土力学与地基基础第3章 土中应力与地基变形
土力学与地基基础-(第三章-土的自重应力计算)
3.2 土的自重应力计算
在荷载作用之前，地基中存在初始应力场。初始应力场常与土体自重、 地基土地质历史以及地下水位有关。在工程应用上，计算初始应力场时常 假设天然地基为水平、均质、各向同性的半无限空间，土层界面为水平面。 于是在任意竖直面和水平面上均无剪应力存在。 假设前提： 假设土（岩）体为均匀连续介质，并为半无限空间弹性体。 地面
应力泡
一、竖向集中力下的地基附加应力
二、矩形和圆形荷载下的地基附加应力
z
F
d
z
3z3
2
p(x, y)dd F ((x )2 ( y )2 z 2 )5/ 2
二、均布矩形荷载下的地基附加应力
1、均布矩形荷载
二、矩形和圆形荷载下的地基附加应力
1、均布矩形荷载
p c ——均布矩形荷载角点下的竖向附加应力
/
2
p0
[1
(r02
z3 z
2
)3
/
2
p 0 [1
(
p0[1 (
1
1
z
] r p0
z3 R5
1
R (r 2 z2 )2 整理得：
z
3P
2 z2
1
1
r z
5
2 2
则：
z
P z2
z
tzyபைடு நூலகம்
tzx txz
tyz
y
tyx
txy
x
M点处的微单元体
令α为附加应力系数,计算时查表
3
2
1
1 r z
2
5
2
一、竖向集中力下的地基附加应力 2、多个竖向集中力下的地基附加应 力
一、竖向集中力下的地基附加应力
第三章 土中应力
课程辅导 >>> 第三章、土中应力和地基应力分布第三章土中应力和地基应力分布一、内容简介土中应力是指自重、建筑物和构筑物荷载以及其他因素（如土中水的渗流、地震等）在土体中产生的应力。
土中应力过大时，会使土体发生破坏乃至发生滑动，失去稳定。
此外，附加应力会引起土体变形，使建筑物发生沉降、倾斜以及水平位移。
土是三相体，具有明显的非线性特征。
为简便起见，将地基土视作连续的、均匀的、各向同性的弹性半无限体，采用弹性理论公式计算土的应力。
这种假定同土体的实际情况有差别，不过其计算结果尚能满足实际工程的要求。
二、基本内容和要求1 ．基本内容（ 1 ）土中一点的应力状态；（ 2 ）弹性力学平衡方程及边界条件；（ 3 ）均匀满布荷载及自重应力作用下的应力计算；（ 4 ）垂直集中荷载、线状荷载、带状荷载、局部面积荷载作用下的应力计算；（５）基底接触压力；（６）刚性基础基底压力的简化计算方法。
2 ．基本要求★ 概念及基本原理【掌握】自重应力及附加应力； Winkler 假定；截面核心。
【理解】基底压力的分布规律。
★ 计算理论及计算方法【掌握】均匀满布荷载及自重作用下地基应力的计算；刚性基础基底压力简化算法的基本假定及计算；垂直集中、垂直线状荷载及带状荷载作用下地基应力的简化计算法；角点法；截面核心的计算。
三、重点内容介绍1 ．土中一点的应力状态土中一点的应力可用 6 个独立分量即、、、、、来表示。
其中，总可以找到三个相互正交的面，其上的 6 个剪应力分量均为 0 ，相应的法向应力称为主应力，并有。
对平面问题，设坐标系为x - z ，则有（ 3-1 ）最大主应力的作用方向与竖直线间的夹角θ由下式确定（ 3-2 ）2 ．弹性力学平衡方程设土体的重度为，则相应的平衡方程为在 x 轴方向（ 3 -3a ）在 y 轴方向（ 3-3b ）在 z 轴方向（ 3 -3c ）3 ．饱和土的有效应力原理外荷载在饱和土体内某点所产生的正应力由水和颗粒承担：其中，由水承担的应力称为孔隙水压力，颗粒之间的作用力所对应的应力称为有效应力，并有或（ 3-4 ）上式即为饱和土的有效应力公式。
土力学与地基基础(土中的应力计算)
矩形基础：A=b× 矩形基础：A=b×L
d1 + d2 Gk =A
Gk = γ G Ad
γG=20kN/m3
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 设计时， 设计时，通常基底长边方向取与偏心 方向一致， 方向一致，最大压力值与最小压力值 按材料力学短柱偏心受压公式计算： 按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p0 = pk − σ c
四、地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
（一）竖向集中应力作用下的地基附加应力
1、布辛奈斯克解 、
3p z3 3 1 p σz = = 2π ( r 2 + z 2 )5 / 2 2π ( r / z )2 + 1 5 / 2 z 2
第三章 地基土中的应力计算
一、概述 地基土中的应力： 地基土中的应力： 1、自重应力 2、附加应力
建筑物修建以前， 建筑物修建以前，地基中由于土 体本身的有效重量所产生的应力。 体本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重量等 建筑物修建以后， 外荷载在地基中引起的应力， 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加” 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。 力基础上增加的压力。
γ
γ′
均质地 基
γ1(γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
（二）水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中： 土的侧压力系数或静止土压力系数， 式中：K0——土的侧压力系数或静止土压力系数，经验值可查课本 土的侧压力系数或静止土压力系数 表3.1
第三章地基中的应力
非均质和各向异性地基中的附加应力
(a) 刚性下卧层（上软下硬）（出现应力集中） (b) 软弱下卧层（上硬下软）（产生应力扩散）
图 双层地基中的竖直应力σz
O
h1=2.5m
1
1 18.23 KN / m3
1
h2=2.0m
2
2 18.62 KN / m3
2
' 3 9.8KN / m3
h3=1.5m
3
3
' 4 9.4 KN / m3
h4=2.0m
4
4
Z
土的自重应力
1-1面 cz1 γ 1h1 18.23 2.5＝45.58kpa
O
2-2面
h1=2.5m
1
r1=18.23KN/m 3
1
σ cz2 σ cz1 γ 2h 2
45.58 18.62 2 82.82kpa
3-3面
σ cz3 σ cz2 γ h 3
' 3
h2=2.0m
2
r2=18.62KN/m 3
2 '=9.80KN/m 3 r1 3 3 '=9.40KN/m 3 r1 4 4
土的自重应力
地下水位以下的土：
地面
z
cz
'z
cz z
'
式中： ' 为土的有效重度，kN/m3;z为土柱的高度，即计算应力 点以上土层的厚度，m。
土的自重应力
地下水位以下，用有效重度；不同土层的重量可以叠加
h3 cz 1h1 2 h2 3
地面
1
研究土体中的应力是研究地基变形与地基失稳 的基础。 支承建筑物荷载的土层称为地基 与建筑物基础底面直接接触的土层称为持力层 将持力层下面的土层称为下卧层
土力学——3 土中应力
土力学王丽琴西安理工大学土建学院岩土工程研究所第三章土中应力第一节概述第二节土体的自重应力计算第三节有效应力原理第四节基底压力的计算第五节地基中的附加应力计算卓越班作业：P 124，1～4，6，7；水工班作业：P 67-68，1，2，4，5本课程中所有计算均可取g=10m/s 2土中应力第三章强度问题变形问题地基中的应力状态应力应变关系土力学中应力符号的规定应力状态自重应力附加应力基底压力计算有效应力原理建筑物修建以后，建筑物重量等外荷载在地基中引起的应力。
所谓的“附加”是指在原来自重应力基础上增加的应力。
建筑物修建以前，地基中由土体本身的有效重量所产生的应力。
本章问题：如何计算地基中的应力？第三章土中应力第一节概述第二节土体的自重应力计算第三节有效应力原理第四节基底压力的计算第五节地基中的附加应力计算一、土力学中应力符号的规定xσzσxzτz xτxσzσxzτz xτ材料力学+-+-土力学正应力剪应力拉为正压为负顺时针为正逆时针为负压为正拉为负逆时针为正顺时针为负③均匀、各向同性体（土层性质变化不大时）②线弹性体（应力较小时）①连续介质（宏观平均）ν、E 与(x, y, z)无关与方向无关碎散体非线性弹塑性成层土各向异性Δσεe p e e线弹性体加载卸载二、土的应力-应变关系的假定理论方法——弹性力学解→求解“弹性”土体中的应力——解析方法→优点：简单，易于绘成图表等三、地基中常见的应力状态yzxo1.空间应力状态——三维问题x e y e xy γyz γγxzγγyxγe ij e =x σy σxy τyz ττxzττyxτσij σ=xσy σxyτyzτz xτzσ王丽琴主讲2. 轴对称三维问题▪应变条件▪应力条件▪独立变量：x y z;e =e e x y z;σ=σσxy yz zx ,,0τττ=xy z x y z,;,σ=σσe =e e x e y e xy γyzγγxz γzy γyx γz e ij e =x σy σxy τyzττxzτzy τyx τzσij σ=000000000y xy yz zx ,,0γγγ=000xσy σxyτyzτz xτzσyσxσzσ一般三维应力状态:三轴应力状态：123σ≥σ≥σ123σ≥σ=σ忽略中主应力的影响理论研究和工程实践中广泛应用zxo3. 平面应变条件——二维问题xσy σxyττz xτzσxσzσxzτz xτ;0y =e 0;0zx yz yx ≠γ=γ=γ●沿长度方向有足够长度，L/B≥10；●垂直于y 轴切出的任意断面的几何形状均相同，其地基内的应力状态也相同；●平面应变条件下，土体在x,z 平面内可以变形，但在y 方向没有变形。
土力学-第三章-土中应力计算详解
基本假定
地基土是各向同性、均质、半无限空间弹性体 地基土在深度和水平方向都是无限的
地 表 临 空
地基：均质各向同性线性变形半空间体
应用弹性力学关于弹性半空间的理论解答
1.均质土竖向自重应力
若将地基视为均质半无限空间弹性体，土体在自重作用下只能产 生竖向变形，而无侧向位移及剪切变形存在，因此在深度z处平面上， 土体因自身重力产生的竖向应力等于单位面积上土柱体的重力。
3.水平向自重应力
天然地面
地基土在重力作用下，除承受 作用于水平面上的竖向自重应力外， 在竖直面上还作用有水平向自重应 力。由于土柱体在重力作用下无侧 向变形和剪切变形，因此可以证明 侧向自重应力与竖向自重应力成正 比，剪应力均为零。
cz z
cx cy K0 cz
cz
z
cx
cy
侧压力系数或静止 土压力系数
4 地下水位升降对自重应力的影响
自重应力分布曲线的变化规律
土的自重应力分布曲线是一条折线，拐点在土 层交界处和地下水位处。
同一层土的自重应力按直线变化。
自重应力随深度的增加而增大。
【例题3-1 】计算自重应力，并绘分布图。
4. 例题分析 【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计算并绘制 自重应力σcz沿深度的分布图。
57.0kPa
80.1kPa
103.1kPa 150.1kPa 194.1kPa
cz 1h1 2 h2 n hn i hi
i 1
n
均质地基
1 (
1
2)
2 2
成层地基
3.2 基底压力与基底附加应力
上部结构
土力学与地基基础-第三章.土中应力分布及计算解析
从上式可知，自重应力随深度z线性增
加，呈三角形分布图形。
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土中自重应力的计算
8
3.2 土中自重应力的计算
2. 成层土的压力计算
地基土通常为成层土。当地基为成层土体时，设各土层
的厚度为hi，重度为 ，则在i 深度z处土的自重应力计算公式 为：
n
cz ihi i 1
剪应力
xy
yx
3Q xyz
2
R5
1 2 3
xy(2R z)
R3
(
R
z)2
yz
zy
3Q 2
yz 2 R5
ZX
XZ
3Q 2
xz 2 R5
3.4 集中力作用下土中应力计算
X、Y、Z轴方向的位移
分别为：
刚性基础在中心载荷作用下，地基反力呈马鞍形，随着外 力的增大，其形状相应改变。如下图
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基础底面压力的分布和计算
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3.3 基础底面压力的分布和计算
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基础底面压力的分布和计算
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3.3 基础底面压力的分布和计算
2. 地基反力的简化计算方法
根据弹性理论的圣维南原理及土中实测结果，当作用在 基础上的总载荷为定值时，地基反力分布的形状对土中 应力分布的影响，只在一定深度范围内，当基底的深度 超过基础宽度的1.5-2.0倍时，它的影响已不显著。因此， 在实用上采用材料力学方法，即将地基反力分布认为是 线性分布的简化计算方法。
因此，基底附加压力p0是上部结构和基础传到基底的地基反力 与基底处原先存在于土中的自重应力之差(新增加的应力)(如图)
土力学-第三章地基中的应力计算1
σ z : τ zy : τ zx = z : y : x
P σz = k ⋅ 2 z
3 1 3 1 k= = 2 5/ 2 2π [1 + (r / z) ] 2π [1 + tg2β ]5/ 2
查表3 查表3－1
集中力作用下的 应力分布系数
z
σ x τxy τxz σ ij = τyx σ y τyz τzx τzy σ z
∞ ∞ ∞ ∞
σ y σ z τ yx 学关于力的方向的规定
τzx
材料力学
σz +
正应力
剪应力 顺时针为正 逆时针为负
-
τzx
土力学
σz +
τxz
2. 竖直集中力作用下的附加应力计算 根据布辛涅斯克解
3 P 3P z3 2 cos β = σz = 2 2 πR 2π R5
3P yz2 τzy = 2π R5 3P xz2 τzx = 2π R5
R 2 = r 2 + z 2 = x2 + y 2 + z 2
3P z3 3 1 P σz = = 5 2π R 2π [1 + (r / z)2 ]5/ 2 z2
γ
γ′
均质地基
γ1 (γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
算例分析
某地基的地 质剖面如图 所示，求各 层土界面上 竖向的自重应 力，并画出分 布图。
答案： 根据土层和地下水位将上述地质剖面分为4层 根据土层和地下水位将上述地质剖面分为 层
γ ′ = γ sat − γ w σ 0z = 0 σ 1 z = γ 1 h1 = 17.5kPa
γ xy = γ yz = γ zx = 0
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基底接触压力
建筑物设计
上部结构 基础 地基
基础结构的外荷载
基底反力
基底压力 附加应力 地基沉降变形
此有一个突变。
图3-4 地基土层剖面自重应力分布曲线
3.3 基底压力
建筑物荷载通过基础传递给地基，在基础底面与地基之 间便产生了接触压力。它既是基础作用于地基的基底压力， 同时又是地基反作用于基础的基底反力。
基底压力的分布呈多种曲线形态，不仅与基础的刚度、 尺寸大小和埋置深度有关，还与作用在基础上的荷载大小、 分布情况和地基的性质等有关。计算基底压力时，如完全 考虑这些因素，是十分复杂的。
Gk —基础和基础上覆土重， (kN)。对于一般基础，可近似取
Gk=GAd；
G —为基础及其上覆土的平均重度，一般取20kN/m3，地下水位以 下取有效重度 ；
d —基础埋置深度(m) 。当室内外标高不同时，取平均深度计算； A — 基底面积(m 2)，对矩形基础A＝lb，l和b分别为其的长 和宽 。
第3章 土中应力与地基变形
本章学习要求 3.1 概述 3.2 土中自重应力 3.3 基底压力 3.4 土中附加应力 3.5 土的压缩性 3.6 地基最终沉降量计算 3.7 地基沉降与时间的关系 3.8 地基变形特征与建筑物沉降观测
本章学习要求
本章是本课程学习的重点，是土力学基本内容之一。 通过本章学习，要求掌握土中应力计算与地基变形的 基本知识。
sat w
地下水位升降对自重应力的影响 （a)地下水位下降；（b)地下水位上升
【例3-1】 某地基土层剖面如图3-4所示，求各 层土的自重应力并绘制其自重应力分布曲线。
自重应力分布曲线
基岩或只含强结合 水的坚硬粘土层可认 为是不透水层。不透 水层层面处为土自重 应力沿深度分布的一 个临界面，此处土的 自重应力等于全部上 覆土和水的总压力， 自重应力分布曲线在
3.3.2 单向偏心荷载作用下基底压力
pk max Fk Gk Mk
pk min
A
W
Mk = (Fk + Gk )e
bl 2 W=
6
pk max Fk Gk (1 6e )
pk min
A
l
e = Mk Fk + Gk
cx cy K0 cz
K0—侧压系数，亦称土的静止土应力系数。通常通过实
验测定
土中竖向自重应力——土体中任意深度处的竖向自
重应力等于单位面积上土柱的有效重量
天然地面
cz
z
cy
cz cx
cz z
1 1
z
σcz= z
成层土的竖向自重应力
当深度z范围内有多层土组成时，则深度z处土的 竖向自重应力为各土层竖向自重应力之和，图3-2， 即
影响因素 计算方法 分布规律
上部结构的自重及各 种荷载都是通过基础 传到地基中的。
暂不考虑上部结构的影 响，使问题得以简化； 用荷载代替上部结构。 基底压力：基础底面传递 给地基表面的压力，也称 基底接触压力。
3.3.1 中心荷载作用下基底压力
Pk = Fk + Gk A
A Lb
式中 Fk—相应于荷载效应标准组合时，上部结构传至基础顶面的竖向力 值， (kN)；
地基在建筑物荷载作用下由于压缩而引起的竖向 位移称为沉降。
自重应力和附加应力
由上覆土体自重引起的应力称为土的自重应力， 它是在建筑物建造之前就已存在土中。对于形成 地质年代比较久远的土，由于在自重应力作用下， 其变形已经稳定，因此土的自重应力不再引起地 基的变形（新沉积土或近期人工充填土除外）。
图3-2 成层土的竖向自重应力
说明：
1.地下水位以上土层采用 天然重度，地下水位以下 土层考虑浮力作用采用浮 重度
2.非均质土中自重应力沿 深度呈折线分布
地下水位变化对自重应力的影响
地下水位以 下的土，由于 受到水的浮力 的作用，减轻 了土的有效自 重，因此计算 自重应力时应 采用土的有效 (浮)重度
由建筑物荷载作用引起的应力称为附加应力。附 加应力由于是地基中新增加的应力，将引起地基 的变形，所以附加应力是引起地基变形和破坏的 主要原因。
土具有压缩性 荷载作用
地基发生沉降
均匀沉降 不均匀沉降 （沉降量） （沉降差）
荷载大小 土的压缩特性 地基厚度
建筑物上部结构产生附加应力
影响结构物的安全和正常使用
n
cz 1z1 2z2 ...... n zn i zi i 1
注意：为方便起见，以下讨论中若无特别注明， 则自重应力仅指竖向自重应力。
成层土的竖向自重应力
天然地面
z1 1
1 z1
z2
2 水位面 1 z1 + 2z2
z3 3
1 z1 + 2z2 + 3z3
3.1 概述
在建筑物荷载作用下，地基中原有的应力状态将 发生变化，从而引起地基变形，建筑物地基亦随 之沉降。地基变形控制是地基基础设计的主要原 则之一。
地基土中的应力按产生的原因可分为自重应力和 附加应力。附加应力是引起地基变形和破坏的主 要原因。
地基变形除与附加应力有关外，还与土的压缩性 直接有关，土的压缩性是引起地基变形的内因。
3.2 土中自重应力
假定地基土为均质、连续、各向同性的弹性半空间无限 体。在此条件下，受自身重力作用的地基土只能产生竖向变 形，而不能产生侧向位移和剪切变形。则地基土中任意深度 z处的竖向自重应力等于单位面积上土柱的重量，图3-1，即
sz = z
根据弹性力学理论和土体侧限条件，水平自重应力σcx、 σcy为：
掌握土中自重应力、基底压力和土中附加应力的基本 概念、分布规律及计算方法；
熟悉土的有关压缩性指标的概念，掌握地基最终沉降 量的计算方法，能够熟练使用规范法计算地基的最终 沉降量；
了解固结原理及固结随时间变化的关系，学会利用单 向固结原理解决实际工程。
了解地基变形特征与建筑物沉降观测的基本知识。