解析 ∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，即x －2＝0，∴x ＝2，∴a ＝(2,1)，∴a 2＝5，b 2＝5， ∴|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝5＋5＝10.6．(教材改编)已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 答案 B解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →＝(－6，－6)， ∴|AB →|＝22＋(－2)2＝22，|AC →|＝16＋64＝45，|BC →|＝36＋36＝62， ∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2，∴△ABC 为直角三角形．7．已知在△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →|等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案 D解析 在△ABC 中，由余弦定理可得，AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝BC 2，又AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝－16，所以AB 2＋AC 2＋32＝100，AB 2＋AC 2＝68.又D 为边BC 的中点，所以AB →＋AC →＝2AD →，两边平方得4|AD →|2＝68－32＝36，解得|AD →|＝3，故选D.8．(2017·武汉质检)平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是____________． 答案 x ＋2y －4＝0解析 由OP →·OA →＝4，得(x ，y )·(1,2)＝4，即x ＋2y ＝4. 9．(2016·银川模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值为________． 答案 4解析 设a 与b 夹角为α， ∵|2a －b |2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝8－4|a||b |cos α＝8－8cos α，∵α∈[0，π]，∴cos α∈[－1,1]，∴8－8cos α∈[0,16]，即|2a －b |2∈[0,16]，∴|2a －b |∈[0,4]． ∴|2a －b |的最大值为4.5．已知一个物体在大小为6 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为100 m ，且F 与s 的夹角为60°，则力F 所做的功W ＝________ J. 答案 300解析 W ＝F ·s ＝|F ||s |cos 〈F ，s 〉＝6×100×cos 60°＝300(J).3典型例题————————————例1 (1)(2016·天津)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58 B.18 C.14 D.118(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为_______；DE →·DC →的最大值为_____．答案 (1)B (2)1 1解析 (1)如图，由条件可知BC →＝AC →－AB →， AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·(12AB →＋34AC →)＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2.因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°，所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.(2)方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1. 方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1，∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1. 思维升华 平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)利用数量积的几何意义求解．(1)(2016·全国丙卷)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° (2)(2015·天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．答案 (1)A (2)2918解析 (1)∵|BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32，又∵0°≤∠ABC ≤180°，∴∠ABC ＝30°.(2)在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，∴CD ＝1， AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋16DC →，∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋23BC →·⎝⎛⎭⎫AD →＋16DC →＝AB →·AD →＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC →＝2×1×cos 60°＋2×16＋23×12×cos 60°＋23×16×12×cos 120°＝2918.例2 (1)(2016·西安模拟)已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a|＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC→＝2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD →|＝________.(2)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 答案 (1)2 (2)7＋1解析 (1)因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b·a ＋b 2)＝4×(3－2×2×3×cos π6＋4)＝4，所以|AD →|＝2.(2)设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1，知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆．又O A →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值．∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为(3－1)2＋(0＋3)2＝7，故(x －1)2＋(y ＋3)2的最大值为7＋1.即|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是7＋1.例3 (1)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝_______.(2)若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________________．答案 (1)223 (2)⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3 解析 (1)因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×12×cos α＋4＝9，所以|a |＝3， 因为b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×12×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8， 所以cos β＝a ·b |a ||b |＝83×22＝223.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c ＜0，即(2k －3，－6)·(2,1)＜0， ∴4k －6－6＜0，∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3. 思维升华 平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a·b|a||b |，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a·a ＝|a |2或|a |＝a·a . ②|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a·b ＋b 2. ③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.(1)(2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.(2)在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( ) A. 2 B ．2 C. 6 D ．6 答案 (1)9 (2)C解析 (1)因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.(2)∵AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →|·cos 120°＝－1，即|AB →|·|AC →|＝2， ∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6，∴|BC →|min ＝ 6.例4 (2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0，所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．(1)已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且OA →⊥OB →，则tan α的值为( )A ．－43B ．－45 C.45 D.34(2)已知向量a ＝(－12，32)，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积为________． 答案 (1)A (2)1解析 (1)由题意知6sin 2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0， 上述等式两边同时除以cos 2α，得6tan 2α＋5tan α－4＝0，由于α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则tan α＜0，解得tan α＝－43，故选A. (2)由题意得，|a |＝1，又△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA →⊥OB →，|OA →|＝|OB →|. 由OA →⊥OB →得(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝0，所以|a |＝|b |， 由|OA →|＝|OB →|得|a －b |＝|a ＋b |，所以a·b ＝0.所以|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＝2，所以|OB →|＝|OA →|＝2，故S △OAB ＝12×2×2＝1.例5 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________.(2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心答案 (1)12(2)C解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1. ∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. (2)由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心． 引申探究本例(2)中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________． 答案 内心解析 由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心．思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．(1)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________． 答案 (1)A (2)5解析 (1)AB →|AB →|，AC →|AC →|分别为平行于AB →，AC →的单位向量，由平行四边形法则知AB →|AB →|＋AC →|AC →|为∠BAC 的平分线．因为(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos ∠BAC ＝12，所以cos ∠BAC ＝12，又0<∠BAC <π，故∠BAC ＝π3， 所以△ABC 为等边三角形．(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝y .则D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，y )，P A →＝(2，－y )，PB →＝(1，a －y )， 则P A →＋3PB →＝(5,3a －4y )，即|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4y )2， 由点P 是腰DC 上的动点，知0≤y ≤a .因此当y ＝34a 时，|P A →＋3PB →|2的最小值为25.故|P A →＋3PB →|的最小值为5.例6 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x＝___________.答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)±3解析 (1)∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0，解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.(2)∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ，由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即y x ＝±3.思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．(2016·合肥模拟)如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为________．答案 －92解析 ∵圆心O 是直径AB 的中点，∴P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →， ∵PO →与PC →共线且方向相反，∴当大小相等时，乘积最小．由条件知，当PO ＝PC ＝32时，最小值为－2×32×32＝－92.例7 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是________．答案 18解析 因为OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，所以OA →·OB →＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1,1)时，z max ＝2×1＋1＝3，目标函数z ＝2x ＋y 过点F (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ，所以3＝8×3a ，解得a ＝18.例8 (2016·合肥模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则△ABC 最小角的正弦值等于( ) A.45 B.34 C.35 D.74 答案 C解析 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0，∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0，∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴△ABC 最小角为角A ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝169a 2＋259a 2－a 22×43a ×53a ＝45，∴sin A ＝35，故选C.例8 如图，一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．27B ．2 5C ．2D ．6 答案 A解析 如题图所示，由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－(F 1＋F 2)，即F 23＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝F 21＋F 22＋2|F 1|·|F 2|·cos 60°＝28.故|F 3|＝27.思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．(1)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是______．(2)已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2，3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________． 答案 (1)3 (2)3解析 (1)由图象可知，M ⎝⎛⎭⎫12，1，N ()x N ，－1，所以OM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N－1＝0， 解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎫2－12＝3. (2)∵OP →＝(x ，y )，OM →＝(1,1)，ON →＝(0,1)，OQ →＝(2,3)，∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，OQ →·OP →＝2x ＋3y ，即在⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识得，当x ＝0，y ＝1时，z max ＝3.第五讲 平面向量（二）1．(2016·北师大附中模拟)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0答案 D2．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |等于( )A ．22＋ 3B ．2 3C ．4D ．12 答案 B解析 |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 60°＝4＋4＋2×2×2×12＝12，|a ＋b |＝2 3.3．(2016·山西四校二联)已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 夹角的正弦值为( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32答案 D解析 ∵a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝22＋2×1×cos 〈a ，b 〉＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝32.4．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 C解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0， 2AC →·BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|，故△ABC 一定是直角三角形．5．(2016·山东)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94答案 B解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.6．(2016·南宁模拟)已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)且a ∥b ，则sin 2α等于( )A ．3B ．－3 C.45 D ．－45答案 D解析 由a ∥b 得cos α＋2sin α＝0，∴cos α＝－2sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2α＝1，sin 2α＝15，cos 2α＝45，sin 2α＝2sin αcos α＝－cos 2α＝－45.7．(2016·武汉模拟)设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 等于( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 C解析 依题意得3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )，3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，3sin C ＋cos C ＝1,2sin(C ＋π6)＝1，sin(C ＋π6)＝12.又π6<C ＋π6<7π6，因此C ＋π6＝5π6，C ＝2π3.8．如图，在△ABC 中，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →等于( ) A.89 B.109 C.259 D.269 答案 B解析 若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即有AB →·AC →＝0.E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →＝(AC →＋CE →)·(AB →＋BF →)＝⎝⎛⎭⎫AC →＋13CB →·⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →＝⎝⎛⎭⎫23AC →＋13AB →·⎝⎛⎭⎫13AC →＋23AB →＝29AC →2＋29AB →2＋59AB →·AC →＝29×(1＋4)＋0＝109.故选B. 9．(2017·驻马店质检)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 答案 C解析 因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即CB →·(AB →＋AC →)＝0，因为AB →－AC →＝CB →，所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形，故选C.10．若△ABC 外接圆的圆心为O ，半径为4，OA →＋2AB →＋2AC →＝0，则CA →在CB →方向上的投影为( )A ．4 B.15 C.7 D ．1 答案 C解析 如图所示，取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，则由平面向量的加法的几何意义得AB →＋AC →＝2AD →.又由条件得，AB →＋AC →＝－12OA →＝12AO →，所以2AD →＝12AO →，即4AD →＝AO →，所以A ，O ，D 共线．所以OA ⊥BC ，所以CD 为CA →在CB →方向上的投影．因为|AO →|＝|CO →|＝4，所以|OD →|＝3，所以|CD →|＝ |OC →|2－|OD →|2＝7.11．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)的值为________． 答案 －4解析 由题意得，AP ＝2，PM ＝1，所以P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·2PM →＝2×2×1×cos 180°＝－4.12．在△ABC 中，AB →·BC →＝3，△ABC 的面积S ∈[32，32]，则AB →与BC →夹角的取值范围是________．答案 [π6，π4]解析 由三角形面积公式及已知条件知32≤S △ABC ＝12AB ·BC sin B ≤32，所以3≤AB ·BC sin B ≤3，①由AB →·BC →＝3，知AB ·BC cos(π－B )＝3，所以AB ·BC ＝－3cos B，代入①得，3≤－3sin B cos B ≤3，所以－1≤tan B ≤－33，所以3π4≤B ≤5π6，而AB →与BC →的夹角为π－B ，其取值范围为[π6，π4]．13．在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________. 答案 －8解析 设∠CAB ＝θ，AB ＝BC ＝a ，由余弦定理得：a 2＝16＋a 2－8a cos θ，∴a cos θ＝2， ∴CA →·AB →＝4×a ×cos(π－θ)＝－4a cos θ＝－8.14．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3.以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为______． 答案 3解析 ∵|a ＋b |2－|a －b |2＝4a·b ＝4|a ||b |cos π3＝4>0，∴|a ＋b |>|a －b |，又|a －b |2＝a 2＋b 2－2a·b ＝3，∴|a －b |＝ 3. 15．(2016·江西白鹭洲中学调研)已知在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB上的中点，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝________. 答案 4解析 由题意可建立如图所示的坐标系，可得A (2,0)，B (0,2)，P (1,1)，C (0，0)，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝CP →·(CB →＋CA →)＝2CP →2＝4.16．(2015·福建改编)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC→|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于________． 答案 13解析 建立如图所示坐标系，则B ⎝⎛⎭⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝⎛⎭⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝⎛⎭⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)， ∴P (1,4)，PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝⎛⎭⎫1t ＋4t ≤17－21t·4t ＝13. 17．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解 (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，所以4|a |2－4a·b －3|b |2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a·b －27＝61，所以a·b ＝－6，所以cos θ＝a·b|a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，所以θ＝23π.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13， 所以|a ＋b |＝13.(3)因为AB →与BC →的夹角θ＝23π，所以∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|·sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sinB )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a ＞b ，所以A ＞B ，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35，解得c ＝1， 故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.19．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b ＞0)， 则P A →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.①由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝⎛⎭⎫32x ，32(y －b )， ∴⎩⎨⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎨⎧a ＝－x 2，b ＝y3.∴b ＞0，y ＞0，把a ＝－x 2代入①，得－x 2⎝⎛⎭⎫x ＋x 2＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．∴动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)．20．已知角A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其所对边长，向量m ＝(23sin A 2，cos 2A2)，n ＝(cosA2，－2)，m ⊥n . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，cos B ＝33，求b 的长．解 (1)已知m ⊥n ，所以m·n ＝(23sin A 2，cos 2A 2)·(cos A2，－2)＝3sin A －(cos A ＋1)＝0，即3sin A －cos A ＝1，即sin(A －π6)＝12，因为0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6.所以A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)在△ABC 中，A ＝π3，a ＝2，cos B ＝33，sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－13＝63.由正弦定理知a sin A ＝b sin B ，所以b ＝a ·sin Bsin A ＝2×6332＝423.*21．(2016·青岛模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，又点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )(0≤θ≤π2)．(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →.解 (1)由题设知AB →＝(n －8，t )，∵AB →⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0.又∵5|OA →|＝|AB →|，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8.当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8，∴OB →＝(24,8)或OB →＝(－8，－8)．(2)由题设知AC →＝(k sin θ－8，t )，∵AC →与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16，t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k (sin θ－4k )2＋32k.∵k >4，∴0<4k <1，∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k.由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC →＝(4,8)，∴OA →·OC →＝(8,0)·(4,8)＝32. *22.已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC→－12PQ →)＝0. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任意一条直径，求PE →·PF →的最值． 解 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0，得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(2－x )2＋(－y )2－14(8－x )2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.∴动点P 在椭圆上，其轨迹方程为x 216＋y212＝1.(2)∵PE →＝PN →＋NE →，PF →＝PN →＋NF →，且NE →＋NF →＝0.∴PE →·PF →＝PN →2－NE →2＝(－x )2＋(1－y )2－1＝16(1－y 212)＋(y －1)2－1＝－13y 2－2y ＋16＝－13(y ＋3)2＋19.∵－23≤y ≤2 3.∴当y ＝－3时，PE →·PF →的最大值为19，当y ＝23时，PE →·PF →的最小值为12－4 3.综上，PE →·PF →的最大值为19，最小值为12－4 3.。
大学 数学专业 空间解析几何 第二章 平面与方程 PPT
法向量 n ( A, B, C ).
结论：平面方程是三元一次方程，任意三元一次
方程的图形是一平面.
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
特殊三元一次方程表示图形特点
z
这个平面平行y 轴.
O x Ax+Cz+D=0,B=0
高等院校本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 空间解析几何
第六讲 平面的方程
脚本编写：
教案制作：
一、平面的方程
1. 平面的点法式和一般式方程
如果一非零向量垂直于一平面，这 向量就叫做该平面的法向量.
z
M0
M
n
o
y
已知平面的法向量 n ( A , B , C ),
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 是平面上的一定点，
例4.1 求过点 M0(1, 3, 2) 且以 n=(2, 3, 4) 为法
向的平面方程.
解：由点法式方程，得所求平面方程为 2(x 1)+3(y 3) 4(z+2)=0,
即
2x+3y 4z19=0.
z
M0
M
n
o
y
x
例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直 平分面的方程。 解： 因为矢量M1M2={2，2，-4}=2{1，1，-2} 垂直于平面，所以平面的一个法矢量为 n={1,1,-2}.
b
例4
设平面与x , y , z 三轴分别交于P (a ,0,0) 、
z
Q(0, b,0) 、 R(0,0, c )（其中a 0 ，b 0 ， c0 ） ，
测量与地图学 第六讲 地形图基本知识
河流的表示
时令河
干河床
消失河段
单线实形
湖泊的表示
井泉的表示
泉 温泉
常年湖
时令湖
水库的表示
井
运河、沟渠
2、土质植被
土质是地表覆盖层表面性质的泛称，如山区的裸岩 、冰川，平原上的沙地、沼泽地和盐碱地等 地形图表示的土质类型：沼泽地、沙地、沙砾及戈 壁、石块地、盐碱地、小草丘地、龟裂地等。 分布特点：一般呈面状分布，范围界线不很确定， 地形图上表现形式：在其分布范围内配置散列的各 种符号加上说明注记表示其类别。
2. 非比例符号
面积小但重要的地物，依比例尺缩小无法实形 表示，则用规定尺寸的符号描绘在图上。非比例符 号只表示地物的位置。
非比例符号上表示地物中心位置的点叫做 定位点。 各种非比例符号的定位点不尽相同，根据 符号不同的形状来确定。在测绘、读图 及用图时应注意区分。
非比例符号定位
①规则的几何图形符号，如圆形、正方形、三角形 等，以图形几何中心点为实地地物的中心位置； ②底部为直角形的符号，如独立树、路标等，以符 号的直角顶点为实地地物的中心位置； ③宽底符号，如烟囱、岗亭等，以符号底部中心为 实地地物的中心位置； ④几种图形组合符号，如路灯、消火栓等，以符号 下方图形的几何中心为实地地物的中心位置； ⑤下方无底线的符号，如山洞、窑洞等，以符号下 方两端点连线的中心为实地地物的中心位置。
植被是指植被覆盖的总称，分天然植被与人 工植被两大类。 地形图上表示的植被类型：森林、矮林、幼 林、灌木林、竹林、果园、芦苇及其他高 草地、草地、稻田、旱地等。 分布特点及表示方法：也呈面状分布，地形 图用黑色点线表示其类型界线，界线内普 染淡绿色，并配置说明符号和简单的文字 数字注记。
林地中有灌木及草类植物
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a′
给题
a
本章结束
e'
d'
e
d
[例题 例题2] 例题
已知点D在∆ ABC上，试求点D的水平投影 。
d'
d
[例题 例题3] 例题
已知点E在∆ ABC上，试求点E的正面投影 。 e'
e
二、属于特殊位置平面的点和直线
1．取属于投影面垂直面的点和直线 2．过一般位置直线总可作投影面的垂直面 (1) 几何元素表示法 (2) 迹线表示法 3．过特殊位置直线作平面 (1) 过正垂线作平面 (2) 过正平线作平面
m' n
(m)
(2) 过一般位置直线作投影面的垂直面 (迹线表示法) SV QW b"
a"
PH
(1) 过正垂线作平面 (迹线表示法)
PV SV QV RV
（a ）给题
（ b）作正平面
（c）作侧垂面
（d）作正垂面 （有无穷多个）
(2) 过正平线作平面
SH
g′ g PH
（a ） 给题 （ b） 作正平面 （c） 作正垂面 （d） 作一般位置平面 （有无穷多个）
1．取属于平面的直线 e'
F E D
f'
d'
d e
取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过 属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。
f
2．取属于平面的点 e' d'
E D
d e
取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线
[例题 例题1] 已知∆ ABC给定一平面，试判断点D是否属 例题 于该平面。
第四章
基本要求
平面
§4-1 平面的表示法 §4-2 各种位置平面的投影特性 §4-3 属于平面的点和直线
基本要求
§4-3 属于平面的点和直线
一、属于一般位置平面的点和直线 二、属于特殊位置平面的点和直线 三、属于平面的投影面平行线 四、属于平面的最大斜度线
一、属于一般位置平面的点和直线
1．平面上的直线 直线在平面上的几何条件是：①通过平面上的两点；②通 过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。 2．平面上的点 点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。 在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助 线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问 题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点 和直线的投影；完成多边形的投影。 例题1 例题2 例题3
P D
A C
S
ϕ E 1 α
E
α
a
（1）平面上对水平投影面的最大斜度线 EF
F 垂直于 AB
（2）平面上对正面投影面的最大斜度线 CD
D B
A C P
AB平行于V，
CD垂直于 AB
（3） 平面上对侧面投影面的最大斜度线 MN
N
M
P AB 平行于W， MN垂直于AB
1． 取属于投影面垂直面的点和直线
b′ a′ e′ f′
f a b e
2．过一般位置直线总可作投影面的垂直面
b′ a′ A B P SV a′ A b′ B S
a b PH
a
b
过一般位置直线AB 作铅垂面PH
过一般位置直线AB作 正垂面SV
(1) 过一般位置直线作投影面的垂直面 (几何元素表示法) (n')
面10，试求点E的投影。
m'
r'
e'
n'
15
s'
10
n r e m s
四、属于平面的最大斜度线
1．平面上的投影面最大斜度线—平面上对某个投影面倾角最大的直线。 它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。 2．平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对某投影面的平行线相互 垂直。 3．平面上的投影面最大斜度线有三组，即分别对正面投影面、水平投影 面及侧面投影面三组最大斜度线。 （1）平面上对水平投影面的最大斜度线 （2）平面上对正面投影面的最大斜度线 （3）平面上对侧面投影面的最大斜度线 例题6 例题7 例题8 例题9
三、属于平面的投影面平行线
属于平面的水平线和正平线 例题4 例题5
属于平面的水平线和正平线
PV
P
PH
[例题 例题4] 例题
已知∆ ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正
平线，过点A作属于该平面 的水平线。
m′ n'
n m
[例题 例题5] 例题
已知点E 在∆ABC平面上，且点E距离H面15，距离V
[例题 例题6] 例题
求作∆ ABC平面上对水平面的最大斜度线BE 。
d' e' e d
b
[例题 例题7] 例题
求∆ ABC平面与水平投影面的夹角α 。
BE
α
be
[例题 例题8] 例题
过正平线作平面与水平投影面成 60°。
a'
AB b' b ab a b 60°
[例题 例题9] 已知直线EF为某平面对H面的最大斜度线，试作出该平面。 例题