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新教材高中数学6.4.3余弦定理、正弦定理(第1课时)余弦定理学案新人教A版必修第二册

第1课时余弦定理考点学习目标核心素养余弦定理了解余弦定理的推导过程逻辑推理余弦定理的推论掌握余弦定理的几种变形公式及应用数学运算三角形的元素及解三角形能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题数学运算问题导学预习教材P42－P44的内容，思考以下问题： 1．余弦定理的内容是什么？ 2．余弦定理有哪些推论？1．余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号语言a 2＝b 2＋c 2－2bc cos__Ab 2＝a 2＋c 2－2ac cos__B c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab．■名师点拨余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．3．三角形的元素与解三角形 (1)三角形的元素三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素． (2)解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．( ) (2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．( ) (3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．( ) (4)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则∠A 为锐角．( ) (5)在△ABC 中，若b 2＋c 2＜a 2，则△ABC 为钝角三角形．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝4，b ＝5，c ＝61，则角C 等于( )A ．120°B ．90°C ．60°D ．45°解析：选A.由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝42＋52－（61）22×4×5＝－12，所以C ＝120°，故选A.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 等于( ) A.π6B.π3 C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选A.由余弦定理知a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，因为a 2＋c 2－b 2＝3ac ，所以cos B ＝32，故B ＝π6.已知在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c ＝________．解析：由余弦定理，得c 2＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以c ＝ 3. 答案： 3已知两边及一角解三角形(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30 C.29D ．2 5(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A. 2B. 3 C ．2D ．3【解析】 (1)因为cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝42，故选A.(2)由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ，因为cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0，所以b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去.故选D. 【答案】 (1)A (2)D[变条件]将本例(2)中的条件“a ＝5，c ＝2，cos A ＝23”改为“a ＝2，c ＝23，cos A＝32”，求b 为何值？解：由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋(23)2－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4.解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤(1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．(2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．在△ABC 中，a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，解这个三角形．解：根据余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos 45°＝8，所以b ＝2 2.又因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝8＋（6＋2）2－（23）22×22×（6＋2）＝12，所以A ＝60°，C ＝180°－(A ＋B )＝75°.已知三边(三边关系)解三角形(1)在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝5，c ＝19，则最大角与最小角的和为( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°(2)在△ABC 中，若(a ＋c )(a －c )＝b (b －c )，则A 等于( ) A ．90° B ．60° C ．120°D ．150°【解析】 (1)在△ABC 中，因为a ＝3，b ＝5，c ＝19，所以最大角为B ，最小角为A ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋25－192×3×5＝12，所以C ＝60°，所以A ＋B ＝120°，所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°.故选B.(2)因为(a ＋c )(a －c )＝b (b －c )，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0°，180°)，所以A ＝60°.【答案】 (1)B (2)B已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．[注意] 若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边求解．1．(2019·福建师大附中期末考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2－c 2＋2ac ，则角B 的大小是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：选A.由已知得a 2＋c 2－b 2＝2ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0°＜B＜180°，所以B ＝45°.2．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 的最大内角的余弦值．解：因为a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，不妨设a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k ，显然a ＜b ＜c .所以△ABC 的最大内角为C ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4k 2＋6k 2－（3＋1）2k 246k2＝4＋6－（3＋1）246＝6－2346＝6－24.判断三角形的形状在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cosC ，试判断△ABC 的形状．【解】将已知等式变形为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C .由余弦定理并整理，得b 2＋c 2－b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c 22ab，所以b 2＋c 2＝[（a 2＋b 2－c 2）＋（a 2＋c 2－b 2）]24a 2＝4a 44a2＝a 2. 所以A ＝90°.所以△ABC 是直角三角形．(1)利用余弦定理判断三角形形状的两种途径①化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断． ②化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断． (2)判断三角形时经常用到以下结论①△ABC 为直角三角形⇔a 2＝b 2＋c 2或c 2＝a 2＋b 2或b 2＝a 2＋c 2. ②△ABC 为锐角三角形⇔a 2＋b 2＞c 2，且b 2＋c 2＞a 2，且c 2＋a 2＞b 2.③△ABC 为钝角三角形⇔a 2＋b 2＜c 2或b 2＋c 2＜a 2或c 2＋a 2＜b 2. ④若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2.1．在△ABC 中，A ＝60°，a 2＝bc ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形解析：选D.在△ABC 中，因为A ＝60°，a 2＝bc ，所以由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ，所以bc ＝b 2＋c 2－bc ，即(b －c )2＝0，所以b ＝c ，结合A ＝60°可得△ABC 一定是等边三角形．故选D.2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B.因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以由余弦定理得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝a sin A ，整理，得a ＝a sin A ，所以sin A ＝1. 又A ∈(0，π)，所以A ＝π2.故△ABC 为直角三角形．1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°解析：选B.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋64－492×5×8＝12.所以B ＝60°，所以A ＋C ＝120°.2．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选B.因为(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°.3．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab ＝________．解析：因为C ＝60°，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°，即c 2＝a 2＋b 2－ab .① 又因为(a ＋b )2－c 2＝4，所以c 2＝a 2＋b 2＋2ab －4.②由①②知－ab ＝2ab －4，所以ab ＝43.答案：434．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.所以a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．[A 基础达标]1．(2019·合肥调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，C ＝60°，a ＝4b ，c ＝13，则b ＝( )A ．1B ．2C ．3D.13解析：选A.由余弦定理知(13)2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°，因为a ＝4b ，所以13＝16b 2＋b 2－2×4b ×b ×12，解得b ＝1，故选A.2．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析：选D.由23cos 2A ＋cos 2A ＝0得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝±15.因为A 是锐角，所以cos A ＝15.又因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以49＝b 2＋36－2×b ×6×15.解得b ＝5或b ＝－135.又因为b ＞0，所以b ＝5.3．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：选C.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.4．(2019·江苏苏州部分重点中学高三(上)期中考试)在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( )A.322B.332C.32D ．3 3解析：选B.由BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，可得13＝9＋16－2×3×4×cos A ，得cosA ＝12.因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3，所以AC 边上的高为AB ·sin A ＝3×32＝332. 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A 2＝b ＋c 2c，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选A.在△ABC 中，因为cos 2A 2＝b ＋c 2c ，所以1＋cos A 2＝b 2c ＋12，所以cos A ＝b c .由余弦定理，知b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，所以b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形．6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝________．解析：因为b 2＝ac ，且c ＝2a ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.答案：347．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则c ＝________．解析：由题意，得a ＋b ＝5，ab ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19，所以c ＝19.答案：198．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C 的值是________．解析：bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋a 2＋c 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22.因为a ＝3，b ＝4，c ＝6，所以bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝12×(32＋42＋62)＝612.答案：6129．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .解：在△ABC 中，因为A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19.所以b ＝19.10．在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．解：由余弦定理的推论得：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设所求的中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，则x ＝7.所以所求中线长为7.[B 能力提升]11．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则AB →·BC →的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5D ．－5解析：选D.由余弦定理得：cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝52＋72－822×5×7＝17.因为向量AB →与BC →的夹角为180°－∠ABC ，所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－∠ABC )＝5×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝－5.12．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是( ) A ．(8，10) B ．(22，10) C ．(22，10)D ．(10，8)解析：选B.只需让边长为3和a 的边所对的角均为锐角即可．故⎩⎪⎨⎪⎧12＋32－a22×1×3＞0，a 2＋12－322×a ×1＞0，1＋3＞a ，1＋a ＞3，解得22＜a ＜10.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则a ，b 的大小关系为( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．不能确定解析：选A.在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab .因为c ＝2a ，所以2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，所以a 2－b 2＝ab >0，所以a 2>b 2，所以a >b .14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )2＝b 2－34ac .(1)求cos B 的值；(2)若b ＝13，且a ＋c ＝2b ，求ac 的值．解：(1)由(a －c )2＝b 2－34ac ，可得a 2＋c 2－b 2＝54ac .所以a 2＋c 2－b 22ac ＝58，即cos B ＝58.(2)因为b ＝13，cos B ＝58，由余弦定理，得b 2＝13＝a 2＋c 2－54ac ＝(a ＋c )2－134ac ，又a ＋c ＝2b ＝213，所以13＝52－134ac ，解得ac ＝12. [C 拓展探究]15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解：(1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A ·cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0.①因为sin A ≠0，所以sin B － 3 cos B ＝0.又cos B ≠0，所以tan B ＝ 3.又0<B <π，所以B ＝π3. (2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，有b 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14.② 又0<a <1，于是有14≤b 2<1，即有12≤b <1.。

6.4.3《智能花盆的制作》教学设计2023—2024学年苏科版(2018)初中信息技术九年级全一册

4.社会责任：学生通过学习智能花盆的制作，了解信息技术对社会发展和个人生活的影响，培养学生关注社会、关注环境的责任感和使命感。
5.学会学习：学生在本节课的学习过程中，需要自主探究、查阅资料、合作交流，培养学生自主学习和终身学习的能力。
学习者分析
1.学生已经掌握了哪些相关知识：
学生在九年级之前的学习中，已经初步接触过信息技术的相关知识，如计算机硬件、软件应用、编程语言等。此外，在八年级的信息技术课程中，学生已经学习过传感器的基本原理和应用，对智能硬件有一定的了解。这些知识为本节课的学习打下了基础。
8.社会责任和环境意识：
-智能硬件对社会和环境的影响；
-社会责任的定义和作用；
-环境意识的定义和作用；
-社会责任和环境意识在智能硬件开发中的应用。
9.自主学习和终身学习：
-自主学习的定义和作用；
-自主学习的方法和技巧；
-终身学习的定义和作用；
-自主学习和终身学习在智能硬件开发中的应用。
板书设计
1.重点知识点
-智能硬件的基本构成和功能
-传感器的工作原理和应用
-编程语言和开发工具
-智能硬件与软件的结合
-智能花盆的制作
-项目管理和团队合作
-创新思维和问题解决
-社会责任和环境意识
-自主学习和终身学习
2.关键词、词组
-智能硬件：处理器、传感器、通信模块
-传感器：光电效应、压电效应、热电效应
-编程语言：Python、Java、C++
学生活动：
-完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。
-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。
-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

6.4.3第1课时余弦定理讲义

6.4.3 余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理(教师独具内容)课程标准：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理．教学重点：用向量的方法推导余弦定理，用余弦定理求解三角形的边、角．教学难点：余弦定理在解三角形中的应用．核心素养：1.通过余弦定理的推导过程培养逻辑推理素养.2.通过余弦定理的应用培养数学运算素养.1．对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化． 2．判定三角形的形状(1)有关三角形边角关系解三角形问题，就是从“统一”入手，体现转化思想．判断三角形的形状有两条思路：①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式． ②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式． (2)判定三角形形状时经常用到下列结论：①在△ABC 中，若a 2<b 2＋c 2，则0°<A <90°；反之，若0°<A <90°，则a 2<b2＋c 2.例如：在不等边△ABC 中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，可得角A 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. ②在△ABC 中，若a 2＝b 2＋c 2，则A ＝90°；反之，若A ＝90°，则a 2＝b 2＋c 2. ③在△ABC 中，若a 2>b 2＋c 2，则90°<A <180°；反之，若90°<A <180°，则a 2>b 2＋c 2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况．( )(2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．( )(3)已知△ABC中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状．( )2．做一做(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝7，c ＝3，则B＝____.(2)已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是____三角形．(3)在△ABC中，若a2＋b2－c2＝ab，则角C的大小为____.(4)在△ABC中，AB＝4，BC＝3，B＝60°，则AC等于____.题型一已知两边及一角解三角形例1 在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形．[跟踪训练1] (1)在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是( )A．8 B．217C．6 2 D．219(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，C和边a.题型二已知三边(三边关系)解三角形例2 (1)在△ABC中，若a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为( )A.π3B．π6C．π4D．π12(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长．题型三判断三角形的形状例3 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，试确定△ABC的形状．[跟踪训练3] 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．1．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )A.14B．34C．24D．232．在△ABC中，已知a＝2，则b cos C＋c cos B等于( )A．1 B． 2C．2 D．43．在△ABC中，若a＝3＋1，b＝3－1，c＝10，则△ABC的最大角的度数为____.4．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，b＝2，c＝1＋3，且a2＝b2＋c2－2bc sin A，则边a＝____.5．在△ABC中，b＝a sin C，c＝a cos B，试判断△ABC的形状．一、选择题1．在△ABC中，已知a＝5，b＝15，A＝30°，则c等于( )A．2 5 B． 5C．25或 5 D．以上都不对2．在△ABC中，sin2A2＝c－b2c(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为( )A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2＋2ab＝c2，则角C为( )A.π4B．3π4C．π3D．2π34．(多选)钝角三角形的三边分别为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的值可能为( )A．1 B．3 2C．2 D．35．已知△ABC的三边长分别是x2＋x＋1，x2－1和2x＋1(x>1)，则△ABC的最大角为( )A．150° B．120°C．60° D．75°二、填空题6．若|AB→|＝2，|AC→|＝3，AB→·AC→＝－3，则△ABC的周长为____.7．在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB＝3，BC＝2，AC＝7，则sin∠ABD ＝____.8.如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝33，BD＝5，sin∠ABC＝235，则CD的长度等于____.三、解答题9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－34 ac.(1)求cos B的值；(2)若b＝13，且a＋c＝2b，求ac的值．1．在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－1 2 .(1)求b，c的值；(2)求sin(B＋C)的值．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－3)bc，sin A sin B＝cos2C2，BC边上的中线AM的长为7.(1)求角A和角B的大小；(2)求△ABC的周长．6.4.3 余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理(教师独具内容)课程标准：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理．教学重点：用向量的方法推导余弦定理，用余弦定理求解三角形的边、角．教学难点：余弦定理在解三角形中的应用．核心素养：1.通过余弦定理的推导过程培养逻辑推理素养.2.通过余弦定理的应用培养数学运算素养.1．对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化． 2．判定三角形的形状(1)有关三角形边角关系解三角形问题，就是从“统一”入手，体现转化思想．判断三角形的形状有两条思路：①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式． ②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式． (2)判定三角形形状时经常用到下列结论：①在△ABC 中，若a 2<b 2＋c 2，则0°<A <90°；反之，若0°<A <90°，则a 2<b 2＋c 2.例如：在不等边△ABC 中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，可得角A 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. ②在△ABC 中，若a 2＝b 2＋c 2，则A ＝90°；反之，若A ＝90°，则a 2＝b 2＋c 2. ③在△ABC 中，若a 2>b 2＋c 2，则90°<A <180°；反之，若90°<A <180°，则a 2>b 2＋c 2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况．( ) (2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．( ) (3)已知△ABC 中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ 2．做一做(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝____.(2)已知△ABC 的三边分别为2,3,4，则此三角形是____三角形． (3)在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＝ab ，则角C 的大小为____. (4)在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，B ＝60°，则AC 等于____. 答案 (1)5π6 (2)钝角 (3)π3(4)13题型一已知两边及一角解三角形例1 在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形．[解]由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos45°＝8，∴b＝22，又cos A＝b2＋c2－a22bc＝8＋6＋22－2322×22×6＋2＝12，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.已知两边及一角解三角形的两种情况(1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用余弦定理求解其他角．(2)三角形中已知两边和一边的对角，解法如下：利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边的长．[跟踪训练1] (1)在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是( )A．8 B．217C．6 2 D．219(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，C和边a.答案(1)D (2)见解析解析(1)根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2ab cos C＝16＋36－2×4×6×cos120°＝76，∴c＝219.(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴32＝a2＋(33)2－2a×33×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或6.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.当a＝6时，由余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc＝9＋27－362×3×33＝0.∴A＝90°，∴C＝60°.题型二已知三边(三边关系)解三角形例2 (1)在△ABC中，若a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为( )A.π3B．π6C．π4D．π12(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长．[解析](1)因为c<b<a，所以最小角为角C.所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝49＋48－13 2×7×43＝32，所以C＝π6，故选B.(2)已知a－b＝4，则a>b，且a＝b＋4，又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，则b>c，从而a>b>c，所以a为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a －8.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.又b＝a－4>0，所以a＝14.即此三角形的最大边长为14.[答案](1)B (2)见解析[条件探究] 若本例(1)中条件不变，如何求最大角的余弦值呢？解因为c<b<a，所以最大角为角A，所以由余弦定理可得cos A＝b2＋c2－a22bc＝432＋132－72 2×43×13＝48＋13－49839＝3926.故△ABC 的最大角的余弦值为3926.已知三边求解三角形的方法(1)已知三角形的三边求角时，可先利用余弦定理求解出各角的大小． (2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边求解．在已知三边求三个角时，一般先求小角后求大角．[跟踪训练2] (1)在△ABC 中，(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则此三角形的最大内角为____.(2)在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．答案 (1)120° (2)见解析解析 (1)由(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，得a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，∴边a 最大．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴A ＝120°.(2)解法一：由余弦定理的推论，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2×AC 2×AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，则x ＝7.∴所求中线长为7.解法二：在△ABC 中，设AC 边上的中线长为x ，如图，以AB ，BC 为邻边作▱ABCD .由余弦定理可得，在△ABC 中，有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos∠ABC ，① 在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ×AD ×cos∠BAD ，② ①＋②可得(2x )2＋AC 2＝2(AB 2＋BC 2)，即(2x )2＋82＝2×(92＋72)，∴x ＝7， ∴所求中线长为7.题型三判断三角形的形状例3 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，试确定△ABC的形状．[解]由2cos A sin B＝sin C，得2cos A sin B＝sin A cos B＋cos A sin B，∴sin(A－B)＝0，又A与B均为△ABC的内角，∴A＝B.由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得(a＋b)2－c2＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab，∴由余弦定理，得cos C＝12，C＝60°，∴△ABC为等边三角形．利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理(有时还要结合三角恒等变换等知识)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．[跟踪训练3] 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．解由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，∵B＝60°，b＝a＋c2，∴⎝⎛⎭⎪⎫a＋c22＝a2＋c2－2ac cos60°.∴(a－c)2＝0，a＝c，又B＝60°，∴△ABC为等边三角形．1．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )A.14B．34C．24D．23答案 B解析∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝2a，∴cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a2 2a·2a ＝3 4.2．在△ABC中，已知a＝2，则b cos C＋c cos B等于( ) A．1 B． 2C．2 D．4答案 C解析b cos C＋c cos B＝b·a2＋b2－c22ab＋c·c2＋a2－b22ac＝2a22a＝a＝2.3．在△ABC中，若a＝3＋1，b＝3－1，c＝10，则△ABC的最大角的度数为____.答案120°解析由c>a>b，知角C为最大角，则cos C＝a2＋b2－c22ab＝－12，∴C＝120°，即此三角形的最大角为120°.4．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，b＝2，c＝1＋3，且a2＝b2＋c2－2bc sin A，则边a＝____.答案 2解析由已知及余弦定理，得sin A＝b2＋c2－a22bc＝cos A，∴A＝45°，∴a2＝b2＋c2－2bc cos45°＝4，a＝2.5．在△ABC中，b＝a sin C，c＝a cos B，试判断△ABC的形状．解由余弦定理知cos B＝a2＋c2－b22ac，代入c＝a cos B，得c＝a·a2＋c2－b22ac，∴c2＋b2＝a2，∴△ABC是以A为直角的直角三角形．又b＝a sin C，∴b＝a·ca，∴b＝c，∴△ABC也是等腰三角形．综上所述，△ABC是等腰直角三角形．一、选择题1．在△ABC中，已知a＝5，b＝15，A＝30°，则c等于( ) A．2 5 B． 5C．25或 5 D．以上都不对答案 C解析∵a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴5＝15＋c2－215×c×32.化简，得c2－35c＋10＝0，即(c－25)(c－5)＝0，∴c＝25或c＝ 5.2．在△ABC中，sin2A2＝c－b2c(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为( )A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形答案 B解析∵sin2A2＝1－cos A2＝c－b2c，∴cos A＝bc＝b2＋c2－a22bc⇒a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故△ABC为直角三角形．3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2＋2ab＝c2，则角C为( )A.π4B．3π4C．π3D．2π3答案 B解析∵a2＋b2＋2ab＝c2，∴a2＋b2－c2＝－2ab，cos C＝a2＋b2－c22ab＝－2ab 2ab ＝－22，∵C∈(0，π)，∴C＝3π4.4．(多选)钝角三角形的三边分别为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的值可能为( )A．1 B．3 2C．2 D．3答案BC解析设钝角三角形的最大角为α，则依题意90°<α≤120°，于是由余弦定理得cosα＝a2＋a＋12－a＋222a a＋1＝a－32a，所以－12≤a－32a<0，解得32≤a<3.故选BC.5．已知△ABC的三边长分别是x2＋x＋1，x2－1和2x＋1(x>1)，则△ABC的最大角为( )A．150° B．120°C．60° D．75°答案 B解析令x＝2，得x2＋x＋1＝7，x2－1＝3,2x＋1＝5，∴最大边x2＋x＋1应对最大角，设最大角为α，∴cosα＝x2－12＋2x＋12－x2＋x＋12 2x2－12x＋1＝－12，∴最大角为120°.二、填空题6．若|AB→|＝2，|AC→|＝3，AB→·AC→＝－3，则△ABC的周长为____. 答案5＋19解析由AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A 及条件，可得cos A ＝－12，∴A ＝120°，再由余弦定理求得BC 2＝19，∴周长为5＋19.7．在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，AB ＝3，BC ＝2，AC ＝7，则sin ∠ABD ＝____.答案12解析因为BD 为∠ABC 的平分线，所以∠ABD ＝12∠ABC .由余弦定理，得cos∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22×AB ×BC ＝32＋22－722×3×2＝12.又cos ∠ABC ＝1－2sin 2∠ABD ＝12，所以sin ∠ABD ＝12.8.如图，在△ABC 中，点D 在AC 上，AB ⊥BD ，BC ＝33，BD ＝5，sin ∠ABC ＝235，则CD 的长度等于____.答案 4解析由题意，知sin ∠ABC ＝235＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠CBD ＝cos ∠CBD ，由余弦定理可得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos∠CBD ＝27＋25－2×33×5×235＝16.∴CD ＝4.三、解答题9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b . 解在△ABC 中，因为A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＝60°.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19.所以b＝19.10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－34 ac.(1)求cos B的值；(2)若b＝13，且a＋c＝2b，求ac的值．解(1)由(a－c)2＝b2－34 ac，可得a2＋c2－b2＝54 ac.所以a2＋c2－b22ac＝58，即cos B＝58.(2)因为b＝13，cos B＝5 8，由余弦定理，得b2＝13＝a2＋c2－54ac＝(a＋c)2－134ac，又a＋c＝2b＝213，所以13＝52－134ac，解得ac＝12.1．在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－1 2 .(1)求b，c的值；(2)求sin(B＋C)的值．解(1)由已知及余弦定理，得cos B＝c2＋a2－b22ca＝9＋c＋b c－b6c＝9－2c＋b6c＝－12，即9－2b＋c＝0，又b－c＝2，所以b＝7，c＝5.(2)由(1)及余弦定理，cos C＝a2＋b2－c22ab＝32＋72－522×3×7＝1114，又sin2C＋cos2C＝1,0＜C＜π，所以sin C＝5314，同理sin B＝32，所以sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝32×1114＋5314×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3314. 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的周长．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又0<A <π，所以A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2C2，得12sin B ＝1＋cos C2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C ＜0，即C 为钝角．所以B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1，解得C ＝2π3，所以B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，在△ACM 中，由余弦定理得AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ·a 2·cos C＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2，所以a ＝2.在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋22－2×2×2×cos 2π3＝12，所以c ＝2 3.所以△ABC 的周长为4＋2 3.。

(完整版)2018新版《建筑防烟排烟系统技术标准》规范

重要消息：2018新版《建筑防烟排烟系统技术标准》规范将从今天开始实施《建筑防烟排烟系统技术标准》(GB51251-2017)《建筑防烟排烟系统技术标准》(GB51251-2017)由中华人民共和国住房和城乡建设部和中华人民共和国国家质量检验检疫总局#于2018年05月01日联合发布，2018年08月01日实施。

前言▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼根据建设部《关于印发<2006年工程建设标准规范制定、修订计划(第一批)〉的通知》(建标[2006]77号)的要求，本标准由公安部四川消防研究所会同上海市公安消防总队等有关单位共同编制而成。

本标准制订过程中，编制组遵循国家有关法律、法规和技术标准，深入调研了建筑防烟排烟系统设计和工程应用情况，认真总结了火灾事故教训和建筑防烟、排烟系统工程应用实践经验，参考了国内外相关标准规范，吸收了先进的科研成果，广泛征求了设计、监理、施工、产品制造、消防监督等各有关单位的意见，最后经审查定稿。

本标准共分9章和7个附录，主要技术内容有：总则，术语和符号，防烟系统设计，排烟系统设计，系统控制、系统施工，系统调试，系统验收和维护管理等。

本标准中以黑体字标志部分为强制性条文，必须严格执行。

本标准由住房城乡建设部负责管理和对强制性条文的解释，由公安部消防局负责日常管理工作，由公安部四川消防研究所负责具体技术内容的解释。

在本标准执行过程中，希望各单位结合工程实践认真总结经验，注意积累资料，随时将有关意见和建议反馈给公安部四川消防研究所(地址：四川省成都市金牛区金科南路69号，邮政编码：610036)，以供今后修订时参考。

目录1 总则2 术语和符号2.1 术语2.2 符号3 防烟系统设计3.1 一般规定3.2 自然通风设施3.3 机械加压送风设施3.4 机械加压送风系统风量计算4 排烟系统设计4.1 一般规定4.2 防烟分区4.3 自然排烟设施4.4 机械排烟设施4.5 补风系统4.6 排烟系统设计计算5 系统控制5.1 防烟系统5.2 排烟系统6 系统施工6.1 一般规定6.2 进场检验6.3 风管安装6.4 部件安装6.5 风机安装7 系统调试7.1 一般规定7.2 单机调试7.3 联动调试8 系统验收8.1 —般规定8.2 工程验收9 维护管理附录A不同火灾规模下的机械排烟量附录B排烟口最大允许排烟量附录C防烟、排烟系统分部、分项工程划分附录D施工过程质量检查记录附录E防烟、排烟系统工程质量控制资料检查记录附录F防烟、排烟工程验收记录附录G防烟、排烟系统维护管理工作检查项目本标准用词说明引用标准名录▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼1 总则1.0.1 为了合理设计建筑防烟、排烟系统，保证施工质量，规范验收和维护管理，减少火灾危害，保护人身和财产安全，制定本标准。

6.4.3 数学思考3(导学案)六年级下册数学人教版

6.4.3 数学思考3（导学案）六年级下册数学人教版一、教学目标1. 让学生通过观察、分析、推理等活动，进一步理解分数乘除法的意义，掌握分数乘除法的计算方法，并能灵活运用。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的数学思维水平。

3. 培养学生良好的数学学习习惯，如认真观察、积极思考、善于交流等。

二、教学内容1. 分数乘除法的意义和计算方法2. 分数乘除法的应用3. 分数乘除法在实际生活中的应用三、教学重点1. 分数乘除法的意义和计算方法2. 分数乘除法的应用四、教学难点1. 分数乘除法的计算方法2. 分数乘除法在实际生活中的应用五、教学过程1. 导入新课- 通过提问、复习等方式引导学生回顾已学的分数知识，为新课的学习做好铺垫。

2. 学习新课- 通过观察、分析、推理等活动，让学生理解分数乘除法的意义和计算方法。

- 通过例题讲解、练习等方式，让学生掌握分数乘除法的计算方法。

3. 应用新课- 通过解决实际问题，让学生运用分数乘除法解决实际问题，提高学生的数学思维水平。

4. 总结新课- 通过提问、总结等方式，让学生回顾本节课所学的内容，巩固所学知识。

5. 作业布置- 布置适量的作业，让学生巩固所学知识，提高学生的数学能力。

六、教学反思1. 教学过程中要注意关注学生的学习情况，及时调整教学策略，提高教学效果。

2. 教学过程中要注意培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，提高学生的数学素养。

3. 教学过程中要注意培养学生的数学学习习惯，如认真观察、积极思考、善于交流等。

七、教学评价1. 通过课堂提问、作业检查等方式，了解学生对分数乘除法的理解和掌握情况。

2. 通过解决实际问题，评价学生在实际问题中运用分数乘除法的能力。

3. 通过学生课堂表现、作业完成情况等，评价学生的学习习惯和数学素养。

八、教学资源1. 教材：六年级下册数学人教版2. 教学课件：PPT等3. 教学视频：网络资源等九、教学时间1课时十、教学效果1. 学生能理解分数乘除法的意义，掌握分数乘除法的计算方法，并能灵活运用。

20-21版：6.4.3 第四课时正、余弦定理在几何中的应用（创新设计）

17
课前预习
课堂互动
素养达成
【迁移2】本例中的条件c·cos B＝b·cos C的几何意义是什么？解如图，作AD⊥BC，垂足为D.
@《创新设计》
则c·cos B＝BD，b·cos C＝CD. ∴ccos B＝bcos C的几何意义为边AB，AC在BC边上的射影相等.
18
课前预习
课堂互动
素养达成
解由c·cos B＝b·cos C，结合正弦定理，得sin Ccos B＝sin Bcos C，故sin(B－C)＝0， ∵0<B<π，0<C<π，∴－π<B－C<π， ∴B－C＝0，B＝C，故 b＝c.∵cos A＝23，
15
课前预习
课堂互动
素养达成
∴由余弦定理得b2＋2cb2c－a2＝23，即 3a2＝2b2，再由余弦定理，得 cos B＝ 66，
【例 2】在△ABC 中，BC＝5，AC＝4，cos ∠CAD＝3312且 AD＝BD，求△ABC
的面积.
解设CD＝x，则AD＝BD＝5－x，
在△CAD 中，由余弦定理的推论可知： cos ∠CAD＝（2×5－4×x）（2＋5－42x－）x2＝3312. 解得x＝1.
23
课前预习
课堂互动
素养达成
故 sin B＝
30 6.
@《创新设计》
16
课前预习
课堂互动
素养达成
@《创新设计》
【迁移1】对于本例中的条件c·cos B＝b·cos C，能否使用余弦定理？解由余弦定理，得 c·a2＋2ca2c－b2＝b·a2＋2ba2b－c2. 化简得a2＋c2－b2＝a2＋b2－c2， ∴c2＝b2，从而c＝b.

新教材北师大版高中数学必修一 6.4.2分层随机抽样的均值与方差 6.4.3百分位数教学课件

70%,调查最近一个学期课外进
研究生
样本量
140
60
样本均值
253.4
329.4
第十九页，共三十九页。
样本方差
231
367
试估计全校学生用于课外进修的平均开支和开支的方差.

解:本科生层的平均数=253.4,权重 w1=,

研究生层的平均数=329.4,权重 w2= ,
现价/元
平均日游览人数/千人
A
10
5
1
B
10
5
1
第十四页，共三十九页。
C
15
15
2
D
20
25
3
E
25
30
2
(1)该风景区称调整后这5个景点门票的平均收费不变,平均日总
收入持平,问:风景区是怎样计算的?
(2)另一方面,游客认为调整收费后风景区的平均日收入相对于调价
前,实际上增加了约9.4%,问:游客是怎样计算的?
用各层的样本平均数估计该层的总体平均数,
由总体数为 7 200+11 800+12 000=31 000,得总体平均数为

×80%+
×70%+
×36%≈59%.

即抽取的样本的近视率约为55%;该地区全体中小学生的近
视率约为59%.
第二十三页，共三十九页。
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?
你如何防范?
提示:上述错解有3处错误,第一,没有把数据按从小到大排序;第
二,14×50%=7,为整数,此百分位数应为第7项和第8项数据的平均

多种类型的微波RFID 天线_物联网：射频识别（RFID）核心技术详解（第3版）_[共7页]

微波RFID 天线技术1456.4.2 微波RFID 天线的应用方式微波RFID 天线应用在制造、物流、防伪和交通等多种领域。

下面以仓库流水线上纸箱跟踪为例，给出微波RFID 天线在跟踪纸箱过程中的使用方法，如图6-14所示。

（1）纸箱放在流水线上，通过传动皮带送入仓库。

（2）纸箱上贴有标签，标签有2种形式，一种是电子标签，另一种是条码标签。

为防止电子标签损毁，纸箱上还贴有条码标签，以作备用。

（3）在仓库门口，放置3个读写器天线，读写器天线用来识别纸箱上的电子标签，从而完成物品识别与跟踪的任务。

图6-14 微波RFID 天线在纸箱跟踪中的应用6.4.3 多种类型的微波RFID 天线微波RFID 天线的设计需要考虑天线采用的材料，需要考虑天线的尺寸，需要考虑天线的作用距离，并需要考虑频带宽度、方向性和增益等多项性能指标。

微波RFID 天线主要采用偶极子天线、微带天线、非频变天线和阵列天线等，下面对这些天线加以讨论。

一、曲偶极子天线(1) 弯曲偶极子天线的结构偶极子天线即振子天线，是微波RFID 常用的天线。

为了缩短标签天线的尺寸，在微波RFID 中偶极子天线常采用弯曲结构。

弯曲偶极子天线在纵向延伸方向至少折返一次，从而具有至少两个导体段，每个导体段分别具有一个延伸轴，这些导体段借助于一个连接段相互平行且有间隔地排列，并且第一导体段向空间延伸，折返的第二导体段与第一导体段垂直，第一和第二导体段扩展成一个导体平面。

弯曲偶极子天线如图6-15所示。

（a ）天线结构与尺寸（b ）天线可调整参数图6-15 弯曲偶极子天线第6章 RFID 天线技术146因为尺寸和调谐的要求，偶极子天线采用弯曲结构是一个自然的选择。

弯曲允许天线紧凑，并提供了与弯曲轴垂直平面上的全向辐射性能。

为更好地控制天线电阻，增加了一个同等宽度的载荷棒作为弯曲轮廓；为供给芯片一个好的电容性阻抗，需进一步弯曲截面；弯曲轮廓的长度和载荷棒可以变更，以获得适宜的阻抗匹配。

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Illustrator平面设计
6.4.1 时尚杂志的色彩应用
杂志印刷相对更为精美、纸张更为精细，所以对色彩的要求也更高。

特别是涉及食品、服装、时尚、装饰和汽车等内容的杂志时，就要更加重视色彩的运用。

不同类型的杂志具有不同的色彩选择理念，例如，女性杂志的色彩一般较为柔和或艳丽，这样更容易迎合女性消费者的色彩感觉。

而对于时尚杂志而言，在杂志里运用金色或银色可以表现出华丽的感觉；应用黄色可表现高贵的感觉；应用绿色可以表现松弛、健康且新鲜的感觉；应用黑色可表现庄重、严肃的感觉。

不过这些颜色也有可能由于内容的不同而展现出不同的效果。

只有对色彩有深层次的理解，才能更好地让色彩为设计服务。

6.4.2 杂志的创意分析与设计思路
杂志的版面设计并不仅仅是对软件的应用，还需要设计者在色彩、绘画、摄影和专业领域等各个方面具备深厚的功底。

好的版面设计者不仅在色彩、图片和字体段落等方面有很高的造诣，而且会根据观看人群进行心理分析，从而制作出适合这类读者的版面风格。

本例只是简单地制作杂志的页面版式，目的在于综合练习本章所学的相关知识。

根据本例的制作要求，我们可以进行以下一些分析。

z矢量图形可以占据大约2/3的版面。

z为了让整个页面具有统一的风格，页面的色彩和字体样式不能过多。

z打破常规的左文右图的版式以及上文下图的呆板风格，利用图文交错的方式来展现时尚的感觉。

本例的设计思路如图6-51所示，具体设计如下。

（1）利用各种绘图工具和文字工具制作页面中的矢量图形。

（2）制作标题文字和引言。

（3）制作具体的杂志文字内容。

绘制图形制作标题和引言制作杂志内容
图6-51 杂志版面的设计思路
6.4.3 制作过程
1．确定页面及版面构成
Step 1：新建空白文件，利用“矩形工具”绘制一个89mm × 109.2mm的无填充矩形，边框颜色为“黑色”，粗细为“1pt”，然后将其作为页面边界，如图6-52所示。

Step 2：按“Ctrl+R”组合键显示出标尺，如图6-53所示然后在垂直标尺上按住鼠标左键不放，然后向页面中拖曳出参考线，并将能考线移到绘制的矩形左侧。

Step 3：使用相同的方法拖曳出其他的水平参考线和垂直参考线，然后将它们调整到如图6-54
第6章文字的应用所示的位置，从而确定杂志的版面构成。

图6-52 绘制矩形图6-53 显示标尺图6-54 创建参考线
2．制作图形背景
Step 1：绘制一个无边框矩形，将其填充色设置为（C=0,M=50,Y=20,K=0），并按照如图6-55所示的参考线调整大小。

Step 2：将绘制的矩形进行复制操作，如图6-56所示。

Step 3：绘制一个条状矩形，然后双击工具箱中的“旋转工具”，在打开的对话框中将角度设置为− 45°，如图6-57所示。

图6-55 绘制矩形图6-56 复制矩形图6-57 绘制条状矩形
Step 4：将绘制的条状矩形移动到复制出的矩形上，然后按相同间隔在矩形上复制多个条状矩形（可按“Ctrl+D”组合键快速执行相同操作），效果如图6-58所示。

Step 5：选择所有条状矩形，按“Ctrl+8”组合键创建复合路径。

选择创建的复合路径和下方的矩形，利用路径查找器取其相交的图形，从而得到如图6-59所示的对象。

Step 6：将得到的图形移动到前面绘制的矩形上（可利用“对齐”面板进行水平和垂直居中对齐来使两个图形完全重叠），从而完成杂志中图形背景的设置，如图6-60所示。

图6-58 复制条状矩形图6-59 取相交部分图6-60 移动图形。