cha10-1向量
大一向量数学知识点总结
大一向量数学知识点总结向量是数学中重要的概念，它在几何学、物理学和工程学等领域起着重要作用。
本文将对大一学习的向量相关知识点进行总结。
一、向量的定义和表示方式向量可以理解为有大小和方向的量，常用符号为箭头上方带有一个字母，如a、b等。
向量有多种表示方式，包括坐标表示、分量表示和矩阵表示。
1. 坐标表示：在坐标系中，向量的表示可以用有序数对表示，如(a, b)，其中a为横坐标分量，b为纵坐标分量。
2. 分量表示：向量可以表示为各个方向上的分量的数值构成的序列，如(a1, a2, a3, ..., an)，其中ai为向量在每个方向上的分量。
3. 矩阵表示：向量可以表示为一个行向量或列向量的矩阵形式，如[a1, a2, a3, ..., an]或[a1; a2; a3; ...; an]。
二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
若向量a = (a1, a2, ..., an)和向量b = (b1, b2, ..., bn)，则它们的和a + b = (a1+b1, a2+b2, ..., an+bn)。
2. 向量的数乘：向量的数乘指将向量的每个分量与一个实数相乘。
若向量a = (a1, a2, ..., an)，实数k，则其数乘ka = (ka1, ka2, ..., kan)。
3. 内积：向量的内积又称为点积，表示两个向量之间的夹角和向量长度的乘积。
内积的计算方式有两种。
a. 几何定义：设向量a = (a1, a2, ..., an)和向量b = (b1, b2, ..., bn)，则它们的内积为a·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn。
b. 分量定义：设向量a = (a1, a2, ..., an)和向量b = (b1, b2, ..., bn)，则它们的内积为a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
4. 外积：向量的外积又称为叉积，其结果是一个向量。
数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题第三章实
- 1 -第三章上机习题用你所熟悉的的计算机语言编制利用QR 分解求解线性方程组和线性最小二乘问题的通用子程序，并用你编制的子程序完成下面的计算任务：（1）求解第一章上机习题中的三个线性方程组，并将所得的计算结果与前面的结果相比较，说明各方法的优劣； （2）求一个二次多项式+bt+cy=at 2，使得在残向量的2范数下最小的意义下拟合表3.2中的数据；（3）在房产估价的线性模型111122110x a x a x a x y ++++=中，1121,,,a a a 分别表示税、浴室数目、占地面积、车库数目、房屋数目、居室数目、房龄、建筑类型、户型及壁炉数目，y 代表房屋价格。
现根据表3.3和表3.4给出的28组数据，求出模型中参数的最小二乘结果。
（表3.3和表3.4见课本P99-100）解 分析：（1）计算一个Householder 变换H ： 由于TTvv I wwI H β-=-=2，则计算一个Householder 变换H 等价于计算相应的v 、β。
其中)/(2,||||12v v e x x v T=-=β。
在实际计算中，为避免出现两个相近的数出现的情形，当01>x 时，令212221||||)(-x x x x v n +++=；为便于储存，将v 规格化为1/v v v =，相应的，β变为)/(221v v v T=β为防止溢出现象，用∞||||/x x 代替 （2）QR 分解：利用Householder 变换逐步将n m A n m ≥⨯,转化为上三角矩阵A H HH n n 11-=Λ，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0R Q A ，其中n H H H Q 21=，:),:1(n R Λ=。
在实际计算中，从n j :1=，若m j <，依次计算)),:((j m j A x =对应的)1()1()~(+-⨯+-k m k m j H即对应的j v ，j β，将)1:2(+-j m v j 储存到),:1(j m j A +，j β储存到)(j d ，迭代结束后再次计算Q ，有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-~001j j j H I H，n H H H Q 21=（m n =时1-21n H H H Q =）（3）求解线性方程组b Ax =或最小二乘问题的步骤为 i 计算A 的QR 分解；ii 计算b Q c T 11=，其中):1(:,1n Q Q = iii 利用回代法求解上三角方程组1c Rx =（4）对第一章第一个线性方程组，由于R 的结果最后一行为零，故使用前代法时不计最后一行，而用运行结果计算84x 。
正规三角矩阵余代数上的余导子
è è0 0ø
è0 0ø ø
c1) θ(
c1)ö
c2) θ(
c2)ö
æδC (
æδC (
æc2 0ö æc1 0ö
÷+ ç
÷ ç
÷ ç
÷,
=ç
ϑ(
c1)ø
ϑ(
c2)ø
è0 0ø è0 0ø
è 0
è 0
且
因此
c) θ(
c)ö æδC (
c)
0ö
c)
0ö æθ(
c)<-1> 0ö
c)<0>ö
÷+
Δδç
τ(
m )ø è 0
è0 0 ø
è 0
è 0
è0
0ø
0ø è
0
0ø
0 ø
m )[0]ö
0 ö æ0
0 ö
0 ö
æ0 f(
æ0
æ0
ç
÷ ç
÷+ ç
÷ ç
÷.
(
)
(
)
(
è0
è0 f m [1]ø è0 τ m 1 ø
è0 τ m )
0 ø
2ø
因此
Δ(
m ))=m <-1> ξ(
m <0>),Δ(
f(
证毕 .
c)+ξ(
m)
m)
ö
æc m ö
æc m ö æδC (
f(
根据以上命题,对任意的 ç
÷ ∈T,
÷=ç
÷.
δç
0
δD (
d)+τ(
m )ø
è0 d ø
向量运算法则
5) cos0= x 2+y 2-x 2 +y 22 (7)平面两点间的距离公式:a =(x ,y )，b =(x ,y ))。
2211A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2))。
(1) 实数与向量的运算法则：设九、卩为实数，则有：1)结合律:九(p a)=(川)a 。
2)分配律：(九+p )=X a +p a ,九(a +b)=X a +X b 。
(2) 向量的数量积运算法则：1) a •b =b •a 。
2) (X a ).b =X (a .b)=X a .b =a(X b)。
3) (a +b)e c =a .c +b .c 。
(3) 平面向量的基本定理。
q,e 2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a ，有且仅有一 对实数X,X ，满足a =X e +X e 。
121122(4) a 与b 的数量积的计算公式及几何意义：a .b =1aIIbIcos 0，数量积a .b 等于a 的长度IaI 与b 在a 的方向上的投影IbIcos 0的乘积。
(5) 平面向量的运算法则。
1) 设a =(x ,y ),b =(x ,y )，则a +b =(x +x ,y +y )。
112212122) 设a =(x ,y ),b =(x ,y )，则a -b =(x -x ,y -y )。
112212123)设点A (x ,y ),B (x ,y ),则AB =OB —OA =(x —x ,y —y )。
112221214)设a =(x,y),X E R ,则X a =(X x,X y)。
设a =(x ,y ),b =(x ,y ),贝I 」a .b =(xx +yy )。
1122•12126)两向量的夹角公式：d =I AB I =AB -AB ^；(x —x )2+(y —y )2A ,B V 2121(8)向量的平行与垂直：设a =(x ,y ),b =(x ,y ),且b 丰0,则有:11221) a II b O b =X a o xy -xy =0。
高一必修一基本初等向量知识点总结归纳
高一必修一基本初等向量知识点总结归纳向量是物理学和数学中非常重要的概念，它在解决问题时具有广泛的应用。
以下是高一必修一基本初等向量的知识点总结和归纳：1. 向量的表示方法- 向量可以用一个有方向的线段来表示，线段的起点表示向量的起点，线段的长度和方向表示向量的大小和方向。
- 向量通常用小写的字母加上一个带箭头的上方标记来表示，例如`→AB` 表示从点 A 到点 B 的向量。
2. 向量的运算- 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即`→AB +→BC = →AC`。
- 向量的减法：向量的减法可以转化为向量加法，即`→AB -→BC = →AB + (-→BC)`，其中 `-→BC` 表示与向量`→BC` 方向相反且长度相等的向量。
- 向量的数乘：数乘是指将向量的长度乘以一个实数，改变向量的大小，但不改变其方向。
例如`2→AB` 表示向量`→AB` 的长度变为原来的两倍。
3. 向量的性质- 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为平行向量。
- 共线向量：如果两个向量的方向相同或平行，它们被称为共线向量。
- 零向量：长度为零且没有方向的向量被称为零向量，用`→0` 表示。
4. 向量的模和方向角- 向量的模：向量的模是指向量的长度，用`|→AB|` 或`||→AB||` 表示。
- 向量的方向角：向量与某条坐标轴正方向之间的夹角称为向量的方向角。
用`α` 表示向量的方向角，通常在 0 到 360 度之间。
5. 平行四边形法则- 如果两个向量的起点相同，可以将它们按照平行四边形的法则相加。
即，将两个向量的起点相连，并且另一个端点与首先相连的向量的末端相连，这样形成的线段就是两个向量的和的向量。
以上是高一必修一基本初等向量的知识点总结和归纳。
通过了解和掌握这些知识，你将能够更好地理解向量的概念，并能够应用于解决实际问题。
Cha电信PPT课件
p(bi | a j ) 1或0 • 噪声熵H(Y|X) ＝ 0
p(ai
|
bj
)
1或0
• 损失熵H(X|Y) ≠ 0
I(X ,Y ) H (Y ) H (X )
C max I (X ;Y ) max H (Y ) p(ai )
信道中接收到 符号Y后不能 完全消除对X 的不确定性, 信息有损失。 但输出端Y的 平均不确定性 因噪声熵等于 零而没有增加。26
内容
3.1 信道分类和表示参数 3.2 离散单个符号信道及其容量 3.3 离散序列信道及其容量
1
3.1 信道分类和表示参数
2
信道
• 信道：信息传输的通道
–在通信中,信道按其物理组成常被分成微波信 道、光纤信道、电缆信道等。信号在这些信 道中传输的过程遵循不同的物理规律, 通信 技术必须研究信号在这些信道中传输时的特 性
C
max
p(ai )
I
(X
;Y
)
max
H
(Y
)
log
2
m
29
3.2.2 对称DMC信道
• 对称离散无记忆信道：
• 对称性:
–每一行都是由同一集合{q1, q2,…qm}的诸
元素不同排列组成——输入对称
–每一列都是由{p1, p2,…pn}集的诸元素不
同排列组成——输出对称
1 1 1 1
P
3
3
6
6
31
对称DMC信道
• 对称离散信道的平均互信息为
I(X ,Y ) H (X ) H (X |Y ) H (Y ) H (Y | X )
H (Y | X ) p(ai ) p(bj | ai ) logp(bj | ai )
解线性方程组的列主元素高斯消去法和lu分解法
数值试验报告分析一、实验名称：解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU 分解法二、实验目的及要求：通过数值实验，从中体会解线性方程组选主元的必要性和LU分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。
三、算法描述：本次试验采用的是高斯列主元消去法和LU分解法求解线性方程组的解。
其中，高斯消去法的基本思想是避免接近于零的数作分母；能进行到底的条件: 当A可逆时，列主元Gauss（高斯）消去法一定能进行到底。
优点: 具有很好的数值稳定性；具有与顺序Gauss 消去法相同的计算量。
列主元Gauss（高斯）消去法的精度显著高于顺序Gauss（高斯）消去法。
注意:省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。
矩阵的三角分解法是A=LU,L 是下三角阵，U是上三角阵,Doolittle 分解:L 是单位下三角阵，U是上三角阵；Crout 分解:L 是下三角阵，U是单位上三角阵。
矩阵三角分解的条件是矩阵 A 有唯一的Doolittle 分解的充要条件是 A 的前n-1 顺序主子式非零；矩阵A有唯一的Crout 分解的充要条件是 A 的前n-1 顺序主子式非零。
三角分解的实现是通过（1）Doolittle 分解的实现；（2）Doolittle 分解的缺点：条件苛刻，且不具有数值稳定性。
（3）用Doolittle 分解求解方程组: AX=b LUX=b LY=bA=LU UX=Y ；四、实验内容：解下列两个线性方程组3.01 6.03 1.99 x1 11） 1.27 4.16 1.23 x2 10.987 4.81 9.34 x3 110 7 0 1 x1 83 2.099999 6 2 x2 5.9000012） 5 1 5 1x3 52 1 0 2 x4 1a、用你熟悉的算法语言编写程序用列主元高斯消去法和LU分解求解上述两个方程组，输出Ax=b 中矩阵 A 及向量b, A=LU 分解的L 及U，detA 及解向量x.b、将方程组（1）中系数 3.01 改为 3.00 ，0.987 改为0.990 ，用列主元高斯消去法求解变换后的方程组，输出列主元行交换次序，解向量x 及detA ，并与（1）中结果比较。
Ch10-1向量
→
混合积的几何意义
[ a , b , c ] = ( a × b ) ⋅ c =| a × b | | c | cosθ ， 其中 θ = ( a × b , c )．
→ → →
→
→
→
→
→
→
→
→
∧
→
以 a , b , c 为棱作一平行六面体．
→
→
→
→
a× b
→ →
h | c | cosθ
→
θ
→
c
→
称为 b 在 a 上的 投影 (量 ),
O
B
记作 Prja
∧ → →
b
或简记为（ b） a
→
C
→
A
注.
(1) 当 ( a , b ) <
π
2
b ， Prj a > 0，投影向量的方向与 a 一致．
当 (a, b) >
∧ → →
π
2
， Prja < 0，
b
→
B
投影向量方向与 a 相反．
C
O
A
因此， 在 a 上的投影向量为 b
→
a× a = 0 .
→
→
→
→
→
→
a // b
→ → →
⇔
→
→
a× b = 0
→
→
a × b = −( b × a )
→ →
→
→
(反交换律 ) (与数乘的结合律 ) (左分配律 ) (右分配律 )
( 3) ( λ a ) × b = λ ( a × b ) = a × ( λ b )
→
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→ →
→
→
→
→ →
( 2) 结合律 ( a + b ) + c = a + ( b + c )
( 3) 0+ a = a
→ → →
( 6) ( λ + µ ) a = λ a + µ a
(7 ) (λµ ) ⋅ a = λ ( µ a )
→ →
( 4) a + ( − a ) = 0
F
θ
S
W =| F | ⋅ cosθ ⋅ | S |
→ →
→
→
→ → → → 定义 1 给定向量 a 和 b ，作 OA = a ，OB = b ，则称 θ = ∠AOB
(θ ∈ [0, π ]) 为向量 a 和 b 的夹角，
记作 ( a , b ) ．
∧ → →
→
→
B
θ
O
A
则 当 ( a , b ) = 0 或 π 时， a 与 b 平行或共线， 记 a // b ．
→
→
→ →
所以有 从而
a ⋅ b = 0．
→ →
→
a− b
→ →
→
→
a ⊥ b．
b
→
a+ b
a
例 4 用向量方法证明三角形 的三条高必交于一点．
证
在 ∆ABC 中，
C
O 设过 A 点与 B 点的高交于点 O ， → → → → A B 连接 OC，则有 OA ⊥ BC ，OB ⊥ AC ， → → → → → → → → → 即 OA⋅ BC = OA⋅ (OC − OB ) = 0, 从而 OA⋅ OC = OA⋅ OB；(1) → → → → → → → → → OB⋅ AC = OB⋅ (OC − OA) = 0, 从而 OB⋅ OC = OB⋅ OA； ( 2)
从而可知三高必交于一 点。
→ → → → 定义 3 设 OA = a ， OB = b ，C 为 B 在直线 OA 上的垂足， → → → 则 OC 称为向量 b 在 a 上的 投影向量． 而
→ → → ∧ → → →
四. 投影
| b | cos ( a , b ) 称为 b 在 a 上的 投影 (量 ),
如果若干个向量通过平 移可以放在同一个平面 内。
向径 或 位置向量
Q
P
O
M
向量 OP ⇔ 终点 P 称 向量 OP 为 点 P（关于点 O）的向径 或径向量，也称为 位置向量。
--→ --→
二. 向量的线性运算
任取一点 A， AB = a， 作 加法定义： 设有两个向量 a 与 b ， 作 则向量 AC = c 再以 B 为起点， BC = b， 连接 AC， 称为向量 a 与 b 的和，记为 a + b． 此为向量相加的 三角形法则．
∧ → →
→
→
→
→
当 (a, b) =
∧ → →
π
2
时， 则称 a 与 b 垂直， 记 a ⊥ b ．
→ → → → ∧ → →
→
→
→
→
定义 2 任意给定向量 a 与 b ， | a | | b | cos ( a , b ) 称
为 a 与 b 的 内积，记为 a ⋅ b ，即
→ →
→
→
→ →
a ⋅ b =| a | | b | cos ( a , b )
→
B
b
O C
→
记作 Prj→ b 或简记为（b） →
∧ → →
a
→
a
→
A
a
注 . (1) 当 ( a , b ) < ， Prj → b > 0, 投影向量的方向与 a 一致。 2 a
当 (a, b)>
∧ → →
π
→
π
2
，Prj→ b < 0,
a →
→
B
投影向量方向与 a 相反。
C
O
A
因此，b 在 a 上的投影向量为
λ
A
B
∴ OP = OA+ AP = a+
→ →
λ λ+µ
→
(b− a)
→
→
O
µ a+ λ b = λ+µ
三. 内积
物理应用背景
→
若物体受不变力 F 的推动，在力的方向上移过距离 S，
则力 F 所作的功为
→ → →
W = F×S
F
S
当力 F 与位移 S 的方向不一致时，
成夹角为 θ， 则力 F 所作的功为
→
→
→
→
例7 设 a 为非零向量，证明
→ → 1 → → lim [ | a + t b | − | a | ] = Pr j→ b . t →0 t a
→
证明：
→ 1 → → | a + t b | − | a |2 lim [ | a + t b | − | a | ] = lim → → → t →0 t t →0 t[ | a+ t b | + | a | ]
( 8) 1 ⋅ a = a
由向量加法的交换律与 结合律，可得到任意多 个向量的和．
设 n 个向量 a1 , a 2 ,L , a n ， 则 a1 + a 2 + L + a n 如下图规定：
a1 a2 a3 a n −1 an
→ → →
→
→
→
单位化： 对于非零向量 a ， 容易知道 e→ =
a
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ → → → −−→
→
→
→
−−→
−−→
解 显然， −→ 1 −→ 1 → −→ 1 −→ 1 → OP = OA = a ，OS = OC = c 2 2 2 2
由于
则有
C S
R
B
Q
AB = b − a
−→
−→
→
→
所以
O 1 −→ 1 → → AQ = AB = ( b − a ) 2 2 −−→ −−→ −−→ → 1 → → 1 → → OQ = OA+ AQ = a + ( b − a ) = ( b + a ) 2 2
b b b
→
→
→
→
证明： (a1 + a 2 )→ =
b
→ →
→
→
(a1 + a 2 ) ⋅ b
→
→
→
→
=
a1 ⋅ b + a 2 ⋅ b
→
→ →
|b|
|b| = (a1 )→ + (a 2 )→
b b
→ →
推广： (a1 + L + a n )→ = (a1 )→ + L + (a n )→
b b b
由 (1), ( 2) 得
→ → → → OA⋅ OC = OB⋅ OC ， → → → OC ⋅ (OB − OA) = 0
即
→ 由 A, B , C 为相异点，AB ≠ 0．则或者
或者
→ → 亦即 OC ⋅ AB = 0．
→ → OC = 0 ，
→ → OC ⊥ AB ．
→ → π OC = 0 说明 O 与 C 重合， 即 ∠ACB = ， 2
A
a+b b C
a
B
平行四边形法则
C b a+b
D
A
a
B
数乘定义 向量 a 与实数 λ 的乘积
→
记作 λ a ， 规定 λ a
→
→
→
是一个向量， 其模为 λ ⋅ a ，它的方向当 λ > 0 时与 a 相同， 当 λ < 0 时 与 a 相反， λ = 0 时为零向量．
→
→
a
λa
→
λa
→
( λ > 0)
→
→
∧ → →
内积也称为 点积 或 数量积。
注 . 若 a ， 均为非零向量，则 b
→ →
cos ( a , b ) =
∧ → →
∧ → →
→ →
a⋅ b
→
→
．
| a || b |
当(a, b) =
→ →
→
π
2
→
时， cos ( a , b ) = 0, 则 a ⋅ b = 0. 反之，
→ → ∧ → →
→ →
→
→
→
→
→
→
证
由 | a + b |=| a − b | ，可知 (a + b)⋅(a + b) = (a − b)⋅(a − b)
即
→ → → → → → → →
→
→
→
→
| a | + | b | + 2 a ⋅ b =| a | + | b | − 2 a ⋅ b
2 2 2 2
→ →
→
→
→ →
→
→
Prj → b ⋅ a = | b | cos ( a , b )
a
→
→ 0
→
→ →
∧
→
→ →
a
→
=
a⋅ b a⋅ a
→
→ →
a．
|a|
→ → ∧ → → →
→
→ →
( 2)
a ⋅ b =| a || b | cos ( a , b ) =| a | Prj→ b =| b | Prj→ a