1.1集合及其不等式
高一关于集合和不等式的知识点
高一关于集合和不等式的知识点1集合的分类2集合的运算①子集，真子集，非空子集;②A∩B={x|x∈A且x∈B}③A∪B={x|x∈A或x∈B}④A={x|x∈S且xA}，其中AS.2、不等式的解法1含有绝对值的不等式的解法①|x|0-a|x|;aa;0x;a，或x;-a.②|fx||fx|;gxfx;gx或fx;-gx。
③|fx|;|gx|[fx]2;[gx]2[fx+gx]?[fx-gx];0.④对于含有两个或两个以上的绝对值符号的绝对值不等式，利用“零点分段讨论法”去绝对值。
如解不等式：|x+3|-|2x-1|;3x+2.3、简易逻辑知识逻辑联结词"或”、“且”、“非”是判断简单合题与复合命题的依据;真值表是由简单命题和真假判断复合命题真假的依据，理解好四种命题的关系，对判断命题的真假有很大帮助;掌握好反证法证明问题的步骤。
2复合命题的真值表非p形式复合命题的真假可以用下表表示。
p非p真假假真p且q形式复合命题的真假可以用下表表示。
p或q形式复合命题的真假可以用下表表示。
3四种命题及其相互之间的关系一个命题与它的逆否命题是等价的。
4充分、必要条件的判定①若pq且qp，则p是q的充分不必要条件;②若pq且qp，则p是q的必要不充分条件;③若pq且qp，则p是q的充要条件;④若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件。
反三角函数的定义：1反正弦：在闭区间上符合条件sinx=a-1≤a≤1的角x，叫做实数a的反正弦，记作arcsina，即x=arcsina，其中x∈，且a=sinx;注意arcsina表示一个角，这个角的正弦值为a，且这个角在内-1≤a≤1。
2反余弦：在闭区间上，符合条件cosx=a-1≤a≤1的角x，叫做实数a的反余弦，记作arccosa，即x=arccosa，其中x∈[0，π]，且a=cosx。
3反正切：在开区间内，符合条件tanx=aa为实数的角x，叫做实数a的反正切，记做arctana，即x=arctana，其中x∈，且a=tanx。
第一章集合与不等式的解法
第一章集合和不等式的解法第一节集合的含义与表示例1已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,a c 2},若A=B,求实数c 的值。
例2用适当的方法表示集合(1) x 2=9的解集；(2) 不等式2x+1>5的解集；(3) 方程组解集{x +y =2x −y =4; (4) {x ｜y=√4−2x };(5) {y ｜y=√4−2x }.例3已知集合A={x ｜m x 2-3x+2=0},若A 中至多一个元素，求实数m 的取值范围。
第二节集合间的基本关系例1已知集合A={x ｜x=2n,n ϵz},B={x ｜x=4n,n ϵz },则A 与B 的关系是____________例2已知集合A={0，1},B={x ｜x ϵA },C={x ｜x ⊆A},则A,B,C 的关系是________________________ 例3已知{1,2}⊆A ⊆{1,2,3,4,5},满足条件的集合A 的个数是___________________ 例4M={1，2，3，4，5，6，7},N ≠Ø,N ⊆M,若a ∈N,则8-a ϵN,则满足条件的集合N 的个数为_______________ 例5已知A={x ｜x 2−2x −3=0},B={x ｜ax-1=0},若B ⊆A,求a 的值。
第三节集合的基本运算已知A={x ｜x ≤5},B={x ｜x>2a-1},若A ∪B=R,求实数a 的取值范围。
设集合A={-2，0，4},B={m,m 2},则使A ∪B=A 成立的m 的值为___________________例2 A={1，3，5，7},B={2，3，5，6，8，9},则A ∩B =_______________________设A={x ｜x>-1},B={x ｜x ≤2},则A ∩B =_____________________ 例3已知集合A={x ｜x 2−3x −10≤0},B={x ｜m+1≤x ≤2m −1},若A ∩B =B ,则实数m 的取值范围为_________________例4若U={1，2，3},A={1，3}则C U A=_________________若U={2，5，a2+2a+1},A={2,5},C U A={0},则a=________________已知A={1，3，5},C U A={−2，2},C U B={−2，1，3},则B=_____________________例5已知集合A={x｜x<a},B={x｜1≤x≤2},且A∪(C R B)=R,则实数a的取值范围是____________ 第4节一元二次不等式的解集例1解不含参数的一元二次不等式（1）x2−x−6≤0(2)4x-x2>0(3)-2x2+x-6<0 (4)x2−4x+4≥0例2解含参数的一元二次不等式（1）解关于x的不等式x2−(a+a2)x+a3>0(2)解关于x的不等式a x2−(a+1)x+1<0(a<1)例3不等式恒成立问题若关于x的一元二次不等式2x2−8x+6−m>0对任意的xϵR恒成立，求实数m的取值范围第5节分式不等式和高次不等式的解决例1可化为一元二次不等式的简单分式不等式的解法（1）2−xx+3>0(2)2x−13x+1≥0(3)2−xx+3>1例2解下列不等式（1）（x-2）(x+2)(x-1)(x+1)>0 (2)（x2−5x−6)(1−x)>0(3)(x−2)2(x−3)3(x+1)<0 (4)(x-3)(x+1)(x2+4x+4)≤0第6节绝对值不等式的解法例1解下列不等式（1）｜x｜<8(2)｜5-3x｜≥10(3)2<｜x+1｜<3例2解下列不等式（1）｜x+1｜>2-x (2)｜x2−2x−6｜<3x例3解不等式｜2x-1｜<｜x+3｜例4解不等式｜x-1｜+｜x+2｜<5例5解不等式｜2x+3｜<｜x+8｜+5x-2。
第1章-集合与不等式(初等数学教案)
第1章集合与不等式【学习目标】1.了解集合的概念及其表示方法.2. 掌握集合之间的运算（子集、真子集、相等、交集、并集、补集）.3. 理解区间的概念,会在数轴上表示区间.4. 掌握绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式的解法.5. 培养学生应用数学概念的能力和计算能力.1.1 集合1.集合的概念集合是现代数学中最基本的概念之一.研究集合的数学理论称为集合论，它是数学的一个基本分支，是近代许多数学分支的基础.我们在初中就已经接触到了“集合”一词,如: “自然数的集合” ,“有理数的集合”, “不等式的解集”等. 在数学和日常生活中，也经常把某些指定的对象作为一个整体加以研究，例如：⑴一个班里的全体学生；⑵某图书馆的全部藏书；⑶所有的直角三角形；⑷与一个角的两边距离相等的所有点；⑸不等式21x-＞3的所有解；⑹某工厂金工车间的所有机床．它们分别是由一些人、书、图形、点、数和机床组成的．一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集),用大写字母,,,A B C表示.集合中的每个对象叫做这个集合的元素,用小写字母,,,a b c表示.如果a是集合A的元素，就说“a属于集合A”，记作a A∈；如果a不是集合A的元素，就说“a不属于集合A”，记作a A∉.某校高一(1) 班全体学生就构成了一个集合，该校内的任一学生，或者是高一(1) 班的同学，或者不是，二者必居其一，这一性质叫做集合元素的确定性；在书写高一(1)班全体同学的名单时，谁写在前面或者后面，不论次序如何，都是高一(1)班全体同学的名单，这一性质叫做集合元素的无序性；另外，每名同学的名字，必须写而且只需写一次就可以了，这一性质叫做集合元素的互异性.练一练:判断下列各组元素能否构成一个集合:(1)所有爱唱歌的孩子;(2) 0,1,1,2.集合理论的创始人是康托尔（Cantor,G.F.L.P，1845—1918）,德国数学家．任何集合的子集，即∅A⊆.因此,任何一个集合是它本身的子集，即AA⊆.集合A不包含于集合B时，记作A⊆/B.例1 写出集合{},,a b c的所有子集.解集合{},,a b c的所有子集是:{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,a b c a b a c b c a b c∅2. 真子集在集合{},,a b c的所有子集中，除去它本身{},,a b c外，集合{},,a b c中至少有一个元素不在其余的某个子集中.如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A,则称集合A是集合B的真子集,记作A B(或AB≠⊃),读作A真包含于B(或B真包含A).如文氏图1-1所示.集合{},,a b c的子集中，除了{},,a b c外，其它子集都是{},,a b c的真子集.显然,空集是任何非空集合的真子集.练一练:判断集合A B与的关系:(1)集合{}1,2,3A=,{}1,2,3,4B=;设合{}1,2,3A=,{}2,3,1=B.3、集合的相等如果集合A与集合B的元素完全相同，即ABBA⊆⊆且，则称集合A与集合B相等，记作BA=.练一练:对于集合{}1,2A=, {}1,2,3,4,5,6B=,{}2,7C=,思考：符号∈与符号⊆表达的含义相同吗？思考：集合{},,a b c有三个元素，子集个数为8个，即32个；真子集个数为321-个；推广到含有n个元素的集合，则子集个数和真子集的个数分别为多少？{}(1)(2)0D x x x=--=,下列关系是否成立:A D=,A B⊆, A B,A C⊂?例2 指出下列各组中两个集合之间的关系:(1){}{}1,7,1,2,3,7A B==;(2){}{}21,1,1C x x D===-;(3){}{},E F==偶数整数;解(1) A B; (2)C D=; (3)E F.例3 讨论集合{}20A x x=-=与集合{}260B x x x=+-=的关系.解因为集合{}{}22==-=xxA,集合{}{}2,362-==-+=xxxB,所以集合A是集合B的真子集，即A B.【习题1.2】1．用符号∈、∉、=、、≠⊃填空：（1）1 N；（2）0 Z；（3）-2 -Q（4）43Q；（5）πQ；（6）2R；（7）{1，2} {2，1}；（8）{3，5} {1，3，5}；（9）{2，4，6，8} {2，8}；（10）∅ {1，2，3}.2．图1-2中A、B、C表示集合，说明它们之间的关系.图1-23．写出集合{1,3,5}的所有子集.4．设A={1，3，5，7，9}，B={1，2，4，6}，写出由A和B的所有元素组成的集合C.5．设A={1，3，5，7，9}，B={1，2，3，4，6，8，10}，写出由A和B的公共元素组成的集合 C.1.3 集合的运算 1. 交集观察集合{}1,237A =，，与{}2,3,67,B =，，容易看出，集合}73,2{，是由集合A 与B 的所有公共元素组成的，对于这样的集合我们给出如下定义.定义 由集合A 与集合B 的所有公共元素组成的集合，叫做集合A 与集合B 的交集(如图1-3的阴影部分所示)，记作B A ，读作“A 交B ”.即{}A B x x A x B =∈∈且.由交集的定义及图1-3可以看出, B A 既是A 的子集，也是B 的子集,即A B A ⊆且A B B ⊆.另外，交集还有如下性质：A A A A AB B A∅=∅== 若A B A ＝，则A B ⊆，反之也成立. 例1 设集合：(1){}2,578A =，，,{}5,68,10B =，; (2) {}A =奇数,{}B =偶数; (3) {}A =奇数,{}B =整数;(4) {}A =等腰三角形,{}B =直角三角形; (5){}(,)25A x y x y =+=,{}(,)27B x y x y =+=; (6){}13A x x =≤≤,{}25B x x =≤≤. 求B A .解 (1) {}{}{}2,5785,68,105,8A B ==，，，; (2) {}{}A B ==∅奇数偶数;(3) {}{}{}AB A ===奇数整数奇数;{}{}{}(4);A B ==等腰三角形直角三角形等腰直角三角形{}{}{}(5)(,)25(,)2725(,)(1,3);27A B x y x y x y x yx yx yx y=+=+=⎧⎫+=⎧⎪⎪==⎨⎨⎬+=⎩⎪⎪⎩⎭(6){}{}{}132523A B x x x x x=≤≤≤≤=≤≤, 如图1-4所示.2. 并集我们把集合{}1,237A=，，与{}2,3,67,B=，的元素放在一起，构建新的集合,由集合元素的互异性得新的集合为{}1,2,3,6,7. 它是由所有属于A,或属于B的元素组成的.对于这样的集合，我们给出如下定义.定义由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集(如图1-5的阴影部分所示),记作A B,读作A并B,即{|,}A B x x A x B=∈∈或.由并集的定义及图1-5可以看出,集合A B、都是A B的子集,即A A B⊆,B A B⊆.另外，并集还有如下性质：A AA A AA B B A∅===若A B B＝，则A B⊆，反之也成立.例2设集合：(1){}2,578A=，，,{}5,68,10B=，;(2) {}A=奇数,{}B=偶数;(3) {}A=奇数,{}B=整数;(4) {}A=等腰三角形,{}B=直角三角形;(5) {}13A x x=≤≤,{}25B x x=≤≤.求A B.解(1) {}{}{}2,5785,68,1025678,10A B==，，，，，，，;(2) {}{}{}A B==奇数偶数整数;(3) {}{}{}A B B===奇数整数整数;{}{}(4);A B=⎧⎫=⎨⎬⎩⎭等腰三角形直角三角形等腰直角三角形，等腰非直角三角形，直角非等腰三角形(5){}{}{}132515A B x x x x x=≤≤≤≤=≤≤,如图1-6所示.3. 补集观察下列三个集合之间的关系：I＝{全班同学}, A＝{班上男同学} , B＝{班上女同学}.容易看出,集合B就是在集合I中，去掉集合A的所有元素之后，由余下来的元素组成的集合.在研究集合之间的关系时,如果集合I包含我们要研究的各个集合，则称I为全集.设I是全集，A是I的一个子集（即A⊆I），则由I中所有不属于A的元素组成的集合，叫作集合A在I中的补集(如图1-7所示)，简称集合A的补集.记作ΑIC，读作“A补”，即{}AxIxxΑ∉∈=且IC.由全集与补集的定义可得：IΑA=IC，oΑA/=IC，oI/=IC，Io=/IC，ΑΑ=)II(CC.例3 设{}I=三角形，{}A=锐角三角形,求ΑIC.解{}形直角三角形，钝角三角=ΑIC.在求集合的并集时,同时属于A和B的公共元素,在他们的并集中只列举一次},2,3,4,5，A＝∅，求}{2++=a a A,3,21,(1)1A 、2A 、3A 、4A 中哪两个集合的交集是非空集合？(2)求23A A .(3)求14A A .(4)2A 、3A 、4A 中哪些集合是1A 的真子集.1.4 区间 设,a b 是两个实数，且a b <,则:满足不等式a x b ≤≤的所有实数x 的集合,叫做由a 到b 的闭区间,记作[,]a b .满足不等式a x b <<的所有实数x 的集合,叫做由a 到b 的开区间,记作(,)a b .满足不等式a x b ≤<(或a x b <≤)的所有实数x 的集合,叫做由a 到b 的半开区间,记作[,)a b (或(,]a b ).在这里,实数,a b 叫做相应区间的端点. 上述区间[,]a b ,(,)a b ,[,)a b ,(,]a b 统称为有限区间. 满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合，分别记作),[+∞a ,),(+∞a ，],(b -∞，),(b -∞，这些区间称为无限区间. 其中符号+∞与-∞分别读做正无穷大与负无穷大. 全体实数的集合R 也是无限区间,记作(,)-∞+∞.区间可以用数轴上的点集来表示,其中用实心点表示端点包括在区间内, 用空心点表示端点不包括在区间内,如图1-8所示.无限区间也可以用数轴上的点集来表示, 如图1-9所示.例1 用区间表示下列集合:(1){}16x x <≤; (2){},1,2x x R x x ∈≠≠. 解 各集合用区间分别表示为(1)(]6,1; (2)(,1)(1,2)(2,)-∞+∞.练一练:用区间表示下列集合:(1){}16x x -≤≤; (2){}5x x ≥;例2 把下列不等式组的解集用集合、区间及数轴上相应的点集表示：（1）2,0;x x >-⎧⎨≤⎩ （2）30,20.x x ->⎧⎨+>⎩解 (1)不等式组2,0,x x >-⎧⎨≤⎩解集的集合形式为{}20x x -<≤.区间形式为(2,0]-.数轴上的点集表示如图1－10(1)所示. （2）不等式组30,20,x x ->⎧⎨+>⎩解集的集合形式为{}3>x x .区间形式为)(∞+,3.数轴上的点集表示如图1－10(2)所示..例3 设集合{}{}21,14A x xB x x=-<<=-≤≤,求,A B A B,并用区间及数轴上的点集表示.解{}{}2114A B x x x x=-<<-≤≤{}11x x=-≤<.区间形式为[1,1)-.数轴上的点集表示如图1－11(1)所示.{}{}2114A B x x x x=-<<-≤≤{}24x x=-<≤.区间形式为(2,4]-.数轴上的点集表示如图1－11(2)所示.今后,我们可以采用不等式、集合、区间、数轴上的点集等不同的方法表示数集.【习题1-4】1.用区间表示下列集合:(1) {}15x x-<<; (2) {}14x x≤≤;(3) {}3≤x x; (4) {}53x x x≥<-或.2. 把下列不等式组的解集用三种方式——集合、区间及数轴上点集表示出来：（1）47;xx>⎧⎨≥⎩（2）4030.xx-≤⎧⎨+>⎩3. 设集合{}{}2,22A x xB x x=-<<+∞=-<≤,求,A B A B,并用区间及数轴上的点集表示.1.5 绝对值不等式的解法一个数的绝对值,表示数轴上与这个数所对应的点到原点的距离．一个实数a 的绝对值记作a ,是指由a 所唯一确定的非负实数，且,0;0,0;,0a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩当时当时当时.下面，我们学习绝对值不等式的解法.依据绝对值的定义可知，x 是数轴上表示x 的点到原点的距离.从而当0a >时，x a <的解集，是数轴上与原点的距离小于a 的点的集合，即{}x a x a -<<（如图1－12（1）所示）；x a >的解集，是数轴上与原点的距离大于a 的点的集合, 即{}x x a x a <->或（如图1－12（2）所示）.例1 解下列不等式:(1) 3x <; (2)5x ≥. 解 (1) 3x <的解集为{}33x x -<<; (2)5x ≥ 的解集为{}55x x x ≤-≥或.对于,(0)ax b c ax b c c +<+>>型的不等式，可以把ax b +看作一个整体，转化成,x a x a <>型不等式来求解.例2 解下列不等式,并用区间表示解集: (1) 87x -≤; (2)4214x +>. 解 (1) 由87x -≤，得787x -≤-≤,整理得 115x ≤≤, 所以原不等式的解集为 [1,15].当不等号取"",""≤≥时有类似的性质，其解集可简记为“小于在中间，大于在两边”.(2) 由4214x +> ，得42144214x x +>+<-或, 解得43-<>x x 或, 所以原不等式的解集为(,4)(3,)-∞-+∞.【习题1.5】1. 解下列不等式,将解集表示为集合的形式:(1)132x ≥; (2)1105x ≤; (3)61x -<; (4)38x <-. 2. 解下列不等式,将解集表示为区间的形式: (1)3813x -<; (2)257x -≤;(2)11223x +>; (4)3214x -≥.1.6一元二次不等式的解法形如2200(,,,0)ax bx c ax bx c a b c a ++>++<≠或为常数且的不等式称为一元二次不等式.这里，我们利用一元二次函数的图像，找出一元二次不等式与一元二次函数及一元二次方程之间的关系，进而得到求解一元二次不等式的方法.在一元二次函数22y x x =--中，令0=y ，得022=--x x解得 21=-=x x 或.观察函数22y x x =--的图像(如图1-13),可得 (1) 当12x x =-=或时,0y =; (2) 当12x -<<时,0y <; (3) 当12x x <->或时,0y >.由此可知(a)一元二次方程220x x --=有两个不同的根1212x x =-=,;(b)一元二次不等式220x x --<的解集为{}12x x -<<; (c) 一元二次不等式220x x -->的解集为{}12x x x <->或.该例表明,一元二次函数的图象与x 轴的交点，可以确定相应的一元二次不等式的解集.练一练:讨论：当x 取何值时,下列一元二次函数的值0,0,0y y y >=<? (1) 22y x x =-+ (2) 244y x x =-+ （3）222+-=x x y 下表按一元二次函数2y ax bx c =++（0>a ）的判别式000<∆=∆>∆,,三种情形，给出了一元二次不等式的解集.如果二次项系数0a <，我们可用(－1)乘不等式两边，将其变形为二次项系数为正的情况．例1 解下列不等式:(1)260x x -->; (2) 2280x x -++≥. 解 (1)2(1)41(6)250∆=--⨯⨯-=>, 方程260x x --=有两个不相等的实根24b ac ∆=-2y ax bx c =++(0)a >的图象20ax bx c ++=(0)a ≠的根20ax bx c ++<(0)a >的解集2ax bx c ++>(0)a >的解集(1)0∆>21,242b b acx a-±-=12()x x <{}12x xx x <<{}12x x x x x <>或(2)0∆=122b x x a==-∅,2b x x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭(3)0∆<无实根∅R思考： 当0∆=时，不等式2≥++c bx ax 的解集是什么？要解二次不等式，二次系数先变正.0∆>时,大于在两边，小于在中间．复习题1 A 组1.用适当的符号∈∉=⊆“”“”“”“”“”填空: {}{}5____;____;______;______0;;__.Q Q R R a a b A B A B +-+-∅-1________N; -5_______Q; 0.6______； -2 3 ____,2. 用另一种方法表示下列集合: （1）{}22150A x x x =+-=; (2){}44,B x x x Z =-≤≤∈;（3）{}4绝对值等于的数; (4){}215,A x x x Z =+=∈.3.判断下列各组元素是否构成一个集合？（1）非常小的数; （2）本班兴趣广泛的同学; （3）0与1之间的实数; (4) 非常漂亮的孩子. 4. 写出集合{},,红绿蓝的所有子集和真子集. 5. 设集合{}{}25,32A x x B x x =-≤<=-<<. 用区间及数轴上相应的点集表示,A B ; (2)求,AB A B .6. 解下列绝对值不等式:(1) 2x ≤; (2) 5x >; (3) 2515x -<; (4) 212x +≥. 7.解下列不等式:(1) 240x x -+->; (2) 243(43)x x >-;(3)23620x x -+<; (4) 29610x x -+<. 8. 解下列不等式:(1)3212x x +≥-; (2) 1111x x +≤-; (3)4502x x ->-; (4) 3443x x -<+.}N +,{}1,2,3,4,5,9A =,B ，B ΑI I C C .已知{2A x x =-{}3,求,a b 的值.4. 已知x (1)2x +60m。
第一章 集合、方程及不等式
解一元一次方程的基本步骤是： （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4） 合并同类项，将方程整理，使等式的一端含有未 知数，另一端为常数，即 ax b ； （ 5）两边同 除以 a 得解。
例 1、解下列一元一次方程：
第一章
集合、方程及不等式
1、集合的概念： 一组确定的对象的全体叫做集合 2、常用的数集：
整数集：Z 如正整数、负整数、零 有理数集：Q 包括整数、分数、有限小数 实数集：R 我们所学习的所有数都是实数 自然数集：N 只包括零和正整数
注意：不含有任何元素的集合叫空集，记作
3、集合与元素的关系：
（2） 不等式的两边都乘以 （或除以） 同一个正数， 不等号的方向不变。
a b 即： a b 且 c 0 那么 ac bc ( ) c c
例 1、设 a 0 ，比较 (a 1) 与 a a 1 值的大小。
2
2
例 2、根据下列描述，提炼出不等关系。 （1）今年小王比小徐的年龄大，若干年以后， 小王比小徐的年龄还是大，那么，若干年前呢? （2）现在小王的身高比小李高，假定他们在一 年中身高增长的百分数相同，一年后小王比小 李还是要高。 （3）小王比小李跑得快，小李比小张跑得快， 那么小王比小张跑得快。
1、比较 ( x 5)( x 7) 与 ( x 6) 的大小。
2
2、如果 a b 0 ，用“>” “<”填空。
1 1 （1） a _____ > b （2） a _____ > b
（3） a _____ b
2
>
2
第一章 不等式与集合
1．1 不等式的性质与解集
集合——例题解析
节菜单
1.1 不等式的性质与解集 1.2 一元一次不等式（组） 1.3 一元二次不等式 1.4 含有绝对值的不等式
1．1 不等式的性质与解集
集合——知识巩固4
节菜单
1.1 不等式的性质与解集 1.2 一元一次不等式（组） 1.3 一元二次不等式 1.4 含有绝对值的不等式
1．1 不等式的性质与解集
节菜单
不等式的性质——知识巩固3
1.1 不等式的性质与解集 1.2 一元一次不等式（组） 1.3 一元二次不等式 1.4 含有绝对值的不等式
1．1 不等式的性质与解集
集合——表示方法
节菜单
1.1 不等式的性质与解集 1.2 一元一次不等式（组） 1.3 一元二次不等式 1.4 含有绝对值的不等式
1．1 不等式的性质与解集
集合——实例考察
节菜单
1.1 不等式的性质与解集 1.2 一元一次不等式（组） 1.3 一元二次不等式 1.4 含有绝对值的不等式
1．1 不等式的性质与解集
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集合——定义
1.1 不等式的性质与解集 1.2 一元一次不等式（组）
不等式的解也被称为解集. 实例考察中, 第 1(1.)3题的一解元集二是次自不然等数0式, 1, 2
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1.1 不等式的性质与解集 1.2 一元一次不等式（组） 1.3 一元记二法次不等式 1.4 含有绝N 对值的不等式
N*或 N+ Z Q R
我们把不含任何元素的集合叫做空集, 记作∅. 例如, 方程x2+2=0没有 实数解, 因此, 方程x2+2=0的实数解组成的集合就是∅.
使不等式成立的未知数的全体组成的集合, 就是不等式的解集.
高一数学必修 第一册 2019(B版)(人教版)
高一数学必修 第一册 2019(B版)(人教版)
演讲人
202X-06-08
目录
01. 第一章 集合与常用逻辑用语 02. 第二章 等式与不等式 03. 第三章 函数
01 第一章 集合与常用逻辑用语
用第
逻一
辑章
用 语
集 合
与
常
0 1Байду номын сангаас
1.1集合
0 2
1.1.1集合及其
表示方法
0 3
1.1.2集合的基
本关系
0 4
1.1.3集合的基
本运算
0 5
1.2 常用逻辑
用语
0 6
1.2.1命题与量
词
第一章 集合与常 用逻辑用语
1.2.2 全称量词命题与存在量词 命题的否定 1.2.3 充分条件、必要条件
02 第二章 等式与不等式
第二章 等 式与不等 式
0 1
2.1等式
0 2
2.1.1 等式的性 质与方程的解集
0 3
2.1.2一元二次 方程的解集及其 根与系数的关系
0 4
2.1.3方程组的 解集
0 5
2.2不等式
0 6
2.2.1不等式及 其性质
第二章 等式与不 等式
2.2.2不等式的解集 2.2.3一元二次不等式的解法 2.2.4均值不等式及其应用
03 第三章 函数
第三章 函数
3.1函数的 概念与性质
3.3函数的
01
应 用 ( 一 ) 06
3.1.1 函 数及其表 02 示 方 法
3.2函数
05
与方程、
不等式之
间的关系
04
数学公式(集合不等式函数)
数学公式（集合不等式函数）在数学中，公式是用数学符号和符号约定来表示数学关系或规律的一种方式。
数学公式是数学表达的核心，能够帮助我们解决各种数学问题和推导数学定理。
下面将介绍一些常见的数学公式，包括集合、不等式和函数。
一、集合公式：1.集合的基本运算：(1)并集的运算律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA∪B=B∪A(2)交集的运算律：A∩(B∩C)=(A∩B)∩CA∩B=B∩A(3)差集的运算律：A\(B\C)=(A\B)∪(A\C)A\(B∪C)=(A\B)∩(A\C)2.集合的等价关系：(1)自反性：对于任意集合A，A≤A(2)对称性：如果A≤B，则B≤A(3)传递性：如果A≤B，B≤C，则A≤C(4)互斥性：如果A≤B且B≤A，则A=B3.集合的基数公式：(1)，A∪B，=，A，+，B，-，A∩B(2)，A\B，=，A，-，A∩B(3)，A\B，=，A，-，A∩B(4)，A，=，A∪B，+，A∩B二、不等式公式：1.不等式的基本性质：(1)加法性：如果a>b，则a+c>b+c(2) 乘法性：如果a > b，且c > 0，则ac > bc(3)除法性：如果a>b，且c>0，则a/c>b/c2.平均值不等式：(1) 算术平均不等式：对于任意非负实数x1, x2, ..., xn，有(x1 + x2 + ... + xn)/n ≥ √(x1x2...xn)(2) 几何平均不等式：对于任意正实数x1, x2, ..., xn，有(x1x2...xn)^(1/n) ≥ (x1 + x2 + ... + xn)/n(3) 加权平均不等式：设p1, p2, ..., pn为n个正实数之和，有(x1p1 + x2p2 + ... + xnpn)/(p1 + p2 + ... + pn) ≥(x1x2...xn)^(1/n)3.柯西-施瓦茨不等式：(1)对于任意实数a1,a2,b1,b2，有(a1b1+a2b2)^2≤(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)(2) 对于任意实数与向量a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)三、函数公式：1.基本初等函数：(1)反函数公式：如果函数y=f(x)与x=g(y)是互逆函数，则有f(g(y))=y和g(f(x))=x(2)奇偶性公式：对于偶函数有f(-x)=f(x)，对于奇函数有f(-x)=-f(x)2.指数和对数函数：(1) 对数换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)(2) 对数幂函数：a^log_a(x) = x，其中a为任意正数3.三角函数：(1)三角函数的和差公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)(2)三角函数的倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) tan(2x) = (2tan(x))/(1 - tan^2(x))以上是一些常见的数学公式，集合公式涉及集合的基本运算和基数公式，不等式公式包括不等式的基本性质、平均值不等式和柯西-施瓦茨不等式，函数公式主要涉及基本初等函数、指数和对数函数以及三角函数。
不等式与集合的关系
不等式与集合的关系在数学中，不等式是描述数值关系的一种工具，而集合是由元素组成的一个整体。
不等式与集合之间存在着紧密的关系，通过不等式可以确定集合中的元素范围，而集合也可以用来表示满足一定不等关系的元素集合。
本文将探讨不等式与集合之间的关系，并通过例子来进一步说明。
一、不等式与集合的基本定义首先，我们来了解一下不等式和集合的基本定义。
1. 不等式：不等式是用不等号（<、>、≤、≥）表示的数学陈述。
一般形式为a < b或a > b，其中a、b为实数。
如果不等式中的不等号是≤或≥，则表示的是“不小于”或“不大于”的关系。
2. 集合：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
用大写字母A、B、C等表示集合，集合中的元素用小写字母a、b、c等表示。
常用的表示集合的方法有列举法、描述法和集合运算。
二、不等式确定集合的范围不等式可以通过确定数值的范围来描述数值之间的关系，从而确定集合中的元素范围。
1. 真不等式和开区间：对于一个真不等式a < b，可以表示a和b之间的数的集合，也可以表示为开区间(a, b)。
开区间表示数值在a和b之间，但不包括a和b。
例如，不等式3 < x < 8表示满足条件的数值范围，用集合表示为{x | 3 < x < 8}，也可以表示为集合(3, 8)。
2. 不等式和闭区间：对于一个不等式a ≤ b，可以表示a和b之间的数的集合，也可以表示为闭区间[a, b]。
闭区间表示数值在a和b之间，包括a和b。
例如，不等式2 ≤ x ≤ 7表示满足条件的数值范围，用集合表示为{x | 2 ≤ x ≤ 7}，也可以表示为集合[2, 7]。
三、集合表示满足不等关系的元素集合除了用不等式确定集合的范围外，我们还可以通过集合表示满足一定不等关系的元素集合。
1. 包含关系：如果集合A中的所有元素都满足不等式a ≤ b，则可以表示为A ⊆ B，即集合A是集合B的子集。
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§1.1集合及其表示
教学目标：1、理解集合的概念和元素的概念、理解集合元素的性质、掌握集合的表示方法。
2、经历具体到抽象的过程
3、体会集合的数学思想
教学重点：理解集合的概念及表示方法
教学难点：集合的描述法表示
教学过程：
一、概念引入（1871年康托尔，朴素集合论）
1、 集合：确切指定，的对象，的整体
2、 元素：集合中的各个对象。
举例
口头练习：下列是否形成集合？
1) 市南中学全体老师
2) 市南中学全体高个子男生
3) 不等式02>+x 的解的全体
4) 02>+x 的所有正整数解
并找出集合中的一个元素
符号：集合，元素，集合与元素的关系
3、 集合中元素的特征
1） 确定性
2） 互异性
3） 无序性
4、 集合的介绍：有限集，无限集
口头练习：书上引入部分
数集
初中知识：正整数，自然数，整数，有理数，无理数，实数。
正整数中涉及：质数（素数），合数
R Z Z Q Z N N ,,,,*,,-+
空集：不含任何元素的集合。
符号：∅
举例：所有012=+x 的实数解所成集合。
注意：{}0与∅
二、概念深化
1、 P7练习1，2
5、 集合的表示方法
1、A ，∅
2、注意{}的使用
3、列举法{},,
1）例{}3,2——注意无序性
2）不能写{}2,2
3）{})3,2(与（1）的区别
4、描述法{}x （{}),(y x ） 例：{}0652=+-x x x ，(){}2,x y y x =，{}
R y R x y x ∈∈,),( 5、P7练习3，4
三、探究问题
1、用列举法表示下列集合：
1）⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
∈<<-Z x x x ,38310 2）⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈∈-N x Z x x ,18 3）{}
R x x x ∈=,12 4）(){}N y N x y x y x ∈∈=+,,6,
2、P6例1
3、P7例2（2）
说明：列举法——有限，描述法——无限
区别{},...5,3,1与{}+∈-=Z k k x x ,12
2、 补充练习
6、 总结难点：
1、 分清{}x ，{}),(y x ，{}y
2、 一类整数问题表达式及其取值范围。