(人教A版理科)一轮复习：第六章 数列 6-2 含答案

真题演练集训
1．已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10＝8,则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97
答案：C
解析：由等差数列性质知,S 9＝a 1＋a 9
2
＝
9×2a 5
2
＝9a 5＝27, 解得a 5＝3,而a 10＝8, 因此公差d ＝
a 10－a 5
10－5
＝1,
∴a 100＝a 10＋90d ＝98,故选C.
2．设{a n }是等差数列,下列结论中正确的是( ) A ．若a 1＋a 2＞0,则a 2＋a 3＞0 B ．若a 1＋a 3＜0,则a 1＋a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2,则a 2＞a 1a 3 D ．若a 1＜0,则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0 答案：C
解析：A,B 选项易举反例．C 中若0＜a 1＜a 2, ∴a 3＞a 2＞a 1＞0, ∵a 1＋a 3>2a 1a 3,
又2a 2＝a 1＋a 3,∴2a 2>2a 1a 3, 即a 2>a 1a 3成立．
D 中,若a 1<0,则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2
≤0, 故D 选项错误．故选C.
3．已知{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3,S 5＝10,则a 9的值是________． 答案：20
解析：设等差数列{a n }公差为d ,由题意,得
⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 1＋d 2
＝－3，5a 1＋5×42d ＝10， 解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝－4，d ＝3，
则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.
4．S n 为等差数列{a n }的前n 项和,且a 1＝1,S 7＝28.记b n ＝,其中表示不超过x 的最大整数,如＝0,＝1.
(1)求b 1,b 11,b 101；
(2)求数列{b n }的前1 000项和．
解：(1)设{a n }的公差为d ,据已知有7＋21d ＝28,解得d ＝1.所以{a n }的通项公式为a n ＝n .
b 1＝＝0,b 11＝＝1,b 101＝＝2.
(2)因为b n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
0，1≤n <10，
1，10≤n <100，
2，100≤n <1 000，
3，n ＝1 000，
所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝
1 893.
课外拓展阅读
巧用三点共线解等差数列问题
1．等差数列的求解
由等差数列与一次函数的关系可知：对于公差为d (d ≠0)的等差数列{a n },其通项公式为
a n ＝dn ＋(a 1－d ),则点(n ,a n )(n ∈N *)共线,又d ＝a n －a m
n －m
(n ≠m ),所以d 为过(m ,a m ),(n ,a n )两点的
直线的斜率．由此可用三点共线解决等差数列问题．
若数列{a n }为等差数列,a p ＝q ,a q ＝p (p ≠q ),则a p ＋q ＝________.
解法一：设数列{a n }的公差为d ,因为a p ＝a q ＋(p －q )d ,所以q ＝p ＋(p －q )d ,即q －p ＝(p －q )d .
因为p ≠q ,所以d ＝－1.
所以a p ＋q ＝a p ＋(p ＋q －p )d ＝q ＋q (－1)＝0.
解法二：因为数列{a n }为等差数列,所以点(n ,a n )(n ∈N *
)在一条直线上． 不妨设p <q ,记点A (p ,q ),B (q ,p ),则直线AB 的斜率k ＝
p －q
q －p
＝－1,如图所示,
由图知OC ＝p ＋q ,即点C 的坐标为(p ＋q,0),故a p ＋q ＝0. 0
已知{a n }为等差数列,且a 100＝304,a 300＝904,求a 1 000.
因为{a n }为等差数列,则(100,304),(300,904),(1 000,a 1 000)三点共线, 所以904－304300－100＝a 1 000－9041 000－300,
解得a 1 000＝3 004.
2．等差数列前n 项和的求解
在等差数列前n 项和公式的变形S n ＝d
2n 2
＋⎝
⎛
⎭⎪⎫
a 1－d 2n 中,两边同除以n 得S n n ＝d
2n ＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫
a 1－d 2.
该式说明对任意n ∈N *,所有的点⎝ ⎛⎭
⎪⎫n ，S n n 都在同一条直线上,从而对m ,n ∈N *
(m ≠n )有S n n －
S m
m n －m ＝
d 2(常数),即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
S n n 是一个等差数列．
已知在等差数列{a n }中,S n ＝33,S 2n ＝44,求这个数列的前3n 项的和S 3n . 由题意知,⎝
⎛⎭⎪⎫n ，33n ,⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，442n ,⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ，S 3n 3n 三点在同一条直线上,
从而有442n －33n 2n －n ＝S 3n 3n －442n 3n －2n ,解得S 3n ＝33.
所以该数列的前3n 项的和为33.。