期末复习_chap6 递归算法设计(1)

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1.递归的概念 递归的概念
递归可以分为直接递归和间接递归两种。 递归可以分为直接递归和间接递归两种。 直接递归：函数体里面发生对自己的调用； 直接递归：函数体里面发生对自己的调用； 间接递归：函数A调用函数B 而函数B 间接递归：函数A调用函数B，而函数B又直接或 间接地调用函数A 间接地调用函数A。
– 就象剥一颗圆白菜，从外向里，一层层剥下来，到 就象剥一颗圆白菜，从外向里，一层层剥下来， 了菜心，就不再继续剥了。 了菜心，就不再继续剥了。
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2.递归过程 递归过程
• 回归阶段： 回归阶段： 回归阶段，当获得最简单情况的解后， – 在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐 级返回， 级返回，依次得到稍复杂问题的解 。如在得 的解后， 到f(1)的解后，又依次得到 的解后 又依次得到f(2)、f(3)…直到 、 … f(6)的值。 的值。 的值 – 就像将剥下来的白菜叶又从里往外一叶一叶 合起来，直到最外层菜叶。 合起来，直到最外层菜叶。
函数--递归 第五章 函数 递归
选自： 选自： 章以及第16章的 《计算机导论与程序设计基础》 第6章以及第 章的 计算机导论与程序设计基础》 章以及第 章的16.1 程序设计教程》 《C程序设计教程》 5.13~5.15 程序设计教程
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提纲
1. 递归的概念 2. 递归过程 3. 递归程序设计
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1.递归的概念 递归的概念
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1.递归的概念 递归的概念
例：编写一个函数fac，计算阶乘 编写一个函数 ，计算阶乘n! 按过去的迭代算法，该函数可以写成： 按过去的迭代算法，该函数可以写成： int fac(int n) { int i, p; p = 1; for(i = 2; i <= n; i++) p = p * i; return p; }
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2.递归过程 递归过程 回 顾
被调用函数中 的数据 现场信息， 现场信息，用 于调用结束能 正确返回
函数调用过程
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5.printf(“%d”,f(i)); 8.int f(int n) 9.{ 10. if(n==0) 11. return 1; 12. else 13. return n*f(n-1); 14.}
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提纲
1. 递归的概念 2. 递归过程 3. 递归程序设计
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Байду номын сангаас
2.递归过程 递归过程
• 求f（2）的 （ ） 递归调用过程？ 递归调用过程？
#include <stdio.h> int f(int); main() { int i = 2; printf(“%d”,f(i)); system(“pause”); } int f(int n)//递归函数：求n! 递归函数： 递归函数 { if(n == 0) return 1; else return n * f(n - 1); }
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1.递归的概念 递归的概念
现在换一个角度考虑， ！不仅是1× × × 现在换一个角度考虑，n！不仅是 ×2×3×…×n, 还可以定义成： 还可以定义成： 设 f(n)=n! 1 当n＝0 ＝
int f(int n) { if(n==0) return 1; else return n*f(n-1); } n! ＝ 则 f(n) ＝ 1 当n＝0 ＝ n×(n－1)! 当n＞0 × － ＞ n×f (n-1) 当n＞0 ＞ ×
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2.递归过程 递归过程
• 递归算法的出发点不放在初始条件上，而放在求解的 递归算法的出发点不放在初始条件上， 算法的出发点不放在初始条件上 目标上， 目标上，是从所求的未知项出发逐次调用本身的求解 过程，直到递归的边界（即初始条件）。 过程，直到递归的边界（即初始条件）。 • 就求阶乘而言，读者会认为递归算法可能是多余的， 就求阶乘而言，读者会认为递归算法可能是多余的， 费力而不讨好。 费力而不讨好。但许多实际问题不可能或不容易找到 显而易见的迭代关系， 显而易见的迭代关系，这时递归算法就表现出了明显 的优越性。 的优越性。 • 下面我们将会看到，递归算法比较符合人的思维方式， 下面我们将会看到，递归算法比较符合人的思维方式， 逻辑性强，可将问题描述得简单扼要， 逻辑性强，可将问题描述得简单扼要，具有良好的可 读性，易于理解，许多看来相当复杂， 读性，易于理解，许多看来相当复杂，或难以下手的 问题， 问题，如果能够使用递归算法就会使问题变得易于处 理。
回 归 阶 段
返回
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[回归阶段]
2.递归过程 递归过程
• 可见，递归算法的执行过程分递推和回归两个阶 可见，递归算法的执行过程分递推和回归两个阶 递推 当递推时， 段。当递推时，并没有求值的计算操作，实际的 当递推时 并没有求值的计算操作， 计算操作是在回归过程实现的。 计算操作是在回归过程实现的。 • 递推阶段： 递推阶段： – 递推阶段是个不断简化问题的阶段：把对较复 递推阶段是个不断简化问题的阶段： 阶段是个不断简化问题的阶段 杂问题（规模为n）的求解转化为比原问题简单 杂问题（规模为 ）的求解转化为比原问题简单 一些的问题（规模小于n） 例如对f 一些的问题（规模小于 ）的求解 。例如对 (6) 的求解转化为f(5)的求解， 对f(5)的求解转化为 的求解， 的求解转化为 的求解 的求解转化为 f(4)的求解…直到转化为对 的求解。 的求解… 的求解。 的求解 直到转化为对f(0)的求解 – 当递推到最简单的不用再简化的问题时，递推 当递推到最简单的不用再简化的问题时 最简单的不用再简化的问题时， 终止。 函数中 函数中， 的情况。 终止。如f函数中，n==0的情况。 的情况
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递归深度 0（主程序） 1
f（n） f（6） f（6）＝6×f（5）
求f(6)的递归调用过程 的递归调用过程
6×120＝720 5×24＝120 4×6＝24 3×2＝6 2×1＝2 1×1＝1
递
2 3 4 5 6
推 阶 段
f（5）＝5×f（4） f（4）＝4×f（3） f（3）＝3×f（2） f（2）＝2×f（1） f（1）＝1×f（0） f（0）＝1 （返回） [递推阶段]
调用
真
0＝＝ ＝＝0 ＝＝
假
f(0) ＝1
计算 2*f(1)
计算 1*f(0)
④
返回2 返回
返回 1
③
返回 1
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2.递归过程 递归过程
• 请思考： 请思考： – 发出 发出f(2)调用时，将2赋值给形参 。然后发出 调用时， 赋值给形参n。然后发出f(1)调用，将 调用， 调用时 赋值给形参 调用 1赋值给形参 。接着发出 赋值给形参n。接着发出f(0)调用，将0赋值给形参 。后 调用， 赋值给形参 赋值给形参n。 赋值给形参 调用 来赋给形参n的值会不会覆盖原来赋给 的值（如值1覆盖 的值会不会覆盖原来赋给n的值 来赋给形参 的值会不会覆盖原来赋给 的值（如值 覆盖 原来的值2）？为什么？ ）？为什么 原来的值 ）？为什么？ 不会，每一次函数调用会在栈顶分配新的活动记录。 －不会，每一次函数调用会在栈顶分配新的活动记录。 – 对递归函数的每一次调用结束返回时，为何能回到调用前 对递归函数的每一次调用结束返回时， 的程序运行状态？ 调用结束返回f(2)时 的值为2。 的程序运行状态？如f(1)调用结束返回 时，n的值为 。 调用结束返回 的值为 －函数访问的永远是栈顶的活动记录。当f(1)调用结束时， 函数访问的永远是栈顶的活动记录。 调用结束时， 调用结束时 位于栈顶的f(1)的活动记录将出栈，此时位于栈顶的将是 的活动记录将出栈， 位于栈顶的 的活动记录将出栈 f(2)的函数活动记录。 的函数活动记录。 的函数活动记录
根据以上数学 定义，函数f能 定义，函数 能 否写成左边所 示？函数能否 调用自身？ 调用自身？
答案是肯定的。 答案是肯定的。 C系统会保证 系统会保证 调用过程的正 确性， 确性，这就是 递归！ 递归！
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递归的定义： 递归的定义： int f(int n) 从程序书写来看，在定义一个 { 从程序书写来看， 函数时， 函数时，若在函数的功能实现部 if(n == 0) 分又出现对它本身的调用， 分又出现对它本身的调用，则称 return 1; 该函数是递归的或递归定义的。 该函数是递归的或递归定义的。 else return n * f(n-1); 从函数动态运行来看， 从函数动态运行来看，当调用 一个函数A时 在进入函数A且 一个函数 时，在进入函数 且 } 还没有退出（返回）之前， 还没有退出（返回）之前，又再 一次由于调用A本身而进入函数 一次由于调用 本身而进入函数 A，则称之为函数 的递归调用。 的递归调用。 ，则称之为函数A的递归调用
• 递归算法在可计算性理论中占有重要地位，它 递归算法在可计算性理论中占有重要地位， 是算法设计的有力工具， 是算法设计的有力工具，对于拓展编程思路非 常有用。 常有用。就递归算法而言并不涉及高深数学知 识，只不过初学者要建立起递归概念不十分容 易。 • 我们先从一个最简单的例子导入。 我们先从一个最简单的例子导入。
调用f(0) 调用
n n n i
0 /*13*/ 1 /*13*/ 2 /*5*/ 2
f(0)返 返 回值1 回值
n n i
1 /*13*/ 2 /*5*/ 2
1. int f(int); 调用 调用f(1) 2. main() 1 n 调用f(2) 调用 { /*13*/ 3. 2 n 4. int i=2; /*5*/ 5. printf(“%d”,f(i)); 2 i 6. system(“pause”); 7. } 4 8. int f(int n)//递归函数：求n! 递归函数： 递归函数 9. { 10. if(n==0) 11. return 1; f(1)返 返 12. 回值1 else 回值 13. return n*f(n-1); f(2)返 返 回值2 回值 14. }