2021年高三数学一轮复习 3.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式精品试题
高考论坛新课标数学理一轮教师备课练习3.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含答案详析)
第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式[考情展望] 1.利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角函数式的化简与求值.2.利用二倍角公式进行三角函数式的化简与求值.3.与三角函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象和性质相结合，考查学生的综合能力．一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．六个公式：①sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；②cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；③tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．公式T(α±β)的变形：①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)；②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．二、二倍角的正弦、余弦、正切公式1．三个公式：①sin 2α＝2sin_αcos_α；②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；③tan 2α＝2tan α1－tan2α.2．公式S2α、C2α的变形：①sin αcos α＝12sin 2α；②sin2α＝12(1－cos 2α)；③cos2α＝12(1＋cos 2α)．1．sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°的值是( ) A.12B.32C ．－12D ．－32【解析】 sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°＝－(cos 34°cos 26°－sin 34°sin 26°)＝－cos 60°＝－12. 【答案】 C2．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°【解析】 2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32，2sin 215°－1＝－cos 30°＝－32，sin 215°＋cos 215°＝1.故选B. 【答案】 B3．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α＝( ) A.18 B ．－18 C.47D ．－47【解析】 tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)·tan (α－β)＝3＋51－3×5＝－47.【答案】 D4．若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－7210 B.7210 C ．－210D.210【解析】 由题意知sin α＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.【答案】 A5．(2013·江西高考)若sin α2＝33，则cos α＝( ) A ．－23 B ．－13 C.13D.23【解析】 cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝1－23＝13.【答案】 C6．(2013·四川高考)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．【解析】 由sin 2α＝2sin αcos α及sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解出α，进而求得tan 2α的值．∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α≠0，∴cos α＝－12.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴α＝23π，∴tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3. 【答案】3考向一 [060] 三角函数的给值求值(1)(2014·郑州模拟)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－69 (2)(2013·广东高考)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R. ①求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6的值；②若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3.【思路点拨】(2)①把x ＝－π6代入函数解析式，借助特殊角的三角函数值和诱导公式求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6. ②由cos θ求出sin θ，利用两角和的余弦公式和二倍角公式求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3.【尝试解答】 (1)∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜34π， 所以由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，又－π2＜β＜0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则π4＜π4－β2＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝593. 【答案】 C(2)①因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2cos π4＝2×22＝1.②因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，cos θ＝35，所以sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45， cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725， sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－2425.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 2θ－22sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝1725.规律方法1 给值求值问题，解决的关键是把所求角用已知角表示.,(1)当已知角有两个时，所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式.(2)当已知角有一个时，此时应着眼于所求角与已知角的和或差的关系，然后应用诱导公式把所求角变成已知角.(3)注意根据角的象限确定三角函数值的符号.对点训练 (1)(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝________.【解析】 (1)∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4 ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1 ＝12225－7250＝17250.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α＝32cos α＋32sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45 3.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋α＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.【答案】 (1)17250 (2)－45考向二 [061] 三角函数的给值求角已知0＜α＜π2＜β＜π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210. (1)求sin α的值；(2)求β的值．【思路点拨】 (1)tan α2――→二倍角公式tan α――→同角三角函数的关系sin α. (2)cos(β－α)――→同角三角函数的关系sin(β－α)――→拆角变换sin β――→结合β的范围β 【尝试解答】 (1)由tan α2＝12，得tan α＝2tan α21－tan 2α2＝43， ∴cos α＝34sin α，①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①、②联立，得25sin 2α＝16，∵0＜α＜π2，∴sin α＝45. (2)由(1)知，cos α＝35，sin α＝45， 又0＜α＜π2＜β＜π，∴0＜β－α＜π. 由cos(β－α)＝210，得0＜β－α＜π2. ∴sin(β－α)＝9810＝7210，∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)·sin α＝7210×35＋210×45＝25250＝22.由π2＜β＜π得β＝34π.规律方法2 1.第(2)问中，由sin β＝22 易错误得出β＝π4，这些错误的原因都是忽视了角的范围.2.“给值求角”的求解思路：(1)求角的某一三角函数值，(2)讨论角的范围，确定角的大小.其中求角的某一三角函数值时，应选择在该范围内是单调函数，若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为(－π2，π2) ，选正弦较好.对点训练 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，试求角β的值． 【解】 由cos α＝17，0＜α＜π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－(17)2＝437.由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2. 又∵cos(α－β)＝1314， ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝3314，由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. 又0＜β＜π2，所以β＝π3.考向三 [062] 三角函数式的化简化简：(1)sin 50°(1＋3tan 10°)； (2)()1＋sin θ＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)．【思路点拨】 (1)切化弦，逆用两角和的正弦公式； (2)统一为θ2的三角函数，变形化简． 【尝试解答】 (1)sin 50°()1＋3tan 10° ＝sin 50°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝2sin 50°⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°sin (30°＋10°)cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.(2)由θ∈(0，π)，得0＜θ2＜π2，∴cos θ2＞0. 因此2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2 ＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cos θ2＝－cos θ.规律方法3 1.本例(2)中有开方运算，联想二倍角公式的特征进行升幂，化为完全平方式.2.三角函数式的化简要遵循“三看”原则,(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，帮助我们找到变形的方向. 对点训练 化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.【解】 原式＝2cos 2x (cos 2x －1)＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝－4cos 2x sin 2x ＋14cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－sin 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x .规范解答之五 三角函数中给值求值问题的解题策略 ——— [1个示范例] ———[1个规范练] ———(12分)(2012·广东高考)已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．【规范解答】 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2得A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝2，2分即A ·cos π4＝2，∴A ＝2.4分 (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6.由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－23π＝85，得⎩⎪⎨⎪⎧2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝－3017，2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6＝85，6分解得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝1517，cos β＝45.8分∵α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝817， sin β＝1－cos 2β＝35.10分∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.12分 【名师寄语】 (1)在利用诱导公式时，先判断角的范围，确定三角函数值的符号，再写出结果.(2)对于两角和与差的余弦公式，应特别注意符号的差别，防止出错.(2014·三明模拟)已知0＜α＜π4，β为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8的最小正周期，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋14β，－1，b ＝(cos α，2)，且a·b ＝m ，求2cos 2α＋sin 2(α＋β)cos α－sin α的值． 【解】 因为β为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8的最小正周期，所以β＝2π2＝π. 又a·b ＝cos αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋14β－2＝m ， 故cos αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝m ＋2. 由于0＜α＜π4，所以2cos 2α＋sin 2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α＋sin (2α＋2π)cos α－sin α＝2cos 2α＋sin 2αcos α－sin α＝2cos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝2cos α·1＋tan α1－tan α＝2cos αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(2＋m )．。
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3-5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式练习 文-人教
3-5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式练习 文[A 组·基础达标练]1．化简cos15°cos45°－cos75°sin45°的值为( ) A.12B.32 C ．－12D ．－32答案 A解析 cos15°cos45°－cos75°sin45°＝cos15°cos45°－sin15°·sin45°＝cos(15°＋45°)＝cos60°＝12.2．[2015·某某中学二调]3cos10°－1sin170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 答案 D 解析3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin 10°－30°12sin20°＝－2sin20°12sin20°＝－4，故选D.3．[2016·某某四校联考]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值是( )A.12B.23 C ．－12D ．1答案 C解析 由已知得cos α＝12，sin α＝－32，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 4．[2016·某某期末]tan π12－1tan π12等于( )A ．4B ．－4C ．23D ．－2 3 答案 D解析 ∵tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝tan π3－tanπ41＋tan π3·ta nπ4＝3－11＋3＝2－3，∴tan π12－1tan π12＝2－3－12－3＝－2 3.5．[2015·某某监测]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235C.45D ．－45 答案 D解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435⇒sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒32sin α＋12cos α＝45，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－45.6．[2015·某某一模]已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( )A ．－12B.12C ．－13D.2327答案 D解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)．∵cos α＝13，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－79，∴sin2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝223， ∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327. 7．[2016·某某检测]在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4 答案 A解析 由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.8．[2016·日照一模]函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝－π12D ．x ＝－π24答案 A解析 对函数进行化简可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3cos ⎝⎛x ＋π2⎭⎪⎫－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3· sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3＋x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6， 则由4x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π12，k ∈Z . 当k ＝0时，x ＝π12.故选A.9．化简：sin50°(1＋3tan10°)＝________. 答案 1 解析sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3·sin10°cos10°＝sin50°×cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°＋32sin10°cos10°＝2sin50°·cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.10．[2015·某某摸底]已知tan(3π－α)＝－12，tan(β－α)＝－13，则tan β＝________.答案 17解析 依题意得tan α＝12，又tan(β－α)＝－13，∴tan β＝tan[(β－α)＋α]＝tan β－α＋tan α1－tan β－α·tan α＝17.11．[2014·某某高考]已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.12．[2015·某某模拟]已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω>0，m >0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝65，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8的值．解 (1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)， ∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2. 由题意知函数f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，∴ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin2x ＋2cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝65， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－45，∴sin θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos π4－cos ( θ＋π4 )sin π4＝7210，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝2cos2θ＝2(1－2sin 2θ)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝⎛⎭⎪⎫72102＝－4825. [B 组·能力提升练]1．设a ＝12cos6°－32sin6°，b ＝2tan13°1＋tan 213°，c ＝1－cos50°2，则有() A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．a <c <b 答案 D 解析 a ＝12cos6°－32sin6°＝sin24°，b ＝2tan13°1＋tan 213°＝sin26°，c ＝1－cos50°2＝sin25°，所以b >c >a ，故选D. 2．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________． 答案17250解析 因为α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2425×22－725×22＝17250. 3．[2016·某某八校联考]如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2·cos α2－32的值为________．答案513解析 由题意得|OB |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，∴sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513，3cos 2α2－sin α2cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.4．[2015·某某二模]已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4，函数f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求f (2B )的取值X 围．解 f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12. (1)由f (x )＝1，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6－1＝－12.(2)由余弦定理及a cos C ＋c2＝b ，可得b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝π3，∴B ＋C ＝2π3.又∵△ABC 是锐角三角形，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2， ∴π3<B ＋π6<2π3，又f (2B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋12，∴1＋32<f (2B )≤32.∴f (2B )的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1＋32，32.。
2021年高考数学一轮复习 3.5 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课时作业 理(含解析)新人教A版
2021年高考数学一轮复习 3.5 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．若sin α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋54π＝( )A ．－210 B.210 C ．－7210 D.7210解析：由sin α＝－35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，0得cos α＝45， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋5π4＝cos 5π4cos α－sin 5π4sin α＝－22⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋35＝－7210. 答案：C2．(xx·山东卷)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35B.45C.74D.34解析：由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.又sin 2θ＝378，故cos 2θ＝－18.故sinθ＝1－cos 2θ2＝34. 答案：D3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( )A.2941 B.129 C.141D ．1 解析：tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝1，故选D.答案：D4．(xx·辽宁五校第二次模拟) 1－2sinπ＋θsin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( )其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ解析：1－2sinπ＋θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|，又因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin θ>cos θ，故选A. 答案：A5．(xx·云南昆明高三调研)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝35，则sin 2x 的值为( )A ．－725 B.725 C.925 D.1625解析：依题意得22(sin x －cos x )＝35，12(sin x －cos x )2＝925，1－sin 2x ＝1825，sin 2x ＝725，选B. 答案：B6．(xx·潍坊市模拟)已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，满足tan(α＋β)＝4tan β，则tan α的最大值是( )A.14B.34C.34 2D.32解析：tan α＝tan(α＋β－β)＝tan α＋β－tan β1＋tan α＋βtan β＝3tan β1＋4tan 2β＝31tan β＋4tan ββ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan β>0，1tan β＋4tan β≥24＝4，当且仅当tan β＝12时分母取最小值，tan α取最大值34.答案：B 二、填空题7．(xx·浙江五校第二次联考)已知α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，sinα＝33，则sin 2α＝________.解析：α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，sin α＝33，cos α＝－63，sin 2α＝2sin α·cos α＝－223. 答案：－2238．tan 15°＋tan 30°＋tan 15°·tan 30°的值是________． 解析：由tan(15°＋30°)＝tan 15°＋tan 30°1－tan 15°tan 30°可得结果．答案：19．(xx·湖北七市联考)若tan θ＝12，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14π，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋14π＝________. 解析：由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4及tan θ＝12可求得sin θ＝55，cos θ＝255.sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝7210. 答案：7210三、解答题10．(xx·江西南昌调研)已知α∈(0，π)且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35.求cos α. 解：因为α∈(0，π)，所以α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，又0<cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝35<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，所以α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝45， cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6cosπ6－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝35×32－45×12＝33－410. 11．已知α为第二象限的角，sin α＝35，β为第三象限的角，tan β＝43.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求cos(2α－β)的值． 解：(1)因为α为第二象限的角， sin α＝35，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34.又tan β＝43， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝724.(2)因为β为第三象限的角，tan β＝43，所以sin β＝－45，cos β＝－35.又sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝1－2sin 2α＝725， 所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝35.12．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45.又2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(2)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos(β－π4)＝45，于是sin 2⎝⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425. 又sin 2⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos 2β，∴cos 2β＝－2425. 又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin 2β＝725.又cos 2α＝1＋cos 2α2＝45，∴cos α＝25，sin α＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4. ∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55×725＝－11525. [热点预测] 13.如图，圆O 的内接“五角星”与原O 交于A i (i ＝1,2,3,4,5)点，记弧A i A i ＋1在圆O 中所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3,4)，弧A 5A 1所对的圆心角为α5，则cos 3α1cos(α3＋α5)－sin 3α2sin 2α4等于( )A ．－12B ．－32C ．1D ．0(2)(xx·成都市高中毕业班第一次诊断性检测)已知角α，β，γ构成公差为π3的等差数列．若cos β＝－23，则cos α＋cos γ＝________.解析：(1)如图可知五边形A 1A 2A 3A 4A 5是一个正五边形，所以可知α1＝α2＝…＝α5＝72°，故cos 3α1cos(α3＋α5)－sin 3α2sin 2α4＝cos(5×72°)＝cos 360°＝1(2)α＝β－π3，γ＝β＋π3，∴cos α＋cos γ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π3＝2cosβcos π3＝－23.答案：(1)C (2)－2325088 6200 戀 20623 508F 傏33934 848E 蒎 \225004 61AC 憬35804 8BDC 诜35358 8A1E 訞31339 7A6B 穫k33487 82CF 苏.36697 8F59 轙。
一轮复习课时训练§3.5：两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第三章§5：两角和与差的正弦、余弦和正切公式(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间45钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．3－sin70°2－cos 210°等于 A ．12 B ．22 C ．2 D ．322．已知tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，那么tan(α＋π4)等于 A ．1318 B ．1322 C ．322 D ．163．在△ABC 中，若sinA·sinB ＜cosA·cosB ，则△ABC 一定为A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 4．若f(x)＝sin(x ＋α)－2cos(x －α)是偶函数，则cos2α等于A ．35B ．25C ．15D ．45或15．如图，角α的顶点在坐标原点O ，始边在y 轴的正半轴上，终边经过点P(－3，－4)．角β的顶点在原点O ，始边在x 轴的正半轴上，终边OQ落在第二象限，且tanβ＝－2，则cos ∠POQ 的值为A ．－55B ．－11525C ．11525D ．55二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝________. 7．如图，图中的实线是由三段圆弧连结而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P(点P 不在C 上)且半径相等，设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cos α13cos α2＋α33－sin α13sin α2＋α33＝________. 8．若cos2θ＋cosθ＝0，则sin2θ＋sinθ的值等于________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分）已知cos(π4＋x)＝35，求sin2x －2sin 2x 1－tanx的值．10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知α，β为锐角，向量a ＝(cosα，si nα)，b ＝(cosβ，sinβ)，c ＝(12，－12)． (1)若a·b ＝22， a·c ＝3－14，求角2β－α的值； (2)若a ＝b ＋c ，求tanα的值．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：原式＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝6－2sin70°3－sin70°＝2.故选C 项． 答案：C2．解析：tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan (α＋β)－tan (β－π4)1＋tan (α＋β)tan (β－π4)＝322. 答案：C3．解析：由已知cosAcosB －sinAsinB ＞0，∴cos(A ＋B)＞0，又∵在△ABC 中，0＜A ＋B ＜π，∴0＜A ＋B ＜π2， ∴C ＞π2，∴△ABC 为钝角三角形． 答案：D4．解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴sin(－x ＋α)－2cos(－x －α)＝sin(x ＋α)－2cos(x －α)， ∴sinαcosx －cosαsinx －sinxcosα－cosxsinα＝2cosxcosα－2sinxsinα－2cosxcosα－2sinxsinα.∴cosαsinx ＝2sinxsinα对x ∈R 成立，∴cosα＝2sinα，由sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＝15. ∴cos2α＝1－2sin 2α＝35. 答案：A5．解析：由三角函数的定义得sin(π2＋α)＝－45， cos(π2＋α)＝－35. ∴cosα＝－45，sinα＝35. 又∵β在第二象限，tanβ＝－2，∴sinβ＝255，cosβ＝－55∴cos ∠POQ ＝cos [(π2＋α)－β]＝－sin(α－β)＝－sin αcosβ＋cosαsinβ ＝－35×(－55)＋(－45)×(255)＝－55. 答案：A二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝________. 解析：原式＝3×sin12°－3cos12°cos12°2cos24°sin12°＝23(12sin12°－32cos12°)2cos24°sin12°cos12°＝23sin (－48°)cos24°sin24° ＝－23sin48°12sin48°＝－4 3. 答案：－437．解析：设三个圆的圆心分别为C 1，C 2，C 3，连结C 1C 2，C 2C 3，C 1C 3，则∠C 2C 1C 3＝12(2π－α1)，∠C 1C 2C 3＝12(2π－α2)，∠C 1C 3C 2＝12(2π－α3)， 又∠C 2C 1C 3＋∠C 1C 2C 3＋∠C 1C 3C 2＝π，所以α1＋α2＋α3＝4π.所以cos α13cos α2＋α33－sin α13sin α2＋α33＝cos α1＋α2＋α33＝－12. 答案：－128．解析：∵cos2θ＋co sθ＝0，∴2cos 2θ＋cosθ－1＝0，∴cosθ＝12或cosθ＝－1. 当cosθ＝12时，sinθ＝±32. 则cosθ＝12，sinθ＝32时， sin2θ＋sinθ＝2sinθcosθ＋sinθ＝2×12×32＋32＝3， cosθ＝12，si nθ＝－32时，sin2θ＋sinθ＝2sinθcosθ＋sinθ＝2×(－32)×12－32＝－3； 当cosθ＝－1时，sinθ＝0，∴sin2θ＋sinθ＝2sinθcosθ＋sinθ＝0.综上所述sin2θ＋sinθ＝0或±3.答案：0或±3三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分）解：sin2x －2sin 2x 1－tanx＝cosx·2sinx (cosx －sinx )cosx －sinx＝sin2x ＝－cos(2x ＋π2) ＝－2cos 2(x ＋π4)＋1 ＝－2×925＋1＝725. 10.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)∵a·b ＝(cosα，sinα)·(cosβ，sinβ)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝22，① a·c ＝(cos α，sin α)·(12，－12) ＝12cos α－12sin α＝3－14，② 又∵0＜α＜π2，0＜β＜π2， ∴－π2＜α－β＜π2. 由①得α－β＝±π4， 由②得α＝π6. 由α，β为锐角，∴β＝5π12. 从而2β－α＝23π. (2)由a ＝b ＋c 可得⎩⎨⎧ cosβ＝cosα－12 ③sinβ＝sinα＋12④ ③2＋④2得cosα－sinα＝12， ∴sin2α＝34. 又∵sin2α＝2sinαcosα＝2sinαcosαsin 2α＋cos 2α＝2tanαtan 2α＋1＝34， ∴3tan 2α－8tanα＋3＝0. 又∵α为锐角，∴tanα＞0，∴tanα＝8±82－4×3×36＝8±286＝4±73.。
2021年高考数学一轮总复习 3.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课时作业 文(含解析)新人
2021年高考数学一轮总复习 3.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时作业 文（含解析）新人教版一、选择题1．(xx·郑州模拟)计算cos42°cos18°－cos48sin18°的结果等于( ) A.12 B.33 C.22D.32解析：原式＝sin48°cos18°－cos48°sin18°＝sin(48°－18°)＝sin30°＝12.答案：A2．(xx·湖州模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，则cos(π＋2α)的值为( )A ．－79B.79C.29D ．－23解析：由题意，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝13. 所以co s(π＋2α)＝－cos2α＝－(2cos 2α－1)＝1－2cos 2α＝79.答案：B3．(xx·山东实验中学诊断)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin2x ＝( )A.1825B.725C ．－725D ．－1625解析：因为sin2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1，所以sin2x＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝1825－1＝－725.答案：C4．(xx·成都模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，且cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( )A ．7B.17C ．－17D ．－7解析：因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π，且cos α＝－45， 所以sin α＜0，得sin α＝－35，所以tan α＝34.所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－341＋34＝17.答案：B5．(xx·金华十校模拟)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12，且π2＜α＜π，则sin2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4等于( ) A.255B ．－3510 C ．－255D ．－31010解析：sin2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αcos α－2cos 2α22sin α－cos α＝22cos α，由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12，得tan α＋11－tan α＝－12，解得tan α＝－3，因为π2＜α＜π，所以解得cos α＝－1tan 2α＋1＝－1010所以原式＝22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝－255. 答案：C6．(xx·娄底模拟)已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝( )A.π3B.π3或－23π C ．－π3或23πD ．－23π解析：由题意得tan α＋tan β＝－33， tan αtan β＝4，所以tan α＜0，tan β＜0，又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以－π＜α＋β＜0.又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.所以α＋β＝－2π3.答案：D 二、填空题7．计算：3－tan15°1＋3tan15°＝________.解析：3－tan15°1＋3tan15°＝tan60°－tan15°1＋tan60°tan15°＝tan45°＝1.答案：18．(xx·宜昌模拟) 计算： sin50°1＋3tan10°－cos20°cos80°1－cos20°＝__________.解析：因为sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°·cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°·2sin40°cos10°＝1，cos80°1－cos20°＝sin10°2sin 210°＝2sin 210°. 所以sin50°1＋3tan10°－cos20°cos80°1－cos20°＝1－cos20°2sin 210°＝ 2.答案：29．(xx·南京模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0＜x ＜π4，则cos2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝__________.解析：因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以π4－x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.又因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213.又cos2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2×513×1213＝120169.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝513. 所以原式＝120169513＝2413.答案：2413三、解答题10．(xx·江苏卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值． 解析：(1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.11．(xx·济南模拟)已知0＜α＜π2＜β＜π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210. (1)求sin α的值． (2)求β的值．解析：(1)因为tanα2＝12，所以sin α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2·α2＝2sin α2cos α2＝2sin α2cosα2sin2α2＋cos2α2＝2tan α21＋tan2α2＝2×121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝45. (2)因为0＜α＜π2，sin α＝45， 所以cos α＝35.又0＜α＜π2＜β＜π， 所以0＜β－α＜π.由cos(β－α)＝210，得0＜β－α＜π2. 所以sin(β－α)＝9810＝7210，所以sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝7210×35＋210×45＝25250＝22. 由π2＜β＜π，得β＝34π. ⎝⎛⎭⎪⎫或求cos β＝－22，得β＝34π.12．(xx·浙大附中模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，求f (2α)的值．解析：(1)f (x )＝12cos x ＋32sin x －cos x＝32sin x －12cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.∴f (x )的最小正周期为2π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin α＝35，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45.∴sin2α＝2sin αcos α＝2×35×45＝2425，cos2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725，∴f (2α)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝32×2425－12×725＝243－750.36200 8D68 赨22528 5800 堀"J28332 6EAC 溬26824 68C8 棈(k26015 659F 斟rul23698 5C92 岒3。
【创新方案】2021届高考数学一轮复习 3.5两角和与差的正弦、余弦、正切公式讲解与练习 理 新人教
第五节 两角和与差的正弦、余弦、正切公式[备考方向要明了]考 什 么怎 么 考1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 1.主要考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值，如2012年江苏T11，广东T16等．2.考查形式既有选择题、填空题，也有解答题，且常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合命题，如2012年安徽T16，山东T17等.[归纳·知识整合]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos _αsin_β cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β[探究] 1.两角和与差的正切公式对任意角都适用吗？若出现不适用的情况如何化简？提示：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π2(k ∈Z )，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是k π＋π2(k ∈Z )，可利用诱导公式化简．2．二倍角余弦公式的常用变形是什么？它有何重要应用？提示：二倍角余弦公式的常用变形是：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，这就是使用极其广泛的降幂扩角公式．在三角恒等变换中，这两个公式可以实现三角式的“次数”降低，利于问题的研究．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_αcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α tan 2α＝2tan α1－tan 2α[自测·牛刀小试]1．计算cos 28°cos 17°－sin 28°sin 17°的结果等于( ) A.12 B.22 C.32D.33解析：选B 原式＝cos(28°＋17°)＝cos 45°＝22. 2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( )A.2941 B.129C.141D ．1解析：选D tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝1.3．(教材习题改编)下列各式中，值为12的是( )A ．2sin 15°cos 15°B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°解析：选A 2sin15°cos 15°＝sin 30°＝12；cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32； 2sin 215°－1＝－cos 30°＝－32；sin 215°＋cos 215°＝1. 4．(教材习题改编)已知cos α＝35，0＜α＜π，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝________.解析：∵cos α＝35，0＜α＜π，∴sin α＝45，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos αcos π6＋sin αsin π6 ＝32cos α＋12sin α＝32×35＋12×45 ＝4＋3310. 答案：4＋33105．(教材习题改编)在△ABC 中，cos A ＝45，tan B ＝2，则tan(2A ＋2B )＝________.解析：在△ABC 中，∵cos A ＝45，0＜A ＜π，得sin A ＝35.∴tan A ＝sin A cos A ＝34.∴tan 2A ＝2tan A 1－tan 2A ＝247， tan 2B ＝2tan B 1－tan 2B ＝－43，∴tan(2A ＋2B )＝tan 2A ＋tan 2B 1－tan 2A ·tan 2B ＝44117.答案：44117三角函数式的化简[例1] (1)化简：1＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)；(2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan 5°－tan 5°.[自主解答] (1)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ24cos2θ2＝cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cos θ2＞0，所以原式＝－cos θ.(2)原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2s in 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°－10°2sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.———————————————————1.三角函数式化简的原则三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子结构与特征. 2.解决给角求值问题的基本思路对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： 1化为特殊角的三角函数值； 2化为正、负相消的项，消去求值；3化分子、分母出现公约数进行约分求值.1．化简下列各式： (1)sin α＋cos α－1sin α－cos α＋1sin 2α；(2)sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°.解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2－2sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2＋2sin 2α24sinα2cos α2cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2sin α2cos α2cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2cos α＝cos αsin α2cos α2cos α＝tan α2.(2)∵s in 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1，cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°. ∴sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2.三角函数的求值问题[例2] (2012·广东高考)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．[自主解答] (1)∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω>0的最小正周期T ＝10π＝2πω，∴ω＝15. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6，而α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617， 即2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＋π6＝－65， 2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＋π6＝1617， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－35，cos β＝817， 于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.———————————————————解决给值求值问题的方法三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”的关系．2．已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．解：∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝53，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.三角函数的求角问题[例3] 若sin A ＝55，sin B ＝1010，且A ，B 均为钝角，求A ＋B 的值． [自主解答] ∵A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010，∴cos A ＝－1－sin 2A ＝－25＝－255，cos B ＝－1－sin 2B ＝－310＝－31010，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22，① 又∵π2＜A ＜π，π2＜B ＜π，∴π＜A ＋B ＜2π，② 由①②知，A ＋B ＝7π4.若将“A ，B 均为钝角”改为“A ，B 均为锐角”，如何求解？ 解：∵A ，B 均为锐角，且sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝255，cos B ＝1－sin 2B ＝31010，∴cos A ＋B ＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22.又∵A ，B ∈(0, π2)，∴A ＋B ∈0，π， ∴A ＋B ＝π4.———————————————————1．解决给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出要求的角．2．在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数 (1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．3．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1)求tan 2α的值；(2)求β. 解：(1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.故tan α＝sin αcos α＝437×71＝4 3.于是tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－432＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314. 由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.1组关系——两角和与差的正弦、余弦、正切公式与倍角公式的关系2个技巧——拼角、凑角的技巧 (1)用已知角表示未知角2α＝(α＋β)＋(α－β)；2β＝(α＋β)－(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；α＝α＋β2＋α－β2，β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等．(2)互余与互补关系⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2；⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝π；⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝π； …3个变化——应用公式解决问题的三个变化角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．易误警示——三角函数求角中的易误点[典例] (2011·天津高考)已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，求α的大小．[解] (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z .f (x )的最小正周期为π2.(2)法一：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.∴(cos α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α＝π6，即α＝π12.法二：∵由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4≠0.∴1cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α.∴cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝14.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，π4＋α＝π3.即α＝π3－π4＝π12.[易误辨析]1．解决本题易忽视“α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4”，由sin 2α＝12得出2α＝π6或2α＝56π，即α＝π12或α＝512π的错误结论或由cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝14得出cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－12，从而造成结论错误． 2．在解决三角函数中的问题时，要牢记：当求出某角的三角函数值，如果要求这角的取值时，一定要考虑角的范围，只有同时满足三角函数值及角的范围的角才是正确的．[变式训练]1．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，若α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝( )A.π3B.π3或－23π C ．－π3或23πD ．－23π解析：选D 由题意得tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4.所以tan α＜0，tan β＜0.又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以－π＜α＋β＜0. 又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.故α＋β＝－2π3.2.如图所示，点B 在以PA 为直径的圆周上，点C 在线段AB 上，已知PA ＝5，PB ＝3，PC ＝1527，设∠APB ＝α，∠APC ＝β，α，β均为锐角，则角β的值为________．解析：因为点B 在以PA 为直径的圆周上，所以∠ABP ＝90°，所以cos α＝PB PA ＝35，sinα＝45，所以tan α＝43.因为cos ∠CPB ＝cos(α－β)＝PB PC ＝31527＝7210，所以sin(α－β)＝210，所以tan(α－β)＝17，tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan α－β1＋tan αtan α－β＝1.又β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.答案：π4一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1解析：选A 由sin α－cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，α∈(0，π)，解得α＝3π4，所以tan α＝tan 3π4＝－1.2．(2012·江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.12解析：选D 法一：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan 2θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan 2θ， ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2 θ＋cos 2 θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12.法二：∵tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2sin 2θ，∴4＝2sin 2θ，故sin 2θ＝12.3．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53解析：选A 将sin α＋cos α＝33两边平方，可得1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝53.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－153，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)·(cos α＋sin α)＝－53. 4．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( )A.π4B.3π4C.π3D.π6解析：选A tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C ＝－－2＋131－－2×13＝1.故A ＝π4.5．已知α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．4 解析：选C ∵α＋β＝π4，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β ＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2.6．(2013·合肥模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋sin α＝453，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B.235C.45D ．－45解析：选D 由条件知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α＋sin α＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45. 故sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－32sin α－12cos α ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7.3－sin 70°2－cos 210°＝________. 解析：3－sin 70°2－cos 210°＝3－cos 20°2－cos 210°＝3－2cos 210°－12－cos 210°＝2. 答案：28．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．解析：因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16.①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.②①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112.所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13.答案：139．(2013·南通模拟)设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________.解析：f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.依题意有2＋a 2＝2＋3，故a ＝± 3. 答案：± 3三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域．(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． 解：(1)因为f (x )＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以函数f (x )的最小正周期为2π，值域为[－1,3]． (2)因为f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，所以1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.又因为α为第二象限角， 所以sin α＝223.因为cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝cos α＋sin αcos α－sin α2cos αcos α－sin α＝cos α＋sin α2cos α，所以原式＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.11．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)∵由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45.又2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(2)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝45，于是sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425.又sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos 2β，∴cos 2β＝－2425. 又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin 2β＝725.又cos 2α＝1＋cos 2α2＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos α＝255，sin α＝55.∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55×725＝－11525. 12．(2013·岳阳模拟)已知向量a ＝(sin ωx ，cos ωx )，b ＝(cos φ，sin φ)，函数f (x )＝a·b ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，π3＜φ＜π的最小正周期为2π，其图象经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32.(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (2α－β)的值．解：(1)依题意有f (x )＝a·b ＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ＝sin(ωx ＋φ)． ∵函数f (x )的最小正周期为2π，∴2π＝T ＝2πω，解得ω＝1. 将点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32代入函数f (x )的解析式， 得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝32.∵π3＜φ＜π，∴π6＋φ＝2π3，∴φ＝π2. 故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x .(2)依题意有cos α＝35，cos β＝1213，而α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，sin β＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513，∴sin 2α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝925－1625＝－725，∴f (2α－β)＝cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝－725×1213＋2425×513＝36325.1．化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .解：原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝121－sin 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝12cos 2x .2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，求sin α及tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． 解：由题设条件，应用两角差的正弦公式， 得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝22(sin α－cos α)． 又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，所以sin α－cos α＝75.① 由题设条件，应用二倍角的余弦公式，得cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α) ＝－75(cos α＋sin α)．又cos 2α＝725，故cos α＋sin α＝－15.②联立①②，解得sin α＝35，cos α＝－45，因此tan α＝－34.由两角和的正切公式，得tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan α＋31－3tan α＝48－25311. 3．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求sin θ和cos θ的值； (2)若sin(θ－φ)＝1010，0＜φ＜π2，求cos φ的值． 解：(1)∵a⊥b ，∴sin θ－2cos θ＝0， 又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝255，cos θ＝55.(2)∵sin(θ－φ)＝1010， ∴cos(θ－φ)＝31010或－31010.当cos(θ－φ)＝31010时，cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θ·cos(θ－φ)＋sin θ·sin(θ－φ)＝55×31010＋255×1010＝22.当cos(θ－φ)＝－31010时，cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θ·cos(θ－φ)＋sinθ·sin(θ－φ)＝－55×31010＋255×1010＝－210＜0. ∵φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos φ＜0不合题意，舍去． ∴cos φ的值等于22. 4．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．解：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－19＝34>0， ∴0<2α<π2.此时tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π.则－π<2α－β<0.∴2α－β＝－3π4.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
高考数学一轮复习 3.5两角和与差的正弦、 余弦和正切公式 文 湘教版
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2．二倍角公式 sin 2α＝__2_s_i_n_α_c_o_s_α___； cos 2α＝_c_o_s_2_α_－__s_in_2_α__＝__2_c_o_s2_α_－__1__＝ __1_－__2_s_in_2_α___；
cos 2 cos 2 1 2 49 5 1 239
2
729
729
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3 sin sin 4 3
3
5
所以 sin cos cos sin sin 4 3
3
3
5
化简得 3 sin 3 cos 4 3
2
2
5
3 sin 1 cos 4 , 即 sin 4
（2。 )∵2012<βssi<i1nn22 。 2。 4<-cα2o3<π2cs，。 4o1∴s。 2－4 。2<s122is-n1i2<n462。 8，。 04<4 -源自2<π
∵sin - 2 >0，∴
2 3
- 0，
2 2
又∵cos
- - 1
2 9
<0，∴ - ，
C. 3
D.－ 3
2
2
2
2
【解析】cos2si1n151。 5。 s0siin2n210。5。 5sicn7o0。 3ssi1n。 200。coc2so0。 5ssi0。 n20。
12ssiin4n4。 00。12
【答案】B
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2.（2014·长春二模)在△ABC中，若tan A·tan B＝tan A ＋tan B＋1，则cos C的值是（ )
2021年高考数学 3.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习
2021年高考数学 3.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习 (25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(xx·重庆模拟)计算sin 20°cos 110°+cos 160°sin 70°=( )A.0B.1C.-1D.【解析】选C.原式=sin 20°cos(180°-70°)+cos(180°-20°)sin 70°=-sin 20°cos 70°-cos 20°sin 70°=-(sin 20°cos 70°+cos 20°sin 70°)=-sin 90°=-1.【一题多解】本题还可如下解答:原式=sin 20°cos(90°+20°)+cos(180°-20°)sin(90°-20°)=-sin220°-cos220°=-1.【加固训练】(xx·成都模拟)cos 38°sin 98°-cos 52°sin 188°的值为.【解析】cos 38°sin 98°-cos 52°sin 188°=cos 38°cos 8°+sin 38°sin 8°=cos 30°=.答案:2.计算: =()【解析】选D.原式3.(xx·张家口模拟)计算:tan 15°+=()A. B.2 C.4 D.2【解析】选C.tan 15°+4.(xx·成都模拟)已知锐角α满足cos 2α=cos(-α),则sin 2α等于()【解析】选A.由cos 2α=cos(-α),得(cosα-sinα)(cosα+sinα)=(cosα+sinα),由α为锐角知cosα+sinα≠0.所以cosα-sinα=,平方得1-sin 2α=.所以sin 2α=.【一题多解】本题还可如下解答:因为α是锐角,所以0<2α<π,-<-α<.又因为cos 2α=cos(-α),所以2α=-α,即α=.故sin 2α=sin.5.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边上有一点A(3,-4),则sin(2θ+)的值为()A. B.- C.-1 D.1【解题提示】根据题意求得sinθ和cosθ的值,进而利用诱导公式和二倍角公式求得答案.【解析】选B.依题意知sinθ=-,cosθ=,所以sin(2θ+)=cos 2θ=cos2θ-sin2θ=,故选B.6.(xx·济南模拟)若θ∈[, ],sin 2θ=,则sinθ=()【解题提示】根据θ的取值范围,先求cos 2θ,再求sinθ.【解析】选D.由于θ∈[, ],则2θ∈[,π],所以cos 2θ<0,sinθ>0.因为sin 2θ=,所以cos 2θ=又cos 2θ=1-2sin2θ,所以sinθ=【加固训练】(xx·汕头模拟)若,则tan 2α等于()【解析】选D.所以tanα=2,所以7.(xx·呼和浩特模拟)已知cos(α+)-sinα=,则sin(α+)的值是()【解题提示】利用两角和的三角函数化简已知条件,展开所求表达式,即可得到结果.【解析】选B.cos(α+)-sinα=,所以cosα-sinα=,cosα-sinα=,所以sin(α+)=sinαcos +cosαsin=sinα-cosα=-.故选B.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(xx·兰州模拟)计算: =.【解题提示】拆角,50°=30°+20°,利用两角和的正弦公式展开合并计算.【解析】原式==1.答案:1【加固训练】(xx·武汉模拟)计算: =.【解析】原式=答案:9.(xx·汉中模拟)设θ为第二象限角,若tan(θ+)=,则sinθ+cosθ=.【解题提示】先由tan(θ+)=,求tanθ的值,再利用同角的三角函数关系式及θ的范围分别求sinθ,cosθ的值.【解析】因为tan(θ+)=,所以tanθ=tan[(θ+)-]即sinθ=-cosθ,又因为sin2θ+cos2θ=1,所以cos2θ+cos2θ=1,cos2θ=,因为θ为第二象限角,所以cosθ=,sinθ=-cosθ=,sinθ+cosθ=+=-.答案:-【加固训练】已知tan(α+)=2,则sin 2α+tan 2α=.【解析】因为tan(α+)=2,所以tanα=tan[(α+)-]所以sin 2α=故sin 2α+tan 2α=答案:10.若=2 015,则+tan 2α=.【解析】因为=2 015,所以答案:2 015(20分钟40分)1.(5分)(xx·新课标全国卷Ⅱ)已知sin 2α=,则cos2(α+)=()【解题提示】利用“降幂公式”将cos2(α+)化简,建立与sin 2α的关系,可得结果. 【解析】选A.因为2.(5分)(xx·宝鸡模拟)已知cos(+θ)cos(-θ)= ,则sin4θ+cos4θ的值等于()【解题提示】先化简已知条件,再把要求的式子变形,代入求值.【解析】选C.因为cos(+θ)cos(-θ)=(cosθ-sinθ)( cosθ+sinθ)=(cos2θ-sin2θ)= cos 2θ=.所以cos 2θ=,sin4θ+cos4θ=221cos 21cos 2195 ()().2216168 -θ+θ+=+=3.(5分)(xx·兰州模拟)设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为.【解题提示】解答本题的关键是角的变化,即把角2α+转化为(2α+)-.【解析】因为cos(α+)=,所以α+∈(0,),所以sin(α+)=,所以sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=2××=,cos(2α+)=2cos2(α+)-1=,所以sin(2α+)=sin[(2α+)-]=sin(2α+)cos-cos(2α+)sin=.答案:4.(12分)(xx·江西高考改编)已知函数f(x)=-(-1+2cos2x)sin 2x,若,α∈(,π),求sin(α+)的值. 【解析】f(x)=-(-1+2cos2x)sin 2x=-cos 2xsin 2x=-sin 4x,因为,所以=-sinα=-,故sinα=,又α∈(,π),所以cosα=-,sin(α+)=×+(-×)=.5.(13分)(能力挑战题)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°;②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°;③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.【解析】(1)选择②式,计算如下:sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-sin 30°=1-.(2)三角恒等式sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos 30°cosα+sin 30°sinα)2-sinα(cos 30°cosα+sin 30°sinα)=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=. 【一题多解】本题第(2)问还可用以下方法解答:三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)= .证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=-sinα(cos 30°cosα+sin 30°sinα)=-cos 2α++ (cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α)- sinαcosα-sin2α=-cos 2α++cos 2α+sin 2α-sin 2α- (1-cos 2α)=1-cos 2α-+cos 2α=.25901 652D 攭F)c 36170 8D4A 赊X35277 89CD 觍22329 5739 圹20096 4E80 亀36255 8D9F 趟26878 68FE 棾w 26794 68AA 梪。
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2021年高三数学一轮复习 3.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式精品试题
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(xx·绍兴模拟)已知cos2θ=,则sin4θ-cos4θ的值为( )
A. B.- C. D.-
【解析】选B.sin4θ-cos4θ=(sin2θ+cos2θ)·(sin2θ-cos2θ)=-cos2θ=-.
2.计算:tan15°+=( )
A. B.2 C.4 D.2
【解析】选C.tan15°+
=+
===4.
3.(xx·杭州模拟)在△ABC中,若cos2B+3cos(A+C)+2=0,则sinB的值是( )
A. B. C. D.1
【解析】选A.由cos2B+3cos(A+C)+2=0,得2cos2B-3cosB+1=0,所以cosB=或cosB=1(舍去).
4.(xx·温州模拟)已知α∈,cosα=-,则tan等于( )
A.7
B.
C.-
D.-7
【解析】选B.因为α∈,cosα=-,
所以sinα<0,即sinα=-,tanα=,
所以tan===.
5.(xx·汕头模拟)若=,则tan2α等于( )
A. B.- C. D.-
【解析】选D.===,
所以tanα=2,
所以tan2α===-.
6.(xx·新课标全国卷Ⅱ)已知sin2α=,则cos2=( )
A. B. C. D.
【思路点拨】利用“降幂公式”将cos2化简,建立与sin2α的关系,可得结果.
【解析】选A.因为cos2=
==,
所以cos2===.
7.(xx·金华模拟)已知cos+sinα=,则sin的值是( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选C.cos+sinα
=⇒sinα+cosα
=⇒sin=,
所以sin=-sin=-.
8.若tanα=lg(10a),tanβ=lg,且α+β=,则实数a的值为( )
A.1
B.
C.1或
D.1或10
【思路点拨】利用α+β=得tan(α+β)=1,由此构造含有a的方程求解. 【解析】选C.α+β=⇒tan(α+β)=1⇒
==1⇒lg2a+lga=0,
所以lga=0或lga=-1,即a=1或a=.
【加固训练】若a,b是非零实数,且=tan,则= .
【解析】由=,
及tan=tan=,
得=tan=.
答案:
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tanαtanβ的值为. 【解析】因为cos(α+β)=,
所以cosαcosβ-sinαsinβ=.①
因为cos(α-β)=,
所以cosαcosβ+sinαsinβ=.②
①+②得cosαcosβ=.
②-①得sinαsinβ=.
所以tanαtanβ==.
答案:
10.计算:= .
【解析】
==
==.
答案:
11.(xx·台州模拟)设sin=,sin2θ= .
【解析】因为sin=,
即sinθ+cosθ=,
所以sinθ+cosθ=,
两边平方,得:1+2sinθcosθ=,
所以sin2θ=-.
答案:-
12.函数y=sin(φ>0)的部分图象如图所示,设P是图象的最高点,A,B是图象与x轴的交点,则tan∠APB= .
【解析】过点P作PD⊥AB,垂足为D,则∠APB=∠APD+∠BPD.函数的最大值是1,周期T==4,
则AD==1,BD=3,PD=1,
则tan∠APD==1,tan∠BPD==3,
所以tan∠APB=tan(∠APD+∠BPD)
===-2.
答案:-2
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.若sin=,cos=,且0<α<<β<π,求cos(α+β)的值.
【解析】因为0<α<<β<π,
所以π<π+α<π,-<-β<0.
又sin=,cos=,
所以cos=-,sin=-,
所以cos(α+β)=sin
=sin
=sincos-
cossin
=-.
【方法技巧】
1.给值求值问题的关键
解决三角函数的给值求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系,用“已知角”表示“所求角”.
(1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和与差.
(2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系.
2.拼角、凑角的技巧
(1)用已知角表示未知角:
2α=(α+β)+(α-β);2β=(α+β)-(α-β);
α=(α+β)-β=(α-β)+β;
α=+,β=-;
=-等.
(2)互余与互补关系:
+=;
+=;
+=π;
+=π;
…
14.(xx·宁波模拟)已知cosα=,cos(α-β)=,且0<β<α<.
(1)求tan2α的值.
(2)求β.
【解析】(1)由cosα=,0<α<,得sinα===,
所以tanα==×=4,
于是tan2α===-.
(2)由0<β<α<,得0<α-β<.
又因为cos(α-β)=,
所以sin(α-β)===.
由β=α-(α-β)得:
cosβ=cos[α-(α-β)]
=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
=×+×=,
所以β=.
15.(能力挑战题)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;
②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;
③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;
④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;
⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数.
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
【解析】(1)选择②式,计算如下:
sin215°+cos215°-sin15°cos15°
=1-sin30°=1-=.
(2)三角恒等式
sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.
证明如下:
sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)
=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)
=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α
=sin2α+cos2α=.
【一题多解】本题第(2)问还可用以下方法解答:
三角恒等式为
sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.
证明如下:
sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)
=+-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)
=-cos2α++(cos60°cos2α+
sin60°sin2α)-sinαcosα-sin2α
=-cos2α++cos2α+sin2α-sin2α-(1-cos2α)
=1-cos2α-+cos2α=.35192 8978 襸22243 56E3 団20011 4E2B 丫36170 8D4A 赊26793 68A9 梩D 26709 6855 桕39295 997F 饿 )32598 7F56 罖S32236 7DEC 緬28941 710D 焍。