2019届高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.3全称量词与存在量词逻辑联结词学案

§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等．(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等．2．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．3．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.4．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p或q：p，q中有一个为真，则p或q为真，即有真为真．(2)p且q：p，q中有一个为假，则p且q为假，即有假即假．(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．( √)(2)命题p和綈p不可能都是真命题．( √)(3)若命题p，q中至少有一个是真命题，则p或q是真命题．( √)(4)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( ×)(5)命题綈(p且q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．( ×)题组二教材改编2．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p或q，p且q中真命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p或q，p且q都是真命题．3．命题“正方形都是矩形”的否定是______________________________．答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形题组三 易错自纠4．已知命题p ，q ，“綈p 为真”是“p 且q 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 由綈p 为真知，p 为假，可得p 且q 为假；反之，若p 且q 为假，则可能是p 真q 假，从而綈p 为假，故“綈p 为真”是“p 且q 为假”的充分不必要条件，故选A. 5．下列命题中， 为真命题的是( ) A ．任意x ∈R ，－x 2－1<0 B ．存在x ∈R ，x 2＋x ＝－1 C ．任意x ∈R ，x 2－x ＋14>0D ．存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2<0 答案 A6．若“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意知，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设命题p ：函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x ＋1的值域为(0,1)，则下列命题是真命题的为( ) A ．p 且q B ．p 或q C ．p 且(綈q ) D ．綈q答案 B解析函数y＝log2(x2－2x)的递增区间是(2，＋∞)，所以命题p为假命题．由3x>0，得0<13x＋1<1，所以函数y＝13x＋1的值域为(0,1)，故命题q为真命题．所以p且q为假命题，p或q为真命题，p且(綈q)为假命题，綈q为假命题．故选B. 2．(2017·山东)已知命题p：任意x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是( )A．p且q B．p且(綈q)C．(綈p)且q D．(綈p)且(綈q)答案 B解析∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln(x＋1)＞ln 1＝0.∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2＜b2，∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．∴p且q为假命题，p且(綈q)为真命题，(綈p)且q为假命题，(綈p)且(綈q)为假命题．故选B.3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p且q为真；②p或q为假；③p或q为真；④(綈p)或(綈q)为假．其中，正确的是________．(填序号)答案②解析命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．思维升华“p或q”“p且q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p且q”“p或q”“綈p”等形式命题的真假．题型二含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假典例 (2017·韶关南雄二模)下列命题中的假命题是( ) A ．任意x ∈R,2x －1>0 B ．任意x ∈N ＋，(x －1)2>0 C ．存在x ∈R ，lg x <1 D ．存在x ∈R ，tan x ＝2答案 B解析 当x ∈N ＋时，x －1∈N ，可得(x －1)2≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故B 不正确；易知A ，C ，D 正确，故选B.命题点2 含一个量词的命题的否定典例 (1)命题“任意x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＞0”的否定是( )A ．存在x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＜0B ．任意x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≤0C ．任意x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＜0D ．存在x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≤0答案 D解析 全称命题的否定是特称命题，“>”的否定是“≤”．(2)(2017·河北五个一名校联考)命题“存在x ∈R,1＜f (x )≤2”的否定形式是( ) A ．任意x ∈R,1＜f (x )≤2 B ．存在x ∈R,1＜f (x )≤2 C ．存在x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2 D ．任意x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2 答案 D解析 特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“任意x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2”．思维升华 (1)判定全称命题“任意x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ，使p (x )成立． (2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练 (1)下列命题中的真命题是( ) A ．存在x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32B ．任意x ∈(0，＋∞)，e x>x ＋1 C ．存在x ∈(－∞，0)，2x <3x D ．任意x ∈(0，π)，sin x >cos x答案 B解析 ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2<32，故A 错误；设f (x )＝e x－x －1，则f ′(x )＝e x－1，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (0)＝0， ∴任意x ∈(0，＋∞)，f (x )>0， 即e x >x ＋1，故B 正确；当x <0时，y ＝2x 的图像在y ＝3x 的图像上方，故C 错误；∵当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4时，sin x <cos x ，故D 错误．故选B.(2)(2017·福州质检)已知命题p ：“存在x ∈R ，e x－x －1≤0”，则綈p 为( ) A ．存在x ∈R ，e x－x －1≥0 B ．存在x ∈R ，e x －x －1>0 C ．任意x ∈R ，e x －x －1>0 D ．任意x ∈R ，e x －x －1≥0 答案 C解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p 为“任意x ∈R ，e x－x －1>0”，故选C.题型三 含参命题中参数的取值范围典例 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p 且q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________．答案 [－12，－4]∪[4，＋∞)解析 若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0， 即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题， 则－a4≤3，即a ≥－12.∵p 且q 是真命题，∴p ，q 均为真， ∴a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对任意x 1∈[0,3]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例(2)中，若将“存在x 2∈[1,2]”改为“任意x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练 (1)已知命题“存在x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞) D ．(－3,1)答案 B解析 原命题的否定为任意x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a－1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，即－1＜a ＜3.(2)已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]答案 A解析 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2. 因此由p ，q 均为假命题，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.常用逻辑用语考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系． 一、命题的真假判断典例 (1)(2017·佛山模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件(2)(2018届全国名校大联考)已知命题p ：任意x ∈R ，3x<5x；命题q ：存在x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p 且q B ．(綈p )且q C ．p 且(綈q )D ．(綈p )且(綈q )解析 (1)由ln a ＞ln b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a ＞b ，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立． (2)若x ＝0，则30＝50＝1，∴p 是假命题， ∵方程x 3＝1－x 2有解，∴q 是真命题， ∴(綈p )且q 是真命题． 答案 (1)B (2)B 二、充要条件的判断典例 (1)(2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知命题甲是“⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 2＋xx －1≥0”，命题乙是“{x |log 3(2x ＋1)≤0}”，则下列说法正确的是( ) A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，又不是乙的必要条件(2)(2017·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设p ：0＜r ＜3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析 (1)x 2＋xx －1≥0等价于x (x ＋1)(x －1)≥0且x ≠1，解得－1≤x ≤0或x >1.由log 3(2x ＋1)≤0，得0<2x ＋1≤1，得－12<x ≤0.∴甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件．故选B.(2)圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0＜r ＜3，故p 是q 的充要条件，故选C. 答案 (1)B (2)C 三、求参数的取值范围典例 (1)已知命题p ：任意x ∈[0,1]，a ≥e x，命题q ：存在x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x＋a ，若任意x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，存在x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．解析 (1)命题“p 且q ”是真命题，p 和q 均是真命题．当p 是真命题时，a ≥(e x)max ＝e ；当q 为真命题时，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，所以a ∈[e,4]． (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，∴f (x )≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意知f (x )min ≥g (x )min ，即4≥a ＋4，∴a ≤0.答案 (1)[e,4] (2)(－∞，0]1．已知命题p ：“x >3”是“x 2>9”的充要条件，命题q ：“a 2>b 2”是“a >b ”的充要条件，则下列判断正确的是( ) A ．p 或q 为真 B ．p 且q 为真 C ．p 真q 假 D ．p 或q 为假答案 D解析 ∵p 假，q 假，∴p 或q 为假．2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图像关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p 且q 为假D ．p 或q 为真 答案 C解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故命题p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，故命题q 为假命题，故p 且q 为假．故选C.3．(2017·唐山一模)已知命题p ：存在x ∈N ，x 3<x 2；命题q ：任意a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图像过点(2,0)，则下列判断正确的是( )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真 答案 A解析 对任意x ∈N ，x 3≥x 2，∴p 假，又当x ＝2时，f (2)＝log a 1＝0，∴f (x )的图像过点(2,0)，∴q 真．4．(2017·豫西五校联考)若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是( )A ．任意x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．任意x ∈R ，f (－x )＝－f (x )C ．存在x ∈R ，f (－x )≠f (x )D ．存在x ∈R ，f (－x )＝－f (x )答案 C解析 由题意知任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )是假命题，则其否定为真命题，存在x ∈R ，f (－x )≠f (x )是真命题，故选C.5．(2017·安庆二模)设命题p ：存在x ∈(0，＋∞)，x ＋1x＞3；命题q ：任意x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，则下列命题为真的是( )A ．p 且(綈q )B ．(綈p )且qC ．p 且qD ．(綈p )或q答案 A解析 对于命题p ，当x 0＝4时，x 0＋1x 0＝174＞3，故命题p 为真命题；对于命题q ，当x ＝4时，24＝42＝16，即存在x ∈(2，＋∞)，使得2x ＝x 2成立，故命题q 为假命题，所以p 且(綈q )为真命题，故选A.6．已知命题p ：存在α∈R ，cos(π－α)＝cos α；命题q ：任意x ∈R ，x 2＋1＞0，则下列结论正确的是( )A ．p 且q 是真命题B ．p 且q 是假命题C ．綈p 是真命题D ．綈q 是真命题 答案 A解析 对于p ：取α＝π2，则cos(π－α)＝cos α， 所以命题p 是真命题；对于命题q ：因为x 2≥0，所以x 2＋1＞0，所以q 是真命题．由此可得p 且q 是真命题．7．下列命题中，真命题是( )A ．存在x ∈R ，e x ≤0B ．任意x ∈R,2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b ＝－1D ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”的充分条件答案 D解析 因为y ＝e x ＞0，x ∈R 恒成立，所以A 不正确；因为当x ＝－5时，2－5＜(－5)2，所以B 不正确；“a b ＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，C 不正确；当a ＞1，b ＞1时，显然ab ＞1，D 正确．8．命题p ：任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞) 答案 D解析 因为命题p ：任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以綈p ：存在x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＜0，则a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞4. 9．命题“存在n ∈N ，n 2＞2n ”的否定是________________．答案 任意n ∈N ，n 2≤2n10．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“存在x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.答案 0解析 若“存在x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则“任意x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝f (0)＝0.11．以下四个命题：①任意x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②存在x ∈Q ，x 2＝2；③存在x ∈R ，x 2＋1＝0；④任意x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．答案 0解析 ∵x 2－3x ＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题；对任意x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．故真命题的个数为0.12．已知命题“任意x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是____________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞ 解析 由“任意x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图像恒在x 轴的上方，故Δ＝25－4×152a <0， 解得a >56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞.13．已知命题p ：－4<x －a <4，命题q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______．答案 [－1,6]解析 p ：－4<x －a <4等价于a －4<x <a ＋4；q ：(x －2)(3－x )>0等价于2<x <3.又綈p 是綈q 的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2，a ＋4>3，或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4<2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.14．下列结论：①若命题p ：存在x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：任意x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p 且(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________．答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p 且(綈q )为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确，所以正确结论的序号为①③.15．已知命题p ：存在x ∈R ，e x －mx ＝0，命题q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p 或(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是________．答案 [0,2]解析 若p 或(綈q )为假命题，则p 假q 真．由e x －mx ＝0，可得m ＝e x x，x ≠0， 设f (x )＝e x x，x ≠0，则 f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e xx 2， 当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e x x在(1，＋∞)上是递增函数；当0<x <1或x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e x x在(0,1)和(－∞，0)上是递减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e x x的值域是(－∞，0)∪[e，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m <e. 当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p 或(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2. 16．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)． (1)若存在x ∈[2，＋∞)，使f (x )＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________；(2)若任意x 1∈[2，＋∞)，存在x 2∈[2, ＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为_______________．答案 (1)[3，＋∞) (2)(1，3]解析 (1)因为f (x )＝x 2－x ＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以若存在x ∈[2，＋∞)，使f (x )＝m 成立，则实数m 的取值范围为[3，＋∞)．(2)因为当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若任意x 1∈[2，＋∞)，存在x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤3，a ＞1， 解得a ∈(1，3]．。